04变形体力学概述
力学基础知识
工程单位制
大小
单位制
国际单位制
物理量
类别
量纲
英
制
基本量纲
导出量纲 量纲幂次式
常用量 速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩 压强，压力，弹性模量
粘度，运动粘度
其他量 角速度，角加速度 应变率
第三节 变形体力学基础
一、材料力学的任务 二、关于变形固体及其基本假设 三、内力、截面法、轴力及轴力图
光滑辊轴而成． 约束力：构件受到垂直于光滑面的约束力．
5.平面固定端约束
=
=
≠
=
四.物体的受力分析和受力图
第二节 平面力系和平衡方程
一.平面力系的简化 二.平面力系的平衡方程
三.力学单位制与量纲 物理量的量纲
基本量纲dim m = M , dim l = L , dim t = T
导出量纲：用基本量纲的幂次表示。
二、关于变形固体及其基本假设
1.可变形固体
关于变形的基本概念和名词 弹性 ––– 物体在引起变形的外力被除去以后，
能即刻恢复它原有形状和尺寸的性质。
弹性变形 ––– 变形体在外力被除去后能 完全消失的变形。
塑性变形 ––– 变形体在外力被除去后不能 消失的变形。
2. 基本假设
• 连续性假设
认为组成物体的物质毫无空隙地充满了整个 物体的几何体积。
•小变形 假设物体产生的变形与整个物体的原始尺寸
相比是极其微小的。
PP
L
理论力学与材料力学的研究对象在模型上的区别。 理论力学：刚体 材料力学：变形固体完全弹性体
三.内力、截面法、轴力及轴力图
（一）内力的概念 它是由于外力的作用而使物体的各部分之间
土木工程力学(本).
土木工程力学（本）第四章静定结构的位移计算学习要求1. 理解变形体体系虚功原理的内容及其应用。
2. 理解并熟练掌握静定结构位移计算的一般公式。
3. 熟练掌握静定结构在荷载作用下的位移计算方法及图乘法。
4. 掌握支座位移和温度改变等因素作用下的位移计算方法。
5. 了解线弹性结构的互等定理。
6. 理解静定结构的基本力学特性。
学习重点1. 变形体体系的虚功原理及其应用。
2. 静定结构位移计算的一般公式和不同外因作用下的应用。
3. 图乘法计算荷载作用下静定梁和刚架等的位移。
4. 静定结构的基本力学特性。
常见问题解答1.什么是结构的变形和位移？变形，是指结构或构件的截面形状发生改变，而位移则是指结构各处位置的移动。
静定结构产生位移的原因有荷载作用、温度变化、支座位移、制造误差、材料收缩等。
荷载作用使静定结构产生内力，进而发生变形，导致结构产生位移。
温度变化时，静定结构产生位移，不产生内力。
支座位移（移动或转动）时，静定结构既无内力也无变形产生，只发生刚体位移。
2．静定结构位移计算时采用了什么假设条件？静定结构位移计算时，通常采用以下假设条件：（1）结构、构件的材料符合胡克定律，即应力应变成线性关系。
（2）结构、构件发生的变形与其几何尺寸相比极其微小，因此，可以认为结构或构件的几何形状和尺寸以及荷载的作用位置及方向在变形前后保持不变。
满足上述假设条件的结构体系称为线弹性结构。
线弹性结构中的结构体始终是连续的，位移与荷载之间成线性比例关系，卸载之后位移完全消失，所以计算位移时可以使用叠加原理。
3.什么是实功和虚功？力在其自身引起的位移上作功称为实功。
当作功所需两个因素中的力与其相应的位移彼此独立无关时，这种功称为虚功。
实功恒为正值，虚功可以是正值、负值和零。
实功不能应用叠加原理。
虚功可以应用叠加原理。
4．什么是变形体体系的虚功原理？变形体体系的虚功原理可以表述为：若变形体体系在力系作用下处于平衡状态，由其它原因产生的微小连续位移满足约束条件，则力状态中的外力在位移状态中相应位移上所作的虚功恒等于力状态中的内力在位移状态中相应变形上所做的虚功。
有限元方法及应用04_弹性力学
3. 以单元结点位移ae表示单元位移函数u，得到单元插值函数矩阵N。
u ΦA1ae Na
4. 以单元结点位移ae表示单元应变ε，并得到应变矩阵B
ε Lu Bae
sdustzhu
弹性力学问题有限元分析的执行步骤
(1)对结构进行离散。按问题的几何特点和精度等因素划分单元 并形成网格，即将对原来的连续体离散为在结点处相互联结的有限
➢ 虚应力原理
几何方程：
ij
Байду номын сангаас
1 2
ui, j u j,i
位移边界条件： ui ui
等效积分：V ij
ij
1 2
ui, j u j,i
dV
Su Ti ui ui dS 0
分部积分：
V ijij uiij, j dV S ijnjuidS Su Ti ui ui dS 0
分弱形式。
sdustzhu
➢ 虚位移原理
平衡方程：
ij, j fi 0
力的边界条件： ijnj Ti 0
(在V内) (在Sσ上)
等效积分： V ui (ij, j fi )dV S ui (ijnj Ti )dS 0
V uiij, jdV
V ( ui ij ), j dV
sdustzhu
线弹性力学的变分原理
➢ 最小位能原理
从虚位移原理出发，代入弹性力学的本构方程得：
V ij Dijklkl ui fi dV S uiTidS 0
利用单位体积应变能公式得：
ij
Di jkl kl
1 2
Dijkl ij kl
U
mn
在线弹性力学中，假定体积力和边界上面力的大小和 方向都是不变的，则有：
六、-动力学问题的有限元法
2) 结构动力学问题
❖ 该领域研究下列问题：弹性结构（系统）的自由振动 特性（频率和振型）分析；瞬态响应分析；频率响应 分析；响应谱分析等。
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
V T dV V uT ( f u u)dV S uT T dS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离 散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
M a(t) C a(t) K a(t) Q(t)
❖ 就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载 荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是， 载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大 于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作 用随时间剧烈变化的载荷。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击， 人工地震勘探，无损探伤等。
❖ 大多数显式方法是条件稳定的：当时间步长大于结构 最小周期的一定比例时，计算得到的位移和速度将发 散或得到不正确的结果；
❖ 隐式方法往往是无条件稳定的，步长取决于精度，而 不是稳定性方面的考虑。
❖ 典型的显式方法是所谓的“中心差分法”，其基本思 想如下。
• 中心差分法 ❖ 将某时刻的加速度和速度用中心差分表示：
• 对于3节点三角形单元，按上述公式计算得到的一致质量 矩阵为：
• 该单元的集中质量矩阵为：
• 实际应用中，两种质量矩阵都有应用，得到的计算结果 相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化，提 高计算效率，由此得到的自振频率常低于精确解。
材料力学考试题库
材料力考试题姓名学号一、填空题：（每空1 分，共计38 分）1、变形固体的变形可分为：弹性变形和塑性变形。
2、构件安全工作的基本要求是：构件必须具有足够的强度、足够刚度和足够稳定性。
3、杆件变形的基本形式有拉（压）变形、剪切变形、扭转变形和弯曲变形。
4、吊车起吊重物时，钢丝绳的变形是拉伸变形；汽车行驶时，传动轴的变形是扭转变形；教室中大梁的变形是弯曲变形；螺旋千斤顶中的螺杆受压杆受压变形。
5、图中σ——ε曲线上，对应p 点的应力为比例极限，符号__σp__、对应y 点的应力称为屈服极限，符号_σs__、对应b 点的应力称为强化极限符号_σb6、内力是外力作用引起的，不同的外力引起不同的内力，轴向拉、压变形时的内力称为轴力。
剪切变形时的内力称为剪力，扭转变形时内力称为扭矩，弯曲变形时的内力称为弯矩。
7、下图所示各杆件中受拉伸的杆件有AB、BC、CD、AD ；受力压缩杆件有BE 。
第- 1 - 页，共8 页8、胡克定律的两种表达式为l N L和E 。
E 称为材料的弹性模量。
EA它是衡量材料抵抗变形能力的一个指标。
E 的单位为MPa，1 MPa=_106____________ Pa。
9、衡量材料强度的两个重要指标是屈服极限和强化极限。
10、通常工程材料丧失工作能力的情况是：塑性材料发生屈服现象，脆性材料发生强化现象。
11、挤压面为平面时，计算挤压面积按实际面积计算；挤压面为半圆柱面的投影面积计算。
12、在园轴的抬肩或切槽等部位，常增设圆弧过渡结构，以减小应力集中。
13、扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度；各横截面绕轴线转动了不同的角度，相邻截面产生了转动，并相互错动，发生了剪切变形，所以横截面上有剪应力。
14、因半径长度不变，故切应力方向必与半径垂直由于相邻截面的间距不变，即园轴没有伸长或缩短发生，所以横截面上无正应力。
15、长度为l 、直径为d 的圆截面压杆，两端铰支，则柔度λ为，若压杆属大柔度杆，材料弹性模量为E，则临界应力σ cr 为____________ 。
材料力学重点归纳
材料力学考试重点一、。
课程的性质、任务材料力学是变形体力学的最基础课程。
固体力学（即变形体力学）是研究固体材料的变形、流动和断裂的一门科学。
它是材料科学专业的一门理论性较强的重要的技术基础课程。
本课程的基本任务是为了提高材料工程类专业学生的力学基础素养，使之掌握该专业所必需的固体力学基本概念、基本方法和基础理论，培养学生具备一定的力学分析计算能力和基本的力学实验技能，为学习后续专业课程奠定必要的力学基础。
教学的同时注意结合本课程的特点培养学生的辩证唯物主义观点。
二、课程的基本要求通过本课程的教学，应使学生达到下列基本要求：1．理论力学静力学是系统学习力学课程的必要基础。
因此要求学生理解并掌握理论力学静力学的有关概念和理论。
了解几种常见的约束类型的性质及静力学基本公理。
较熟练地掌握对物体进行受力分析的方法。
2．了解静力学的基本任务。
理解并掌握力线的平移定理。
熟悉各类平面力系的简化方法和结果。
掌握各类平面力系的平衡条件，并能熟练地应用它们去求解物体（或物体系）的平衡问题。
简单了解空间力系的简化结果、力对轴之矩的概念及重心的概念。
3．理解并掌握固体力学的有关基本概念：对固体力学分析问题、解决问题的基本方法和思路有明确的认识。
4．掌握一维工程构件三种基本变形的内力、应力和变形的分布变化规律、基本分析方法以及计算方法。
5．清楚了解研究测试固体材料力学性质的意义和方法，对常见固体材料（典型的金属材料和岩石）的力学性质和测定方法有基本认识和掌握。
了解电测应力方法的基本原理。
6．对应力、应力状态、应变、应变、应变状态的概念有较明确的认识。
较熟练掌握应力分析理论和应变分析理论。
7．理解和掌握固体材料弹性变形和塑性变形的主要特征，对屈服函数、主应力空间、屈服面、屈服曲线、屈服条件等概念有较明确认识。
熟悉掌握强度理论：最大拉应力理论、最大剪应力理论、形状改变比能理论、莫尔强度理论和库仑-纳维叶剪切强度准则的基本观点、适用范围、表达形式和工程应用。
变形体静力学基础绪论
内力和应力
一、内力与截面法：
1 、内力的定义： 在外力作用下，构件内部各部分之间因相 对位置改变而引起的附加的相互作用力——附加内力。 2 、内力的特点： ①连续分布于截面上各处； ②随外力的变化而变化。 3 、截面法： 用以显示和求解内力的方法，其步骤为：
①截开：在待求内力的截面处假想地将构件截 分为两部分， 取其中一部分为研究对象
2
小变形前提条件的作用
2、小变形前提允许以变形前的受力分析代替变形后的受力分析
因构件在外力作用下发生的变形与原尺寸相比非常小， 在计算构件所受的力时，可按构件原始尺寸计算。
B
1 2 l
δ
1
A A1 δ C
Hale Waihona Puke FN 1 FN 22
A F
l
F
F
求FN1、 FN2 时，仍可 按构件原始尺寸计算。
1、 正应变是无量纲量 2、 过同一点不同方位的正应变一般不同
11
二、切应变定义
微体相邻棱边所夹直角的 改变量 g ，称为切应变
切应变量纲与单位 切应变为无量纲量 切应变单位为 弧度（rad）
12
三、应力应变之间的相互关系
一点的应力与一点的应变之间存在对应的关系
实验结果表明：在弹性范围内加载，正应力与 正应变存在线性关系 ： E ——胡克定律 E 称为材料的弹性模量或杨氏模量
变形固体的物性假设
小变形前提
一、变形固体： 在外力作用下可发生变形的固体。 二、变形固体的基本假设： 1、连续性假设：认为变形固体整个体积内都被物质连续 地充满，没有空隙和裂缝。 2、均匀性假设： 认为变形固体整个体积内各点处的力学 性质相同。 3、各向同性假设： 认为变形固体沿各个方向的力学性质 相同（不适合所有的材料）。 假设2和3表示材料的力学性能与坐标、方向无关
第四章 变形体静力学基础b
截面法求解内力的步骤为：
求 约 束 反 力 截 取 研 究 对 象 受力 图， 内力 按正 向假 设。 列 平 衡 方 程 求内 力， 内力 方程 内力图： FN、FQ、 M图
2
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4.4 杆件的基本变形
杆件：某一方向尺寸远大于其它 方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。
y
Fy
1
F My
解：画轴力图。 有： DD=DlAD=DlAB+DlBD =FNABl /E(2A)+FNBDl /EA 即： DD=(F1-F2)l /E(2A)+F1l /EA=0 解得： F2=3F1
D l A B
F1 -F2
l
l
F2
C
F1
F1
注意： 固定端A处位 移为零。
9
4.6 一点的应力和应变(一般讨论)
y
D'
D dy A' A dx C B' B C'
切应变：过A点直角形状的改变。
= dx lim ( 0
dy 0
2
BAD)
x
线应变、切应变分别与、的作用相对应。
16
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4.7 变形体静力学分析
FB
B
FCy
45 C FCx l=3m D
再论利用力的平衡、变形几 何协调及力与变形间的关系， 分析变形体静力学问题的基本方法。
F1 = 3F
6 FE2 A2 FAy = 2F 4 E2 A2 + E1 A1
FAy
1
2
F1
F2 l
B
6FE2 A2 12FE2 A2 ; F2 = 4E2 A2 + E1 A1 4E2 A2 + E1 A1
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问题 1.什么叫构件的强度、刚度、 稳定性?
强度 ----构件抵抗 破坏的能力
刚度 ----构件抵抗变形的能力 稳定性 ----维持原有平衡状态的能力
?
1.强度 2.刚度 3.稳定性
“破坏”
失效
变形
弹性变形---去掉载荷能恢复的变形 塑性变形---去掉载荷不能恢复的变形 （永久变形，残余变形）
问题 2.什么叫构件具有足够的强度 、 ` ` 刚度、 稳定性? 足够的强度----构件在规定的载荷作用下 不发生破坏
应用:应用小变形条件,在利用静力平衡方 程求解反力的时候,按原始尺寸(未变形前) 来计算.即完全按静力学的方法求解
L L L L
L
L
aa
aa
F
aa
F
a
F
4.3 内力、 应力的概念 §§
1.内力
定义：在外力作用下，物体内部相互作用力 的变化量（附加内力） 方法: 截面法 截 取 代平
平衡方程
Fx 0 M x 0 Fy 0 M y 0 Fz 0 M z 0
4.2 变形固体的基本假设
构件 可变形固体 各种材料 在研究中可能以整体,部分,微块为对 象,在方法上要用到数学中的微积分,所 以首先要对可变形固体进行一定的假设 1.连续性 2.均匀性 3.各向同性
小变形条件
原始尺寸原理
在静力学中,建立平衡方程,运动方程,动力 方程,都是把物体抽象为刚体来进行的 在变形体力学中,不能再把物体看作刚 体.变形是客观存在的,当结构的支反力没有 求出时,变形是无法求解的,为了应用静力平 衡方程,求出支反力,引入小变形原理(原始尺 寸原理) L 变形量 << 原始尺寸 a L <<L、 a<<a F
破坏的规律 内容 ２．材料的力学性质 ３．截面形状和尺寸与承载关系 １．实验手段 方法 几何方面 ２．理论分析 物理方面 静力方面
说明：
1.三方面要求不一定同时都要满足，对具体 的构件一般以一方面为主要条件 2.有些要求相反 煤气罐 （要求是相反的） 1 设计 安全销 2 有些构件要求产生较大的弹性变形，如 跳水员跳板，轿车弹簧等
4）弯曲
特点： 力偶作用面垂直轴线
特点： 力垂直轴线 力偶作用面通过轴线
变形（ deformation ）与位移（displacement）
★作业：
思考题： 4－ 1至 4－ 6
足够的刚度----构件在规定的载荷作用下 不发生过大的弹性变形
足够的稳定性----构件在规定的载荷作用下
不失稳
矛盾：安全----经济
二.任务
保证构件具有足够的承载能力的前提下，
以最经济的代价 选择适宜的材料 为构件
确定合理的截面形状和尺寸
提供必要的理论基础和计算方法
三．研究的内容和方法
１．外力 变形的规律
特点：外力增大,内力增大,但有限度 注意区别于刚体静力学中的内力
2. 应力
F
定义：内力的集度 A F lim 全应力 p = A 0 A 垂直截面的正应力 应力分解 与截面相切的切应力 ----拉为正，压为负。 ----对体内任一点取矩，顺时针为正
p
6
应力单位 1N/m =1Pa 1MPa=10 Pa
x=
u du Lim = x 0 x dx x
z
伸长
缩短
x u
切应变
互相正交的任意两条线 段夹角的改变量 y
直角变小 x
2
直角变大
z
、 均为无量纲的量
4.5 构件的分类 杆件变形的基本形 构件外形：杆 板 壳 块 ` `
1．主要研究对象
杆-----纵向尺寸>>横向尺寸，如柱 `轴 `梁 直杆-----轴线为直线，横截面与轴线垂直
2. 杆件变形的基本形式
工程中的构件往往受载都比较复杂,我们 先抓住主要的作用,将构件的受力进行抽象,基 本变形可分为四种
1） 拉、压
2）剪切 3）扭转 4）弯曲
1）拉、压
受力简图：
外力作用特点：通过轴线
2） 剪切 受力简图：
外力作用特点 ：一对力，大小相等， 方向相反， 相距很近
3） 扭转
第二篇
构件的承载能力
第4章 变形体力学概述
4.1 变形体力学的任务
4.2
4.3 4.4
变形固体的基本假设
内力、截面法和应力的概念 变形与应变的概念
4.5 构件的分类、 杆件变形的基本形式
4.1
设பைடு நூலகம்计
变形体力学的任务
机械 结构 零件 构件 (可变形固体)
一.工程要求
要求:构件具有足够的承载能力
?
构件的承载 能力包括
2
1GPa=10 Pa
9
4.4 变形 位移 应变的概念
1.变形 位移
构件在外力作用下要产生变形 变形：构件在外力作用下尺寸 和形状的改变 位移：构件在变形的同时，其 上的点、 线 、 面相对 ` ` 于初始位置的变化 变形可表现为任一点的线位移 和任一横截面的角位移
2.应变 线应变 例：
一点处沿某一方向长度的 y 改变程度