2007-2008春季高数A试题(A卷)解答

（2） 证明
∑
n =1
∞
n = 1. ( n + 1)!
解： （1） 设 s ( x ) =
d ⎛ ex −1 ⎞ ⎜ ⎟ ，由于 dx ⎝ x ⎠
xn ∑ − 1 ∞ x n−1 e x − 1 n=0 n ! = =∑ x x n =1 n !
∞
( − ∞ < x < +∞ )
因此，
d ⎛ e x − 1 ⎞ d ⎡ ∞ x n −1 ⎤ s ( x) = ⎜ ⎟ = ⎢∑ ⎥ dx ⎝ x ⎠ dx ⎣ n =1 n ! ⎦
=∑ n − 1 n−2 ∞ n x =∑ x n −1 n=2 n ! n =1 ( n + 1) !
∞
（2）
又
s ( x) =
d ⎛ ex −1 ⎞ x ex − ex + 1 ⎜ ⎟= dx ⎝ x ⎠ x2
所以， 当 x = 1 时，
x ex − ex + 1 ∞ n =∑ x n −1 2 x n =1 ( n + 1) !
要使切平面与三个坐标面所围体积最小，只需 最小，其中 x0 , y0 , z0 满足 z0 = 4 − x0 2 − y0 2 . 构造拉格朗日函数 F ( x, y, z , λ ) =
1 3 (8 − z ) + λ ( x2 + y 2 + z − 4) xy
求解方程组
1 3 ⎧ ′ ⎪ Fx = − x 2 y ( 8 − z ) + 2λ x = 0 ⎪ 1 3 ⎪ ′ F = − 8 − z ) + 2λ y = 0 y 2 ( ⎪ xy ⎨ ⎪ 3 2 ⎪ Fz′ = − ( 8 − z ) + λ = 0 xy ⎪ ⎪ 2 2 ⎩ Fλ ′ = x + y + z − 4 = 0
∫ (1 + xe )dx + (x
2y L
2
e 2 y − 1 dy =
)
∫ (1 + x )dx
4
0
= −12
七、(11 分)求解线性微分方程 y′′ − y = sin 2 x 的通解. 解: 特征方程为： r 2 − 1 = 0 ，有根 r1 = −1, r2 = 1 ，
故对应齐次方程的通解为 Y = C1 e x + C2 e − x . 因为 f ( x ) = sin x =
∂x ∂y ∂z ⋅ ⋅ ＝ ∂y ∂z ∂x
【
A
】.
A. －1；
B. 1；
C. 2；
D. －2.
2．设曲面 Σ 是介于两平面 z
= 0 与 z = 1 之间的圆柱面 x 2 + y 2 = 1 ，则曲面积分
】.
∫∫ x
Σ
2
dS 的值是【 D + y2 + z2
A.
π
2
∞
；
B.
2π ；
C.
2；
D.
π2
得 x = y = 1, z = 2
因驻点唯一，实际问题存在最小值，因此点 (1, 1, 2 ) 为所求的点。最小值为
V=
1 1 3 ⋅ (8 − 2 ) = 9 . 24 1 ⋅1
九 、 (5 分 ) 证 明
∫∫∫ f ( z ) dxdydz =π ∫
Ω
1 −1
f ( u ) (1 − u 2 ) du ， 其 中 f ( x ) 为 连 续 函 数 ， Ω 为
1 0
1
1
ρ2
f ( ρ cos θ , ρ sin θ , z ) ρ dz ;
C.
1 0
dx ∫
1− x 2 0
dy ∫
x2 + y 2 0
f ( x, y, z ) dz ;
D.
∫
dx ∫
1− x 2 0
dy ∫
1 x2 + y 2
f ( x, y, z ) dz .
二、填空题(满分 15 分，每小题 3 分，共 5 道小题)，请将答案填在横线上． 1. 设二元函数 z = e
∂2 z ． ∂x∂y
解
∂z ∂2 z ∂ y y ′′ − 2 f 22 ′′ = f 21 ′′ − 2 f 22 ′′ = f 2′ , = ( f 2′) = f12 ∂y ∂x∂y ∂x x x
x dydz + y dzdx + z dxdy (x + y + z )
2 2 2 3
四、(11 分) 计算曲面积分 I = w ∫∫
2
(
)
(
)
L
象限沿逆时针方向的半圆弧.
解：
P( x， y ) = 1 + xe 2 y ， Q( x， y ) = x 2e 2 y − 1
3
由
∂Q ∂P = 2 xe 2 y = 可知该曲线积分与路径无关． ∂x ∂y
因此我们可取直线 y = 0 上从 x = 4 到 x = 0 这一段直线段，得
( − ∞ < x < +∞ )
s (1) = 1 = ∑
n ， n =1 ( n + 1) !
∞
所以，
∑ ( n + 1)! = 1
n =1
∞
n
六、(11 分) 计算曲线积分 1 dy ，其中 L 为 ( x − 2 ) + y 2 = 4 在第一
2
1 − cos 2 x 2
故令 y * = A + B cos 2 x + C sin 2 x
代入原方程比较系数得， A = −
1 1 , B= , C=0 2 10
于是
y* = −
1 1 + cos 2 x 2 10
故原方程得通解为
1 1 y = Y + y * = C1 e x + C2 e − x − + cos 2 x 2 10
B
】.
5. 设区域 Ω 是 z = x 2 + y 2 与 z = 1 所围区域在第一卦限的部分， 则三重积分 ∫∫∫ f ( x, y, z )dv 不
Ω
等于【
C
】.
1
A.
∫ ∫
1 0
dz ∫
z 0
dx ∫
z − x2 0
f ( x , y , z ) dy ;
B.
∫
π
2 0
dθ ∫ dρ ∫
0
2
.
3. 若级数
∑u
n =1 ∞ n =1
n
收敛，则下列级数发散的是【
∞
B
】.
∞ ∞
A.
∑ 2u
n
；
B.
∑ (u
n =1
n
+ 2) ；
C.
2 + ∑ un ；
n =1
D.
∑u
n=k
n
.
4. 设微分方程 y = xy ′ + f ( y ′) ，则函数 y = cx + f (c ) （其中 c 为任意常数）是【 A. C. 该方程的特解; 无法确定; B. D. 该方程的通解; 该方程的解.
∞
5. 设幂级数 ∑ an x n 的收敛半径为 3，则幂级数 ∑ nan ( x − 1)
n =0
n =1
n +1
的收敛区间为
( − 2, 4 ) ．
∂z y , 三、(10 分) 设 z = x f ( x, ) 且 f 具有二阶连续偏导数，求 ∂x x
y ∂z = f + x f1′− f 2′ ∂x x
−2 x0 ( x − x0 ) − 2 y0 ( y − y0 ) − ( z − z0 ) = 0 ⇒ 2 x0 x + 2 y0 y + z = 8 − z0
4
切平面在三个坐标轴上的截距分别为
8 − z0 8 − z0 , , 8 − z0 2 x0 2 y0 1 1 3 V= ⋅ ⋅ ( 8 − z0 ) 6 4 x0 y0
中国农业大学 2007 ~2008 学年春季学期 高等数学A课程考试试题(A卷) 2008/06/27 解答及评分标准
一、单项选择题(满分 15 分，每小题 3 分，共 5 道小题), 请将合适选项填在括号内． 1. 1.设二元函数 x = x( y, z ), y = y ( x, z ), z = z ( x, y ) 是由方程 F ( x, y, z ) = 0 所定义的隐函数，则
x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .
证 在 Ω 中有 −1 ≤ z ≤ 1 ，用截面法
1 −1
∫∫∫ f ( z ) dxdydz =∫
Ω
dz ∫∫ f ( z )dxdy = ∫
Dz
1 −1
f ( z ) π (1 − z 2 ) dz
=π∫
1 −1
f ( u ) (1 − u 2 ) du
5
Σ
，其中曲面∑为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 4
的外侧. 解 I=
1 x dydz + y dzdx + z dxdy ∫∫ 8w Σ
2
由高斯公式有 I =
1 3 dv (其中 Ω 是由∑围成的立体) 8 ∫∫∫ Ω
= 4π .
五、(11 分) （1） 把
d ⎛ ex −1 ⎞ ⎟ 展开为 x 的幂级数； ⎜ dx ⎝ x ⎠
{1, 0, 3} .
x 3. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 y = C1 + C 2 x + C 3e ，其中 C1 , C 2 , C3 为