高等数学1试卷(附答案)
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一、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
1. 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是
π
。
2. 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =,则2y dy dx x
=
-
。
3. 函数2
sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2
44
1()3
x x o x -+。
4.
1
1
dx =⎰
。
5. 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡20π,上的最大值为
6
π
+。
6. 222222lim 12n n
n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝
⎭L =4
π
。
二、选择题(共7小题,每小题3分,共21分)
1. 设21cos sin ,0
()1,0x x x f x x x x ⎧
+<⎪=⎨
⎪+≥⎩
,则0x =是()f x 的 D 。 A .可去间断点 B .跳跃间断点 C .振荡间断点 D .连续点
2. 设()232x x f x =+-,则当0x →时,下列结论正确的是 B 。
A .是等价无穷小与x x f )(
B .同阶但非等价无穷小与x x f )(
C .高阶的无穷小是比x x f )(
D .低阶的无穷小是比x x f )(
暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名: 学号:
3.
1
+∞=⎰
C 。
A .不存在
B .0
C .2π
D .π
4. 设()f x 具有二阶连续导数,且(0)0f '=,0
lim ()1x f x →''=-,则下列叙述正确的是 A 。
A .(0)f 是()f x 的极大值
B .(0)f 是()f x 的极小值
C .(0)f 不是()f x 的极值
D .(0)f 是()f x 的最小值
5.曲线2x
y d t π-=⎰的全长为 D 。
A .1
B .2
C .3
D .4
6. 当,a b 为何值时,点( 1, 3 )为曲线3
2
y ax bx =+的拐点? A 。 A .32a =-
,92b = B. 32a =,9
2b =- C .32a =-
,92b =- D. 32a =,92
b = 7. 曲线2x
y x -=⋅的凸区间为 D 。
A.2(,)ln 2-∞-
B.2(,)ln 2-+∞
C.2(,)ln 2+∞
D.2(,)ln 2
-∞
三、计算题(共7小题,其中第1~5题每小题6分,
第6~7题每小题8分,共46分)
1. 2
1lim cos x x x →∞⎛⎫ ⎪⎝
⎭ 解:()2
1
cos lim ,
1
t t t x
t →==原式令
)0
0(
cos ln lim
2
0型t
t t e →= (3分)
t
t t t e cos 2sin lim
⋅-→=
12
e
-
= (6分)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. 222,arctan )1ln()(dx y
d t
t y t x x y y 求确定所由参数方程设函数⎩⎨
⎧-=+==。 解:
)]
1[ln()
arctan (2t d t t d dx dy +-=2
21211
1t t t ++-
=2t =, (3分) 22dx y d dx dx dy d ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dt
dx dt t d 1)2(⋅=212121t t +⋅=t
t 412+=. (6分)
3. 2
(1)
x
x xe dx e +⎰. 解:=原式1
(
)1x x d e -+⎰ (2分) =111x x x dx e e -+++⎰ =11()11x x x x x de e e e -+-++⎰ =ln 11
x
x x x e C e e -++++ (6分)
4.
求
40
⎰
(0)t t =≥,则2
2x t dx tdt ==, (2分)
24
2
220000
2
2
01
222(1)1112[ln 1]2ln3
2t t tdt dt t dt t t t t t t ===-++++=-++=⎰⎰⎰⎰ (6分)