2012年中考数学专题复习(二)圆

专题二：圆知识要点扫描归纳一 圆的基本概念（1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

定点叫做圆心，定长叫半径。

（2）确定圆的条件；①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； ③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；（3）点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d ＞r ； ②点在圆上⇔d=r ； ③点在圆内⇔ d ＜r ； （4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直线。

直径是圆中最大的弦。

圆心到弦的距离叫做弦心距。

（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。

（7） 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。

二 圆中的重要定理 1．垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．推论1：一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．推论2：圆的平行弦所夹的弧相等．2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论．在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距．其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：圆心角相等←−−→←−−→←−−→所对所对所对弧相等弦相等弦心距相等3．圆周角①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角．②定理及推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o 的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 推论4：圆内接四边形定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．三、直线和圆的位置关系：1．直线和圆的位置关系的定义及有关概念（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线． （2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2） 这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）2．直线和圆的位置关系性质和判定如果⊙O 的半径r ，圆心O 割直线l 的距离为d ，那么（1）直线l 和⊙O 相交d r ⇔<（图1）；（2）直线l 和⊙O 相切d r ⇔=（图2）；（3）直线l 和⊙O 相离d r ⇔>（图3）．四、切线的判定和性质： （一）切线的判定1．切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线．· lO图1 · lO图 2· lO图2· lO图1dr ·lO图2dr ·lO图3dr（二）切线的性质1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径； 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心． 五、三角形的内切圆 1．三角形的外接圆过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。

三角形的外心到各顶点的距离相等． 2．外心的位置锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径2CR =(C 为斜边长) 3．三角形的内切圆到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．若三角形的面积为ABC S ∆，周长为a+b+c,则内切圆半径为:cb a S r ABC++=∆2，当b a ,为直角三角形的直角边，c 为斜边时，内切圆半径c b a ab r ++=或2cb a r -+=.4．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形． 六、切线长定理： 1．切线长概念：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R ，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 3．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ． 4．两个结论：圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 七、弦切角定理： 1．弦切角概念：理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线． 2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 3．弦切角定理的推论：推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等． 八 与比例线段相关的定理（了解） 1．相交弦定理及其推论：（1）定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，AB ，CD 相交余E ，则A E ·EB=C E ·D E（2），推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成 的两条线段的比例中项．如上右图，有A E ·EB=C E 2成立 2，切割线定理及其推论（1） 定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项． 如上左图，PT 切⊙O,PAB 是⊙O 的一条 割线，则有PT 2=PA ·PB 成立．（2） 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点· AOCDB PPA BCDPABCD·OPABT· · OAB的两条线段长的积相等．如上右图，有P A ·PB=P C ·PD 成立． 九 圆中的相关计算1． 弧长公式：半径为R 的圆，其周长是R π2，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的3601，而为1803602R R ππ=，因此，o n 的弧的弧长就是180Rn π，于是得到公式：)(180代表弧长l Rn l π=。

2． （1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。

（2）扇形的周长： （3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB 的面积。

S 扇形=)(3602为扇形圆心角的度数为半径，n R R n π 由上面两公式可知S 扇形=213602n R lR π=．可据已知条件灵活选用公式。

3． 弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S 弓形=S 扇形-S △OAB 。

（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S 弓形=S 扇形+S △OAB 。

十．两圆的位置关系： 1 圆与圆的位置关系外 离外 切相 交 内 切内 含图形公共点 0个 1个 2个 1个 0个 d 、r 、R 的关系 d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r 外公切线 2条 2条 2条 1条 0条 内公切线2条1条0条0条0条ABAB l R l OB OA +=++2·O AB·ABOm·ABOm·O 2· O 1· ·O 1O 2Rr d· O 1·O 2RrRrO 2 O 1· · Rr · O 2·O 1 R rOCBA2．两圆连心线的性质（1）如果两圆相切,那么切点位于这两个圆的连心线上． （2）相交两圆的连心线垂直平分这两个圆的公共弦． 3．两圆的公切线（1）与两圆都相切的直线,叫做这两个圆的公切线,两个圆在公切线的同旁时,这条公切线叫做这两个圆的外公切线;两个圆在公切线的两旁时,这条公切线叫做这两个圆的内公切线;公切线上两个切点间的距离,叫做这条公切线(段)的长; （2）两圆的两条外公切线长相等;（3）两圆的两条内公切线长相等，且交点位于这两个圆的连心线上； （4）两圆相切可以运用于弧与弧的平浓连接．考点扫描归纳1 角度的计算1．（2010年山东省青岛市）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °． 2、(2010年安徽省B 卷)13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧AB )，点O 是这段弧的圆心，C 是弧AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ， AB =300m ，CD =50m ，则这段弯路的半径是 m ．3、（2010福建德化）如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60︒ B ．50︒ C ．40︒ D ．30︒第2题图 第3题图4．(2010年北京崇文) AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，DAB ∠=48︒,则ACD ∠= ︒．5．（2010年门头沟区）如图，CD AB ⊥于E ，若60B ∠=，则A ∠=度．OABC第1题图· 第5题ABCOCBAO第4题图6.（2010年重庆潼南县）如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C =15°,则∠BOC 的度数为（ ）A ．15°B . 30°C . 45°D ．60°7. (2010年兰州市) 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个8. （2010年安徽中考） 如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝500，点D 是BAC 上一点，则∠D ＝_______________第8题 第9题 第10题 9．(2010重庆市)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC ＝70°，则∠AOC 的度数等于（ ）A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°10.（2010年四川省眉山市）如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A =40°，则∠OBC 的度数为_______． 11.（2010年福建省晋江市）如图， A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且A 是优弧BAC 上与点B 、点C 不同的一点，若BOC ∆是直角三角形，则BAC ∆必是( ) .A.等腰三角形B.锐角三角形C.有一个角是︒30的三角形D.有一个角是︒45的三角形12.(2010年浙江省绍兴市)如图,⊙O 是正三角形ABC 的外接圆,点P 在劣弧AB 上,ABP ∠=22°,则BCP ∠的度数为_____________. 13.（2010年宁德市）如图，在⊙O 中，∠ACB ＝34°，则∠AOB 的度数是（ ）． A.17° B.34° C.56° D.68°14．（2010年山东省青岛市）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．A OBC 第11题 第13题图AOC B第12题图 OA BC 第14题图 ·（第17题）15．（2010江苏泰州，18，3分）如图⊙O 的半径为1cm ，弦AB 、CD 的长度分别为2,1cm cm ，则弦AC 、BD 所夹的锐角α＝ ．第15题图 第16题图16．(2010年安徽芜湖市)如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A＝∠B ＝60°，则BC 的长为（）A ．19B ．16C ．18D ．2017．（2010浙江省喜嘉兴市）如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，已知∠O ＝60º，则∠C ＝（ ）A ．20ºB ．25ºC ．30ºD ．45º18.(2010年浙江省金华). 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A =40°，则∠BOC 的度数为（ ）A . 20°B . 40°C . 60°D . 80°19. (2010年兰州市) 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在 半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为 A ．15︒ B ．28︒ C ．29︒ D ．34︒20. (2010年兰州市)（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地， 空地上有三棵树A 、B 、C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛 的边上．（1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）（本小题满分2分））若△ABC 中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90，试求小明家圆形花坛的面积．（第18题）ABOCD21（2010江苏宿迁）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，每个小方格的边长为1个单位长度．在第一象限内有横、纵坐标均为整数的A 、B 两点，且OA =OB =10．（1）写出A 、B 两点的坐标；（2）画出线段AB 绕点O 旋转一周所形成的图形，并求其面积（结果保留π）．22．（2010江西）如图，以点P 为圆心的圆弧与X 轴交于A ，B ；两点，点P 的坐标为（4，2）点A 的坐标为（2，0）则点B 的坐标为 ．第21题图CyxOBA2 垂径定理的相关计算与证明1.（2010年台湾省）如图(1)，AB 为圆O 的直径，C 、D 两点均在圆上，其中OD与AC 交于E 点，且OD AC 。