07 相量法基本概念
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正弦量与相量法的基本概念
正弦量与相量法的基本概念
目
CONTENCT
录
• 正弦量定义与性质 • 相量法基础 • 正弦量与相量法的转换 • 交流电路中的相量法应用 • 相量法在电机控制中的应用 • 正弦量与相量法的实验验证
01
正弦量定义与性质
定义
总结词
正弦量是随时间按正弦规律变化的量 ，通常用复数表示。
详细描述
正弦量是随时间变化的物理量，如交 流电电压、电流等。在数学上，正弦 量通常用复数表示，其实部表示幅值 大小，虚部表示相位。
THANK YOU
感谢聆听
相量法在电机控制中的应用
利用相量法可以简化电机控制中的数学模型，方便分析和 设计控制策略。通过将交流电机等效为直流电机，可以使 用成熟的直流电机控制方法进行控制。
控制算法
利用相量法，可以设计出各种控制算法，如PI控制器、模 糊控制器等，实现对电机的精确控制。
案例分析：无刷直流电机控制
无刷直流电机
无刷直流电机是一种采用电子换向器的直流电机，具有高效、调速范围宽、维护方便等优 点。
乘法运算
两个正弦量的乘法运算可以通 过复数乘法实现，即对应相量 直接相乘。
除法运算
两个正弦量的除法运算可以通 过复数除法实现，即对应相量 直接相除。
运算规则
在进行相量运算时，应遵循复 数的运算法则和运算顺序。
03
正弦量与相量法的转换
转换公式
正弦量与相量法转换公式
$I = I_m angle theta$，其中 $I$ 是 正弦量，$I_m$ 是相量，$theta$ 是 初相角。
信号处理
在信号处理领域，相量法可用 于分析信号的频谱和滤波器的 设计。
04
交流电路中的相量法应用
目
CONTENCT
录
• 正弦量定义与性质 • 相量法基础 • 正弦量与相量法的转换 • 交流电路中的相量法应用 • 相量法在电机控制中的应用 • 正弦量与相量法的实验验证
01
正弦量定义与性质
定义
总结词
正弦量是随时间按正弦规律变化的量 ，通常用复数表示。
详细描述
正弦量是随时间变化的物理量，如交 流电电压、电流等。在数学上，正弦 量通常用复数表示，其实部表示幅值 大小，虚部表示相位。
THANK YOU
感谢聆听
相量法在电机控制中的应用
利用相量法可以简化电机控制中的数学模型，方便分析和 设计控制策略。通过将交流电机等效为直流电机，可以使 用成熟的直流电机控制方法进行控制。
控制算法
利用相量法，可以设计出各种控制算法，如PI控制器、模 糊控制器等，实现对电机的精确控制。
案例分析：无刷直流电机控制
无刷直流电机
无刷直流电机是一种采用电子换向器的直流电机，具有高效、调速范围宽、维护方便等优 点。
乘法运算
两个正弦量的乘法运算可以通 过复数乘法实现，即对应相量 直接相乘。
除法运算
两个正弦量的除法运算可以通 过复数除法实现，即对应相量 直接相除。
运算规则
在进行相量运算时，应遵循复 数的运算法则和运算顺序。
03
正弦量与相量法的转换
转换公式
正弦量与相量法转换公式
$I = I_m angle theta$，其中 $I$ 是 正弦量，$I_m$ 是相量，$theta$ 是 初相角。
信号处理
在信号处理领域，相量法可用 于分析信号的频谱和滤波器的 设计。
04
交流电路中的相量法应用
正弦量与相量法的基本概念
L
di dt
+
Ri
=
us
当激励uS为正弦量时,方程的特解是与uS同频率的正弦量。
设 i(t) = Im cos(t + i ) = Re( Ime jt ) uS (t) = U Sm cost = Re(U Sme jt )
代入微分方程得：
L
d
•
[Re(I m
e jt )]+
•
R Re(I m
e jt )
N
线性
1
2
N
线性
非
线性
不适用 ③ 相量法可以用来求强迫响应是正弦量的任意常系数线
性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。
18
例 1 如有两个同频率的正弦电压分别为
u1(t) = 2220cos t (V) u2(t) = 2220cos(t 120 ) (V)
求 u1+u2 和 u1u2。
•
T=2π
=2π／T
频率：f
f =1／T
=2πf
频率的单位：HZ，赫兹
其它常用单位：
1KHZ=103HZ
1MHZ=106HZ
1GHZ=109HZ
我国工业用电的频率为50HZ。在工程实际中，常以频率的大小 作为区分电路的标志，如高频电路，低频电路等。
2
正弦电压与电流
3
初相角的单位为弧度(rad)或度(°)。通常在-π≤ φu或φi)≤π的 主值范围内取值。
F1·F2=Fej ej
F逆时针旋转一个角度 ，模不变
ej 称为旋转因子。
j
e2
= cos
+
j sin
=+j
8.《相量法》
电压、电流关系 瞬时值 有效值
相量图
I
功率 相量式 有功功率 无功功率
u
2U sin t
U
R
u
i 2I sin t u、 i 同相 通常把XL=ωL定义为电感元件的感抗
i 设
u iR
R
U IR
I R U
UI
则
0
L
u
di jX L uL 则 dt jL u
I I I L C R
1 I U jLI L C S jC 1 RI R IC jC
Page 27
8.4 电路定律的相量形式 电感元件VCR的相量形式
i(t) + uL (t) I
i(t )
L
u L(t ) L
di(t ) dt
2I cos(t i )
π ) 2
2 L I cos( t i
+
UL
jL
I I i
UL LI (i 2)
L uS + iL iC C
iR R
U S
j L +
I L
I C
I R
1/j C
R
时域电路
相量模型
Page 34
8.4 电路定律的相量形式
i L iC i R
di 1 L L iC dt uS dt C 1 R i R iC dt C
时域列写微分方程
UI
I jX U C
C sin(t 9 0)
C
U
0
I 2 XC
u落后i 90°
Page 30
02-知识点视频
cosx + jsinx = cot + “：
ej伽+")= cos(ot + ") + j sin(ot + 勿
m cos(ot+勿=Re[0伽+刃]sin(ot+“)= Im[8伽+刃 则：
f (t) = Fm Re [ e脸+刃卜 Re ["5 ]
厂
n「 - -1
=Re[Fmej^ejot] = Re FmeJ称为相量。
电路
相量法的基本概念
&已=F^ew =FmZV/ —最大值相量
& F = FZi// 一有效值相量
. =V2 F
m
电路
相量法的基本概念
&可以通过数学的方法，把一个实数域的正弦时间函数与一个 I复数域的复指数函数—对应起来，而复指数函数的复常数 部 分是用正弦量的有效值（最大值）和初相结合成一个复数 表示 出来的。
相量法的基本概念
A - a1 + ja2 一 代数表示 j = 4-1
+j
.."A —向重表不
： A 一几何表示丨A \=401+
a2
0
+1
tan 9 =
亠
a
电路
相量法的基本概念
饥 A =| A | (cos0 + jsin
一三角表示
a1 =| A | cos (p, a2 =| A | sin
甲
A B
电路
相量法的基本概念
■代数式与极坐标的互换
提示 计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如:
3 + j4 = 5Z53.10
ej伽+")= cos(ot + ") + j sin(ot + 勿
m cos(ot+勿=Re[0伽+刃]sin(ot+“)= Im[8伽+刃 则：
f (t) = Fm Re [ e脸+刃卜 Re ["5 ]
厂
n「 - -1
=Re[Fmej^ejot] = Re FmeJ称为相量。
电路
相量法的基本概念
&已=F^ew =FmZV/ —最大值相量
& F = FZi// 一有效值相量
. =V2 F
m
电路
相量法的基本概念
&可以通过数学的方法，把一个实数域的正弦时间函数与一个 I复数域的复指数函数—对应起来，而复指数函数的复常数 部 分是用正弦量的有效值（最大值）和初相结合成一个复数 表示 出来的。
相量法的基本概念
A - a1 + ja2 一 代数表示 j = 4-1
+j
.."A —向重表不
： A 一几何表示丨A \=401+
a2
0
+1
tan 9 =
亠
a
电路
相量法的基本概念
饥 A =| A | (cos0 + jsin
一三角表示
a1 =| A | cos (p, a2 =| A | sin
甲
A B
电路
相量法的基本概念
■代数式与极坐标的互换
提示 计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如:
3 + j4 = 5Z53.10
第八章 相量法(Phasor method
k =1
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20
电路原理6用相量法分析电路的正弦稳态响应
相量图绘制
通过将相量按照比例放置在复平面内，可以直观地表 示出各相量之间的关系。
相量图分析
通过观察相量图，可以分析出电路的阻抗、功率和相 位差等参数。
相量法的应用场景
01
正弦稳态电路分析
相量法主要用于分析正弦稳态电 路，包括交流电路和含有正弦激 励的动态电路。
02
交流电路参数计算
03
控制系统分析
利用相量法可以方便地计算交流 电路的阻抗、功率和相位差等参 数。
03
对于多输入多输出系统，相量法可能无法 给出完整的描述。
04
相量法不能处理瞬态响应或非正弦激励的 问题。
未来研究方向与展望
01
研究方向
02
深入研究相量法的数学基础和物理意义，提高其理论水平。
探索相量法与其他电路分析方法的结合，如频域分析、时域分
03
析等。
未来研究方向与展望
• 研究如何将相量法应用于非线性系统和时变系统。
实例三：RLC电路的正弦稳态响应分析
总结词
RLC电路的正弦稳态响应具有谐振特性，其频率由L、C和R的比值决定。
详细描述
RLC电路的正弦稳态响应表现为一个具有谐振峰的波形，其频率由电感L、电容C和电阻R的比值决定，即谐振频 率f=1/2π√(LC/R^2)。在RLC电路中，当频率f等于谐振频率时，电路的阻抗最小，电流最大；当频率f远离谐振 频率时，电路的阻抗增大，电流减小。
相量法简介
定义
01
相量法是一种将正弦稳态的时域问题转化为复数02
通过相量法，可以更方便地分析交流电路的响应，包括电压、
电流和阻抗等。
优势
03
相量法简化了计算过程，使得复杂问题变得简单直观。
通过将相量按照比例放置在复平面内，可以直观地表 示出各相量之间的关系。
相量图分析
通过观察相量图，可以分析出电路的阻抗、功率和相 位差等参数。
相量法的应用场景
01
正弦稳态电路分析
相量法主要用于分析正弦稳态电 路，包括交流电路和含有正弦激 励的动态电路。
02
交流电路参数计算
03
控制系统分析
利用相量法可以方便地计算交流 电路的阻抗、功率和相位差等参 数。
03
对于多输入多输出系统，相量法可能无法 给出完整的描述。
04
相量法不能处理瞬态响应或非正弦激励的 问题。
未来研究方向与展望
01
研究方向
02
深入研究相量法的数学基础和物理意义，提高其理论水平。
探索相量法与其他电路分析方法的结合，如频域分析、时域分
03
析等。
未来研究方向与展望
• 研究如何将相量法应用于非线性系统和时变系统。
实例三：RLC电路的正弦稳态响应分析
总结词
RLC电路的正弦稳态响应具有谐振特性，其频率由L、C和R的比值决定。
详细描述
RLC电路的正弦稳态响应表现为一个具有谐振峰的波形，其频率由电感L、电容C和电阻R的比值决定，即谐振频 率f=1/2π√(LC/R^2)。在RLC电路中，当频率f等于谐振频率时，电路的阻抗最小，电流最大；当频率f远离谐振 频率时，电路的阻抗增大，电流减小。
相量法简介
定义
01
相量法是一种将正弦稳态的时域问题转化为复数02
通过相量法，可以更方便地分析交流电路的响应，包括电压、
电流和阻抗等。
优势
03
相量法简化了计算过程，使得复杂问题变得简单直观。
相量法
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
主值12 〔 ，〕， 若12 〔 ，〕，则用 12 2 来规范它。
jt〕
C
d（Re〔U dt
C
e
jt〕）
Re〔jCU C e
jt〕
②相量形式：IC jCU C
U C
IC
jC
j 1
C
IC
IC LUC ，UC IC / C
u
i
2
iC(t)
O 90o
I C
t(rad)
U C
uC(t)
电容元件 VCR 的波形示意及相量图
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
（（aa21
jb1）（a2 jb2）（a2
jb2） jb2）
（aa12）a22ຫໍສະໝຸດ b1b2 （b2）2
j（aa22）b21
a1b2 （b2）2
②指数形式：
④图解法：
F1 F2
5．极坐标形式： F F
负数几种形式的转换
例1：将 F1 9.573 化为直角坐标形式。
解： F1 9.5cos73 j9.5sin73 2.78 j9.08
07 相量法基本概念
j30
A
求： 1 i2 i、
rad 解： 2π f 2π 1000 6280
i1 100 2 sin(6280t 60 ) A i2 10 2 sin(6280t 30 ) A
电路
s
南京理工大学电光学院
正误判断
u 100sin t U
瞬时值
？
3.6 基尔霍夫定律的相量形式
3.7 阻抗和导纳
3.8 复杂正弦交流电路的分析与计算
3.9 正弦交流电路的功率及功率因数的提高
电路 南京理工大学电光学院
3.2 正弦量的相量表示法
正弦波的表示方法：
i
波形图
0
t
函数表达式 相量
i sin 1000t 30
重点
必须 小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
j jt
Fm Fme j Fm — 最大值相量
可以表征一个正弦量的复值常数称为相量
F F — 有效值相量
Fm 2 F
电路 南京理工大学电光学院
3.2 正弦量的相量表示法
相量
Fm Fme j Fm — 最大值相量
F F — 有效值相量
Fm 2 F
A B | A | B e j(a b ) | A || B | (a b )
A | A | j (a b ) | A | e (a b ) B |B| |B|
电路 南京理工大学电光学院
3.2 正弦量的相量表示法
复数的基本运算法则
j2 1 (a jb)(a jb) a b
Ψ ( )：初相位.（单位：弧度或度）
A
求： 1 i2 i、
rad 解： 2π f 2π 1000 6280
i1 100 2 sin(6280t 60 ) A i2 10 2 sin(6280t 30 ) A
电路
s
南京理工大学电光学院
正误判断
u 100sin t U
瞬时值
？
3.6 基尔霍夫定律的相量形式
3.7 阻抗和导纳
3.8 复杂正弦交流电路的分析与计算
3.9 正弦交流电路的功率及功率因数的提高
电路 南京理工大学电光学院
3.2 正弦量的相量表示法
正弦波的表示方法：
i
波形图
0
t
函数表达式 相量
i sin 1000t 30
重点
必须 小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
j jt
Fm Fme j Fm — 最大值相量
可以表征一个正弦量的复值常数称为相量
F F — 有效值相量
Fm 2 F
电路 南京理工大学电光学院
3.2 正弦量的相量表示法
相量
Fm Fme j Fm — 最大值相量
F F — 有效值相量
Fm 2 F
A B | A | B e j(a b ) | A || B | (a b )
A | A | j (a b ) | A | e (a b ) B |B| |B|
电路 南京理工大学电光学院
3.2 正弦量的相量表示法
复数的基本运算法则
j2 1 (a jb)(a jb) a b
Ψ ( )：初相位.（单位：弧度或度）
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2
( a jb )( a jb ) a b
2
2
电路
南京理工大学电光学院
3.2 正弦量的相量表示法
代数式与极坐标的互换
提示
计算相量的相位角时，要注意所在 象限。如：
3 j4 5 5 3 .1
3 j4 5 5 3 .1
o
3 j4 5 1 2 6 .9
旋 转 因 子e
j t
复指数函数的另一部分ejωt，是一个随时间变化的旋转因子， 它在复平面上是一个以原点为中心、以角速度ω等速旋转、 模为l的复数.
j
e
j t
ψ
0
1
e
电路
j t
1 ( t ) c o s t j s in t
南京理工大学电光学院
3.2 正弦量的相量表示法
j ( t ) j
]
f ( t ) Im F m e
Im F m e
e
j t
j t Im F m e
Fm Fm e
j
Fm
— 最大值相量
可以表征一个正弦量的复值常数称为相量
F F
— 有效值相量
ωt
u(t), u2(t)
正交
0
电路
2
3
ωt
2
南京理工大学电光学院
3.1 正弦交流电的基本概念
F
1 2
Fm , Fm
2F
— 只适用于正弦量
f 则正弦量的数学表达式也可写为： ( t )
2 F s in ( t )
电路
南京理工大学电光学院
Fe
j )乘以旋转因子ejωt再乘以
2，即 2 F e
j t
，
所以将它称为旋转相量
f ( t ) Im F
m
e
j t
+j
f
m
f F m sin t
Fm
ω
F
0
+1
0
t
电路
南京理工大学电光学院
3.2 正弦量的相量表示法
同频率正弦量的加减法
a +1
A | A | e
j
— 指数表示
A | A | — 极坐标表示
电路 南京理工大学电光学院
3.2 正弦量的相量表示法
复数的加减法
复数的加减法以代数式的形式运算较方便：
A a 1 j a 2 , B b1 j b 2
j
C A B ( a 1 b1 ) j( a 2 b 2 ) C e
Fm
电路
2 F
南京理工大学电光学院
3.2 正弦量的相量表示法
相量
பைடு நூலகம்
Fm Fm e
j
Fm
— 最大值相量
F F
— 有效值相量
Fm
2 F
注意：
是一一对应关系，而不是等于
j
I m I m e
电路
i I m s in ( t )
南京理工大学电光学院
第3章 正弦交流电路
目 录
3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 正弦交流电路中的电阻元件 3.4 正弦交流电路中的电感元件 3.5 正弦交流电路中的电容元件
3.6 基尔霍夫定律的相量形式
3.7 阻抗和导纳
3.8 复杂正弦交流电路的分析与计算
3.9 正弦交流电路的功率及功率因数的提高
如：
u1 u2 2 U 1 s in t 2 U 2 s in t
1
2
u u1 u 2 2 U 1 s in t 1 2 U s in t 2 U 2 s in t
幅度、相位变化 频率不变
1m
e
j t
] Im [U
j t
2m
e
j t
]
Im [(U
m
U
2m ) e
j t
] Im [U
m
e
]
U
U
1m
U
2m
u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
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电路
3.2 正弦量的相量表示法
例： 1 ( t ) u
2 0 0 s in ( t 4 5 ) , u 2 ( t ) 2 0 0 s in ( t 1 3 5 ) ,
求：
i、u的有效值
相量
141 . 4 30 I 2
100 30
86 . 6 j50
A
311 . 1 60 220 60 U 2
电路
110 j 190 . 5 V
南京理工大学电光学院
141 . 4 30 I 2
100 30
取 t
2
j
2
, e
j
, 取 t
2
j(
2
)
, e
j , 取 t , e
j( )
1
j,
-1为旋转因子
j I
+j
I
0
I
90
+1
-j I
南京理工大学电光学院
电路
3.2 正弦量的相量表示法
正弦量为旋转相量在虚轴上的投影
相量( F
作业
3-4 3-6 3-9
电路
南京理工大学电光学院
2.17：
+
U
_
0.04A
Im1
100Ω 100Ω
200Ω
+ 14V _
Im2
_
2V
Im3
300Ω
+
I m 2 0 .0 6 A , I 0 .0 2 A , U 2 V
发出-0.08W
电路 南京理工大学电光学院
2-35:
12Ω
.
+ 4V _
86 . 6 j50
A
311 . 1 60 220 60 U 2
110 j 190 . 5
V
+j
100
π 3
π
I
6
+1
220
电路
U
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符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写 振幅 --- 大写+下标
u、i
U、I
求 u1 (t ) u 2 (t )
解：
u1 (t ) U
1m
200 45 100
2 j1 0 0
2
u 2 (t ) U
2m
200 135 100
2 j1 0 0
2
1m
U
电路
U
2m
0 u1 (t ) u 2 (t ) 0
相量图
最大值
有效值
Im
I
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号： U 、 I m m
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
U 、 I
3. 相量符号 U 、 I 包含幅度与相位信息。
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3.2 正弦量的相量表示法
例： 1 ( t ) u
2 0 0 s in ( t 4 5 ) , u 2 ( t ) 2 0 0 s in ( t 1 3 5 ) ,
求 u1 (t ) u 2 (t )
分析：u ( t )
u 1 ( t ) u 2 ( t ) Im [U
1m
o
3 j4 5 1 2 6 .9
电路
o
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3.2 正弦量的相量表示法
相量
Fm e
j ( t )
F m c o s ( t ) j F m s in ( t )
j ( t )
f ( t ) F m s in ( t ) Im [ F m e
旋 转 因 子e
任意复数 F
| F |
j t
乘以 e j t 等于将复数F逆时针旋转一个
角度 t ，而F的模值不变，故称 e j t 为旋转因子
电路
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3.2 正弦量的相量表示法
e
j t
1 ( t ) c o s t j s in t
U
m
复数、相量 --- 大写 + “.” U
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例：已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相
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3.2 正弦量的相量表示法
正弦波的表示方法：
i
波形图
0
t
函数表达式 i s in 1 0 0 0 t 3 0 相量
重点
必须 小写
( a jb )( a jb ) a b
2
2
电路
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3.2 正弦量的相量表示法
代数式与极坐标的互换
提示
计算相量的相位角时，要注意所在 象限。如：
3 j4 5 5 3 .1
3 j4 5 5 3 .1
o
3 j4 5 1 2 6 .9
旋 转 因 子e
j t
复指数函数的另一部分ejωt，是一个随时间变化的旋转因子， 它在复平面上是一个以原点为中心、以角速度ω等速旋转、 模为l的复数.
j
e
j t
ψ
0
1
e
电路
j t
1 ( t ) c o s t j s in t
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3.2 正弦量的相量表示法
j ( t ) j
]
f ( t ) Im F m e
Im F m e
e
j t
j t Im F m e
Fm Fm e
j
Fm
— 最大值相量
可以表征一个正弦量的复值常数称为相量
F F
— 有效值相量
ωt
u(t), u2(t)
正交
0
电路
2
3
ωt
2
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3.1 正弦交流电的基本概念
F
1 2
Fm , Fm
2F
— 只适用于正弦量
f 则正弦量的数学表达式也可写为： ( t )
2 F s in ( t )
电路
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Fe
j )乘以旋转因子ejωt再乘以
2，即 2 F e
j t
，
所以将它称为旋转相量
f ( t ) Im F
m
e
j t
+j
f
m
f F m sin t
Fm
ω
F
0
+1
0
t
电路
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3.2 正弦量的相量表示法
同频率正弦量的加减法
a +1
A | A | e
j
— 指数表示
A | A | — 极坐标表示
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3.2 正弦量的相量表示法
复数的加减法
复数的加减法以代数式的形式运算较方便：
A a 1 j a 2 , B b1 j b 2
j
C A B ( a 1 b1 ) j( a 2 b 2 ) C e
Fm
电路
2 F
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3.2 正弦量的相量表示法
相量
பைடு நூலகம்
Fm Fm e
j
Fm
— 最大值相量
F F
— 有效值相量
Fm
2 F
注意：
是一一对应关系，而不是等于
j
I m I m e
电路
i I m s in ( t )
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第3章 正弦交流电路
目 录
3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 正弦交流电路中的电阻元件 3.4 正弦交流电路中的电感元件 3.5 正弦交流电路中的电容元件
3.6 基尔霍夫定律的相量形式
3.7 阻抗和导纳
3.8 复杂正弦交流电路的分析与计算
3.9 正弦交流电路的功率及功率因数的提高
如：
u1 u2 2 U 1 s in t 2 U 2 s in t
1
2
u u1 u 2 2 U 1 s in t 1 2 U s in t 2 U 2 s in t
幅度、相位变化 频率不变
1m
e
j t
] Im [U
j t
2m
e
j t
]
Im [(U
m
U
2m ) e
j t
] Im [U
m
e
]
U
U
1m
U
2m
u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
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电路
3.2 正弦量的相量表示法
例： 1 ( t ) u
2 0 0 s in ( t 4 5 ) , u 2 ( t ) 2 0 0 s in ( t 1 3 5 ) ,
求：
i、u的有效值
相量
141 . 4 30 I 2
100 30
86 . 6 j50
A
311 . 1 60 220 60 U 2
电路
110 j 190 . 5 V
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141 . 4 30 I 2
100 30
取 t
2
j
2
, e
j
, 取 t
2
j(
2
)
, e
j , 取 t , e
j( )
1
j,
-1为旋转因子
j I
+j
I
0
I
90
+1
-j I
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正弦量为旋转相量在虚轴上的投影
相量( F
作业
3-4 3-6 3-9
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2.17：
+
U
_
0.04A
Im1
100Ω 100Ω
200Ω
+ 14V _
Im2
_
2V
Im3
300Ω
+
I m 2 0 .0 6 A , I 0 .0 2 A , U 2 V
发出-0.08W
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2-35:
12Ω
.
+ 4V _
86 . 6 j50
A
311 . 1 60 220 60 U 2
110 j 190 . 5
V
+j
100
π 3
π
I
6
+1
220
电路
U
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符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写 振幅 --- 大写+下标
u、i
U、I
求 u1 (t ) u 2 (t )
解：
u1 (t ) U
1m
200 45 100
2 j1 0 0
2
u 2 (t ) U
2m
200 135 100
2 j1 0 0
2
1m
U
电路
U
2m
0 u1 (t ) u 2 (t ) 0
相量图
最大值
有效值
Im
I
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号： U 、 I m m
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
U 、 I
3. 相量符号 U 、 I 包含幅度与相位信息。
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3.2 正弦量的相量表示法
例： 1 ( t ) u
2 0 0 s in ( t 4 5 ) , u 2 ( t ) 2 0 0 s in ( t 1 3 5 ) ,
求 u1 (t ) u 2 (t )
分析：u ( t )
u 1 ( t ) u 2 ( t ) Im [U
1m
o
3 j4 5 1 2 6 .9
电路
o
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3.2 正弦量的相量表示法
相量
Fm e
j ( t )
F m c o s ( t ) j F m s in ( t )
j ( t )
f ( t ) F m s in ( t ) Im [ F m e
旋 转 因 子e
任意复数 F
| F |
j t
乘以 e j t 等于将复数F逆时针旋转一个
角度 t ，而F的模值不变，故称 e j t 为旋转因子
电路
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3.2 正弦量的相量表示法
e
j t
1 ( t ) c o s t j s in t
U
m
复数、相量 --- 大写 + “.” U
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例：已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相
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3.2 正弦量的相量表示法
正弦波的表示方法：
i
波形图
0
t
函数表达式 i s in 1 0 0 0 t 3 0 相量
重点
必须 小写