高考数学大一轮复习 第七章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质 理 新人教A版

(1)证明：依题意，有平面ABC∥平面A1B1C1， 又 平 面 ABC∩ 平 面 ABD ＝ AB ， 平 面 A1B1C1∩ 平 面 ABD ＝ EF，∴EF∥AB.
文字语言
如果一条直线与 判 平面内的 定 _两__条__相__交__直__线_都 定 垂直，那么这条 理 直线与这个平面
垂直.
性 如果两条直线垂 质 直于同一个平 定 面，那么这两条 理 直线平行.
图形语言
符号语言
a_⊂__α__
_b_⊂_α__
_a_∩_b_＝__O__⇒l⊥α
_l_⊥__a_ _l_⊥__b_
B 中 ， 因 为 ABCDEF 为 正 六 边 形 ， 所 以 DF⊥AF. 又 因 为 PA⊥ 平 面 ABCDEF ， 所 以 PA⊥DF ， 又 因 为 PA∩AF ＝ A ， 所 以 DF⊥平面PAF成立；C中，因为CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄ 平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.
图1 A．相交且垂直 C．异面且垂直
图2 B．相交但不垂直 D．异面但不垂直
解析：在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线 AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如图2，AD与BC变成 异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与 AD 垂 直 ， 即 AD⊥BD ， AD⊥CD ， 故 AD⊥ 平 面 BCD ， 所 以 AD⊥BC.
(1)求证：EF⊥A1C； (2)当直线 BD 与平面 ABC 所成角的正弦值为31414时，求三 棱锥 D-EFC1 的体积． [思路索引]①要证 EF⊥A1C，可证 AB⊥A1C，利用 AB⊥面 ACC1A1. ②由 sin∠ABC＝31414，得 BC 及 CD，从而得 C1D 及 S△ EFC1.
ab⊥⊥αα⇒a∥b
2.直线与平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的 Байду номын сангаас射__影__所成的_锐__角__，叫做这条直线和这 个平面所成的角． 如图， __∠__PA__O_就是斜线AP与平面 α所成(2的)线角面．角θ的范围：__0_，__π2__.
3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角的定义．从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做 二面角的面．
解析：如图，取 AC 的中点 O，连接 DO， BO，BD，则 DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB 为 二面角的平面角，从而∠DOB＝90°.设正方形边
长为 1，则 DO＝BO＝ 22，所以 DB＝1，故△ ADB 为等边三角形，所以∠DAB＝60°.
答案：60°
聚集·热点题型
直线与平面垂直的判定与性质
答案：D
4．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条 不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作 为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命 题________．
答案：可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个
5 ． 将 正 方 形 ABCD 沿 AC 折 成 直 二 面 角 后 ， ∠ DAB ＝ ________.
B．α⊥β，a⊂α，b⊂β
C．a⊥α，b∥α
D．a⊥α，b⊥α
解析：对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以
a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也
可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.
答案：C
2．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得 到空间四边形ABCD(如图2)，则在空间四边形ABCD中，AD与 BC的位置关系是( )
[典例赏析1] (2014·成都市质检)如图，在直三棱 柱 ( 侧 棱 与 底 面 垂 直 的 三 棱 柱 )ABCA1B1C1中，AC＝AA1＝2AB＝2，∠BAC ＝ 90° ， 点 D 是 侧 棱 CC1 延 长 线 上 一 点 ， EF 是 平 面 ABD 与 平 面 A1B1C1 的 交 线．
答案：C
3．(2015·通化模拟)已知如图，六 棱 锥 PABCDEF 的 底 面 是 正 六 边 形 ， PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是 ()
A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAF C．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD
解 析 ： A 中 ， 因 为 CD∥AF ， AF⊂ 平 面 PAF ， CD⊄ 平 面 PAF，所以CD∥平面PAF成立；
文字语言
判 如果一个平面过 定 另一个平面的一 定 条_垂__线__，则这两 理 个平面互相垂直.
如果两个平面互 性 相垂直，那么在 质 一个平面内垂直 定 于它们_交__线__的直 理 线垂直于另一个
平面.
图形语言
符号语言
ll⊂⊥βα⇒α⊥β
_α_⊥__β__
_l⊂__β__ α∩_β_＝__a__
如图，记作：二面角αlβ或二面角 αABβ或二面角PABQ.
②二面角的平面角．在二面角αlβ的棱l上任取一点O，以 点 O 为 垂 足 ， 在 半 平 面 α 和 β 内 分 别 作 垂 直 于 棱 l 的 射 线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
③二面角的范围是_[_0_，__π_]____． (2)平面与平面的垂直 定义．一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 _直__二__面__角__，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
第5节 直线、平面垂直的判定与性质
Ⅰ.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解 空间中线、面垂直的有关性质与判定定理． Ⅱ.能运用公理、 定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题．
整合·主干知识
1．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 直线l与平面α内的_任__意__一条直线都垂直，就说直线l与平 面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理
⇒l⊥α
_l⊥___a_
质疑探究：若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条 直线，则α⊥β吗？
提示：不一定，若这无数条直线都平行，则得不到α内的 这条直线垂直于β，从而得不到α⊥β.
1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平
面，则a⊥b的一个充分条件是( )
A．a⊥c，b⊥c