§6.2 信号矢量空间的基本概念
《大学物理矢量》课件
《大学物理矢量》课件1. 引言矢量是描述物体运动状态和相互作用的重要物理量。
在大学物理课程中，矢量理论是基础且核心的内容，对于深入理解物理现象和解决实际问题具有重要意义。
本课件旨在介绍矢量的基本概念、性质和运算规则，并通过实例分析，帮助学生掌握矢量在物理学中的应用。
2. 矢量的基本概念2.1 矢量的定义矢量是具有大小和方向的物理量。
在物理学中，矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
例如，位移、速度、加速度、力等都是矢量。
2.2 矢量的表示矢量的表示方法有多种，如符号表示、坐标表示和分量表示等。
符号表示是用箭头和字母表示矢量的方法，如箭头表示速度v。
坐标表示是用坐标系表示矢量的方法，如直角坐标系中的矢量可以表示为(r, θ)。
分量表示是将矢量分解为各个坐标轴方向上的分量，如直角坐标系中的矢量可以表示为(vx, vy, vz)。
2.3 矢量的性质（1）可加性：两个矢量相加，遵循平行四边形法则或三角形法则。
（2）标量乘法：矢量与标量相乘，结果仍为矢量。
（3）数乘：数乘矢量，结果仍为矢量。
（4）方向：矢量的方向由其分量决定。
（5）单位矢量：单位矢量是大小为1的矢量，方向与所表示的矢量相同。
3. 矢量的运算规则3.1 矢量加法矢量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。
平行四边形法则指的是，两个矢量的和等于以这两个矢量为邻边的平行四边形的对角线。
三角形法则指的是，两个矢量的和等于以这两个矢量为邻边的三角形的第三边。
3.2 矢量减法矢量减法可以看作是矢量加法的逆运算。
即a b = a + (-b)，其中(-b)表示与b大小相等、方向相反的矢量。
3.3 矢量数乘矢量数乘是指将矢量与标量相乘。
数乘矢量的结果仍为矢量，其大小为原矢量的大小与标量的乘积，方向与原矢量相同。
3.4 矢量的点积和叉积矢量的点积（又称内积、标积）定义为a·b = -a--b-cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
矢量的定义
矢量又称向量(Vector)，最广义指线性空间中的元素。
它的名称起源于物理学既有大小又有方向的物理量，通常绘画成箭号，因以为名。
例如位移、速度、加速度、力、力矩、动量、冲量等，都是矢量。
可以用不共面的任意三个向量表示任意一个向量，用不共线的任意两个向量表示与这两个向量共面的任意一个向量。
相互垂直的三个单位向量成为一组基底,这三个向量分别用i,j,k表示. 常见的向量运算有：加法，点积（内积）和叉积（外积）。
对于m个向量v1，v2，...，vm，如果存在一组不全为零的m个数a1,a2,...,am, 使得a1*v1+a2*v2+...+am*vm = 0, 那么, 称m个向量v1，v2，...，vm线性相关。
如果这样的m 个数不存在, 即上述向量等式仅当a1=a2=...=am=0 时才能成立, 就称向量v1，v2， (v)线性无关。
有人说，中学数学中引入向量，用向量来处理几何问题，是因为用向量比用综合几何的方法简单、容易。
这种看法是不全面的。
虽然有许多问题，用向量处理确实比用综合几何方法简单，但也可以找到用综合几何的方法处理更简单的问题。
向量之所以被引入到中学，这是因为向量在数学中占有重要的地位。
向量作为一个既有方向又有大小的量，在数学中是一个最基本的概念。
在现代数学的发展中起着不可替代的作用。
是代数、几何、泛函分析等基础学科研究的基本内容。
向量是代数的对象。
运算及其规律是代数学的基本研究对象。
向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘），向量与向量的数量积（也称点乘），向量与向量的向量积（也称叉乘）等。
向量的这些运算包含了三种不同类型的代数运算。
向量的运算具有一系列丰富的运算性质。
与数运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。
向量是几何的对象。
向量可以用来表示空间中的点、线、面。
如果，以坐标系的原点为起点，向量就与空间中的点建立了一一对应关系；一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量平行；同样，一个点和一个非零向量，可以唯一确定一个平面，它过这个点且与给定向量垂直。
《信号与系统》本科专业教学大纲
《信号与系统》课程教学大纲课程编号：（可暂缺）课程名称：《信号与系统》英文名称：signal and system课程类型: 专业选修课必修总学时：48 学分：2.5 理论课学时：28 实验学时：20适用对象:生物医学工程专业、医学影像技术专业本科学生一、课程性质和地位信号与系统是研究与系统理论得基本概念和基本分析方法。
初步认识如何建立信号与系统得数学模型，从时间域到变换域，从连续到离散，从输入输出到状态空间描述，以通信和控制工程作为主要应用背景，注重实例分析，经适当的数学分析求解，对所得结果给以物理解释，赋予物理意义。
信号与系统与其他工程类学科有着密切的联系，本课程的先修课为医用高等数学、电路分析基础，它必须在具备高等数学知识的基础上，才能学好信号与系统课程。
它是专业选修课中的必修课，为学生学习后续课程及从事临床或研究工作奠定了基础。
因此，信号与系统是生物医学工程专业、医学影像技术专业课各学科的奠基石。
生物医学工程专业、医学影像技术专业学生对本门课程的掌握程度直接影响到后续课程基础知识的学习及影像实践和医学研究。
二、教学环节及教学方法和手段信号与系统的教学环节包括课堂讲授、实验、考试等方式。
其中课堂讲授是通过教师对指定教材部分章节的讲解，结合多媒体课件对板书和仪器结构给予图示以及启发式、案例式、双语式等教学方法的应用，加强对学生抽象与逻辑思维能力的培养，强调理论与实践相结合的讲授，从而提高学生分析问题、解决问题的能力，达到学生能掌握基本知识和基础理论的目的。
实验是教师在实验室里指导学生通过观察、对物理量的测量和对实验结果的分析，培养学生的动手能力，使学生加深对基本理论和定律的理解与掌握，逐步提高观察、分析实验现象和总结实验规律的能力。
考试是检验教学效果的有效手段，分理论考试和实验考试两种。
理论考试是指学期末本学科的结业考试，是对医学生学完医学物理学的总体测试。
三、教学内容及要求第一章绪论第一节信号与系统第二节信号的描述、分类和典型示例第三节信号的运算第四节阶跃信号与冲激信号第五节信号的分解第六节系统模型及其分类第七节线性时不变系统第八节系统分析方法【掌握】信号与系统的数学模型，能正确区分信号与系统的类型；画出给定信号的波形；掌握信号的运算：包括信号相加、信号的微积分、波形变换、信号的分解；熟悉线性时不变、因果系统的判断。
矢量空间
矢量空间维基百科，自由的百科全书▼矢量空间（或称线性空间）是现代数学中的一个基本概念。
是线性代数研究的基本对象。
在现代数学中，“矢量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作矢量处理。
譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成矢量空间，在代数上处理是方便的。
单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成矢量空间，研究此类函数矢量空间的数学分支称为泛函分析。
•••••••▪矢量加法：V×V→V，把V中的两个元素v和w变为V中另一个元素，记作v+w；▪标量乘法：F×V→V，把F中的一个元素a和V中的一个元素v变为V中的另一个元素，记作a v。
1.2.3.4.5.6.7. 标量乘法与标量的域乘法相容：a(b v) = (ab)v。
8.前四个公理是说明矢量V在矢量加法中是个交换群，余下的四个公理应用于标量乘法。
需要注意的是矢量之间的加法和标量之间的加法是不一样的，标量与矢量之间的乘法（标量乘法）和两个标量之间的乘法（域中自带的乘法）也是不一样的。
▪▪▪▪对一般域F，V称为F-矢量空间以下是一些很容易从矢量空间公理推导出来的特性:▪零矢量0∈V (公理3) 是唯一的.▪a0 = 0∀a∈F.▪0 v = 0∀v∈V这里0 是F的加法单位元.▪a v = 0，则可以推出要么a = 0 ，要么v = 0.▪可加的逆元矢量v (公理4) 是唯一的. (写成−v). 这个写法v−w及v + (−w) 都是标准的.▪(−1)v = −v∀v∈V.▪(−a)v = a(−v) = −(a v) ∀a∈F , ∀v∈V.最简单的系数域为域F的矢量空间的例子是F自身。
只要定义矢量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。
例如当F是实数域时，可以验证对中的任意元素a、b以及中的任意元素u、v、w，都有：1. u+ (v + w) = (u + v) +w，2. v + w = w + v，3. 零元素存在：实数0满足：∀v∈ , v + 0 = v，4. 逆元素存在：∀v∈, ∃w = -v∈, 使得v + w = 0。
空间矢量调制的原理
空间矢量调制的原理
空间矢量调制是一种利用多个天线或传输路径的方向和相位来调制信号的无线通信技术。
其主要原理是通过改变不同天线或路径的振幅、相位和/或方向来编码和调制信息。
空间矢量调制的原理可以分为两个方面：空间调制和矢量调制。
空间调制主要通过多个天线或传输路径的空间分布来实现。
通过在发射端利用多个发射天线，可以在空间上改变信号的方向、振幅和相位。
在接收端，根据多个接收天线接收到的信号强度和相位差异，可以从中恢复出原始信号。
矢量调制主要通过改变信号的相位和振幅来实现。
利用相位调制和振幅调制的技术，可以将数字信号调制为模拟信号，或者在模拟信号传输中调制信号的幅度和相位。
通过将空间调制和矢量调制相结合，空间矢量调制可以提供更高的信号容量和更好的抗干扰性能。
在空间维度上，通过利用多个天线或传输路径，可以实现多天线的分集和波束形成，提高信号的可靠性和传输速率。
在矢量维度上，通过改变信号的相位和振幅，可以实现更多的信号编码和调制方式，提高信号的抗干扰性能和传输容量。
总之，空间矢量调制利用多个天线或传输路径的方向、相位和振幅信息来编码和调制信号，从而实现更高的信号容量和更好的抗干扰性能。
信号空间表示形式
信号空间表示形式信号空间表示形式是一种将信号表示为向量的方法，它在信号处理和通信领域被广泛应用。
通过将信号映射到一个高维向量空间中，可以方便地进行信号处理和分析。
本文将介绍信号空间表示形式的原理和应用。
一、信号空间表示形式的原理信号空间表示形式的核心思想是将信号看作是一个向量，通过将信号的各个样本点映射到向量空间中的不同维度，从而将信号表示为一个向量。
具体来说，对于一个长度为N的离散信号x(n)，可以将其表示为一个N维向量，向量的每个维度对应信号的一个样本点。
在信号空间表示形式中，信号的各个样本点之间的关系可以用向量空间中的几何关系来描述。
例如，对于两个信号x(n)和y(n)，它们在信号空间中的夹角可以用它们在向量空间中的夹角来表示。
如果两个信号在向量空间中的夹角较小，说明它们在时间上的相似性较高。
1. 信号分类：通过将信号表示为向量，可以方便地对信号进行分类。
例如，在语音识别中，可以将不同的语音信号表示为向量，然后使用分类算法对其进行识别。
2. 信号压缩：信号空间表示形式可以用于信号的压缩。
通过将信号表示为向量，可以利用向量空间的稀疏性来压缩信号。
例如，在图像压缩中，可以将图像表示为向量，然后使用稀疏表示方法对其进行压缩。
3. 信号增强：通过信号空间表示形式，可以将信号中的噪声和干扰表示为向量，然后使用滤波算法对其进行去噪和干扰抑制。
4. 信号匹配：信号空间表示形式可以用于信号的匹配。
例如，在指纹识别中，可以将指纹信号表示为向量，然后使用匹配算法对其进行识别。
5. 信号分析：信号空间表示形式可以用于信号的分析。
通过将信号表示为向量，可以方便地进行信号的频谱分析、时频分析等。
三、总结信号空间表示形式是一种将信号表示为向量的方法，它在信号处理和通信领域有着广泛的应用。
通过将信号映射到向量空间中，可以方便地进行信号处理、分类、压缩、增强和匹配等。
信号空间表示形式的原理和应用为我们理解和处理信号提供了一个有效的工具。
考试科目831信号与系统
应用相关知识来分析和解决综合应用问题，熟练应用信号分析方法针对常见生物医学信号，例如心电ECG,脉搏波PPG,脑电EEG,机电EMG等进行信号分析。
重点：用傅立叶级数及傅立叶变换对信号进行频谱分析、典型信号的频谱特点，抽样定理。
4、傅立叶变换应用
利用系统函数H(jω)求响应，无失真传输，理想低通滤波器，系统的物理可实现性、佩利一维纳准则，利用希尔伯特变换研究系统函数的约束特性，调制与解调。
重点：漉波和调制。
5、连续时间系统的复频域分析
拉普拉斯变换的定义、收敛域，拉普拉斯变换的基本性质，拉普拉斯逆变换，用拉普拉斯变换法分析电路S域元件模型，系统函数(网络函数)H(S),由系统函数零、极点分布决定时频域特性，二阶谐振系统的S平面分析，全通函数与最小相移函数的零、极点分布，线性系统的稳定性，系统模拟和信号流图，双边拉普拉斯变换，拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
10、模拟与数字滤波器
无限冲击响应IIR数字滤波器的设计，有限冲击响应FlR数字滤波器，RC有源滤波器的设计。
重点：有限冲击响应FIR数字滤波器的特性与应用。
IR系统的状态变量分析
连续时间系统、离散时间系统状态方程的建立与求解，状态矢量的线性变换，系统的可控制性和可观测性。
重点：连续时间系统与离散时间系统的状态方程和输出方程的各种建立方法、状态方程和输出方程求解公式的应用、转移函数矩阵中各元素的意义及单位冲激响应（或单位函数响应）之间的关系、系统的可控制性和可观测性。
重点：用Z变换求解系统的零输入响应及零状态响应，离散时间系统的响应特性。
9、离散傅里叶变换以及其他离散正交变换
离散傅里叶变换及其性质，周期序列的离散傅里叶级数，有限长序列的离散傅里叶变换，利用快速傅里叶变换FFT计算线性卷积、功率谱及连续时间信号的频谱分析，帕塞瓦尔定理。
信号矢量是什么原理的应用
信号矢量是什么原理的应用1. 引言信号矢量是一种用来描述信号特征的数学工具。
它通过将信号的振幅、频率和相位等特征以向量的形式表示，从而方便信号的分析和处理。
本文将介绍信号矢量的基本原理及其在实际应用中的一些常见的使用方式。
2. 信号矢量的基本原理信号矢量是通过将信号的振幅、频率和相位等特征以向量的形式表示来描述信号。
在信号处理领域中，通常使用复数表示信号的矢量。
信号矢量的形式可以用以下公式表示：S(t) = A * exp(j(ωt + φ))其中，S(t)表示信号矢量，A表示信号的振幅，ω表示信号的频率，t表示时间，φ表示信号的相位。
exp表示自然指数。
3. 信号矢量的应用3.1 通信系统中的信号矢量在通信系统中，信号矢量常被用来表示调制信号和解调信号。
调制信号是指将传输的信息信号通过调制技术转换成适合传输的信号形式。
解调信号是指将传输过程中受到损耗和噪声等因素影响的信号恢复为原始的信息信号。
信号矢量可以帮助我们分析调制和解调过程中的误差和失真情况，优化调制和解调算法，提高通信质量。
3.2 信号处理中的信号矢量在信号处理中，信号矢量常被用来表示多维信号。
多维信号是指在多个维度上具有不同特征的信号。
例如，在音频处理中，我们可以将声音的频率和强度作为信号的两个维度，用信号矢量表示。
信号矢量可以帮助我们分析信号在不同维度上的特性，提取有用的信息，实现信号处理的目标。
3.3 信号分类与识别中的信号矢量在信号分类与识别中，我们常常需要通过对信号的特征进行分析和提取来实现信号的分类和识别。
信号矢量可以帮助我们表示信号的特征，并提供一种有效的方式进行信号分类和识别。
例如，在语音识别中，我们可以通过将语音信号转换为信号矢量，提取其中的特征，使用机器学习算法实现语音的分类和识别。
4. 总结信号矢量是一种用来描述信号特征的数学工具，通过将信号的振幅、频率和相位等特征以向量的形式表示，方便信号的分析和处理。
它在通信系统、信号处理、信号分类与识别等领域都有广泛的应用。
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x1 y1 + x2 y2对 于 维矢 空 的 积（ 积 运 积（ 积） 算 应 二 量 间 x2 y2 = x 2 y 2 cos(φ1 −φ2 )
8 页
上式表明：给定的矢量长度， 上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量 之间相对位置的“校准”情况。 之间相对位置的“校准”情况。即
于 对 1≤ p ≤ ∞ 于 对 p →∞
X
第
常用范数
x 1 = 1+1 = 2 x ∞ = m (1,1) = 1 ax 在 维 三 实 矢空 中 二 范 的理 义 二 或 维 数 量间 ， 阶 数 物意 是
量 长 。 矢 的 度 x 2 也 为 氏E clid 称 欧 ( u ean )范 或 氏 。 数 欧 距
N 实 空 RN 维 数 间
N 复 空 CN 维 数 间
2 页
连续时间信号空间L
离散时间信号空间 l
X
第
二．范数
x 表示， 线性空间中元素的范数以符号x 表示，满足以下公理 x x (1) 正定性 ≥ 0,当且仅当 = 0时x = 0；
性 x (2) 正齐性 对所有数 α = α ； 量 , 有 αx x+ x y (3) 三角形不等式 y ≤ + 。
4 页
x 2 = 1+1 = 2
(1)连续时间信号空间中，元素 的p阶范数x p定义如下 L x
1 ∞ p p ∫ x(t ) dt x p = −∞ p su x(t )
2.连续时间信号空间 和离散时间信号空间 L l中的范数
1≤ p < ∞ p=∞
X
第
(2)离散时间信号空间 ,元素 (n)的p阶范数x p的定义 l中 x
cos(φ1 −φ2 ) = 0,两矢量之夹角为 o , 标量乘积为零 90
cos(φ1 −φ2 ) = 1,两 矢量夹 0o , 标 角为 量乘积 取最大 值
推广 三维 x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 多维
x, y = ∑xi yi x, y = ∑xi yi∗
i =1 i =1 N N
1 ∞ p p ∑ x(n) x p = n=−∞ su x(n) p
5 页
(
)
1≤ p < ∞ p=∞
这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的 这里 表示信号的最小上界， 表示信号的最小上界 信号， 表示其幅度值。 信号，sup表示其幅度值。 表示其幅度值 (3)常用的范数 (3)常用的范数 一阶范数
N N
3 页
p 实 ， R C 间 素 , 令 为 数1 ≤ p ≤ ∞, 在 N与 N空 元 x = ( x1 , x2 ,L xN ) p 范 定 为 的阶 数 义 1 N p x p ∑ i x pd i=1 ef ax mi≤N xi 1≤
1.R 与 空 的 数 C 间 范 ；
7 页
(x
x1 y1 + x2 y2 +x
2 2
x2
2 2
x
2 1
) (y
1 2
2 1
+y
)
1 2
y2
利用范数符号，将矢量长度分别写作 利用范数符号，
2 x 2 = x1 + x
φ1 φ2
x 1
y
于是
y2
( = (y
2 1
) +y )
2 2
1 2 2 2 1 2
y1
x1 y1 + x2 y2 = x 2 y 2 cos(φ1 −φ2 )
N维实线性空间 N维复线性空间
X
第 9 页
信号空间 L 内的两连续信号的内积
x,y = ∫ x(t) y(t) dt
∞ ∗ −∞
续 间 号 连 时 信
散 间 号 离 时 信
x,y = ∑x(n) y(n)
n Z ∈
∗
对于L空间或 空间 信号x与其自身的内积运算为 对于 空间或l空间，信号 与其自身的内积运算为 空间或 空间，
x,x = ∫ x(t) dt = x 2
∞ 2 2 −∞
∞
续 连
离散
X
x,x = ∑ x(n) = x 2
2 2 n Z ∈
第
四．柯西－施瓦茨不等式
Cauchy-Schwarz不等式 不等式
x, y
2
10 页
≤ x, x y, y
X
x1 =∫
x1 =
∞ −∞ ∞
x(t)dt
L空 间
l空间
X
n=−∞
∑ x(n)
可见，一阶范数表示信号作用的强度。 可见，一阶范数表示信号作用的强度。
第 6 页
二阶范数
2 ∞ 2 ∞ L空间 x 2 = ∫ x(t ) dt 即 x 2 = ∫ x(t ) dt −∞ −∞ 1 ∞ ∞ 2 2 2 2 l空间 x 2 = ∑ x(n) 即 x 2 = ∑ x(n) n=−∞ n=−∞ 物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。 物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。 2
§6.2 信号矢量空间的基本概念
•线性空间 线性空间 •范数 范数 •内积 内积 •柯西－施瓦茨不等式 柯西－ 柯西
北京邮电大学电子工程学院 2003.1
第
一．线性空间
定义：是这样一种集合， 定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成 此集合内的另一元素，任意元素与任意数（ 此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实 数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。 数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。 例:
1 2
L空 间
x ∞ =su x(t) p
l空 间
理 义 对 定 在 区 上 x 物 意 ： 于 义 闭 间 的 (t ), x ∞ 表 信 示 号 测 的 值 也 信 的 度 可 得 峰 ， 即 号 幅 。
X
x ∞ = su x(n) p
第
三．内积
直角坐标平面内两矢量相对位置关系
cos(φ1 −φ2 ) =