直线与圆锥曲线教学案河北省鸡泽县第一中学高三数学一轮复习
高考数学(理科)一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学习型教学案
高考数学（理科）一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案54 直线与圆锥曲线的位置关系导学目标：1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．自主梳理．直线与椭圆的位置关系的判定方法将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ<0，则直线与椭圆________．直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立消去y，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ<0时，直线与双曲线________．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．直线与抛物线位置关系的判定方法将直线方程与抛物线方程联立，消去y，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①当a≠0，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1的一条弦，m是AB的中点，则kAB＝________，kAB•kom＝__________.点差法求弦的斜率的步骤是：①将端点坐标代入方程：x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1.②两等式对应相减：x21a2－x22a2＋y21b2－y22b2＝0.③分解因式整理：kAB＝y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2＝－b2x0a2y0.运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线x2a2－y2b2＝1的弦，中点m，则kAB＝__________________.已知抛物线y2＝2px的弦AB的中点m，则kAB＝____________.3．弦长公式直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线c：F＝0交于A，B两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2•y1＋y22－4y1y2.自我检测．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，Ak⊥l，垂足为k，则△AkF的面积是A．4B．33c．43D．82．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是A．B.116，0c．D.0，－1163．已知曲线x2a＋y2b＝1和直线ax＋by＋1＝0，在同一坐标系中，它们的图形可能是4．过点0，－12的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B 两点，o为坐标原点，则oA→•oB→的值为A．－12B．－14c．－4D．无法确定探究点一直线与圆锥曲线的位置关系例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？变式迁移1 已知抛物线c的方程为x2＝12y，过A，B 两点的直线与抛物线c没有公共点，则实数t的取值范围是A．∪B.－∞，－22∪22，＋∞c．∪D．∪探究点二圆锥曲线中的弦长问题例2 如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆x24＋y2＝1交于A、B两点，记△AoB的面积为S.求在k＝0,0<b<1的条件下，S的最大值；当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．变式迁移2 已知椭圆的两焦点为F1，F2，离心率e＝32.求椭圆的标准方程；设直线l：y＝x＋m，若l与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．探究点三求参数的范围问题例3 直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P和线段AB的中点m，求l在y 轴上的截距b的取值范围．变式迁移3 在平面直角坐标系xoy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围；设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量oP→＋oQ→与AB→共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．函数思想的应用例已知椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆c的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆c的两个交点由上至下依次为A，B.当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆c的方程及离心率；求|FA||AP|的最大值．【答题模板】解双曲线的渐近线为y＝±bax，两渐近线夹角为60°，又ba<1，∴∠Pox＝30°，∴ba＝tan30°＝33，∴a＝3b.又a2＋b2＝22，∴3b2＋b2＝4，[2分]∴b2＝1，a2＝3，∴椭圆c的方程为x23＋y2＝1，∴离心率e＝a2－b2a＝63.[4分]由已知，l：y＝ab与y＝bax联立，解方程组得Pa2c，abc.[6分]设|FA||AP|＝λ，则FA→＝λAP→，∵F，设A，则＝λa2c－x0，abc－y0，∴x0＝c＋λ•a2c1＋λ，y0＝λ•abc1＋λ.即Ac＋λ•a2c1＋λ，λ•abc1＋λ.[8分] 将A点坐标代入椭圆方程，得2＋λ2a4＝2a2c2，等式两边同除以a4，2＋λ2＝e22，e∈，[10分]∴λ2＝e4－e2e2－2＝－2－e2＋22－e2＋3≤－22－e2•22－e2＋3＝3－22＝2，∴当2－e2＝2，即e2＝2－2时，λ有最大值2－1，即|FA||AP|的最大值为2－1.[12分]【突破思维障碍】最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．【易错点剖析】不能把|FA||AP|转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由λ2＝e4－e2e2－2不会求最值或忽视e2－2<0这个隐含条件．．直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中．因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力．2．从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题．基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，由韦达定理得x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.然后再把要研究的问题转化为用x1＋x2和x1x2去表示．最后，用函数、不等式等知识加以解决．需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘，比如判别式Δ≥0，圆锥曲线中有关量的固有范围等．一、选择题．F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线2．若双曲线x29－y24＝1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小，抛物线y2＝2px通过点A，则p的值为A.92B．2c.21313D.13133．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是A．2B．3c.115D.37164．已知直线y＝k与抛物线c：y2＝8x相交于A、B两点，F为c的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于A.13B.23c.23D.2235．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A、B 两点，则|AB|的最大值为A．2B.455c.4105D.8105二、填空题6．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2t ＝1恒有公共点，则t的范围是______________．7．P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，m、N分别是圆2＋y2＝4和2＋y2＝1上的点，则|Pm|－|PN|的最大值为________．8．已知抛物线c：y2＝2px的准线为l，过m且斜率为3的直线与l相交于点A，与c的一个交点为B，若Am→＝mB→，则p＝________.三、解答题9．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求|AB|的长．0．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程；设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为，点Q在线段AB的垂直平分线上，且QA→•QB →＝4，求y0的值．11．P是双曲线E：x2a2－y2b2＝1上一点，m，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线Pm，PN的斜率之积为15.求双曲线的离心率；过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B 两点，o为坐标原点，c为双曲线上一点，满足oc→＝λoA →＋oB→，求λ的值．学案54 直线与圆锥曲线的位置关系自主梳理．相交相切相离①相交相切相离②一个②平行一个 2.－b2x0a2y0－b2a2b2x0a2y0 py0自我检测．c 2.c 3.c 4.B课堂活动区例1 解题导引用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．解由y＝kx＋2，2x2＋3y2＝6，得2x2＋32＝6，即x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24＝72k2－48.当Δ＝72k2－48>0，即k>63或k<－63时，直线和曲线有两个公共点；当Δ＝72k2－48＝0，即k＝63或k＝－63时，直线和曲线有一个公共点；当Δ＝72k2－48<0，即－63<k<63时，直线和曲线没有公共点．变式迁移1 D [直线AB的方程为y＝4tx－1，与抛物线方程x2＝12y联立得x2－2tx＋12＝0，由于直线AB与抛物线c没有公共点，所以Δ＝4t2－2<0，解得t>2或t<－2.]例2 解题导引本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法．当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解．解设点A的坐标为，点B的坐标为，由x24＋y2＝1，解得x1,2＝±21－b2，所以S＝12b|x1－x2|＝2b1－b2≤b2＋1－b2＝1.当且仅当b＝22时，S取到最大值1.由y＝kx＋bx24＋y2＝1得x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝16．①|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2•164k2－b2＋14k2＋1＝2.②又因为o到AB的距离d＝|b|1＋k2＝2S|AB|＝1，所以b2＝k2＋1.③将③代入②并整理，得4k4－4k2＋1＝0，解得k2＝12，b2＝32，代入①式检查，Δ>0.故直线AB的方程是：y＝22x＋62或y＝22x－62或y＝－22x＋62或y＝－22x－62.变式迁移2 解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，则c＝3，ca＝32.∴a＝2，b＝1.∴所求椭圆方程为x24＋y2＝1.由y＝x＋m，x24＋y2＝1，消去y得关于x的方程：5x2＋8mx＋4＝0，则Δ＝64m2－80>0，解得m2<5.设P，Q，则x1＋x2＝－85m，x1x2＝4m2－15，y1－y2＝x1－x2，∴|PQ|＝x1－x22＋y1－y22＝2x1－x22＝2－85m2－165m2－1＝2，解得m2＝158，满足，∴m＝±304.例3 解题导引直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式Δ研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究．解由y＝kx＋1x2－y2＝1得x2＋2kx＋2＝0.设A，B，则Δ＝4k2＋81－k2>0x1＋x2＝2k1－k2<0x1x2＝－21－k2>0，∴1<k<2.设m，由x0＝x1＋x22＝k1－k2y0＝y1＋y22＝11－k2，设l与y轴的交点为Q，则由P，mk1－k2，11－k2，Q三点共线得b＝2－2k2＋k＋2，设f＝－2k2＋k＋2，则f在上单调递减，∴f∈，∴b∈∪．变式迁移3 解由已知条件，直线l的方程为y＝kx ＋2，代入椭圆方程得x22＋2＝1，整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2>0，解得k<－22或k>22.即k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.设P，Q，则oP→＋oQ→＝，由方程①，x1＋x2＝－42k1＋2k2.②又y1＋y2＝k＋22.③而A，B，AB→＝．所以oP→＋oQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2，将②③代入上式，解得k＝22.由知k<－22或k>22，故没有符合题意的常数k.课后练习区．A 2.c 3.A 4.D 5.c6．[1,5) 7.5 8.29．解设直线AB的方程为y＝x＋b，由y＝－x2＋3，y＝x＋b，消去y得x2＋x＋b－3＝0，∴x1＋x2＝－1.于是AB的中点m，且Δ＝1－4>0，即b<134.又m在直线x＋y＝0上，∴b＝1符合．∴x2＋x－2＝0.由弦长公式可得|AB|＝1＋12－12－4×－2＝32.0．解由e＝ca＝32，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.由题意可知12×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组a＝2b，ab＝2，得a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.由可知A，且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k．于是A，B两点的坐标满足方程组y＝kx＋2，x24＋y2＝1.由方程组消去y并整理，得x2＋16k2x＋＝0.由根与系数的关系，得－2x1＝16k2－41＋4k2，所以x1＝2－8k21＋4k2，从而y1＝4k1＋4k2.设线段AB的中点为m，则m的坐标为．以下分两种情况讨论：①当k＝0时，点B的坐标是，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA→＝，QB→＝．由QA→•QB→＝4，得y0＝±22.②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为y－2k1＋4k2＝－1k．令x＝0，解得y0＝－6k1＋4k2.由QA→＝，QB→＝，QA→•QB→＝－2x1－y0＝－22－8k21＋4k2＋6k1＋4k2＝416k4＋15k2－11＋4k22＝4，整理得7k2＝2，故k＝±147.所以y0＝±2145.综上，y0＝±22或y0＝±2145.1．解由点P在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1.由题意有y0x0－a•y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝ca＝305.联立x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0.设A，B，则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24.①设oc→＝，oc→＝λoA→＋oB→，即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.又c为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有2－52＝5b2.化简得λ2＋＋2λ＝5b2.②又A，B在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5＝－4x1x2＋5c－5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.。
高三数学一轮复习第30讲直线与圆锥曲线的位置关系教案
点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算。
例 2．中心在原点，一个焦点为 F1（0， 50 ）的椭圆截直线 y 3x 2 所得弦的中点 横坐标为
1 ，求椭圆的方程。 2
解析：设椭圆的标准方程为
x2 y2 1(a b 0) ， 由 F1 （ 0 ， 50 ） 得 a2 b2
a 2 b 2 50
a 2 3b 2 ，与方程 a 2 b 2 50 联立可解出 a 2 75, b 2 25
x2 y2 1。 故所求椭圆的方程为： 75 25
点评：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理
a b 50 ， 及中点坐标公式， 求出中点的横坐标， 再由 F1 （0， 50 ） 知， c= 50 ，
设直线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的中点坐标。
x2 y2 解析：设椭圆 C 的方程为 2 2 1， a b
由题意 a=3，c=2
2 ，于是 b=1.
x2 2 ＋y ＝1． 9
∴椭圆 C 的方程为
y x 2 2 由 x2 得 10x ＋36x＋27＝0， 2 9 y 1
焦点弦长：
| PF | e （点 P 是圆锥曲线上的任意一点， F 是焦点， d 是 P 到相应 d
于焦点 F 的准线的距离， e 是离心率） 。 典例解析 题型 1：直线与椭圆的位置关系
例 1．已知椭圆： 点，求弦 AB 的长。
x2 y 2 1 ，过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两 6 9
2 2
最后解关于 a、b 的方程组即可。 例 3．直线 y 2k 与曲线 9k x y 18k x
高三数学一轮复习直线与圆锥曲线教案高三全册数学教案
芯衣州星海市涌泉学校第四讲直线与圆锥曲线一、考情分析直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考察的重中之重，主要涉及弦长、中点弦、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘〞． 本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维才能，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探究、敢于创新的精神，进一步进步学生“应用数学〞的程度．二、知识归纳〔一〕直线与圆锥曲线问题的解决思路“三十二字思路〞：设而不求，求而不设；联立消元，二次判别；韦达，解决问题；遇弦中点，点差优先．〔二〕直线与椭圆()()()2222222222222010y kx m a k b x mka x a m b x y a b a b=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=>>⎪⎩，显然，2220a k b +≠； 〔1〕当0∆=时，直线与椭圆只有一个公一一共点，属于直线与椭圆相切； 〔2〕当0∆>时，直线与椭圆有两个公一一共点，属于直线与椭圆相交； 〔三〕直线与双曲线()()()22222222222220100y kx m a k b x mka x a m b x y a b a b=+⎧⎪⇒-+++=⎨-=>>⎪⎩，， 〔1〕假设2220bak b k a-=⇔=±时，直线平行于双曲线的渐进线，此时， ①当0m =时，直线与渐进线重合，与双曲线无交点；②当0m ≠时，直线与双曲线只有一个公一一共点，属于一个交点的相交，而不是相切；〔2〕假设2220bak b k a-≠⇔≠±时，直线不平行于双曲线的渐进线，此时， ①当0∆=时，直线与双曲线只有一个公一一共点，属于直线与双曲线相切； ②当0∆>时，直线与双曲线有两个公一一共点，属于直线与双曲线相交； 〔四〕直线与抛物线()()22222020y kx mk x mk p x m y px p =+⎧⎪⇒+-+=⎨=>⎪⎩， 〔1〕假设0k=时，直线平行于抛物线的对称轴，此时，直线与抛物线只有一个公一一共点，属于一个交点的相交，而不是相切；〔2〕假设0k≠时，直线不平行于抛物线的对称轴，此时，①当0∆=时，直线与抛物线只有一个公一一共点，属于直线与抛物线相切； ②当0∆>时，直线与抛物线有两个公一一共点，属于直线与抛物线相交； 三、精典例析例1：曲线22148x y C -=：，定点()10M ，，直线l 经过点()01，，斜率为t ，与曲线C 交于不同的两点A B 、，设AB 的中点为P ，求直线MP 的斜率k 关于t 的函数关系()k f t =．解析：设直线l 的方程为1l ytx =+：，()()()112200,A x y B x y P x y ，，，，，那么：()222212290148y tx t x tx x y =+⎧⎪⇒---=⎨-=⎪⎩， ∴22t≠，2904t ∆>⇔<，且1212002222x x y y tx y t ++===-， ∵()()120022112222tx tx t x y t t +++===--，，∴020212y kx t t ==-+-；故()()223321122222k t t t ⎛⎫⎛⎛⎫=∈-- ⎪ ⎪+-⎝⎝⎭⎝⎭，，，．例2：椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率36=e ，过点()0A b -，和()0B a ，的直线与原点的间隔为23． 〔1〕求椭圆的方程． 〔2〕定点()10E -，，假设直线()20y kx k =+≠与椭圆交于C D 、两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过()10E-，点？请说明理由． 解析：〔1〕直线AB 方程为：0bx ay ab --=，那么：22633312c a a ab b a b⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪+⎩ ， ∴椭圆方程为1322=+y x ． 〔2〕假假设存在这样的k 值，设()()1122Cx y D x y ，，，，那么：()22222131290330y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩ ， ∴0)31(36)12(22>+-=∆k k ，且1212221291313k x x x x k k +=-=++⋅，，∵()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++⋅，∴要使以CD 为直径的圆过()10E-，点，当且仅当CE DE ⊥时，那么： 121212121(1)(1)011y y y y x x x x =-⇔+++=++⋅． ∴05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ，∴67=k，经历证，67=k 时符合题意． 综上，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过()10E -，点．例3：双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2210200xy x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于A B 、两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2PA PB PC⋅=．〔1〕求双曲线G 的渐近线的方程； 〔2〕求双曲线G 的方程；〔3〕椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．假设S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．解析：〔1〕设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =，那么：∵渐近线与圆2210200xy x +-+=12k =⇔=±． 故双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±．〔2〕设双曲线G 的方程为：224xy m -=，那么：()2221438164044y x x x m x y m ⎧=+⎪⇒---=⎨⎪-=⎩， ∴8164 33A B A B mx x x x ++==-，， ∵2PA PB PC ⋅=，P A B C 、、、一一共线且P 在线段AB 上，∴()()()()()()244164320P A B P P C B A A B A B x x x x x x x x x x x x --=-⇔+--=⇔+++=，例4：〔05年卷〕设A B 、是椭圆λ=+223y x 上的两点，点()13N ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C D 、两点． 〔1〕确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；〔2〕试判断是否存在这样的λ，使得A B 、、C D 、四点在同一个圆上？并说明理由．解析：〔1〕法1：显然，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)3y k x =-+，设1122()()A x y B x y ，，，，那么：22222(1)3(3)2(3)(3)03y k x k x k k x k x y λλ=-+⎧⇒+--+--=⎨+=⎩， ∴224[(3)3(3)]0k k λ∆=+-->，且21212222(3)(3)33k k k x x x x k k λ---+=⋅=++，，∵点()13N，是线段AB 的中点，∴2121(3)312x x k k k k +=⇔-=+⇒=-，直线AB 的方程是： ()3140y x x y -=--⇔+-=．∴12λ>，故λ的取值范围是()12,+∞．法2：设1122()()A x y B x y ，，，，那么：221112121212222233()()()()03x y x x x x y y y y x y λλ⎧+=⎪⇒-++-+=⎨+=⎪⎩， ∴12123()ABx x k y y +=-+；∵点()13N ，是线段AB 的中点，∴121226x x y y +=+=，，∴1AB k =-，直线AB 的方程是()3140y x x y -=--⇔+-=．∵点()13N，在椭圆的内部，∴2231312λ>⨯+=．故λ的取值范围是()12,+∞．〔2〕法1：∵直线CD 垂直平分线段AB ，∴直线CD 的方程为3120y x x y -=-⇔-+=，又设3344()()C x y D x y ，，，，CD 的中点00()M x y ，，那么：2222044403x y x x x y λλ-+=⎧⇒++-=⎨+=⎩， ∴103λ∆>⇔>，且341x x +=-，03400113()2222x x x y x =+=-=+=，，即1322M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴34||||CD x x =-=又22240481603x y x x x y λλ+-=⎧⇒-+-=⎨+=⎩，2012λ∆>⇔>，同理可得：12||AB x x =-=∴当12λ>AB CD >⇒<．假设在在12λ>，使得A B 、、C D 、四点一一共圆，那么CD 必为圆的直径，点M 为圆心，点M 到直线AB的间隔为：13|4|d-+-===，∴222229123||||||||22222AB CDMA MB dλλ--==+=+==．故当12>λ时，A B、、C D、四点均在以M为圆心，2||CD为半径的圆上．〔注：上述解法中最后一步也可如下解法获得：∵A B、、C D、一一共圆⇔△ACD为直角三角形，A为直角2||||||AN CN DN⇔=⋅，∴2||222CD CDABd d⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵3912 2222222CD CDd dλλ⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-=-=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即A、B、C、D四点一一共圆．〕例5：〔05年卷〕如图，设抛物线2C y x=：的焦点为F，动点P在直线20l x y--=：上运动，过P作抛物线C的两条切线PA PB、，且与抛物线C分别相切于A B、两点．〔1〕求△APB的重心G的轨迹方程；〔2〕证明：PFA PFB∠=∠．解析：〔1〕设切点()()()22001101A x xB x x x x≠，，，，那么：切线PA的方程为：20020x x y x--=，切线PB的方程为：21120x x y x--=，联立，解得：P点的坐标为01012x xP x x+⎛⎫⎪⎝⎭，；∴△APB的重心G的坐标为：PPGxxxxx=++=310，2222010*******()43333P P PGy y y x x x x x x x x x yy+++++--====，∴234P G Gy y x=-+，∵点P在直线20l x y--=：上运动，∴从而得到重心G 的轨迹方程为：221(34)20(42)3x y xy x x --+-=⇔=-+．〔2〕法1：∵22010001111114244x x FA x x FP x x FB x x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， ，， ，， ∴cos ||||FP FA AFP FP FA ⋅∠=201001001201114||||x x x x x x x x FP FP x +⎛⎫⎛⎫⋅+--+⎪⎪⎝==； 同理，20110110122211112444cos ||||||1||x x x x x x x x FP FBBFP FP FB FP FP x +⎛⎫⎛⎫⋅+--+⎪⎪⋅⎝⎭⎝⎭∠===⎛⎫+；故PFA PFB ∠=∠． 法2：①当100x x =时，由于01x x ≠，不妨设00x =，那么：00y =，∴P 点坐标为102x P ⎛⎫⎪⎝⎭，，那么P 点到直线AF 的间隔为：11||2x d =；而直线BF 的方程212111111114()0444x y x x x x y x x --=⇔--+=，∴P 点到直线BF 的间隔为：22111111221||11|()|()||42124x x x x x x d x -++===+； ∴12d d =，故PFA PFB ∠=∠．②当001≠x x 时，直线AF 的方程：2020********(0)()04044x y x x x x y x x --=-⇔--+=-； 直线BF 的方程：212111111114(0)()04044x y x x x x y x x --=-⇔--+=-； ∴P 点到直线AF 的间隔为：22201010010001120111|()()||)()||24124x x x x x x x x x x x d x +---++-===+， 同理，P 点到直线BF 的间隔：2||012x x d -=， ∴12d d =，故PFA PFB ∠=∠．四、课后反思 ．。
高考数学一轮复习学案：直线与圆锥曲线的位置关系学案理北师大版
第九节圆锥曲线的综合问题2. ［考纲传真］(教师用书独具)1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法;了解圆锥曲线的简单应用； 3.理解数形结合的思想.双基自主测评I 梳理自测巩固基础知识(对应学生用书第148页)［基础知识填充］1 •直线与圆锥曲线的位置关系设直线I : Ax+ By+ C= 0,圆锥曲线C: F(x, y) = 0,Ax+ By+ C= 0, 2由* 消去y得到关于x的方程ax + bx + c= 0.F(x, y) = 0(1) 当a^0时，设一元二次方程ax2+ bx+ c= 0的判别式为△，则△ >0?直线I 与圆锥曲线C有两个公共点；△= 0?直线I与圆锥曲线C有二个公共点；△v 0?直线I与圆锥曲线C有零个公共点.(2) 当a = 0, b^0时，即得到一个一元一次方程.当C为双曲线时，I与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个.当C为抛物线时，I与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个.2 •圆锥曲线的弦长公式设斜率为k的直线I与圆锥曲线C相交于A, B两点，A(X1, y" , 0X2, y2)，则| AB = (X1 —X2)2+ (y1 —y2)2= 1 + k2•| X1 —X2| = ；：$1 + k •(X1 + X2)2—4X1X2=1+ & 占.|a|［知识拓展］过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交.(2) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.［基本能力自测］1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 直线l 与椭圆c 相切的充要条件是直线I 与椭圆C 只有一个公共点.( )(2) 直线I 与双曲线C 相切的充要条件是直线I 与双曲线C 只有一个公共点.()(3) 过抛物线y 2= 2px (p >0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p .()(4) 若抛物线上存在关于直线 I 对称的两点，则I 与抛物线有两个交点.( )［解析］(1)对.椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切. (2) 错•当直线I 与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切. (3) 对.可转化为到准线的距离来证明(3)正确.(4) 错.当直线I 为对称轴时，I 与抛物线有一个交点. ［答案］ ⑴ V (2) X (3) V ⑷X2 22.(教材改编)直线y = k (x— 1) + 1与椭圆X +音=1的位置关系是()A.相交D.不确定A ［直线y = k (x — 1) + 1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆 相交.］3.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2= 4x 仅有一个公共点，这样的直线有()A. 1条B. 2条D. 4条C ［结合图形分析可知， 满足题意的直线共有 3条：一条过点(0,1)且平行于x 轴的直线，两条过点(0,1)且与抛物线相切的直线.］2 2x y2— 2= 1(a >0, b >0)的交点个数是(a bA. 1 C. 1 或 2b b一A ［因为直线y = -x + 3与双曲线的渐近线 y=-x 平行，所以它与双曲线只有 1个a a交点.］5.过抛物线y 2= 8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线，交抛物线于 A , B 两点，则弦AB 的 长为 .216 ［设A (X 1, y 1) , RX 2, y 2)，因为抛物线 y = 8x 的焦点为 H2,0)，直线 AB 的B.相切C.相离 C. 3条 4.直线b尸a x +3与双曲线B. 2 D. 0倾斜角为135°,故直线AB的方程为y = —x + 2，代入抛物线方程y2= 8x,得x2—12x+ 4= 0，则X1 + X2= 12, X1X2= 4，则| AB = X1 + X2 + 4= 12 + 4= 16.］第1课时直线与圆锥曲线的位置关系题型分类突破|翊剖析探求规徘方法(对应学生用书第149页)I題型1|2X'■■'I(2017 •全国卷I )设A B为曲线C: y=才上两点，A与B的横坐标之和为4.(1) 求直线AB的斜率；(2) 设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMLBM求直线AB的方程.［解］⑴设A(x i, y i),巳X2, y2),2 2X i X2贝U X i M X2, y i= , y2= , X i + X2= 4,4 4十© 亠八、“、、亠y i -y2 x i + X2于是直线AB的斜率k= - ■= i.X i —X2 42, X /口，X(2)由y=-，得y = 2.X3设M(X3, y3)，由题设知—=i，解得X3= 2,于是M2,i).设直线AB的方程为y= x+ m故线段AB的中点为N2,2 + n) , |MN =|m+ i|.2X 2将y = x+ m代入y=得X—4X— 4m= 0.4当△ = i6( m+ i)>0,即卩n>—i 时，X-,2 = 2±2 m^ i.从而| AB = ,2|x i —X2I = 4 2( m^ i).由题设知| AB = 2| MN，即 4 , 2(m^ i) = 2(m^ i)，解得m= 7.所以直线AB的方程为y= x + 7.［规律方法］i.判断直线与圆锥曲线的位置关系, 一般是将直线与圆锥曲线方程联立, 消去x或y ，判断该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点.但应注意两点：1消元后需要讨论含x2或y2项的系数是否为0.2重视“判别式△”起的限制作用.2.对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程.2 2［跟踪训练］已知直线I : y= 2x+ m椭圆C： X +養=i.试问当m取何值时，直线I与椭圆C：(1) 有两个不重合的公共点;(2) 有且只有一个公共点."y= 2x + m［解］将直线I的方程与椭圆C的方程联立，得方程组S x2 y2/十2 ，将①代入②，2 2整理得9x十8mx+ 2m —4= 0.③方程③根的判别式△ = (8n)2—4X 9X (2 m—4)=—8m 十144.(1)当△> 0,即一3 2 v m< 3 .2时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解.这时直线I与椭圆C有两个不重合的公共点.⑵当△= 0，即m=±3 2时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解.这时直线I与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线I与椭圆C I题型有且只有一个公共点.2 2 2x x y聖(2018 •广州综合测试(二))已知双曲线——y2= 1的焦点是椭圆C：^十吉=1(a>b > 0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数•【导学号：79140304】(1) 设椭圆C的方程；(2) 设动点M N在椭圆C上，且|MN = 響，记直线MN在y轴上的截距为m求m 的最大值.［解］⑴双曲线午—y2= 1的焦点坐标为(土.6, 0)，离心率为」学.2 2 2因为双曲线x —y2= 1的焦点是椭圆C：考十£= 1(a>b>0)的顶点，且椭圆与双曲线的5 a b离心率互为倒数，、.a2—b2. 30所以a= ,6，且-1—a = 6，解得b= 1.2故椭圆C的方程为x6十y2= 1.⑵因为|MN = 433> 2,所以直线MN勺斜率存在.因为直线MN在y轴上的截距为m 所以可设直线MN的方程为y = kx + m2x 2代入椭圆的方程g+ y2= 1中，2 2 2得(1 + 6k) x + 12km灶6( m-1) = 0.2 2 2因为△ = (12 kn) —24(1 + 6k )( m—1)=24(1 + 6k2—m) > 0,2 2所以m v 1 + 6k.设M(x1, y1), N X2, y2),29(1 + k)令k2+ 1 = t > 1,贝U k2= t —1.则 | MN = 1 + k 2|X 1 — X 2| =1 + k 2 •、;(X 1 + X 2)2 — 4x 1X 2.4.2—18k + 39k + 7根据根与系数的关系得X 1 + X 2= —12km21 + 6k ，X 1X 2 =6( m -1)1 + 6k 2-------------------- 212km1 + 6k 24,3224( m — 1) 1 + 6k 2因为| MN =3则,1 + k 2•-------------------- 212km 1 + 6k 2224( m —1) _ 1 + 6k 2 =4 d 33 所以m = 2—18t + 75t — 50 9t17=R 75-18t + 早整理得A. X + 4y — 5 = 0B. X —4y — 5= 02点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距 离公式求弦长.3弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公 式以及一元二次方程根与系数的关系得到的.易错警示：直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特殊情况2 2［跟踪训练］(2017 •宜春中学与新余一中联考)设椭圆 M 鲁+存=1(a >b >0)的离心率与双曲线X 2 — y 2 = 1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.的面积.由 2a = 4, a =M ，b 2= a 2— c 2,得 a = 2,a 23 •2 +3 =」尹.又P 到直线 AB 的距离为 d =—，所以 &PAB = £|AB • d =1 _42 1 2'亍•— 3= 丁2 2卜(1)在椭圆1X 6+ 4 = 1内，通过点M 1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )(1)求椭圆M 的方程;(2)若直线 y = 2X + 1交椭圆M 于A,B 两点，R1 , 2)为椭圆M 上一点，求△ PAB由题可知，双曲线的离心率为.2，则椭圆的离心率故椭圆M 的方程为 2 2y X二 + —= i4十2 . (2)联立方程S y =回 + 12 2X y—^―= 1.2十4，得 4X 2+ 2 2x — 3 = 0,X 1+ X 2= —且tX1X2=-42 ~2，所以 | AB =71 + 2| X 1 — X 2| =羽 7（X 1 + X 2）2— 4x 1X 2 =C. 4X+ y—5 = 0D. 4x —y—5= 0【导学号：79140305】C. 4X + y — 5 = 0D. 4x — y — 5= 0(X 1+ X 2)( X 1 — X 2) 16 (w + y 》(y — yj 4=0, X 1+ X 2= 2, 因为"iy 1+ y 2= 2, 所以 g =— =— £ X 1 — X 2 16( y 1 + y 2) 41所以所求直线方程为 y — 1 = — 4( X — 1), 即 X + 4y — 5 = 0. (2)由题意知m^0,可设直线 AB 的方程为1 y =— X + B. m2 1 + y 2= 1, 由 1 y =—mX +b ， 消去y ，得1+訂-卑X + 因为直线 1 X 2 y =— ~X + b 与椭圆—+ y 2= 1有两个不同的交点, 所以△ = — 2b 2+ 2+ 4 > m0,①将AB 中点, m +2代入直线方程 y = m>+ 2 解得b = — mm 2 ②由①②得 m< — 于或 m 〉-^6][规律方法]处理中点弦问题的常用方法1点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 X1⑵ 如图8-9-1，已知椭圆 冷+y 2= 1上两个不同的点 A , B 关于直线y = mx + 2寸称.则实数m 的取值范围为 __________2 y i 16+ 4 = 1， 则2 2X 2 y 2 56+ 4 =1， 由①一②,+ X 2, y i + y 2, 匚兰三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可 X i — X 2 求得斜率•2根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与 系数的关系求解•［跟踪训练］抛物线 C 的顶点为原点，焦点在__x 轴上，直线 x — y = 0与抛物线 C 交于 A , B 两点•若 只1,1)为线段AB 的中点，则抛物线 C 的方程为( ) 2 2 A. y = 2x B. y = 2xC. x 2= 2yD. y 2= — 2x2 y 2= 2px i , B ［设A (x i , y i ) , B (X 2, y 2)，抛物线方程为 y = 2px ,则* 2 两式相减y 2 = 2px 2, y i 一 y 2 2 可得2p = •(y i + y 2)= k AB ・2= 2，即可得p = 1,「.抛物线C 的方程为y = 2x .］ X i — X 2B (X 2, y 2),尊 卜 冒，+^) [(i )设直线与椭圆的交点为A (X 1, y 1),2 X i⑴ A (2)。
高考数学一轮复习55直线与圆锥曲线学案理
第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系课前预习案1、了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2、掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.4、了解圆锥曲线的简单应用.5、理解数形结合的思想.1.直线和圆锥曲线的位置关系（1）位置关系：相交、相切、相离。
（2）位置关系的判断：已知直线:0l ax by c ++=，圆锥曲线:(,)0M f x y =，联立方程组0(,)0ax by c f x y ++=⎧⎨=⎩，消元（消x 或y ），整理得20Ax Bx C ++=<1>若0A =，则直线l 和圆锥曲线M 只有一个公共点.①当曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合； ②当曲线为抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行. <2>若0A ≠，设24B AC ∆=-①当0∆>时，直线和圆锥曲线M 有两个不同的公共点； ②当0∆=时，直线和圆锥曲线M 相切，只有一个公共点； ③当0∆<时，直线和圆锥曲线M 没有公共点. 2.弦长问题（1）斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长1212|||PP x x =-或1212|||PP y y =-（0k ≠）； （2）椭圆与双曲线的通径长为22b a；（3）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，弦AB 过焦点F ，①；()121222p pAB AF BB x x x x p =+=+++=++ ②若直线AB 与x 轴的夹角为θ，则22||sin pAB θ=；特别地，抛物线的通径长为2p .1．双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ） A、,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B、⎫⎪⎪⎝⎭ C、⎫⎪⎪⎝⎭ D、)2．以抛物线24=y x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）A.2220++=x y xB.220++=x y x C.220+-=y x χ D.2220+-=x y x 3．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP⋅ 的最大值为（ ）A.2B.3C.6D.8第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系课堂探究案考点一：圆锥曲线定义、方程的综合【典例1】（1）若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ,线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点分成2:3的两段,则此双曲线的离心率为 （ ）A ．89B ．37376 C ．335 D ．21215 （2）已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：则1与2的标准方程分别为（ ）A. 2214x y +=；24y x = B. 2212x y +=；24y x =C. 2214x y +=；22y x = D. 22143x y +=；24y x =【变式1】（1）已知三个数2,8m ，构成一个等比数列，则圆锥曲线2212x y m +=的离心率为（A （B （C （D （2）已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．23考点二：直线和圆锥曲线的位置关系【典例2】过抛物线24y x =的焦点F 作弦AB ，且||8AB ≤，直线AB 与椭圆22322x y +=相交于两个不同的点，求直线AB 的倾斜角的取值范围.【变式2】椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(,)P a b 满足212||||PF F F =．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线2PF 与椭圆相交于A 、B 两点，若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++=相交于M 、N 两点，且5||||8MN AB =，求椭圆的方程．考点三：最值问题【典例3】已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，由4个点(,)M a b -，(,)N a b ，2F 和1F .（1）求椭圆的方程;（2）过点1F 的直线和椭圆交于两点A 、B ，求2F AB ∆面积的最大值.【变式3】已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>过点(0,2)M ，离心率e =.（1）求椭圆的方程；（2）设过定点(2,0)N 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点),求直线l 斜率的取值范围.1. 若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．42.在区间[1,5]和[2,6]内分别取一个数，记为a 和b ， 则方程22221()x y a b a b-=<表示离心率A.12 B.1532 C.1732 D. 31323. 已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF ，则AFK ∆的面积为( ) A.4 B.8 C.16 D.324.设F 是抛物线1:C 24y x =的焦点，点A 是抛物线与双曲线2:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 .第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系（课后拓展案）组全员必做题1．两个正数a 、b 的等差中项是25, 一个等比中项是1,,62222=->b y a x b a 则双曲线且的离心率e 等于（ ）A ．23B ．215C ．13D ．3132．已知12F 、F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( )(A)(1,1(B)()1++∞(C)(1(D))13．已知抛物线x y 42=，以)1,1(为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线方程为（ ） A ．012=+-y x B ．012=--y x C ．032=-+y x D ．032=-+y x4． 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>斜率为1的直线l 与椭圆相交，截得的弦长为正整数的直线l 恰有3条，则b 的值为（ ）A.C.D.5．已知抛物线C ：22(0)y px p =>过点A （1 , -2）. （1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L的距离等于？若存在，求直线L 的方程；若不存在，说明理由.组提高选做题设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b +=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且2AF ,AB,2BF 成等差数列.（1)求E 的离心率； （2）设点P （0,-1）满足PA PB=,求E 的方程.第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系参考答案1.C2.D3.C【典例1】（1）D ；（2）A 【变式1】（1）C ；（2）B 【典例2】23[,)(,]4334ππππ； 【变式2】（1）12；（2）2211612x y +=. 【典例3】（1）22143x y +=；（2）3.【变式3】（1）221124x y +=；（2）k >k <1.D2.B3.D4.组全员必做题1.D2.A3.B4.C5.（1）24y x =；准线为1x =-. （2）存在.210x y +-=组提高选做题（1）2；（2）221189x y +=.。
高三数学专题复习 直线与圆锥曲线的综合问题教案高三全册数学教案_1
课堂同步练习：3．(2021·高考)直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．假设该抛物线上存在点C，使得∠ACB 为直角，那么a的取值范围为________．解析以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a，由得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.即(y－a)[y－(a－1)]＝0，由解得a≥1.答案[1，＋∞)4．(2021·高考改编)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公一一共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公一一共点．假设四边形AF1BF2为矩形，那么C2的离心率是________．解析|F1F2|＝2.设双曲线的方程为－＝1.∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，那么(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，∴a＝，∴离心率e＝＝＝.答案考点探究打破典型例题讲解，先让学生自己考虑，老师再给出思路，最后用多媒体展示解答过程，要求学生自己做题时要标准。
同时给出做这种题的思路指导，并且加以总结，指出要记住的，要注意的，易错点等。
3x2－4x＝0，即A(0，)，B，所以可得|AB|＝；将y＝x＋m代入＋＝1得：3x2＋4mx＋2m2－6＝0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，那么|CD|＝＝，又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3<m<3，所以当m＝0时，|CD|获得最大值4，∴四边形ABCD面积的最大值为|AB|·|CD|＝.。
高考数学(理科)一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案
高考数学（理科）一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案学案54 直线与圆锥曲线的位置关系导学目标：1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．自主梳理．直线与椭圆的位置关系的判定方法将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ0，即>63或2或t0.故直线AB的方程是：y＝22x＋62或y＝22x－62或y＝－22x＋62或y＝－22x－62.变式迁移2 解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，则c＝3，ca＝32.∴a＝2，b＝1.∴所求椭圆方程为x24＋y2＝1.由y＝x＋，x24＋y2＝1，消去y得关于x的方程：x2＋8x＋4＝0，则Δ＝642－80>0，解得20x1＋x2＝21－20，∴10，解得22.即的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.设P，Q，则oP→＋oQ→＝，由方程①，x1＋x2＝－421＋22.②又y1＋y2＝＋22.③而A，B，AB→＝．所以oP→＋oQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2，将②③代入上式，解得＝22.由知22，故没有符合题意的常数.课后练习区．A 2.c 3.A 4.D 5.c．[1,5) 7.5 8.2．解设直线AB的方程为y＝x＋b，由y＝－x2＋3，y＝x＋b，消去y得x2＋x＋b－3＝0，∴x1＋x2＝－1.于是AB的中点，且Δ＝1－4>0，即b<134.又在直线x＋y＝0上，∴b＝1符合．∴x2＋x－2＝0.由弦长公式可得|AB|＝1＋1212－4232.0．解由e＝ca＝32，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.由题意可知12×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组a＝2b，ab＝2，得a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.由可知A，且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为，直线l的斜率为，则直线l的方程为y＝．于是A，B两点的坐标满足方程组y x＋2x24＋y2＝1.由方程组消去y并整理，得x2＋162x＋＝0.由根与系数的关系，得－2x1＝162－41＋42，所以x1＝2－821＋42，从而y1＝41＋42.设线段AB的中点为，则的坐标为．以下分两种情况讨论：①当＝0时，点B的坐标是，线段AB的垂直平分线为y 轴，于是QA→＝，QB→＝．由QA→•QB→＝4，得y0＝±22.②当≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为y－21＋42＝－1．令x＝0，解得y0＝－61＋42.由QA→＝，QB→＝，QA→•QB→＝－2x1－y0＝－22－821＋42＋61＋42＝4164＋152－11＋422＝4，整理得72＝2，故＝±147.所以y0＝±2145.综上，y0＝±22或y0＝±2145.1．解由点P在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1.由题意有y0x0－a•y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝ca＝305.联立x2－2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0.设A，B，则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24.①设oc→＝，oc→＝λoA→＋oB→，即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.又c为双曲线上一点，即x23－23＝5b2，有－52＝5b2.化简得λ2＋＋2λ＝5b2.②又A，B在双曲线上，所以x21－21＝5b2，x22－22＝5b2.由①式又有x1x2－1y2＝x1x2－5＝－4x1x2＋5c－5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。
2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。
2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。
3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。
4. 直线与圆锥曲线的应用问题。
三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件和教学素材。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
3. 练习题和答案。
五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。
3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。
4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。
2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。
2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。
八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。
九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。
2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。
十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。
2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。
3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。
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直线与圆锥曲线 [基本知识] 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程A x ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．
即由⎩⎪⎨⎪⎧
Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.
(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式为Δ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离.
(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合．
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( )
(2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( )
(3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
二、填空题
1．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．
答案：[－1,1]
2．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24
＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，弦AB 的长为________． 答案：85
3．双曲线x 29－y 2
16
＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．
答案：3215
[典例] (1)(2019·河南九校联考)已知直线y ＝kx ＋t 与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切且与抛物线C ：x 2
＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C ．(－3,0)
D ．(－2,0)
(2)若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条 [解析] (1)因为直线与圆相切，所以|t ＋1|1＋k 2
＝1，即k 2＝t 2＋2t .将直线方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t ＞0，解得t ＞0或t ＜－3.选A.
(2)结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条，分别为直线x ＝0，直线y ＝1以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．故选C.
[答案] (1)A (2)C
[方法技巧]
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
[提醒] 联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．
[针对训练]
1．若直线mx ＋ny ＝4和圆
O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )
A ．至多一个
B ．2
C ．1
D ．0
解析：选B ∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d ＝
4m 2＋n 2 ＞2，∴m 2＋n 2＜4.∴m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2＜1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 2
4
＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4
＝1的交点有2个． 2．双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与。