2016_2017学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式课件新人教B版选修4_5
2016_2017学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.1比较法课件
[探究共研型]
用比较法证明不等式
探究1 作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？
【提示】 作差比较法适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.实质是 把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.
探究2 作商比较法主要适用类型是什么？其证明的一般步骤是什么？
【提示】 作商比较法主要用于积(商)、幂(根式)、指数形式的不等式证明. 其证明的一般步骤：作商→变形(化简)→判断商值与1的大小关系→结论.
求商比较法证明不等式
已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.
【精彩点拨】 判断logaa－1与loga＋1a的符号 → 作商化简 →与1比较大小→ 下结论
【自主解答】 ∵a＞2，则a－1＞1， ∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0， logaa－1 由于 ＝loga(a－1)· loga(a＋1) loga＋1a
(2)作商比较法 a b 若 a>0，b>0，要证明 a>b，只要证明 >1；要证明 b>a，只要证明 >1.这 b a 种证明不等式的方法，叫做作商比较法. 教材整理 2 比较法证明不等式的步骤
比较法是证明不等式的基本方法之一，其步骤是先 求差(商)，然后 变形 ，最 终通过比较作 判断.
1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是( A.t＞s C.t＜s B.t≥s D.t≤s
求证：(1)当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2； (2)当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab) .
a+b 2
【精彩点拨】 (1)利用作差比较法，注意变形分解； (2)利用作商比较法，注意判断底数大小决定商的大小.
高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式课件新人教B版选修4_5
求下列函数的值域. (1)y＝x22＋x1；(2)y＝x22＋x1.
【精彩点拨】
把函数转化为y＝ax＋
b x
或y＝
1 ax＋bx
的形式，再利用基本不
等式求解.
【自主解答】
(1)y＝x22 ＋ x 1＝1 2 x＋1 x ，当x＞0时，
x＋
1 x
≥2，∴y≥1；当x＜0时，－x＞0，－x＋
1 －x
元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为
年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不
包括促销费用).
(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利
润是多少万元？
【精彩点拨】 (1)可先通过m＝0时，x＝1求出常数k，再根据条件列出y关 于m的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值.
阶1.2 基本不等式
阶1.2 基本不等式
段
段
一
三
阶1.2 基本不等式
段 二
学业分1.2 基本不等式
层 测
评
1.理解两个正数的基本不等式. 2.了解三个正数和一般形式的基本不等式. 3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题.
2.定理 2
如果 a，b 为 数，则a＋ 2 b
ab，当且仅当 a b 时，等号成立.这个不等式
≥2
x－1·x－ 9 1＋2＝8，
当且仅当x－1＝x－ 9 1，
即x＝4时，等号成立. 所以当x＝4时，ymin＝8.
[构建·体系]
【解析】
原式变形为y＝x－ 1 3＋x－3＋3.
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本
1．5.2 综合法和分析法[对应学生用书P19][读教材·填要点]1．综合法从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法．2．分析法从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)，这种证明方法称为分析法．[小问题·大思维]1．如何理解分析法寻找的是使要证命题成立的充分条件？提示：用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A 只需证B ”表示，说明只要B 成立，就一定有A 成立，所以B 必须是A 的充分条件才行，当然B 是A 的充要条件也可．2．用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？提示：综合法：A ⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B (逐步推演不等式成立的必要条件)， 即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：B ⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (步步寻求不等式成立的充分条件)， 总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法．[对应学生用书P19][例1] 已知a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，又abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.[思路点拨] 本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向．左端含有根号，脱去根号可通过a ＝1bc <1b ＋1c 2实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可．[精解详析] 法一：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab ＜1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c. 法二：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc2＞ abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b＋c .(1)用综合法证明不等式时，主要利用基本不等式，函数的单调性以及不等式的性质等知识，在严密的演绎推理下推导出结论．(2)综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：①a 2≥0(a ∈R )．②(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有：a 2＋b 2≥2ab ，(a ＋b2)2≥ab .a 2＋b 2≥12(a ＋b )2.③若a ，b 为正实数，a ＋b 2≥ab .特别b a ＋a b≥2.④a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc＋ca .1．已知a >0，b >0，求证a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0， 所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0， 所以b (c 2＋a 2)≥2abc .因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .[例2] a ，b 均为正实数，且2c >a ＋b .求证：c－c2－ab<a<c＋c2－ab.[思路点拨] 本题考查分析法在证明不等式中的应用．解答本题需要对原不等式变形为－c2－ab<a－c<c2－ab，然后再证明．[精解详析] 要证c－c2－ab＜a＜c＋c2－ab，只需证－c2－ab＜a－c＜c2－ab，即证|a－c|＜c2－ab，两边平方得a2－2ac＋c2＜c2－ab，也即证a2＋ab＜2ac，即a(a＋b)＜2ac.∵a，b均为正实数，且a＋b＜2c，∴a(a＋b)＜2ac显然成立．∴原不等式成立．(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径．(2)对于无理不等式的证明，常采用分析法通过平方将其有理化，但在乘方的过程中，要注意其变形的等价性．(3)分析法证题的本质是从被证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证明的关键是推理的每一步都必须可逆．2．已知x>0，y>0，求证：(x2＋y2)12>(x3＋y3)13.证明：要证明(x2＋y2)12>(x3＋y3)13，只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.∵x>0，y>0，∴x2y2>0.即证3x2＋3y2>2xy.∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy，∴3x2＋3y2>2xy成立．∴(x2＋y2)12>(x3＋y3)13.[例3] 已知a ，b ，c 均为正实数，且b 2＝ac .求证：a 4＋b 4＋c 4＞(a 2－b 2＋c 2)2. [思路点拨] 本题考查综合法与分析法的综合应用．解答本题可先采用分析法将所要证明的不等式转化为较易证明的不等式，然后再用综合法证明．[精解详析] 欲证原不等式成立，只需证a 4＋b 4＋c 4＞a 4＋b 4＋c 4－2a 2b 2＋2a 2c 2－2b 2c 2， 即证a 2b 2＋b 2c 2－a 2c 2＞0，∵b 2＝ac ，故只需证(a 2＋c 2)ac －a 2c 2＞0. ∵a 、c ＞0，故只需证a 2＋c 2－ac >0， 又∵a 2＋c 2>2ac ，∴a 2＋c 2－ac >0显然成立． ∴原不等式成立．(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析与综合之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．3．已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0. 证明：法一：要证明1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0， 只需要证明1a －b ＋1b －c >1a －c. ∵a >b >c ，∴a －c >a －b >0，b －c >0， ∴1a －b >1a －c， 1b －c >0，∴1a －b ＋1b －c >1c －a 成立． ∴1a －b ＋1b －c －1c －a>0成立． 法二：若令a －b ＝x ，b －c ＝y ，则a －c ＝x ＋y ， ∵a >b >c ，∴x >0，y >0，证明1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0， 只要证明：1x ＋1y －1x ＋y >0，也就是要证：y x ＋y ＋x x ＋y －xyxy x＋y>0，即证：x 2＋y 2＋xyxy x ＋y＞0，∵x >0，y >0，∴x ＋y >0，x 2＋y 2＋xy >0， ∴上式成立，即1x ＋1y －1x ＋y ＞0，故1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0.[对应学生用书P20]一、选择题1．设a ，b 均为正实数，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A ≥B B ．A ≤B C ．A ＞BD ．A ＜B解析：用综合法(a ＋b )2＝a ＋2ab ＋b ， 所以A 2－B 2＞0. 又A ＞0，B ＞0， ∴A ＞B . 答案：C2．已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：由已知得3x >x ＋y ＋z ＝0， 3z <x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z得xy >xz .答案：C3．若a >0，b >0，下列不等式中不成立的是( ) A.b a ＋a b≥2B ．a 2＋b 2≥2ab C.b 2a ＋a 2b≥a ＋bD.1a ＋1b ≥2＋2a ＋b解析：由b a∈(0，＋∞)且a b ∈(0，＋∞)，得b a ＋a b ≥2b a ·ab，所以A 成立，B 显然成立，不等式C 可变形为a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2⇔(a 2－b 2)(a －b )≥0.答案：D4．已知a 、b 、c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则( ) A ．S ≥2P B ．P <S <2P C ．S >PD ．P ≤S ＜2P解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 即S ≥P .又三角形中|a －b |＜c ，∴a 2＋b 2－2ab ＜c 2. 同理b 2－2bc ＋c 2＜a 2，c 2－2ac ＋a 2＜b 2， ∴a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )．即S <2P . 答案：D 二、填空题5．已知a ，b ，c ∈R ＋，则1a ＋1b ＋1c与1ab＋1bc ＋1ac的大小关系是________________．解析：因为1a ＋1b ≥21ab ，1b ＋1c≥21bc ，1a ＋1c≥21ab，三式相加可得1a ＋1b ＋1c≥1ab＋1bc＋1ac.答案：1a ＋1b ＋1c≥1ab ＋1bc ＋1ac6．若x >0，y >0，且5x ＋7y ＝20，则xy 的最大值是________________． 解析：xy ＝135(5x ·7y )≤135⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋7y 22＝135⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝207.当且仅当5x ＝7y ＝10即x ＝2，y ＝107时取等号．答案：2077．已知a ＞0，b ＞0，若P 是a ，b 的等差中项，Q 是a ，b 的正的等比中项，1R 是1a ，1b的等差中项，则P 、Q 、R 按从大到小的排列顺序为________．解析：由已知P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，1R ＝1a ＋1b 2＝a ＋b 2ab ，即R ＝2aba ＋b，显然P ≥Q ，又2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ，∴Q ≥R .∴P ≥Q ≥R . 答案：P ≥Q ≥R 8．若不等式1a －b ＋1b －c ＋λc －a>0在条件a >b >c 时恒成立，则λ的取值范围是________． 解析：不等式可化为1a －b ＋1b －c >λa －c. ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0， ∴λ<a －c a －b ＋a －cb －c恒成立． ∵a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2＝4. ∴λ<4. 答案：(－∞，4) 三、解答题9．a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：法一：由左式推证右式∵abc ＝1，且a ，b ，c 为互不相等的正数，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab ＝bc ＋ac 2＋ac ＋ab 2＋ab ＋bc 2>bc ·ac ＋ac ·ab ＋ab ·bc (基本不等式)＝c ＋a ＋b . ∴1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .法二：由右式推证左式∵a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1， ∴a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab<1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2(基本不等式) ＝1a ＋1b ＋1c .∴1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .10．已知a >b >0，求证：a －b28a <a ＋b2－ab <a －b28b.证明：要证a －b28a <a ＋b2－ab <a －b28b，只要证a －b24a<a ＋b －2ab <a －b24b，即证⎝⎛⎭⎪⎫a －b 2a 2<(a －b )2<⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2， 即证0＜a －b 2a ＜a －b ＜a －b2b， 即证a ＋b a <2<a ＋bb， 即证1＋b a <2<1＋a b， 即证b a<1<ab 成立． 因为a >b >0，所以a b>1，b a<1，故ba ＜1，ab＞1成立． 所以有a －b28a <a ＋b2－ab <a －b28b成立．11．已知实数a 、b 、c 满足c ＜b ＜a ，a ＋b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1.求证：1＜a ＋b ＜43.证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴欲证结论等价于 1＜1－c ＜43，即－13＜c ＜0.又a 2＋b 2＋c 2＝1，则有ab ＝a ＋b2－a 2＋b 22＝－c2－－c22＝c 2－c .①由a ＋b ＝1－c .②由①②得a 、b 是方程x 2－(1－c )x ＋c 2－c ＝0的两个不等实根，从而Δ＝(1－c )2－4(c 2－c )＞0，解得－13＜c ＜1.∵c ＜b ＜a ，∴(c －a )(c －b )＝c 2－c (a ＋b )＋ab ＝c 2－c (1－c )＋c 2－c ＞0，解得c ＜0或c ＞23(舍)．∴－13＜c ＜0，即1＜a ＋b ＜43.。
高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.
2.在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断.作差法变形的常 用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等.
3.利用求商比较法比较两个式子的大小时，第(2)步的变形要向着有利于判 断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步.
[再练一题] 1.已知A＝1x＋1y，B＝x＋4 y，其中x，y为正数，试比较A与B的大小.
【解析】 a>b并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B成立.又a>b ⇒a－b>0，但不能保证a－b>1，从而不能保证C成立.显然D成立.事实上，指数 函数y＝12x是减函数，所以a>b⇔12a<12b成立.
【答案】 D
教材整理 2 一元一次不等式的解法 关于 x 的不等式 ax>b， (1)当 a>0 时，该不等式的解集为ba，＋∞； (2)当 a<0 时，该不等式的解集为－∞，ba； (3)当 a＝0 时，若 b<0，则该不等式的解集为 R；若 b≥0，则该不等式的解 集为 ∅.
不等式组xx＞＋m9＜＋51x＋1， 的解集是{x|x＞2}，则m的取值范围是(
)
【导学号：38000000】
A.m≤2
B.m≥2
C.m≤1 【解析】
D.m≥1 原不等式组可化为xx＞＞m2，＋1. ∵解集为{x|x＞2}，∴m＋1≤2，
∴m≤1. 【答案】 C
教材整理3 一元二次不等式的解法
xx≠－2ba
ax2＋bx＋
c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
2016-2017学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.2综合法和分析法课件
法一：在△ABC中，a<b＋c，b<a＋c，c<b＋a，则a2<a(b＋c)，b2<b(a＋ c)，c2<c(b＋a).
∴a2＋b2＋c2<a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(a＋b)， 即a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ac.
第17页，共45页。
法二：在△ABC中，设a>b>c， ∴0<a－b<c,0<b－c<a,0<a－c<b， ∴(a－b)2<c2，(b－c)2<a2，(a－c)2<b2， ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2<c2＋a2＋b2， 即a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ac. 综上，得ab＋bc＋ac≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ac.
∵x＞0，y＞0，
∴x2y2＞0，
第33页，共45页。
即证3x2＋3y2＞2xy.
∵3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy，
∴3x2＋3y2＞2xy成立.
1
1
∴(x2＋y2)2பைடு நூலகம்(x3＋y3)3.
第34页，共45页。
[构建·体系]
综合法与分析法———
综合法由因寻果 分析法执果索因
———
定义与应用
第35页，共45页。
第20页，共45页。
即证(a－b)(a－c)＞0. ∵a＞b＞c， ∴(a－b)(a－c)＞0成立， 从而 b2－ac＜ 3a成立.
第21页，共45页。
1.本题的关键是在不等式两边非负的条件下，寻找结论成立时不带根号(平 方)的充分条件，采用分析法是常用方法.证明时要注意表达的严密、准确，不 可颠倒因果关系，否则要犯逻辑错误.
2016_2017学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1.1不等式的基本性质课件
������
������
③若 a>b,ab≠0,则 ������ < ������ ; ④若 a>b,c>d,则 ac>bd; ⑤若 ������ > ������ , 则 ad>bc.
解析 :对于①,当 c2=0 时不成立 ; 对于 ②,∵c >0,∴
2
1
������
������
对于 ③,a>0>b 时不成立; 对于 ④,当 a=1,b=0,c=-1,d=-2 时 ,ac>bd 不成立 ; ⑤中 cd 不一定大于 0,故不正确.
题型一
题型二
题型三
题型四
(5)真命题.理由:因为 0 > a > ������ , 所以 n 必为奇数. ������ ������ 故 0>( ������)n>( ������ )n,即 0>a>b. ������ ������ 故 0 > ������ > ������⇒a>b(n∈N*,n>1), 故(5)为真命题.
【做一做2-1】 若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(
)
A. < C.
������ ������ > D.a|c|>b|c| ������2 +1 ������2 +1
1 ������
1 ������
B.a2>b2
解析:对于选项A,还需有ab>0这个前提条件;对于选项B,当a,b都 为负数时不成立,或一正一负时可能不成立,如2>-3,但22>(-3)2不正
(2)假命题.理由 :令 a=1,b=-1,有 故(2)为假命题 ; 故(3)为假命题 ;
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1.1 不等式的基本性质课件 新人教B版选修45
1.有以下四个条件： ①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.
其中能使1a<1b成立的有________个条件. 解析 ①b>0>a，∴1a<0<1b，结论成立；
②0>a>b，∴1a<1b，结论成立；
③a>0>b，∴1a>1b，结论不成立；
④a>b>0，∴1a<1b，结论成立. 答案 3
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析 运用倒数性质，由 a>b，ab>0 可
得1a<1b，②、④正确.又正数大于负数，①
正确，③错误，故选 C.
答案 C
2.已知 a，b，c，d 为实数，且 c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”
的
()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若 a>b>0，c<d<0，则一定有
(B )
A.ad>bc
B.ad<bc
C.ac>bd
D.ac<bd
解析 思路一：根据给出的字母的取值要求，取特殊值验证.
思路二：根据不等式的性质直接推导.
方法一：令 a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则ac＝－1，bd＝－1，排除选项 C，D；
又ad＝－32，bc＝－23，所以ad<bc，所以选项 A 错误，选项 B 正确.故选 B.
基础自测
1.如果 a∈R，且 a2＋a<0，那么 a，a2，－a，－a2 的大小关系是( ) A.a2>a>－a2>－a B.－a>a2>－a2>a C.－a>a2>a>－a2 D.a2>－a>a>－a2 解析 由 a2＋a<0 知 a≠0，故有 a<－a2<0，0<a2<－ a.故选 B. 答案 B
2016_2017学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.2综合法和分析法课件
������2 +������2 -1 − ≤0 2
− 1-a2b2≤ 0
综合法在应用中的有关问题是什么? 剖析:用综合法证明不等式时,主要利用基本不等式,函数的单调 性以及不等式的性质,在严密的演绎推理下推导出结论. 综合法证明问题的“入手处”是题设中的已知条件或某些基本不 等式.比如下面的几个,是经常用到的:
题型一
题型二
题型三
用分析法证明不等式
【例 2】
(������-������) 已知 a>b>0,求证: 8������
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分析:本题要证明的不等式显得较为复杂,不易观察出怎样由 a>b>0得到要证明的不等式,因而可以用分析法先变形要证明的不 等式,从中找到证题的线索.
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题型一
题型二
题型三
易错辨析 易错点:因不注意分析法的证题格式而致错.
【例 3】 用分析法证明: 3 + 6 < 4 + 5. 错解 :证明: 由 3 + 6 < 4 + 5, 知 ( 3 + 6)2<( 4 + 5)2,即 9+ 2 18 < 9+2 20, 即 2 18 < 2 20, 即18<20. 因为 18<20 显然成立 ,所以原不等式成立. 错因分析:分析法是“执果索因”,即由待证的不等式出发,逐步寻 求它要成立的充分条件,所以书写时必须按照分析法的固有格式进 行.本题的错误就在于未按分析法的格式证明.
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1 1 5x＋7y (2)xy＝35(5x· 7y)≤35 2
2
1 20 ＝35 2
2
20 ＝7，
10 20 当且仅当5x＝7y＝10，即x＝2，y＝ 7 时，等号成立，此时xy取最大值 7 .
在求最值时，除了注意“一正、二定、三相等”之外，还要掌握配项、凑 系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式 的情况.
即y＝3x时等号成立. 1 9 又x ＋y ＝1，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
基本不等式的实际应用
某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂 k 的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－ (k为常数)，如果不 m＋1 搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万 元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为 年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不 包括促销费用).
[小组合作型]
利用基本不等式证明不等式
a2 b2 c2 已知a，b，c都是正数，求证： b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c. 【导学号：38000004】
【精彩点拨】 观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系.
【自主解答】 a2 ∴ b ＋b≥2
∵a>0，b>0，c>0， a2 b＝2a， b·
(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利 润是多少万元？
【精彩点拨】 (1)可先通过m＝0时，x＝1求出常数k，再根据条件列出y关 于m的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值.
3.定理 3 a＋b＋c 3 正数 如果 a，b，c 为 ，则 3 ≥ abc，当且仅当a＝b＝c 时，等号成立. 4.定理 4 如果 a1，a2，…，an 为 n 个正数 ，则 当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立. a1＋a2＋…＋an ≥ n a1a2…an，当且仅 n
设0<a<b，则下列不等式中正确的是( a＋b A.a<b< ab< 2 a＋b B.a< ab< 2 <b a＋b C.a< ab<b< 2 a＋b D. ab<a< 2 <b
2.定理 2 a＋b 正 如果 a，b 为 数，则 2 ≥ ab，当且仅当 a ＝b 时，等号成立.这个不等式
a＋b 我们称之为基本不等式或平均值不等式.同时，我们称 2 为正数 a，b 的算术 平 均值，称 ab为正数 a，b 的几何 平均值，该定理又可叙述为：两个正数的算术 平均值大于或等于 它们的几何平均值.
b2 c2 同理： c ＋c≥2b， a ＋a≥2c. 三式相加得： a2 b2 c2 b ＋ c ＋ a ＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)， a2 b2 c2 ∴ b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c.
1.首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形，或配凑使之具备基本不 等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明. 2.当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个 “＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到.
[再练一题] 1.设a＞0，b＞0，m＞0，n＞0.证明：(m2＋n4)(m4＋n2)≥4m3n3.
【证明】 因为m＞0，n＞0，则m2＋n4≥2mn2，m4＋n2≥2m2n，பைடு நூலகம்所以(m2＋n4)(m4＋n2)≥4m3n3， 当且仅当m＝n＝1时，取等号.
利用基本不等式求最值
1 1 (1)已知x，y∈R＋，且x＋2y＝1，求x ＋y 的最小值； (2)已知x>0，y>0，且5x＋7y＝20，求xy的最大值.
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【解析】
a＋b ∵0<a<b，∴a< 2 <b，A，C错误；
ab －a＝
a (
b －
a)>0，即 ab>a，故选B.
【答案】 B
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
阶 段 一
阶 段 三
1.2
基本不等式
学 业 分 层 测 评
阶 段 二
1.理解两个正数的基本不等式. 2.了解三个正数和一般形式的基本不等式. 3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题.
[基础· 初探] 教材整理 1.定理 1 设 a，b∈R，则 a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立. 基本定理(重要不等式及基本不等式)
[再练一题] 1 9 2.若将本例(1)的条件改为“已知x>0，y>0，且 x ＋ y ＝1”，试求x＋y的最小 值.
【解】
1 9 ∵x>0，y>0，且x ＋y ＝1，
1 9 ∴x＋y＝(x＋y)x ＋y
y 9x ＝x＋ y ＋10≥2 y 9x 当且仅当x＝ y ，
y 9x x·y ＋10＝16.
【精彩点拨】 根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件.
【自主解答】
(1)因为x＋2y＝1，
1 1 x＋2y x＋2y 2y x 所以x ＋y ＝ x ＋ y ＝3＋ x ＋y ≥3＋2 2y x x· y＝3＋2 2，
2y x 当且仅当 x ＝y，x＋2y＝1，即 2 x＝ 2－1，y＝1－ 2 时，等号成立. 2 1 1 所以当x＝ 2－1，y＝1－ 2 时，x ＋y 取最小值3＋2 2.