四年级奥数第51讲数的整除特征(一)
数的整除的综合运用(一) 3.差系：7 11 13 能否被 7 11 …
数的整除的综合运用（一）【大海传功】 数的整除特征1．末位系：2，5；4，25；8，125能否被2或5整除是看末一位 能否被4或25整除是看末两位 能否被8或125整除是看末三位2．和系：3，9，99⑴能否被3或9整除是看数字之和是否为3或9的倍数这个数除以3或9的余数等于这个数的数字之和除以3或9的余数 弃九法⑵能否被99整除是从这个数的末位开始，两位一段，看这些数段的和能否被99整除3．差系：7，11，13 能否被7，11，13整除规律是把这个数的末三位与末三位之前的数作差(大减小)，看这个差是否为7，11，13的倍数能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)是否为11的倍数这个差除以余几就代表这个数除以11余几(注：计算余数时必须是奇数位的数字和去减偶数位的数字和)4．拆分系：72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13……【例1】(★★★)在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。
⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？【例2】()★★★要使15ABC 6能被36整除，而且所得的商最小，那么A 、B 、C 分别是多少？【例3】()★★★ 某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【例4】(★★★)★在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除。
那么这三个数字的和是_______。
【例5】()★★从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？1【例6】(★)★★下图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。
第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数A 的末尾共有多少个0？【例7】() ★★★★右图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。
小学奥数关于数的整除规律
数的整除规律1、一个数的个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
2、一个数的数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。
3、这一个数的末两位如果能被4或者25整除，这个数就能被4或者25整除。
4、个位上是0或5的数都能被5整除。
5.这个数的末位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7,11或13整除，则原数能被7,11或13整除。
6.这个数的末三位如果能被8或者125整除，这个数就一定能被8或者125整除。
7.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。
数的整除特征
数的整除特征知识概要数的整除特征具有较强的实际意义，常用的数的整除特征如下：1、能被2整除数的特征：个位数字是０、2、4、6、8的数能被2整除。
2、能被5整除的数的特征：个位数字是0和5的数能被5整除。
3、能被3（或9）整除的数的特征：各位数字和能被3（或9）整除。
这个数能被3（或9）整除。
4、能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
5、能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
6、能被7（或11或13）整除的数的特征：末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被7（或11或13）整除。
、7、能被11整除的数的特征：奇数位数字和与偶数位数字和的差（大减小）能被11整除。
例题解评例1、如果六位数12x40y 能被72整除，试求此六位数。
思路点拨：因为六位数12x40y 是72的倍数，且72=9×8 ，所以12x40y既是8的倍数又是9的倍数。
据能被8整除的数的特征，知40y是8的倍数。
（1）当y=0时，根据1＋2＋x＋4是9的倍数，且0≤x≤9可得x=2（2）当y=8时，根据1＋2＋x＋4＋8是9的倍数，且0≤x≤9可得x=3所以所求的六位数是122400或123408。
例2 、一个四位数，减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数603A ，试求出A。
思路点拨：设这个四位数为abcd , 则abcd=1000×a＋100×b＋10×c＋d,它的各位数字之和为a＋b＋c＋d。
于是有：abcd-（a＋b＋c＋d）=1000×a＋100×b＋10×c×d－（a＋b＋c＋d）=999×a＋99×b＋9×c=9×（111×a＋11×b＋c）.这表明“一个自然数减去它的各位数字之和后，所得之差一定是9的倍数，”由已知这个差等于603A ，由此就可求出A来。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。
小学四年级奥数竞赛班作业第51讲：数的整除特征(一)
数的整除特征练习题一．夯实基础：1.一个三位数等于它的各位数字之和的42倍，这个三位数是多少？2.将1996加一个整数，使所得的和能被9与11整除，加的整数要尽可能小，那么所加整数是多少？3.一个五位数恰好等于它各位数字之和的2009倍，则这个五位数是多少？4.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？5.如果一个六位数2000a b能被26整除，所有．．这样的六位数是二．拓展提高：6.多位数A由数字1、3、5、7、9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意一个数字整除.求这样的A的最小值.7.某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?8.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？9.六位数2008能同时被9和11整除.这个六位数是多少？10.用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?三. 超常挑战11.包含0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：（1）它能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除；（2）它与2004的和能被13整除.那么这样的“十全数”中最小的是多少？12.在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少？13.把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？14.11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？四．杯赛演练：15.（迎春杯试题）用4,5,6,7,8,9组成一个没有重复数字的六位数，并且这个六位数能被667整除，求这个六位数除以667的商是多少？答案： 1. 42()33()abc a b c abc a b c =++⇒⇒++，所以99912617126abc k k ⎡⎤=⇒≤≤=⎢⎥⎣⎦经试验当6k =时，75642(756)abc ==⨯++2. (911)21199683⨯⨯-=3. 设这个五位数的各位数字之和为a ，则这个五位数为2009a ，则920089a a ⇒又100009999954920092009a a ≤≤⇒≤≤，所以9,18,27,36,45a =，将上述5个值依次尝试，只有18a = 时，200936162a =4. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.5. 26200022000,132000a b a b a b ⇒，经试验得520000,420004,3200086. 至少5位，由于31357925++++=，所以数字和至少增加2，为使其尽量小，位数应尽量小，增加的数也应尽量小，取极端情况251127++=，可满足3A 且9A ，又5A ，所以个位是5，依次考虑：1113795,1113975,1117395,1117935…，经用被7整除试验，得1117935符合要求7. 方法一：利用整除特征因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0．在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80． 又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，1993A20，1993B40，1993C60，1993D80的数字和分别为24A +，26B +，28C +，30D +，对应的A 、B 、C 、D 只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数．因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．显然，其末三位依次为3，2，0．方法二：采用试除法一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被32235789572520⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=整除．用1993000试除，1993000252079÷=，余2200可以看成不足25202200320-=，所以在末三位的方格内填入320即可，或用1993999进行试除，19939992520791679÷=，所以19939996791993320-=能被2520整除，所以1993320为所求的这个数．8. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.9. 为便于表示，设这个六位数为2008a b ，它能同时被9和11整除，所以能被99整除，28991,7a b a b +=⇒==，所以这个六位数是12008710. 现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个 数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A ；另外一组作为百位和个位数，它 们之和加上3记作B ．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法： 偶位 奇位⑴ 1，8 9，8⑵ 1，9 8，8⑶ 9，8 1，8⑷ 8，8 1，9经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求：189A =+=，98320B =++=，11B A -=能被11整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第⑴种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．11.能被10整除，说明个位为0，为了使这个十位数尽可能小，就不妨假设它依次为1234560,123450abc abcd，经试验都不行，再假设它为12340abcd，经试验得这个数最小为123475968012.7、8、9的最小公倍数是504，所得六位数应被504整除÷=，所以所得六位数是524000344523656-=，或5240005041039344-=．因此三个数字的和是17或8．52365650452315213.1到10的乘积里会出现25⨯和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是408149++=个0，还要扩大至220时再增加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224．343=，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其14.因为37中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，所以这连续的11个自然数至少应该含有4个因数5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数中应同时有49和50，且除50外还有两个是5的倍数，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．15.4+5+6+7+8+9=39，是3的倍数，所以这个六位数一定可以被3整除又这个六位数能被667整除，所以这个六位数是3×667=2001的倍数即一个三位数乘以2002得到这个六位数所以这个六位数的前三位是后三位的2倍，所以这个六位数是956478956478÷667=1434，即商是1434.。
数的整除特征精修订
数的整除特征GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-数的整除特征1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。
2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。
4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。
5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。
6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。
【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位数。
问：这样的三位数有几个？【例3】五年级（1）班有36 6 2. 元，问：每本词典多少钱？【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。
【例5】要使27A3B 一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？数的整除专项练习：1、五位数6A25B 一一一一一一一一的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除问：这样的五位数共有几个2、2能被72整除。
3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。
4能被11整除，求这个六位数。
5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几？6、一个六位数37A46B 一一一一一一一一是99的倍数，求这个数除以33的商。
数的整除特征(基础篇)
数的整除特征(上)什么是整除？若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零。
我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，记作b|a，读作b整除a或a能被b整除。
常见数的整除特征：末位系：2，5：看末一位4，25：看末两位8，125：看末三位数字和系：3，9：看数字和数字差系：11：看奇位和与偶位和的差7，11，13系列：⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除；⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。
常见整除性质：⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
(★★★)两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。
(★★)在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
例1例2例3(★★★)四位偶数64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。
例4(★★★)在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？【先睹为快】将三位数3ab 连续重复地写下去，共写2005个3ab ，所得的数20053333abab ab ab 个正好是91的倍数，试求ab ＝___________。
(★★★)能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？(★★★★)请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？例5例6。
四年级上册数的整除性
四年级上册数的整除性在数学的奇妙世界里，四年级上册的数的整除性就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开许多数学谜题的大门。
让我们一起来探索这个有趣又实用的知识领域吧！什么是数的整除性呢？简单来说，就是当一个整数除以另一个整数时，如果没有余数，我们就说前者能被后者整除。
比如说，10 ÷ 2 ＝ 5，没有余数，所以 10 能被 2 整除。
整除性有一些很重要的概念和特点。
首先是因数和倍数。
如果整数a 除以整数 b（b ≠ 0）的商是整数且没有余数，那么 b 就是 a 的因数，a 就是b 的倍数。
比如 6 ÷ 2 ＝ 3，2 是 6 的因数，6 是 2 的倍数。
那怎么判断一个数能否被另一个数整除呢？这里有一些小窍门。
能被 2 整除的数，它的个位数字通常是 0、2、4、6、8。
像 12、24、36 等等，个位数字符合这些，就能被 2 整除。
能被 3 整除的数，它的各位数字之和要是 3 的倍数。
比如 123，各位数字之和 1 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 6，6 是 3 的倍数，所以 123 能被 3 整除。
能被 5 整除的数，个位数字是 0 或 5。
像 10、15、20 就都能被 5 整除。
数的整除性在我们的日常生活中也有很多用处呢。
比如说，在分东西的时候，如果知道总数和要分成的份数，通过整除性就能很快知道是不是能平均分。
再比如，在做一些数学计算时，如果能判断出数的整除性，就能简化计算过程，节省时间。
在学习数的整除性时，同学们可能会遇到一些小困难。
比如，容易把因数和倍数的概念弄混，或者在判断能否整除时出现错误。
这时候别着急，多做一些练习题，多思考多总结，就能慢慢掌握啦。
而且，数的整除性还是后续学习更复杂数学知识的基础。
比如分数、小数的运算，都离不开对整除性的理解。
总之，四年级上册数的整除性虽然看起来有些复杂，但只要我们认真学习，多练习，就能掌握这把神奇的钥匙，开启更多数学知识的宝藏！希望同学们都能在数学的海洋中畅游，享受学习数学的乐趣！。