三角函数求值题解题模板
三角函数解题方法
三角函数例1：求)35cos()65sin()613cos()37sin()425(325cos625sinπππππππ-----+-++tg 的值解：213cos6sin6cos3sin43cos6sin-=⋅+--+=πππππππtg例2：已知tan(α-β)=1/2,tan β=-1/7且α、β∈（0，π）求2α-β的值。
分析：要求2α-β的值，只需要先求出角2α-β的某一个三角函数值，再结合2α-β的范围来确定该角的大小，但是由于条件中所给角α、β的范围较大，但α、β实际上仅仅是一个确定的角，所以解这类习题常常需要先根据已知条件把角的范围进一步缩小，最好能使2α-β恰好在所求的三角函数的某一单调区间内，否则若2α-β的范围过大往往会出现多解，从而把不满足条件的角也包含进去了。
解：tan α=tan[(α-β)+β]=31171217121=⋅+-，∴α∈（0，4π） tan β=-71 ∴β∈（,2ππ），∴2α-β∈（-π，0） tan2(α-β)=341141=-∴tan(α-β)=tan[2(α-β)+β]=713471341⋅+-=1 所以2α-β=-43π例3：已知tan2θ=-22，θ∈（24,ππ），求：)sin()sin(31sin cos 23322θθθππθ-⋅+--的值。
解：原式=43232cos sin cos +-θθθ∵tan2θ=-22,2θ∈(2π,π),令2θ终边上一点为的坐标P(x,y),设y=22,x=1,则r=3∴cos2θ=31-,sin θ=33sin , 3622cos 1==-θθ所以原式=)21(443633633-=+--例4：化简：)tan(tan tan tan )tan(βααβαβα+⋅--+解：∵tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)ββααβαβαβααβαβαβαβααβαβαtan )tan(tan tan tan )tan()tan(tan )tan tan 1)(tan()tan()tan(tan tan tan )tan(=+⋅⋅⋅+=+-+-+=+⋅--+∴说明：这里实际上是运用的两角和（差）的正切公式tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+变形，把tan α+tan β用α+β的正切及tan α²tan β来表示，这类问题在三角求值问题中也常遇到，如求tan(15°-α)tan(75°-α)+tan(15°-α)²tan2α+tan(75°-α) ²tan2α的值等等。
三角函数公式经典题型
三角函数公式经典题型1. 正弦函数与余弦函数的基本关系问题描述：已知角度Θ的正弦值为sinΘ，余弦值为cosΘ，且0 ≤ Θ ≤ π/2，求解以下问题：a) sin^2Θ + cos^2Θ = ?b) sin(90° - Θ) = ?解答：a) 根据三角函数的基本关系，正弦函数与余弦函数满足sin^2Θ + cos^2Θ = 1，所以答案为 1。
b) 根据余弦函数的定义，cos(90° - Θ) = sinΘ，因此 sin(90° - Θ) = sinΘ。
2. 三角函数的和差公式问题描述：已知角度Θ和φ的正弦值分别为sinΘ和sinφ，余弦值分别为cosΘ和cosφ，求解以下问题：a) sin(Θ ± φ) = ?b) cos(Θ ± φ) = ?解答：a) 根据正弦函数的和差公式，sin(Θ ± φ) = sinΘ cosφ ± cosΘ sinφ。
b) 根据余弦函数的和差公式，cos(Θ ± φ) = cosΘ cosφ ∓ sinΘ sinφ。
3. 三角函数的倍角公式问题描述：已知角度Θ的正弦值为sinΘ，余弦值为cosΘ，求解以下问题：a) sin 2Θ = ?b) cos 2Θ = ?解答：a) 根据正弦函数的倍角公式，sin 2Θ = 2sinΘ cosΘ。
b) 根据余弦函数的倍角公式，cos 2Θ = cos^2Θ - sin^2Θ。
4. 三角函数的半角公式问题描述：已知角度Θ的正弦值为sinΘ，余弦值为cosΘ，求解以下问题：a) sin(Θ/2) = ?b) cos(Θ/2) = ?解答：a) 根据正弦函数的半角公式，sin(Θ/2) = ±√((1 - cosΘ)/2)。
b) 根据余弦函数的半角公式，cos(Θ/2) = ±√((1 + cosΘ)/2)。
以上是三角函数公式的经典题型解答。
《高考真题》专题07 三角函数求值-2019年高考文数母题题源系列全国Ⅰ专版(原卷版)
专题07 三角函数求值【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°= A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+ 故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= A ．15 BC．5D ．1【答案】B【解析】根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213⎛⎫=-=⋅-=αα，解得215a =，即5a =，所以25a b a a -=-=， 故选B.【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知π(0)2∈，α，tan α=2，则πcos ()4α-= .【答案】10【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=， 又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为π(0,)2α∈，所以cos αα==， 因为πππcos()cos cossin sin 444ααα-=+，所以πcos()4525210α-=+⨯=. 【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【命题意图】通过考查三角恒等变换公式等相关知识，考查转化思想和运算求解能力. 【命题规律】一般在选择题或填空题中进行考查，分值5分，主要从公式的变用、逆用以及角度的关系等角度，考查方程思想和运算求解能力.【答题模板】已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．【方法总结】1.深层次领悟公式的功能、规律与内涵对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵.如1±sin2α＝(sinα±cosα)2有并项的功能，cos2α＝cos2α－sin2α有升幂的功能，sin2α＝2sinαcosα有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等．2.余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的．3.三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理后使用．4.熟知一些恒等变换的技巧（1）公式的正用、逆用及变形用．（2）熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，3α是23α的半角，2α是4α的倍角等．（3）在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：1＝πtan4，1＝sin2α＋cos2α等．（4）在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．1．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学】A ．2- B ．2C ．12-D ．122．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学】已知π3sin 245x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4x 的值为 A ．1825 B ．1825± C ．725D ．725±3．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】已知ππsin 3cos 36αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2α=A ．-B ．2-C ．D ．24．【山东省潍坊市2019届高三高考模拟（4月二模）考试】若4tan 3α=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．2425- B ．725- C ．725D ．24255．【安徽省1号卷A10联盟2019()πcos π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=A ．7B ．3CD6．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】已知平面直角坐标系下，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(4,3)P ，则πcos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．2425 B ．2425- C ．2425或2425-D ．7257．【湖北省2019届高三4cos 2x x +=，则πcos 3x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．12BC ．3D ．348．【安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学】若3sin cos 5αβ-=，4cos sin 5αβ+=，则s i n()αβ-=A ．3B ．2C ．13D ．129．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试数学】tan 20sin 20︒=︒A ．1B ．2C ．3D ．410．【湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学】若角α满足sin 51cos αα=-，则1cos sin αα+=A ．15B ．52C ．5或15D ．511．【山西省2019届高三百日冲刺考试数学】已知sin10cos102cos140m +=，则m =__________． 12．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷）】已知 为锐角，且，则 __________.13．【江西省景德镇市2019届高三第二次质检】公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若2m n +=4=___________.14．【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试数学】平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 是单位圆在第一象限内的点， xOP α∠=，若π11cos 133α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则00x y +=__________．。
三角函数值计算(word)
DCBA 30°、45°、60°角的三角函数值 学习目标1．理解并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，建立起数与形之间的联系2.会计算含有特殊角的三角函数的混合运算。
3.会由一个特殊锐角的三角函数值求它所对应的角度教学重难点 ：理解并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，会计算含有特殊角的三角函数的混合运算一预习检测1在Rt △ABC 中，∠C=90°AC=6 AB=10 则Sin A = cos B = tan B =2.如上图若∠C=90°∠A=60°则Sin A = cos B = tan B=三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α4.计算（1）Sin 60°• Sin 45°-cos 30°•cos 45°（2）0060cos 160sin 30tan -+二例题精讲例1、求下列各式的值(1) Sin 30°• cos 60°+cos 30°•sin60° （2）000045cos 45sin 130tan 60tan +-⨯例2、求适合下列条件的锐角α （1）01sin 2=-α（2）121cos 2=+α（3）3tan 3=α例3 计算 02230cos 30sin +三课堂练习1. sin60°的值等于（ ）A21 B 22 C 23 D 12.在△ABC 中，∠C=90°若∠B=2∠A 则cos B 的值等于3.在△ABC 中∠A 为锐角，且0< tan A<1则∠A 的范围是 4已知21sin -A +0)2cos 2(2=-B 则△ABC 是 三角形。
5求下列各式的值（1） Sin 30°+ 2cos 60° （2） 00060tan 30cos 60cos 45tan •-（3）02260cos 60sin +（4）001)23(45sin 2)21(9-+--+-（5）1221)14.3(60tan 2)21(002+---+--π6求适合下列条件的锐角α （1）22sin =α （2） 3)10cos(20=+α 7如图∠a 的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，另一边经p(2, 32),求∠a 的三个三角函数值8在△ABC 中∠A=30°∠ABC= 105°BD 垂直AC 于D,且BD=4，试求△ABC 的周长 9挑战自己如图所示，小明将一边长为6的正方形纸片折叠成领带形状， 其中∠D ‘CF= 30°,B 点落在CF 边上的B ’处，则AB ’的长是（ ）A.621223- B 621223+ C.26- D.33-四检测1. Sin 30°• cos 45°+cos 30°• sin 45°2. 2360sin 2)21(1201-+--+-3. 求适合下列条件的锐角α.01tan 3=-αB C。
三角函数求值问题基本解题方法
三角函数求值问题基本解题方法三角函数的求值问题，由于涉及的三角公式较多，问题的解法也比较灵活，但也会呈现出一定的规律性．１ 凑角法一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答．例１ 求的值．tan 204sin 20︒+︒解析 原式sin 202sin 40sin 202sin(6020)cos 20cos 20︒+︒︒+︒-︒==︒︒．sin 202(sin 60cos 20cos 60sin 20)cos 20︒+︒︒-︒︒==︒评注 三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一步中的分子化为，或者化为，都没有上面的方法简捷，sin(6040)2sin 40︒-︒+︒sin(3010)2sin(3010)︒-︒+︒+︒请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！２ 降幂法 一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及，或降幂公式22sincos 1αα+=等借助降幂策略解答．221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==例２ 若，求的值．2cos cos1αα+=26sin sin αα+解析 由，得，（舍去）．由2cos cos 1αα+=cos α=cos α=，又可得，2cos cos 1αα+=22cos 1cos sin ααα=-=则，又由，得，故263sin sin cos cos αααα+=+2cos cos 1αα+=2cos 1cos αα=-，代值可得322cos cos cos (1cos )cos (2cos )2cos cos 3cos 1ααααααααα+=+=-=-=-26sin sin αα+=评注 若求出的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了．涉及非cos α单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．３ 配对法 根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答．例３ 已知，且，求的值．(0,)2x π∈222cos cos 2cos 31x x x ++=x 解析 设，令，则，222cos cos 2cos 3m x x x =++222sin sin 2sin 3n x x x =++3m n +=，其中，，cos 2cos 4cos 6m n x x x -=++2cos 62cos 31x x =-，，又cos 2cos 4cos(3)cos(3)2cos cos3x x x x x x x x +=-++=2cos3(cos cos3)1m n x x x -=+-，故，故可cos cos3cos(2)cos(2)2cos cos 2x x x x x x x x +=-++=4cos cos 2cos31m n x x x -=-解得．则，或，或，又1cos cos 2cos3(22)0(1)4x x x m m =-== cos 0x =cos 20x =cos30x =，则或．(0,2x π∈6x π=4x π=评注 三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝22sin cos 1θθ+=试进行巧妙解答．４ 换元法 很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，但有时会出现给出复合角的三角函数值求值的问题，此时，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题．例４ 求的值．sin 75cos 4515ααα+︒++︒+︒（）（）-（）解析 令，则原式15αβ+︒=sin(60)cos(30)βββ=+︒++︒．(sin cos 60cos sin 60)(cos cos30sin sin 30)0βββββ=︒+︒+︒-︒=评注 教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值，而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于已知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想也都十分重要．对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多．５ 方程法根据已知构造所求量的方程解答．例５ 若，试求的值．33cos sin 1x x =+sin x解析 令，则，．由已知，有cos sin x x t =+21cos sin (1)2x x t =-[t ∈，即，得2221(cos sin )(cos sin cos sin )(1)12t x x x x x x t --++=+=3232(1)(2)0t t t t --=+-=，或（舍去）．即，又，整理可得，解1t =-2t =cos sin 1x x =+22sin cos 1x x +=2sin sin 0x x +=得或．sin 0x =sin 1x =-评注 将已知转化为关于的方程是解题的关键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基sin x 本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般地，若题目中有个需要确定的未知数，则只要构造个n n 方程解答即可．６ 讨论法涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答．例６ 已知中，，求．ABC !54sin ,cos 135A B ==cos C 解析 由，得．当时，因为是的内角，需要满足5sin 13A =12cos 13A =±12cos 13A =-,AB ABC !，有，而余弦函数在区间是减函数，得0A B π<+<0A B ππ<<-<(0,)π，但，故此情形不合题意．cos cos()cos A B B π>-=-124cos cos 135A B =-<-=可以验证符合题意，故．12cos 13A =33cos cos()sin sin cos cos 65C A B A B A B =-+=-=-评注 分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！７ 平方法分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题．例７ 已知，，求的值．sin sin sin 0αβγ++=cos cos cos 0αβγ++=cos()αβ-解析 有，，两式两边平方后对应相加，可得sin sin sin αβγ+=-cos cos cos αβγ+=-2222(sin sin 2sin sin )(cos cos 2cos cos )αβαβαβαβ+++++，即．22(sin )(cos )1γγ=-+-=1cos()2αβ-=-评注 学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”，“取倒数”等操作，需要注意体会．本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的．８ 猜想法根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题．例８ 已知，且为第二象限角，则 ．sin cos αα+=αsin α=解析 由及，可得．sin 0,cos 0αα><22221sincos 1,()(12αα+=+=1sin 2α=评注 实际上，将与联立所得二元二次方程组只有两组解，sin cos αα+=22sin cos 1αα+=即或，依题意只可取前者．学习数学，要培养对数据的1sin ,cos 2αα==1cos ,sin 2αα==敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一种重要的推理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行．９ 图象法根据已知条件，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题．例９ 已知函数的图象与直线在轴右侧的与轴距离最近的相邻()sin 1(1)f x A x A =+>y A =x x 三个交点的横坐标成等比数列，求实数的值．A 解析 如右图，设三个交点的坐标为，(,)B b A ，，由三角函数图象的对称性，则有(,)C c A (,)D d A ，，有，22b c ππ+=⨯=3232c d ππ+=⨯=b c π=-，又，解得．故函数图象经过，3d c π=-222()(3)34c bd c c c c ππππ==--=-+34c π=3(,)4A π代入可得．2A =+评注 数和形是数学的两大支柱，三角函数的很多问题都有图形背景，在解决问题时，要充分借助图形进行直观分析，往往能更快捷的实现问题的解答，注意培养做草图的能力．１０ 等比性质法借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题．例１０ 求证 ．2(cos sin )cos sin 1sin cos 1sin 1cos αααααααα-=-++++解析 若（或），因为，故，或，cos 0α=sin 0α=sin 1(cos 1),αα≠-≠-或sin 1α=cos 1α=验证可知等式成立．若，则由，及比例性质cos 0α≠2cos(1sin )(1sin )ααα=+-2sin (1cos )(1cos )ααα=+-，可得．a c a c b d b d +==+cos 1sin 1sin cos 1sin cos 1sin cos αααααααα--+==+++，代入等式左边可知所证成立．sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos αααααααα-+-==+++评注 本题有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷．涉及分式的三角函数问题，可以考虑借助比例法解答．如关于半角的正切公式，按照比例性质，立得sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+．1cos sin tan21cos sin ααααα-+=++。
三角函数中的化简求值模型
三角函数中的化简求值模型【问题背景】三角函数的化简求值几乎是高考的必考内容之一，化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于某种要求的应用．一般从函数名、角、运算三方面进行差异分析，遵循化繁为简、清除差异的原则，常用的方法技巧有：切割化弦，降幂，用三角公式转化出现特殊角，异角化同角，异名化同名，高次化低次等.【解决方法】【典例1】（2024高三下·全国·专题练习）已知角α，β的顶点均为坐标原点，始边均与x 轴的非负半轴重合，终边分别过点()1,2A ，()2,1B -，则tan 2αβ+=．【答案】3-【分析】利用三角函数的定义求得tan 2α=，1tan 2β=-，可求得()tan αβ+，再利用二倍角的正切公式解得tan2αβ+，进而确定2αβ+的范围，求得tan2αβ+的值.【套用模型】第一步：因为角α，β的终边分别过点()1,2A ，()2,1B -，所以tan 2α=，1tan 2β=-，（提示：若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()(),0x y x ≠，则tan y xα=），第二步：因此()tan tan 3tan 1tan tan 4αβαβαβ++==-，又()22tan32tan 41tan 2αβαβαβ++==+-，所以tan32αβ+=-或1tan23αβ+=．第三步：因为角α的终边过点()1,2A ，因此112,242k k ππαππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，1k ∈Z ，因为角β的终边()2,1B -，因此2232,24k k πβπππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，2k ∈Z ，所以3,224k k αβππππ+⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以tan 32αβ+=-．【典例2】（2024·山西晋城·二模）已知tan 2tan αβ=，1sin()4αβ+=，则)in(s βα-=．【答案】112-【分析】由tan 2tan αβ=切化弦可得sin cos 2cos sin αβαβ=，结合两角和差公式分析求解.【套用模型】第一步：因为tan 2tan αβ=，即sin 2sin cos cos αβαβ=，可得sin cos 2cos sin αβαβ=，第二步：又因为()1sin sin cos cos sin 3cos sin 4αβαβαβαβ+=+==，可得1cos sin 12αβ=，第三步：所以()sin cos sin sin cos cos sin 112βααβαβαβ-=-=-=-.故答案为：112-.【典例3】（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，tan A ，tan B 是方程2670x x -+=的两个根，则C 的值是．【答案】4π/45︒【分析】根据根与系数的关系及两角和的正切公式求得()tan A B +，再利用诱导公式求解.【套用模型】第一步：由题意，tan tan 6A B +=，tan tan 7A B ⋅=，第二步：所以tan tan 6tan ()11tan tan 17A B A B A B ++===--⋅-，第三步：在ABC 中，()()tan tan πtan 1C A B A B =-+=-+=⎡⎤⎣⎦，由0πC <<，可知π4C =.故答案为：π4（2024·全国·二模）1．已知6cos tan 7sin ααα=-，则cos2α=.（2024·云南昆明·一模）2．已知cos α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α=．（2024·宁夏银川·一模）3．已知3cos si 2n x x +=，则sin 2πcos 4xx =⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2024·青海·模拟预测）4．若3π4αβ+=，tan 2α=，则tan β=．（2024·山东·二模）5．在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点()2，则πsin 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）6．已知tan α，tan β是方程2530x x +-=的两个根，则()()22cos sin αβαβ+=-．（2024·广西·二模）7．已知2sin sin2αα=，则πtan 4α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（2024·全国·模拟预测）8．已知点()()()cos ,sin A βαβα--与点5π5πcos ,sin 1212B ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于原点对称，则sin cos αα+=．（2024·全国·模拟预测）9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2222024a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+.（2024·陕西安康·模拟预测）10．若()2tan 2024π3α-=，则2sin cos 2cos cos2αααα-=.（2024·山西朔州·一模）11．若πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2ππ1tan cos 362αα⎛⎫⎛⎫-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2024·全国·模拟预测）12．在平面直角坐标系中，若角π3α-的顶点为原点，始边为x 轴非负半轴，终边经过点()3,4P --，则πtan 23α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（2024·陕西安康·模拟预测）13．已知π,,π2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πsin2sin 21cos21sin αβαβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=+，则tan tan21tan tan 2βαβα+=-．（2024·河北沧州·模拟预测）14．已知1cos sin 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+=⎪⎝⎭．（2024·上海嘉定·二模）15．已知()22sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小值为．（2024·吉林长春·模拟预测）16．已知tan 3,2sin cos 1tan 2ααββ==，则()2tan αβ+=.（2024·全国·模拟预测）17．已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 2A =则a b 的取值范围是.（2024·全国·模拟预测）18．已知,αβ为锐角，满足()1sin sin ,cos 69αβαβ+=+=-，则sin2αβ+=，()cos αβ-=．（2024·全国·模拟预测）19．已知πtan ,74x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为第二象限角，则10πsin 21x ⎛⎫+=⎪⎝⎭．（2024·上海·一模）20．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．三角函数中的化简求值模型解析：1．725##0.28【分析】切化弦，然后整理可得sin α，再利用倍角公式计算即可.【详解】6cos sin tan 7sin cos ααααα==-，得()()226co 7sin s 61n s s n i i αααα==--，解得3sin 5α=或sin 2α=-（舍）所以2237cos212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：725.2．-【分析】根据同角三角函数关系式求出sin α，tan α，再利用二倍角正切公式求解.【详解】由cos απ0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 3α∴，sin tan cos ααα∴==，22tan tan 21tan 1ααα∴==---.故答案为：-3．73-【分析】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.【详解】sin 2πcos 4x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭2273133⎡⎤⎛+-⎢⎥=-=- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故答案为：73-..4．3【分析】由已知条件可得3π4βα=-，根据两角和的正切公式化简即可求解.【详解】因为3π4αβ+=，所以3π4βα=-，所以3πtan tan 3π4tan tan 3π41tan tan 4αβαα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎛⎫⎝⎭+⋅ ⎪⎝⎭，又因为tan 2α=，3πtan 14⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以上式可化为：12tan 312β--==-.故答案为：35．14-##【分析】先利用角α的终边所经过的点求出sin ,cos αα，再求πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】因为角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点()2，所以sin 7α=，cos 7α==-；πππsin sin cos cos sin 33314ααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：6．1637【分析】利用韦达定理可得tan tan 5αβ+=-，tan tan 3αβ=-，再利用两角和差公式和三角函数的商数关系求解即可.【详解】因为tan α，tan β是方程2530x x +-=的两个根，所以tan tan 5αβ+=-，tan tan 3αβ=-，则cos cos 0αβ≠，所以()()2222cos cos cos sin sin 1tan tan sin sin cos cos sin tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβ+⎛⎫⎛⎫--=== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()2161637tan tan 4tan tan αβαβ=+-．故答案为：16377．1或3-【分析】由已知可得sin 0α=或sin 2cos αα=，从而可求出πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】由2sin sin2αα=可得2sin 2sin cos ααα=，所以sin 0α=或sin 2cos αα=，即tan 0α=或tan 2α=，当tan 0α=时，πtan 1tan 141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭当tan 2α=时，πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，故答案为：1或3-.8．22【分析】根据题意，列出方程组，求得7π2π,Z 12k k αββ-=+-∈，得到7π2π,Z 12k k α=+∈，结合πsin cos 4ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可求解．【详解】因为点()()()cos ,sin A βαβα--与点5π5πcos ,sin 1212B ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于原点对称，所以()()5πcos cos 125πsin sin 12βαββαβ⎧⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()5πcos cos π125πsin sin π12αββαββ⎧⎡⎤⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎛⎫⎪-=-+ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩，所以7π2π,Z 12k k αββ-=+-∈，解得7π2π,Z 12k k α=+∈，所以π7ππ5π2sin cos 412462ααα⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：22.9．2023【分析】将已知条件切化弦，然后结合两角和的正弦公式、正余弦定理，将等量关系转化为2a ，2b ，2c 间的关系，则问题可解.【详解】2tan tan 2211cos cos tan (tan tan )tan tan tan tan sin sin A BB AC A B C C B A B A ==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin sin 2sin sin 2sin sin tan (sin cos cos sin )tan sin()tan sin A B A B A B C A B A B C A B C C ===++222sin sin cos 2cos sin A B C ab CC c ==，由余弦定理有：222222cos ab C a b c c c +-=，又2222024a b c +=，所以原式22220242023c c c -==.故答案为：202310．3215-【分析】利用诱导公式求出tan α，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因为()2tan 2024π3α-=，所以2tan 3α=-，所以2sin cos 2cos cos 2αααα-222sin cos 2cos cos sin ααααα=--2tan 121tan αα=--221323215213-=-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：3215-11．8310-+【分析】根据同角三角函数关系求出2π1cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用正切差角公式得到πtan 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而求出答案.【详解】由题意得ππsin 2cos 66αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又22ππsin cos 166αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2π1cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππtan tan 2πππtan tan 8666ππ31tan tan 666αααα⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--==- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+- ⎪⎝⎭2ππ111tan cos 8362283510αα⎛⎫⎛⎫-+--=-++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：8310-+12．247-【分析】先利用三角函数的定义得到πtan 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得πtan 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由三角函数的定义，得π4tan 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πππtan 2tan 2πtan2333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π82tan 243316π711tan 93αα⎛⎫- ⎪⎝⎭===-⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故答案为：247-13．1【分析】利用二倍角公式，同角关系，两角和与差的正切公式变形求解．【详解】由πsin2sin 21cos21sin αβαβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=+得1cos2cos sin 21sin αβαβ-=+，22222cos sin 2sin 222sin cos cos sin 2sin cos 2222ββαββββαα-=++,所以cossinsin 22cos cos sin 22ββαββα-=+，即π1tantantan π242tan tan()π421tan 1tan tan242βββαββ--==-++，又π,,π2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ42βα=-+，即5π24βα+=，所以tan tan5π2tan()tan 1241tan tan 2βαβαβα+=+==-．故答案为：1.14．79-【分析】根据题意，由余弦的和差角公式展开可得π1 cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由二倍角公式，即可得到结果.【详解】因为π1cos sin 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得ππ1cos cos sin sin sin 663ααα+-=，11sin 23αα-=，所以π1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππ17cos 22cos 1213699αα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：79-15．【分析】令πsin cos )4t x x x =+=+，可求t 的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos )()sin cos sin cos x x f x x x x x+=+=，令πsin cos 4t x x x =+=+，由π02x <<，得ππ3π444x <+<，所以2πsin()124x <+≤，则1t <≤由sin cos t x x =+，得22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以21sin cos 2t x x -=，则原函数可化为22244()1112ttg t t t t t ===---，又函数1,y t y t ==-在上单调递增，所以1y t t =-在上单调递增，故当t 时，1y t t =-取得最大值22，此时()g t取得最小值故答案为：16．2511##3211【分析】根据同角三角函数关系，结合已知条件求得cos sin αβ，以及()sin αβ+，()2sin αβ+，()2cos αβ+，再求结果即可.【详解】由tan 3tan 2αβ=可得：sin cos 3cos sin 2αβαβ=，又2sin cos 1αβ=，即1sin cos 2αβ=，则1cos sin 3αβ=，故()115sin sin cos cos sin 236αβαβαβ+=+=+=，()225sin 36αβ+=，则()()2211cos 1sin 36αβαβ+=-+=，故()()()22225sin 2536tan 11cos 1136αβαβαβ++===+.故答案为：2511.17．【分析】由二倍角公式可得cos 2c bA b-=，利用正弦定理边化角，结合和差公式整理可得()sin sin B A B =-，可得2A B =，根据三角形ABC 为锐角三角形求出角B 的范围，然后利用正弦定理和二倍角公式可得2cos aB b=，可得范围.【详解】因为sin2A 23sin 24A b c b -=，所以2cos 12sin 22A c b A b -=-=，由正弦定理得sin sin cos 2sin C B A B -=，即2sin cos sin sin B A C B =-，所以()2sin cos sin sin B A A B B =+-，所以sin cos cos sin sin A B A B B -=，即()sin sin B A B =-，所以B A B =-或πB A B +-=（舍去），因为三角形ABC 为锐角三角形，所以π20,2A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，又π3,π2A B B ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 22B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.因为sin sin22cos sin sin a A B B b B B ===，所以a b 的取值范围为.故答案为：18．14##0.25【分析】由,2222αβαβαβαβαβ+-+-=+=-，利用两角和与差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出sin 2αβ+；再用余弦的二倍角公式求出()cos αβ-.【详解】因为,2222αβαβαβαβαβ+-+-=+=-，所以sin sin sin 22αβαβαβ+-⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭sin 2sin cos 2222αβαβαβαβ+-+-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，又sin sin αβ+=sin cos 2212αβαβ+-=，因为,αβ为锐角，所以2αβ+为锐角，又()21cos 12sin 29αβαβ++=-=-，所以sin 2αβ+=又52sin cos 2212αβαβ+-=，所以cos 2αβ-=，所以()2101cos 2cos 1212164αβαβ--=-=⨯-=．故答案为：3；14.19【分析】由π2tan 74x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭及同角三角函数的基本关系可求得ππsin ,cos 77x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据10πππ2173x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭并结合两角和的正弦公式即可得解．【详解】 π2tan 74x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2πsin cos 747x x ⎛⎫⎛⎫∴+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222ππππsin cos cos 7777x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦29πcos 187x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，x 为第二象限角，∴πcos 7x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 73x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，10πππππππsin sin sin cos cos sin 21737373x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122312632326-=⨯-=．20．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan 3A =>=，又函数tan y x =在π(0,2上单调递增，则π3A >，此时3πABC A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B C B C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：6。
三角函数化简求值常用技巧
三角函数化简求值常用技巧三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一。
掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍。
这也是解决三解函数问题的前提和出发点。
一、切割化弦例1、已知 )2(cot tan22≥=+m m x x ，求xx 4cos 14cos 3-+的值。
解： 24cos 14cos 34cos 1)4cos 3(24cos 12cos 444cos 1)2cos 1(484cos 12sin 48)4cos 1(812sin 2112sin 412sin 2112sin 41cos sin 2)cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin 2cot tan 2222222222222244222222m x x m x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+∴=-+=-+=---=--=--=-=-+=+=+∴=+Θ 点评：由已知式与待求式的差异知，若选择“从已知到未知”，必定要“切切割化弦”；利用降幂公式实现已知与未知的统一。
二、统一配凑例2、已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值. 解：注意到2α= (α－β)+(α+β)，于是可用配凑法求解。
∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π, ∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=点评：本题以凑角的形式来实现未知与已知的统一，这是三角函数化简求值的常用技巧之一。
三、异角化同例3、已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:22=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解Θ 点评：本题求解关键是将如何将已知条件中的角与目标关系式中的角统一起来。
高考100题三角函数：3 三角函数求值题型举例
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.一、用三角函数定义求值例1.已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)且cos α＝36x ，求sin α＋tan α的值．例2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ＝()。
A.－45 B.－35 C.35D.45【解析】取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55.点评:用定义法求三角函数值的两种情况:①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解.二、用诱导公式求值例3.【2016高考四川文科】sin 750.【解析】由三角函数诱导公式1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=.例4.已知α∈),2(ππ，sin α＝55，则tan(π－α)＝________.【解析】因为α∈),2(ππ，sin α＝55，所以cos α＝－25 5.所以tan α＝sin αcos α＝－12.所以tan(π－α)＝－tan α＝12.点评:诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了。
诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.三、用同角三角函数间的关系求值例5.【2016高考新课标Ⅲ文数】若tan 13θ=，则cos 2θ=（）A.45-B.1-C.15D.45【解析】2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51(3θθθθθθθ---====+++．例6.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则=α2cos ()A.35-B.95-C.5 D.5【解析】法一:因为3cos sin =+αα,所以31)cos (sin 2=+αα,所以32cos sin 2-=αα,即322sin -=α.。
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三角函数求值题解题模板
一.给点求值
例1.已知角α终边经过点P （－2，2），求角α的三个三角函数值。
解：=+===
22,,y x r y x
==r y αsin ， ==r x αcos ， ==x y αtan
例2.已知角θ终边经过点P （－1，－3），求角θ的三个三角函数值。
解：=+===22,,y x r y x
二.给值就值 1.知一求二 例1.已知53sin =α，α是第二象限的角，求ααcos ,tan
解：根据基本关系式 1c o s s i n 22=+αα和α
ααcos sin tan = 又α是第二象限的角，αcos ，αtan 所以 ==ααc o s ,t a n 例2.已知3tan =α，)2
3,(ππα∈，求ααcos ,sin 解：根据基本关系式 和 ，
又)23,(ππα∈，ααcos ,sin 所以 -=-=αα
c o s ,s i n 注：这里利用直角三角形三边关系求值，象限判定符号。
例3.已知),2(,1312)sin(ππααπ∈=
-，求)7cos(απ- 解：1312)sin(==-απ ， 又 ),2
(ππα∈，αcos 根据基本关系式 和 ，
所以)7cos(απ-==
变式练习 已知31
tan =α，求
α
αααcos sin sin cos +-，αααcos sin sin 2⋅+ 法1:根据基本关系式 1c o s s i n 22=+αα和αααcos sin tan = αtan >0，α是第一或三象限的角，
ααcos ,sin ① 或αα
cos ,sin ② 则 ==
ααcos ,sin ①或-=-=ααcos ,sin ②
所以
ααααc o s
s i n s i n c o s +-= αααcos sin sin 2⋅+ ① α
αααcos sin sin cos +-= αααcos sin sin 2⋅+ ② 即
α
αααcos sin sin cos +-= αααcos sin sin 2⋅+ 法2: 根据基本关系式 αααcos sin tan =，由3
1tan =α, 知ααsin 3cos = 所以ααααcos sin sin cos +-= αααcos sin sin 2⋅+ = = = 注：这里利用 正弦余弦化同名，齐次分式约分化简
法3: 根据基本关系式 α
ααcos sin tan =
， 所以ααααcos sin sin cos +-= αααcos sin sin 2⋅+ = = =
注：这里构造 齐次分式化切（正弦余弦同除以余弦） 2. 给式求值
例.已知︒<<︒-=-270180
,
55
cos sin ααα，求αsin ·αcos
3. 知单求复
例.已知)2,(,54cos ππαα∈=，求 )3c o s (πα+，)4sin(απ-，)6tan(πα-， α2sin ，α2cos ，α2tan
用αααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±
知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或
三. 知角求值
例1. 求值=︒600sin
=417cos π )320tan(π-
=︒105cos ︒15sin = ︒15tan
=︒15cos ︒105sin = ︒75tan
=︒︒-︒︒170sin 20sin 10cos 70sin cos25o cos35o –sin25o sin35o
︒
-︒+15tan 115tan 1 =︒︒15cos 15sin =︒︒75sin 15sin
cos 215°－sin 215° 2sin 215°－1
sin 215°＋cos 215°。