探究一道解析几何题的母题

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高考复习体系高考母题A第一论母题解析几何

东北师大附中高三数学（文、理）第一轮复习 050 解析几何（七）双曲线的定义、标准方程、几何性质（1课时）一基础知识 1双曲线的定义：（1）第一定义（基本定义）：（2）第二定义：2椭圆的标准方程及几何性质（下表）二例题例1（1）已知双曲线的渐进线方程是043=±y x ，一条准线的方程是0335=+y ，求双曲线的方程；（2）若动圆过定点()0,3-A ，且与圆()4322=+-y x 外切，求动圆的圆心P 的轨迹方程.例2已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x ，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴的成等比数列，过F 做双曲线C 在第一、三象限的渐进线的垂线l ，垂足为P .（1）求证：FP PA OP PA •=•；（2）若l 与双曲线C 在左右支分别交于点D 、E ，求双曲线C 的离心率的取值范围.三巩固练习（一）选择题1如果双曲线的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）（A ） 2 （B ）2 （C ）3 （D ） 32与双曲线116922=-y x 有共同的渐进线，且经过点()32,3-M 的双曲线的一个焦点到一条渐进线的距离是（）（A ）8 （B ） 4 （C ） 2 （D ） 13离心率为2是双曲线为等轴双曲线的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）不必要不充分条件4已知双曲线1322=-y m x 的离心率2=e ，则该双曲线的两条准线间的距离是（）（A ）2 （B ） 23 （C ） 21（D ） 15设1F 、2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足 02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（）（A ）1 （B ）2 （C ）5 （D ） 526过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 焦点1F 的直线与双曲线的一支交于A 、B 两点，且m AB =，另一焦点为2F ，则2ABF ∆的周长为（A ） m a 24-（B ） m a 24+ （C ） m a -4 （D ） m a +4 （二）填空题7双曲线的短轴的一个端点为B ，两个焦点为1F 、2F ，若021120=∠BF F ，则双曲线的离心率=e .8双曲线116922=-y x 的左顶点A ，左焦点F ，点1O 在双曲线上，若以点1O 为圆心的圆经过点A 、F ，则=O O 1 .9双曲线1C ：()0,012222>>=-b a b y a x 与双曲线2C ：()0,012222>>=+-b a by a x（双曲线1C 、2C 叫共轭双曲线）若双曲线1C 、2C 的离心率分别为1e 、2e ，且+∈R b a ,时，2221e e +的最小值是 .（三）解答题10双曲线13222=-x ay 的焦点分别为1F 、2F ，离心率为2. （1）求此双曲线的渐进线1l 、2l 的方程；（2）点M 、N 分别是1l 、2l 上的动点，且2152F F MN =，求线段MN的中点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.参考答案：例1解：（1）准线是c a y 2533-=-=，则c a 2533=，且43=b a 。

高中数学必考母题

高中数学必考母题包括：
1. 集合与逻辑：集合的基本概念、表示和运算，以及逻辑关系（如包含、相等、并集、交集等）的运用。

2. 函数与导数：包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，以及求导法则和导数的应用（如极值、拐点等）。

3. 三角函数与解三角形：包括三角函数的性质（如周期性、单调性、奇偶性等）、诱导公式、和差公式、倍角公式等，以及解三角形的正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用。

4. 数列与数学归纳法：包括等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及数学归纳法的原理和应用。

5. 平面解析几何：包括直线方程、圆方程、椭圆方程等基本几何图形的方程，以及距离公式和角度的计算。

6. 立体几何：包括空间中点、线、面的位置关系，以及空间几何体的表面积和体积的计算。

7. 排列组合与概率：包括排列组合的基本计数原理，以及概率的基本概念和计算方法。

8. 复数与矩阵：包括复数的代数形式和三角形式，以及矩阵的基本运算和逆矩阵的计算。

9. 数论基础：包括整除、同余、数论函数等基本概念，以及质数、合数、最大公约数等性质的应用。

10. 分式与分方程：包括分式的化简和求值，以及分方程的求解方法。

以上是高中数学中较为常见的必考母题，具体题型可能会因教材版本和地区的要求而有所不同。

在学习过程中，建议多做真题，深入理解每个知识点，以提高解题能力和数学成绩。

解析几何第4讲母题突破2 定点问题

解析几何母题突破2定点问题母题 (2022·烟台)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点A (－2,0)，直线l ：y ＝kx ＋m 与C 交于P ，Q 两点，且AP ⊥AQ ，证明：直线l 过定点，并求出此定点的坐标．思路分析❶联立直线l 与椭圆C 方程↓❷求AP →·AQ →↓❸利用根与系数的关系化简AP →·AQ →＝0，找到M 与k 的关系↓❹利用直线的点斜式方程求定点________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[子题1] 已知双曲线C ：x 2－y 23＝1(x >0)，过右焦点F 2的直线l 1与曲线C 交于A ，B 两点，设直线l ：x ＝12，点D (－1,0)，直线AD 交l 于M ，求证：直线BM 经过定点． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[子题2] 已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1，过点(1,0)的两条弦PQ ，MN 相互垂直，若PQ →＝2PS →，MN →＝2MT →，求证：直线ST 过定点．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 规律方法动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．1．(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x ，S (t,4)为C 上一点，直线l 交C 于M ，N 两点(与点S 不重合)，直线SM ，SN 分别与y 轴交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝8，判断直线l 是否恒过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________2．(2022·德州质检)已知抛物线C ：y 2＝4x 的顶点是坐标原点O ，过抛物线C 的焦点作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线x ＝1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。

解析几何例题

解析几何例题解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标平面上的性质和变换规律。

通过解析几何的方法，我们可以更加直观地理解和推导几何图形的性质。

下面我们来分析一些典型的解析几何例题，以便更好地掌握这一知识点。

例题一：直线的方程已知直线L过点A(1,2)和点B(3,4)，求直线L的方程。

解析：设直线L的方程为y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。

由于直线L 过点A和点B，代入相应的点坐标得到两个方程：2=a+b (1)4=3a+b (2)解这个方程组，可以求得a=1/2，b=3/2。

所以直线L的方程为y=x/2+3/2。

例题二：直线的垂直平分线已知直线L的方程为y=2x+1，求直线L的垂直平分线的方程。

解析：直线L的斜率为2，垂直平分线的斜率为-1/2（斜率互为倒数且符号相反），设垂直平分线的方程为y=ax+b。

由于垂直平分线过直线L的中点M，求中点M的坐标。

直线L上任意两点的横坐标和纵坐标分别求平均，得到中点M的坐标为：x=(1+3)/2=2，y=(2+4)/2=3。

代入直线L的方程，得到3=2*2+1=5，所以点M的坐标为(2,3)。

垂直平分线通过点M，代入点坐标得到方程：3=a*2+b，所以b=1-4a。

垂直平分线的方程为y=-1/2*x+1-2a。

例题三：圆的方程已知圆C的圆心为点O(2,3)，半径为r=4，求圆C的方程。

解析：圆C上任意一点P(x,y)到圆心O的距离等于半径r，可以得到方程：sqrt((x-2)^2+(y-3)^2)=4对上式进行平方处理得到：(x-2)^2+(y-3)^2=16所以圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=16。

例题四：两条直线的交点已知直线L1的方程为y=2x+1，直线L2的方程为y-3=3(x-2)，求直线L1和L2的交点坐标。

解析：将直线L2的方程变形为y=3x-3+3=3x，得到y=3x。

将L1的方程和L2的方程联立，解这个方程组即可求出交点的坐标。

什么叫数学母题

什么叫数学母题引言数学母题是数学领域内一个重要而复杂的概念，其定义涵盖了数学的本质、发展及应用。

本文将深入探讨数学母题的含义、历史及相关概念，帮助读者更好地理解这一概念。

什么是数学母题数学母题是指那些能引出一系列新问题并催生一门新学科的基础性问题。

母题通常是在解决它们的过程中，数学家们发现新的思想和方法，从而推动数学领域的进步。

数学母题的解决往往会带来许多新的分支学科和研究方向。

数学母题的历史数学母题的历史可以追溯到古代，当时数学家们在解决基本的几何、代数和数论问题时，就逐渐形成了一些重要的数学母题。

例如，欧几里德在其几何学著作《几何原本》中提出的五大公理就被视为几何学领域的母题之一。

数学母题的分类数学母题可以按照不同的数学领域进行分类，常见的数学母题包括几何学中的希尔伯特问题、代数学中的费马大定理、数论中的黎曼猜想等。

这些母题在数学领域中具有重要的地位，吸引了许多著名数学家的关注和研究。

数学母题的意义数学母题对于推动数学领域的发展起着至关重要的作用。

解决一个数学母题往往需要创新性的思维和方法，这种解题过程本身就会促进数学理论的进一步发展。

而且，数学母题的解决还会催生新的学科和应用领域，对社会产生深远的影响。

数学母题的研究现今，许多数学家致力于研究各种数学母题，以期解开这些看似不可解的问题。

他们运用各种数学工具和技术，探索母题背后的奥秘，尝试找到规律和解决方案。

数学母题的研究不仅需要数学家的专业知识，还需要跨学科的合作和思维方式。

结论数学母题作为数学领域的重要概念，承载了数学的发展历程和未来方向。

随着数学领域的不断拓展和深化，数学母题的意义也越发凸显。

通过深入研究和解决数学母题，我们可以更好地理解数学的本质，探索数学的无限可能性，为人类的科学进步和社会发展做出更大的贡献。

以上便是关于“什么叫数学母题”的一些论述，希望对读者有所启发和帮助。

愿数学母题在未来的研究中不断呈现出新的活力和成果，为数学领域的发展带来更多的惊喜和突破。

九年级数学母题

九年级数学母题在九年级数学学习中，我们经常会遇到一些母题，即一些基础性的题目，通过解答这些题目可以巩固和提高我们的数学知识。

本文将就几个常见的数学母题展开讨论，帮助同学们更好地应对这些题目。

首先，我们来谈谈关于方程的母题。

在初中数学中，方程是一个重要的知识点，也是我们需要掌握的基础内容之一。

常见的方程类型包括一元一次方程、一元二次方程等。

解方程的方法也有很多，如平方根法、配方法等。

通过解答一些关于方程的母题，我们可以熟练掌握解方程的基本方法，提高解题的速度和准确性。

其次，我们来讨论几何题的母题。

几何题在九年级数学中占据着重要的地位，几何知识的掌握不仅能够帮助我们解答几何题，还能培养我们的逻辑思维和空间想象能力。

常见的几何题型包括平行线与相交线、三角形的性质、圆的性质等。

通过解答几何题的母题，我们可以熟悉各种几何定理和性质，提高解题的技巧和思考能力。

再次，我们来谈谈概率与统计题的母题。

概率与统计是数学中的一个重要分支，也是我们需要掌握的基础内容之一。

概率与统计题目涉及到统计数据的分析和处理，常见的题型包括频数分布、统计图表的解读、概率计算等。

通过解答一些关于概率与统计的母题，我们可以熟悉统计数据的表示和分析方法，提高解题的能力和思维灵活性。

最后，我们来讨论一些经典的数列题的母题。

数列是数学中的一个重要知识点，也是我们需要掌握的基础内容之一。

数列题目涉及到数列的性质和求和等问题，常见的题型包括等差数列、等比数列等。

通过解答一些关于数列的母题，我们可以熟悉数列的性质和求解方法，提高解题的速度和准确性。

综上所述，通过解答数学中的母题，我们可以巩固和提高自己的数学知识。

在解答这些母题的过程中，我们不仅能够提高解题的速度和准确性，还能够培养自己的逻辑思维和问题解决能力。

希望同学们在九年级数学学习中能够积极参与解答母题，不断提高自己的数学水平。

圆锥曲线母题

圆锥曲线母题
圆锥曲线是数学中的一个重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线等。

母题通常是指一种基本的、典型的题目或问题，可以作为其他题目或问题的出发点或基础。

在圆锥曲线的题目中，母题通常是一些基本的题目或问题，例如求圆锥曲线的标准方程、求圆锥曲线的焦点坐标和准线方程等。

例如，圆锥曲线的一个母题是求椭圆的标准方程。

我们知道椭圆的一般方程是 \(Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0\)，其中 \(A\) 和 \(B\) 必须异号。

我们可以根据椭圆的性质和条件，列出方程组，解出 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\) 和 \(F\) 的值，从而得到椭圆的标准方程。

另一个母题是求圆锥曲线的焦点坐标和准线方程。

对于椭圆，我们知道它的焦距为 \(2c\)，其中 \(c^2 = a^2 - b^2\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 分别是椭圆的长半轴和短半轴。

我们可以根据椭圆的性质和条件，求出焦点坐标和准线方程。

对于双曲线和抛物线，我们也可以类似地求出它们的焦点坐标和准线方程。

以上只是圆锥曲线母题的简单介绍，具体的题目和问题需要根据具体的情境和条件来确定。

母题探究参考答案

母题探究参考答案母题探究参考答案在学习中，我们经常会遇到各种各样的题目。

有些题目看似简单，但实际上需要我们深入思考；而有些题目看似复杂，但只要找到正确的解题思路，就能迎刃而解。

这些题目的背后，隐藏着一种思维方式和解决问题的能力。

本文将从不同角度探究母题，并给出一些参考答案。

首先，母题是指一类题目的共性或本质。

通过掌握母题，我们可以更好地理解和解决各种具体问题。

例如，在数学中，我们经常会遇到类似的代数方程题目。

虽然具体的数字和表达方式可能不同，但它们的解题思路和方法是相似的。

通过把这些题目归纳总结，我们可以找到解决这类题目的通用方法，从而更高效地解题。

其次，母题的探究需要我们进行深入的思考和分析。

我们不能仅仅停留在题目的表面，而是要深入挖掘题目背后的逻辑和规律。

例如，在语文阅读理解中，我们常常需要理解作者的观点和意图。

这就需要我们仔细阅读文章，分析作者的语言和表达方式，从而把握文章的主旨和要点。

只有通过深入思考，我们才能真正理解题目的内涵，找到解题的关键。

另外，母题的探究还需要我们不断练习和积累经验。

解决问题的能力并非一蹴而就，而是需要通过反复练习和实践来培养和提升。

通过大量的练习，我们可以逐渐熟悉母题的特点和解题方法，从而更加熟练地解决各种题目。

同时，我们还可以积累一些解题的技巧和经验，使我们在面对新的题目时能够更快地找到解题思路。

最后，母题的探究还需要我们培养一种批判性思维的能力。

我们不能仅仅接受题目的表面意义，而是要主动思考和质疑。

例如，在理科实验题中，我们常常需要对实验结果进行分析和解释。

这就需要我们具备批判性思维的能力，能够从多个角度和因素考虑问题，找到合理的解释和结论。

只有通过批判性思维，我们才能真正发现问题的本质和解决问题的方法。

综上所述，母题的探究是我们学习中的重要一环。

通过深入思考和分析，我们可以更好地理解和解决各种题目。

同时，通过不断练习和积累经验，我们可以提升解题的能力和效率。

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较简单，只需求出直线
＋２ｙ一２．３＝０与轴交于
解析几何是用代数的方法研究几何的问题，历年高考对解析几何题的考查都是重头戏，虽然数学教师给学生做了大批量的解题训练，但收效甚微，题目意思稍有变动，学生便又无从下手。高考解析几何题对于学生来说似乎永远是个难点，很难突破，要命制一道有分量的解析几何题也是一个难点，是众多一线教师、教研员追寻探索的一个制高点。作为一名从事多年高中数学教学的一线教师，乐于解题的同时也纠结于如何提高学生解析几何题的解题能力。笔者经常思考，要命制一道思维量足、考查面广的解析几何题应
＋１）・
整理，得ｙｏＸ一（。＋１）ｙ＋ｙ。＝０．
不为简单的求解答案而解题，不停留于解答本身，常问为什么这样编题？为什么可以这样编题？带着这样的探索精神，可以探究出圆锥曲线本身固有的结论，笔者把这些固有的结论叫做解析几何题的母题，以下就是笔者对一道解析几何题的母题的探究过程。例已知直线
・该具有怎样的高屋建瓴的数学素养，那些漂亮的解析线胛的斜率ｒ几何题是怎样命制出来的，如何能让自己立在一个居故直线ＰＦ的方程为），高临下的位置来俯看解析几何题？因此，笔者在平时
的解题研究中，常带着追本溯源，洞察本质的思想，
点（２，０），与ｙ轴交于点（０，）即可，则可确定口＝２，
６＝－３，从而得椭圆Ｅ的标准方程：等＋ ÷ １．
（方法１）ＰＦ＿Ｉ＿ＯｘＩ￣ｉ，有Ｘ．０￣ｗ１，点Ｐ（一１，士吾），此时（一，ｏ），点 Ⅳ 与点，重合，￣ＵＪＰＮＪ＝ＩＰＦＩ＝兰；
＝
丽
翮
Ｊ寻 × ３＝．
与ｕ０ｙ，再作一般性论证，略有不同的是直接利
用ｌＰ Ⅳ Ｉ的几何意义——点Ｐ到直线ＭＮ的距离，也不
失为一种好方法。
＝
事实上，笔者注意到线段Ｐ Ⅳ的长度就是砑在
＝
Ｐ－Ｃ方向上的投影的绝对值这一几何意义，利用向量的
点Ⅳ 与点重合，ＩＰ Ⅳ Ｉ＝ｌｌ＝要；
方法３显然是三种方法中最快捷、最巧妙的方
法，它避开了斜率不存在或斜率为０的两种具有表达障碍的情形而直奔目标。解答到这里，笔者经过了繁杂艰难的计算，完整
（１）求椭圆Ｅ的标准方程；
Ｉｙ。（。＋４）ｌ — ｌｙｏｌ。＋４Ｉ
吉、而２－｛－２
：
（２）若Ｆ为椭圆Ｅ的左焦点，且Ｐ（。，Ｙ。）是椭圆Ｅ
／－、
上的动点，过点ｆ１。，０）作直线ＰＦ的垂线，垂足为
方法得到更巧妙的解法。
综上，线段Ｐ Ⅳ的长度为定值．以上解题思路是：先探究特殊情况ＰＦ￣Ｏｘ时，再做一般性论证，所用到的核心条件是：点Ｐ在椭圆Ｅ
（方法３）由点Ｆ（一１，０），ＰＭ＝３。，一Ｙ。），＝
：
２＋４Ｉ２’
［２ｏ１６年第２８期］甚砖教，ｔ论蟠３１
度为定值昙．
方法２与方法１类似，先探究两种特殊情形：Ｐｎ
删Ｉ＝、
（一。一１，一Ｙｏ），
删＝．
上芋＋芋ｙ。２＝３一寻２。。２＋２。：３，以及
充分运用了ＩＰ ⅣＩ，ＩＰＩ，ＩＭＮＩ是ＲｔＡＰＮＭ的三边长
这一几何背景。
２＾，２
又由等２＋孚－１，得一２
ｌ
＝＝
ｙｏ（Ｘｏ＋４）
＋２＇，一２＝０过椭圆Ｅ：
√ （。＋１）＋ｙ／＋。＋４
一
ａ‘
＋＝ｌ（ａ＞ｂ＞０１的两个顶点．Ｄ ‘
由Ｘ
４
ｏ＋等１，得），。２＝３一署．代人上式，得
（方法２）当Ｙ。＝０时，点Ｐ，Ｍ的坐标依次为
ＩＰ Ⅳ
．
尸（一２，０），（一吉，０）和Ｐ（２，０），（，０），此时
摘要：通过对若干具体解析几何题目解法过程的分析，探究一般条件下（即剔除题目的具体背景）所叙述的圆锥曲线蕴含着的固有结论，从而提高教师整
体把握解析几何的能力。
关键词：解析几何；母题；探究
当。＝一ｌ时，点Ｐ（一１， ± 吾），眦ｏ，点 Ⅳ 与点Ｆ