4.6 对数函数的图像与性质

4.6 对数函数的图像与性质对数函数x y alog=的图像和性质例1求下列函数的定义域：（1）2logx y a =； （2）)4(logx y a-=； （3）)9(log 2x y a -=例2求下列函数的反函数① 121-⎪⎭⎫⎝⎛=xy ②3)21(12+=+x y )0(<x例3.画出函数y=3log x 及y=x 31log 的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.（1）y=3log (1-x) (2)y=x2log1(3)y=x311log 7- x y 3log)4(=例5求下列函数的反函数：（1）y=x 4(x ∈R) (2)y=x 25.0(x ∈R) (3)y=x)31((x ∈R) (4)y=x )2((x ∈R)(5)y=lgx(x ＞0) (6)y=24log x(x ＞0) (7)y=a log (2x)(a ＞0,且a ≠1,x ＞0) (8)y=alog 2x(a ＞0,a ≠1,x ＞0)（1）32logx y = (2)34log5.0-=x y【当堂训练】EG1、若方程021411=+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x x 有正数解，则实数a 的取值范围是 （ ）（A ）()1,∞- （B ）)2,(--∞ （C ）()2,3-- （D ）()0,3-B1-1、下列函数中，值域为（0，+∞）的是 （ ）A ．x y -=215 B ．xy -=1)31( C ．1)21(-=xy D ．xy 21-=B1-2、关于x 方程)1,0(22≠>++-=a a a x x a x 且 的解的个数是 ( )A. 1B. 2C. 0D. 视a 的值而定B1-3、 已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g .EG2、.函数y=log a （-x 2-4x+12）(0＜a ＜1))的单调递减区间是A. （-2，-∞）B. （-6，-2）C. （-2，2）D. （-∞,-2]B2-1. 若关于x 的方程（2-2-│x │）2=2+a 有实根，则实数a 的取值范围是 A. a ≥-2 B. 0≤a ≤2 C. -1≤a ＜2 D. -2≤a ＜2B2-2．函数y =log 21（x 2－ax ＋3a ）在[2，＋∞）上是减函数，则a 的取值范围是（A ）（－∞，4） （B ）（－4，4] （C ）（－∞，－4）∪[2，＋∞] （D ）[－4，4] B2-3.若1log 12a <，则实数a 的取值范围是A ．102a <<或1a > B ．1a > C ．102a <<D ．2a >B2-4．若函数)10(log )(<<=a x x f a在]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=A.42 B.22 C.41 D.21B2-5、函数y=log 2(1-x)的图象是（A ） （B ） （C ） （D ）1、 函数y ＝－e x 的图象 （ ）A.与y ＝e x 的图象关于y 轴对称B.与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称C.与y ＝e -x 的图象关于y 轴对称D.与y ＝e -x 的图象关于坐标原点对称 2、函数y=(31)x -2x在区间[-1, 1]上的最大值为 .3、记函数13x y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g = （ ） A ． 2 B ． 2- C ． 3 D ． 1-4、 若函数f （x ）=log xa 在[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a=___ 5．函数y =____________6．f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧〉〈-)1(log )1(281x x xx 则满足f （x ）=41的x 的值是_______________ 7．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数,若8)](1)][(1[11=++--b f a f,则f (a +b )的值为 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 3log28．函数)(log )(2x ax x f a -=在]4,2[∈x 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A. 1>aB. 1,0≠>a aC. 10<<aD. φ∈a .9、 如果2log3log2121ππ≥-x 那么x sin 的取值范围是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C 、⎥⎦⎤⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,2121,21 D 、⎥⎦⎤⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,2323,21等式内恒成立，则实数的取值（ ）10、a 若不11．函数)1(log 21)(4-+=x x f 的反函数为)4(),(11--fx f 则等于（ ）A ．3log214+ B ．－7 C ．9 D ．－7或912．已知函数)1(log )(x a a x f -=（其中0>a ，1≠a ）。

（1）求反函数)(1x f-及其定义域；（2）解关于x 的不等式)1()1(log 1->-f a x a13．已知函数)(x f 的图象与x x g )41()(=的图象关于直线y=x 对称，求)2(2x x f -的递减区间．14、定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期为2，且)1,0(∈x 时，142)(+=x xx f（1）求)(x f 在[－1，1]上的解析式； （2）判断)(x f 在（0，1）上的单调性；（3）当λ为何值时，方程)(x f =λ在]1,1[-∈x 上有实数解.15. 已知9x -10.3x +9≤0，求函数y=（41）x-1-4·（21）x +2的最大值和最小值16、设a 是实数，试讨论关于x 的方程lg （x-1）+lg （3-x ）=lg （a-x ）的实根的个数.17、已知22log)(2-+=x x x f ，)2(log )(2-=x x g ＋)(log 2x p -（2>p ）（1）求f (x) , g (x) 同时有意义的实数x 的取值范围； （2）求F(x) = f (x) +g (x )的值域。

18、设函数,241)(+=xx f（1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值； （2）记*),()1()1()2()1()0(N n f nn f nf nf f a n ∈+-++++= 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.【家庭作业】1、函数)10()(≠>=a a a x f x 且对于任意的实数y x ,都有 （A ）)()()(y f x f xy f = （B ）)()()(y f x f xy f += （C ）)()()(y f x f y x f =+（D ）)()()(y f x f y x f +=+2、方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___________________3、函数10)f x In x =>（））（的反函数1().fx -=4、已知函数y=log 2x 的反函数是y=f -1(x)，则函数y= f -1(1-x)的图象是（ ）5、21-=a 是函数ax e x f x ++=)1ln()(为偶函数的（ ）（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6．已知函数)(log)(221a ax x x f --=的值域为R ，且f (x )在（)31,-∞-上是增函数，则a的范围是 . 一、选择题 1、25)(log 5a -（a ≠0）化简得结果是（ ）A ．－aB ．a 2C ．｜a ｜D ．a2、log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21-x 等于（ ）A ．31 B ．321C ．221 D ．3313、nn ++1log （n n －＋1）等于（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－24、函数f （x ）＝)1(log 21－x 的定义域是（ ）A ．（1，＋∞）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，2）D ．]21(，5、函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ） A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，23） D ．（23，＋∞）6、若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则xy 的值为（ ）A ．4B ．1或41 C ．1或4D ．417、若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，21）B ．（0，21） C ．（21，＋∞） D ．（0，＋∞）8、函数y ＝lg （x－12－1）的图象关于（ ）A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称二、填空题9、若log a x ＝log b y ＝－21log c 2，a ，b ，c 均为不等于1的正数，且x ＞0，y ＞0，c ＝ab ，则xy ＝________．10、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________． 11、若3a ＝2，则log 38－2log 36＝__________．12、已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是__________． 13、函数f （x ）的图象与g （x ）＝（31）x 的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______．14、已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （21）＝0，则不等式f （l og 4x ）的解集是______． 三、解答题15、求函数y ＝31log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．16、设函数f （x ）＝532＋x ＋xx 2323lg＋－，（1）求函数f （x ）的定义域； （2）判断函数f （x ）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f （x ）的反函数f －1（x ），问函数y ＝f －1（x ）的图象与x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．参考答案：例1分析：此题主要利用对数函数x y alog=的定义域（0，+∞）求解解：（1）由2x >0得0≠x ,∴函数2logx y a=的定义域是{}0|≠x x ；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4|<x x （3）由9-02>-x 得-33<<x ，∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33|<<-x x例2解：① 121+=⎪⎭⎫⎝⎛y x∴)1(log)(211+=-x x f)1(->x② 3)21(12-=+y x ∴)3(log)(211--=-x x f)273(<<x例3解：相同性质：两图象都位于y 轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x=1,y=0.不同性质：y=3log x 的图象是上升的曲线，y=x 31log的图象是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数，后者在（0，+∞）上是减函数. 例4解：（1）由1-x ＞0得x ＜1 ∴所求函数定义域为{x|x ＜1}(2)由2log x ≠0，得x ≠1，又x ＞0 ∴所求函数定义域为{x|x ＞0且x ≠1}(3)由31,0310311>⎪⎩⎪⎨⎧≠->-x x x 得 ∴所求函数定义域为{x|x ＜31} (4)由⎩⎨⎧≥>⎩⎨⎧≥>10,0log 03x x x x 得 ∴x ≥1 ∴所求函数定义域为{x|x ≥1}例5解：（1）所求反函数为：y=4log x(x ＞0)(2)所求反函数为：y=25.0log x(x ＞0)(3)所求反函数为：y=x 31log(x ＞0)(4)所求反函数为：y=x 2log(x ＞0)(5)所求反函数为：y=x 10 (x ∈R)(6)所求反函数为：y=24x=x 2 (x ∈R) (7)所求反函数为：y=xa 21(a ＞0,且a ≠1,x ∈R)(8)所求反函数为：y=2x a (a ＞0,且a ≠1,x ∈R) 例6解：由⎩⎨⎧∈>R log 02x x 得x ＞0∴所求函数定义域为：{x|x ＞0}(2)由⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎩⎨⎧≤->-⎩⎨⎧≥->-143,1340340)34(log 0345.0x x x x x x 得得 即43＜x ≤1 ∴所求函数定义域为{x|43＜x ≤1}【当堂训练】EG1、D B1-1、B B1-2、B B1-3、-2EG2、B B2-1、C B2-2、B B2-3、A B2-4、A B2-5、C 1、D 2、2.5 3、B 4、22或2 5、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<132|x x 6、3 7、B 8、A 9、B 11、C12、解1）当10<<a 时，由01>-x a 得出函数定义域),0(∞+∈x ；当1>a 时，由01>-xa 得函数定义域为)0,(-∞∈x 。