第八章多元分析的基本原理
第八章-第2节 偏导数及其应用
一、 多元函数的偏导数
三. 多元函数的偏导数
x
y x f y x x f x z x ∆−∆+=∂∂→∆),(),(lim 0
求多元
函数的偏导数相应的一元函数的导数. 实质
上是求忘记了, 请赶快复习
一下.如果一元函数的求
导方法和公式
求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量,其余的 n－1个自变量均视为常数, 然后按一元函数的求导方法进行计算即可 .
3xy+
=
x
tan ),( 000β=∂∂=y
y x f x x 平面上在四. 偏导数的几何意义
五. 偏导数存在与连续的关系连续可导连续可导
( ),( 2222≠++=y x y
x xy y x f
该例说明了一个重要问题：
想想是什么问题?
二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿x 轴和y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.
六高阶偏导数六 高阶偏导数
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
发现求高阶导数与求导顺序有关.
废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么.
七、偏导数在经济分析中的应用
——交叉弹性(cross elastic)
自学
自学的内容也很重要啊！。
实验设计中的多元分析方法
实验设计中的多元分析方法实验设计是科学研究中重要的组成部分。
在实验设计中，多元分析方法是一种重要的数据分析技术。
多元分析方法是一种将多个因素结合起来分析的方法，它允许我们在一个模型中考虑多个因素和它们之间的相互作用。
本文将介绍实验设计中的多元分析方法，包括多元方差分析、多元回归分析和主成分分析等。
一、多元方差分析多元方差分析是一种将多个因素结合起来分析其对一个或多个结果变量的影响的方法。
它可以帮助我们确定哪些因素对结果变量有显著影响，这对于实验设计和控制非常重要。
在多元方差分析中，我们需要选择一个合适的模型。
模型包括一个或多个自变量（也称为因素或分组变量）和一个或多个因变量（也称为结果变量）。
自变量可以是分类变量（如不同药物的剂量）或连续变量（如时间）。
因变量可以是连续变量（如血压）或分类变量（如是否死亡）。
多元方差分析的主要目标是确定自变量和因变量之间的关系。
通过多元方差分析，我们可以确定每个因素对结果变量的影响是否显著，并确定它们之间的相互作用是否显著。
通过这种方法，我们可以更好地理解因素之间的相互作用，以便更好地控制实验条件。
二、多元回归分析多元回归分析是一种用于预测结果变量的方法。
在多元回归分析中，我们使用一个模型来预测结果变量（也称为响应变量），该模型包括一个或多个自变量（也称为预测变量或因素）和一个截距项。
多元回归分析的主要目标是确定自变量和结果变量之间的关系。
通过多元回归分析，我们可以确定每个因素对结果变量的影响是否显著，并确定它们之间的相互作用是否显著。
通过这种方法，我们可以预测结果变量，以便更好地控制实验条件。
三、主成分分析主成分分析是一种用于分析多个变量之间关系的方法。
它可以帮助我们确定哪些变量是最具相关性的。
在主成分分析中，我们将多个变量组合成一个更少的变量集，这个集合称为主成分。
主成分分析的主要目标是从多个变量中提取信息，并将它们组合成较少的变量集。
通过主成分分析，我们可以确定哪些变量是彼此高度关联的，以便更好地理解它们之间的相互作用。
多元分析原理及应用
多元分析原理及应用多元分析是一种统计方法，用于研究变量之间的关系和对样本数据进行综合分析。
它可以帮助我们了解多个变量之间的相互影响，揭示出复杂数据背后的潜在结构和模式。
多元分析广泛应用于社会科学、经济学、心理学、市场研究等领域。
多元分析的核心思想是通过降维，将原始数据转换到一个低维度的空间中，以便更好地展现变量之间的关系。
常见的多元分析方法包括主成分分析、因子分析、聚类分析、判别分析、回归分析等。
主成分分析是一种较为常用的多元分析方法。
它通过线性变换，将原始变量转换为若干个无关主成分，以解释原始变量的大部分变异。
主成分分析可以帮助我们发现主要影响数据变异的特征，并进行数据简化和模式识别。
因子分析是一种探究变量背后潜在结构的方法。
它将多个相关变量整合为少数几个无关因子，以更好地理解这些变量之间的关系。
因子分析可以用来提取共性因素，简化数据并发现变量之间潜在的关联。
聚类分析是一种将样本按照相似性或距离进行分类和分组的方法。
它可以帮助我们发现数据的内在结构，将样本划分为不同的簇，并提供针对不同群体的个性化分析和解释。
判别分析是一种寻找不同类别之间最大差异的方法。
它可以帮助我们建立分类模型，并预测样本的类别。
判别分析常用于市场研究和社会科学中的消费者行为分析、用户分类等领域。
回归分析是一种研究变量之间因果关系的方法。
它通过建立数学模型，分析自变量对因变量的影响程度，并进行预测和解释。
回归分析可以用于预测销售量、收入等连续型变量，也可以用于二元或多元分类。
综上所述，多元分析是一种研究多个变量关系的统计方法，它能够揭示数据的内在结构和模式，为我们提供更全面的分析和解释。
在实际应用中，多元分析可以用于数据降维、数据简化、模式识别、分类预测等领域。
多元分析初步
多元分析初步在研究数据时，我们通常需要进行分析，探究变量之间的关系以及它们对某些结果的影响。
这时，单变量分析无法满足我们的需求，我们需要使用多元分析。
多元分析是指在多个变量的情况下对数据进行分析，以探究它们之间的关系以及对某些结果的影响。
在研究领域中，它是一个非常重要的方法，可以帮助我们发现数据中隐藏的规律和线索。
多元分析通常包括以下两种技术:1. 因子分析因子分析是一种从大量变量中提取共同因素的技术。
它可以帮助我们理解变量之间的联系，以及它们对某些结果的影响。
通过因子分析，我们可以从众多变量中捕捉到共同的信息，以及不同变量之间的关系。
举个例子，我们可能需要研究一个人的健康状况。
我们可以测量身体各部分的功能，例如身高、体重、心率、血糖和血压等。
但是，这些变量之间存在许多关联，我们需要找到一个更简单的方法来评估健康状况。
通过因子分析，我们可以将这些变量组合起来，提取出几个共同因素，例如“代谢水平”、“运动能力”、“饮食健康”等等。
这些共同因素可以帮助我们更好地评估一个人的整体健康状况，而不是只看一个或几个单独的变量。
2. 聚类分析聚类分析是一种将数据分成不同组别的技术。
在聚类分析中，我们通过相似性来把数据集中的对象划分成不同的类别。
这是一个非常有用的技术，因为它可以帮助我们发现我们之前未知的数据模式。
聚类分析可以帮助我们进行市场细分，通过相似的品牌和产品来识别客户类型。
它还可以帮助我们进行社会网络分析，以了解用户之间的相互连接等。
举个例子，我们可能需要研究用户的购买行为。
通过聚类分析，我们可以将用户分成不同的群体，例如“独立买家”、“折扣狂热者”、“高端消费者”等。
然后，我们可以更好地理解每个群体的需求和行为，以便为每个群体提供更有针对性的产品和服务。
结论多元分析是一种非常有用的技术，可以帮助我们分析多个变量之间的复杂关系。
因子分析可以帮助我们提取共同因素以简化数据，聚类分析则可以帮助我们将数据分组以发现潜在的模式。
多元分析概述课件
皮尔逊在检验他老师戈尔登的“祖先遗传法则”和自然选择中
“淘汰”对器官的相关及变异的影响中，引入了复相关的概念
和方法。在讨论生物退化、反祖、遗传、随机交配等问题中，
展开了回归与相关的研究，并提出以卡方检验作为曲线拟合优
度的一种度量的思想。
9
农业实验学派的孟德尔和戈塞特同样是在尝试回答各自应用领 域中出现的新要求、新课题的过程中，发展了统计思想和统计 分析方法。孟德尔及其后继者贝特森等人创建的遗传试验手段， 比通过记录生命外部联系曲折反映事物内在本质的描述统计更 加深刻。他们运用推断的理论与实验的方法，通常只用小样本 来处理。戈塞特的T分布与小样本思想更是在由于“有些实验 不能多次地进行”，从而“必须根据极少数的事例（小样本） 来判断实验结果的正确性”的情况下产生的。今天，这些统计 思想和分析推断方法已经成为了科学家们不可缺少的基本研究 工具了。
多元回归、典型相关、主 成分分析、因子分析、相 应分析、多维标度法、可 视化分析
通过统计模型或最优准则，对 多元回归、判别分析、聚
未来进行预见或判断。
类分析、可视化分析
检验由多元总体参数表示的某 多元总体参数估计、假设
假设的提出及检验 种统计假设，能够证实某种假 检验 设条件的合理性。
多元统计分析
多元统计分析多元统计分析是一种用于处理和解释多维数据的方法。
它将多个变量同时考虑，并探索变量之间的关系和模式。
在许多领域，例如社会科学、医学研究和市场调查中，多元统计分析被广泛应用于数据分析和决策支持。
通过对大量数据进行综合分析，我们可以获得更准确的结论和洞察力，为问题的解决提供有力的支持。
1. 多元统计分析的基本概念和方法多元统计分析涉及许多不同的技术和方法。
其中一些包括主成分分析、因子分析、聚类分析、判别分析和多元回归分析。
这些方法可以帮助我们降维、识别变量间的关系、发现群组和预测未来趋势。
2. 主成分分析主成分分析是一种降维技术，可以将大量的变量转化为相对较少的几个无关变量，称为主成分。
通过这种方式，我们可以更好地理解数据，并减少冗余信息。
主成分分析通常用于数据可视化和探索性分析。
3. 因子分析因子分析是一种用于探索变量之间潜在关系的技术。
它可以帮助我们确定潜在因素，即变量背后的共同因素。
因子分析常用于市场研究，以确定产品特征或消费者态度的维度。
通过这种方式，我们可以对复杂的数据进行简化和解释。
4. 聚类分析聚类分析是一种将相似观测对象划分为群组的技术。
它基于变量间的相似性或距离度量，将观测对象聚合在一起，并形成具有相似特征的群组。
聚类分析常用于市场分割和客户分类。
5. 判别分析判别分析是一种用于预测和分类的技术。
它可以帮助我们从一系列的预测变量中确定哪些变量对于区分不同组别是最重要的。
判别分析常用于医学诊断、人力资源管理和贷款风险评估等领域。
6. 多元回归分析多元回归分析用于研究多个自变量对因变量的影响。
通过建立回归模型，我们可以理解各个变量对于因变量的相对重要性，并进行预测和解释。
总结：多元统计分析是一种强大的数据分析工具，可以帮助我们理解和解释复杂的多维数据。
通过运用各种分析方法，我们可以从大量的数据中发现模式和关系，并得出准确的结论和洞察力。
无论是在学术研究、商业决策还是社会科学领域，多元统计分析都发挥着重要的作用。
《多元统计分析》目录
《多元统计分析》目录前言第一章基本知识﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5 §1·1总体，个体与样本﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5 §1·2样本数字特征与统计量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6 §1·3一些统计量的分布﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9 第二章统计推断﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍15 §2·1参数估计﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍15 §2·2假设检验﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍19 第三章方差分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍32 §3·1一个因素的方差分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍32 §3·2二个因素的方差分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍37 §3·3用方差分析进行地层对比﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍44 第四章回归分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍49 §4·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍49 §4·2回归方程的确定﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍49 §4·3相关系数及其显着性检验﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍52 §4·4回归直线的精度﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍55 §4·5多元回归分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍56 §4·6应用实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍60 第五章逐步回归分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍65 §5·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍65 §5·2“引入”和“剔除”变量的标准﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍66 §5·3矩阵变换法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍67 §5·4回归系数，复相关系数和剩余标准差的计算﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍69 §5·5逐步回归计算方法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍70§5·6实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍74 第六章趋势面分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍80 §6·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍80 §6·2图解汉趋势面分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍81 §6·3计算法趋势面分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍83 第七章判别分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍90 §7·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍90 §7·2判别变量的选择﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍91 §7·3判别函数﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍92 §7·4判别方法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍96 §7·5多类判别分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍104 第八章逐步判别分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍110 §8·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍110 §8·2变量的判别能力与“引入”变量的统计量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍110 §8·3矩阵变换与“剔除”变量的统计量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍113 §8·4计算步聚与实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍115 第九章聚类分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 125 §9·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍125 §9·2数据的规格化（标准化）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍125 §9·3相似性统计量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍126 §9·4聚类分析方法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍131 §9·5实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍134 §9·6最优分割法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍134 第十章因子分析﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍142 §10·1概述﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍142 §10·2因子的几何意义﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍143 §10·3因子模型﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍145§10·4初始因子载荷矩阵的求法﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍147 §10·5方差极大旋围﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍152 §10·6计算步聚﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍156 §10·7实例﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍157 附录﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍162 附录1标准正态分布函数量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍162 附录2正态分布临界值u a表﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍164 附录3t分布临界值t a表﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍165 附录4（a）F分布临界值Fa表（a=0·1）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍附录4（b）F分布临界值Fa表 (a=0·05) ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍附表4（c）F分布临界值Fa表（a=0·01）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍附表5 x2分布临界值xa2表﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍第一章基本知识§1·1总体、个体与样本总体（母体）、个体一（样本点）和样本（子样）是统计分析中常用的名词。
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f xy =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
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n
n
n
n
i 1
i 1
a0 xi 2 a1 xi1 xi 2 a2 xi 2 ... a p xip xi 2 xi 2 zi
2 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
n
n
………
a0 xip a1 xi1 xip a2 xi 2 xip ... a p xip xip zi
7 一般情况 [样本数由3变为n（n>3）] 通过完全一样的方法，公式（8—5）变为：
改错：(a、b互换位置) 最后得回归系数：
改错：(a、b互换位置)
二 多元线性回归
1 线性回归方程 y = a0+ a1 x1 + a2 x2 +….+ap xp 其 中 a0 、 a1 、 a2….ap 为 回 归 系 数 ， 通 过 m(大于p)组样本数据，可以计算出回归系数。 2 样本数据（观测值） (x11,x12,….x1p,z1),,,,(xm1,xm2,….xmp, zm） 把xi1、xi2…..xip分别代入回归方程，得 到对应的计算值yi
二 应用例(10名学生三次测验成绩 ,要求为4类) 1 原始数据及规格化数据
2 计算距离矩阵
3 开始聚类 (1)开始,第5类和第6类的距离最小(＝0.1919）, 把第5类和第6类聚类 (2)现在还有9个类 ，数据如下：
(3)重新计算距离矩阵（实际上只要计算（5， 6）合类与其它各类的距离）
b
( y1 y 2 y 3)( x12 x 2 2 x 32 ) ( x1 x 2 x 3)( x1 y1 x 2 y 2 x 3 y 3) 3( x12 x 2 2 x 32 ) ( x1 x 2 x 3) 2
5 写出回归方程并进行预测 6 例：（三个学生的数学、物理成绩） （1）设样本数据为(70,75)、(80,85)、(90,90) （2）计算回归系数得：a = 0.75 ，b = 23.3 （3）写出回归方程：y = 0.75 x + 23.3 (4）进行预测 设某学生数学考试得：x =85， 预测物理成绩得：y = 0.75 *85 + 23.3 = 87
第五节
聚类分析
分类学：根据事物性质进行分类，性质相近的 分在一类，性质差别大的分在不同的类 一般分类方法的缺陷：往往带有主观性和任意 性，不能揭示客观事物内在的本质联系和差别 多元统计的应用：形成了数值分类学 注：本节选用另一教材，与本书略有不同 （数据矩阵行、列相反）
一
基本原理（系统聚类法，此外还有动态聚类法）
3 观测值zi与计算值yi的差异
S ( zi yi )2 [ zi ( a0 a1 xi1 ... a p xip )]2
i 1 i 1
n
n
根据微分学中的极值原理，a0,a1,,,ap 应是下列方程的解
S aj
2 ( zi yi) xij 0
1 X 1 ... 1 xm1 xm2 ... xmp x11 x 21 x12 x 22 .... ... x1 p x2 p
而X’是X的转置矩阵，Z是个一列矩阵
三 多项式回归（略）
四 指数回归（略）
五 回归分析的应用 1 一元线性回归 (1)样本测量值 (2)计算回归系数 得，a=12（这里a=R）, b=0 (3)写出回归方程：U=12 I (如图所示)
i 1
n
( j 1,2, , , p )
经整理，得：
( zi a
i 1
n
0
a1 xi1 ... a p xip ) 0
( zi a
i 1
n
0
a1 xi1 ... a p xip ) xij 0
( j 1, , p )
4 求回归系数 再整理上述方程，得：
i 1 m
（矩阵表示形式）
（一般表示形式）
表示第i个样品与第j个样品之间的距离
（3）距离矩阵（按上述方法分别算出任意两 个样品之间的距离） 该矩阵共有n行、n列
0 d12 , , , d1n d 0 21 D dij ,,, d n1 0
教育信息处理 第八章 多元分析的基本原理
第八章 多元分析的基本原理 本章学习要点 本章内容结构
第一节
概述
一 什么是多元分析 1 多变量系统 （1）产品的指标 （2）教育系统 （3）单变量分析 (如图所示) （4）单变量分析的困难：变量的相关性
2 多元分析法 （1）变量相关性的例子：P180 有相关性，但是又不能用一个确定的方 程描述相互关系 （2）多元分析法：P181 （3）例子
a
i 1
n
0
a1 xi1 a2 xi 2 ... a p xip zi
i 1 i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
a0 xi1 a1 x
i 1 i 1
n nΒιβλιοθήκη nn2 i1
a2 xi 2 xi1 ... a p xip xi1 xi1 zi
（2) 计算回归系数 根据矩阵公式计算得 a0=-44.6023,a1=0.4166,a2=0.9729,a3=0.5780 （3） 回归方程 y=-44.6023+0.4166*x1+0.9729*x2+0.5780*x3 (4）进行预测 某学生考试成绩：语文=40，数学=90，政治=60 预测物理成绩为y=94.4
3 确定距离（亲疏关系）
（1）距离的性质 多元统计分析中的距离dij（样品Xi和Xj之间的 距离）满足下列3个性质： ① dij≥0,对一切Xi、Xj，当且仅当Xi=Xj时， 有dij=0； ② dij=dji , 即Xi与Xj的距离 = Xj与Xi的距 离； ③ 对于样品Xi、Xj、Xk，有dij≤ dik+dkj,这 是几何学中三角不等式的推广（任意两边之和大 于第三边）。
2 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n n
上述方程组用矩阵表示，得：
(X )A X X Z
当(X’X)满秩时(即|X’X|≠0),逆矩阵(X’X)-1 存在,系数矩阵A可以表示为：
A (X ) X X Z
1
其中A=(a0,a1,a1,,,,ap)’,称为回归方程的系 数矩阵（一列矩阵） 而矩阵X则为：
1 设有n 个样品，m个指标，有数据矩阵：
2 规格化变换（使各个指标权重相同，即同等重要）
x
' ij
xij x j (min) x j (max) x j (min)
其中的两个极值分别是第j列最大值和最小值 结果：每一列数据的最大值为1，最小值为0。 然后，重新构造矩阵，仍用X表示 注：也可不做规格化处理直接用原始数据，各 指标权重可能不同
习题：1， 另外补充： 2 回归分析的基础是什么？ 3 完成讲课中聚类分析举例中省略的四次聚类 过程。 4 在讲课中的多元回归分析的举例中，按照给 定的回归方程，y是否会得到大于100分、小于 0分的情况？如果会出现，是什么原因产生的？
任意两个样品距离越小，说明它们越接近（一 致），计算距离的方法很多，主要有欧氏距离、 马氏距离（P98）、B-模距离、闵可夫斯基距 离（参见<<应用数理统计>>吴 国防科技大 学出版社：P271 （2） 欧氏距离（ 我们只介绍欧氏距离）
d ij ( X i X j )' ( X i X j ) ( xik x jk ) 2
(4)进行预测:设某次测量电流得I=0.8,预 测电压得： U =12* 0.8 = 9.6
2 多元线性回归 （1） 样本数据（取自1979年某高考班） 设考生的物理成绩为因变量(z)，语文(x1)、 数学(x2)、政治(x3) 15个考生的测量；测量成绩如下（m=15,p=3）：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 语文 数学 61.5 31 35 23 56.5 40 35 19 50.5 60 41.5 15 59 46 41 26 政治 物理 59 32 40.5 8 53 69 58.5 21 49 66 59 41 68.5 57 55 7 编号 9 10 11 12 13 14 15 语文 50.5 57.5 47 28 58 36 45 数学 32 30 58 28 22 23 33 政治 物理 67 57 47．5 37 63 68 52 27 72 41 39 20 53 30
二 多元分析法的分类（从应用的角度）
1 用于求综合特性的多元分析法 研究的关键是：多个变量的综合特性 主要方法有：主成分分析、相关分析 2 用于预测的多元分析法 研究的关键是：通过对多个变量的综合研 究，进行系统预测 主要方法有：多元回归法、因子分析法、 判别函数法
三 多元分析在教育中的应用 1 需求 2 应用举例 3 发展动态
3 观测值y与计算值y的差异
三组差异分别是：
4 求回归系数
（1）对误差求极值（使误差最小）
改错：P184(a、b互换位置)，经整理得：
改错：P185(a、b互换位置)
（2）回归系数
a
3( x1 y1 x 2 y 2 x 3 y 3) ( x1 x 2 x 3)( y1 y 2 y 3) 3( x12 x 22 x 32 ) ( x1 x 2 x 3)2
4 开始聚类（初始为n类，每个样品为1类） ①从D中找出一个最小值（最小距离法）涉及到 的两个类； ②在数据矩阵X中，把上述两类合并成一类，两 组数据取平均值，总的类就减少了一个； ③重新计算D（实际上只要计算刚合并的那个类 与其他各类的距离） ④重复①、②、③，直到所有的样品都归为一 类或者归为所需要的类为止。 5画出聚类谱系图