高一数学不等关系与不等式课件 新课标 人教版A 必修5
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高中数学 3.1不等关系和不等式课件(第二课时) 新人教A版必修5
思考3：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，那么a1· a2„an＞b1· b2„bn吗？ ai＞bi＞0 (i＝1，2，3，„，n)
Þ
a1· a2„an＞b1· b2„bn
思考4：如果a＞b，那么an与bn的大小关 系确定吗？ a＞b，n为正奇数
Þ
a n＞b n
思考5：如果a＞b，c＜d，那么a＋c与b ＋d的大小关系确定吗？a－c与b－d的大 小关系确定吗？
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：有一个不争的事实：若甲的身材 比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然. 从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质，你能用数学符号语言表述这 个不等式性质吗？
a＞b b＜a（对称性）
思考2：又有一个不争的事实：若甲的 身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲 的身材比丙高，这里反映出的不等式性 质如何用数学符号语言表述？
作业：
P75习题3.1A组：2，3. B组：2.
a ＞b ，c ＜d
Þ a －c ＞b －d
1 1 思考6： 若a＞b，ab＞0，那么 a 与 b
的大小关系如何？
1 1 a＞b，ab＞0 a b
理论迁移
例1
已知a＞b＞0，c＜0，
c c 求证: . a b
例2
1 1 已知 0 a b
，x ＞y ＞0 ，
x y 求证： . xa y b
思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝ c a＝c－b，那么移项法则在不等式 中成立吗？ a ＋b ＞c a ＞c －b
思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，a1＋a2＋„＋an与b1＋b2＋„＋bn的 大小关系如何？ ai＞bi (i＝1，2，3，„，n) Þ a1＋a2＋„＋an＞b1＋b2＋„＋bn
人教A版高中数学必修课件：不等式与不等关系
推论 :
a c
b d
a
c bd (同向不等式的可加性)
性质4 : (乘法的单调性) a b,c 0 ac bc
推论1 :
(同向不等式的可乘性)
a b 0 c d 0 ac bd
推论2 : a b 0 an bn (n N*, n 2)
a b 0 n a n b(n N *, n 2)
(本小题满分10分)已知二次函数y＝f(x)图象过原点， 且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0. ∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0， 即bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
(可乘方性、可开方性)
例１:已知a>b>0,c<0,求证
c a
c b
例2.(1)如果a b 0, 那么 1 1 ab
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，
试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
变式. 已知a，b，m，n∈R＋，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 证明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm) ＝(am＋n－ambn)＋(bm＋n－anbm)＝(am－bm)(an－bn)． ∵幂函数f(x)＝xm，g(x)＝xn在x∈R＋上是增函数，由对
高中数学：《不等关系与不等式》课件(新必修5)
课堂练习： P68/1、2
作业：P68/3
我们欣赏数学，我们需要数学 学生活动1
画出一次函数 y 2x 3 的图象
解方程 2x 3 0 解不等式 2x 3 0
学生活动2
问题（1）某博物馆的门票每位10 元，20人以上（含20人）的团体票8 折优惠，那么不足20人时，应该选 择怎样的购票策略？
特殊化： 探讨1、若有10人，购10张票花多少钱？购 20张票呢？
维生素A 维生素B
成本
（单位/kg） （单位/kg） （元/kg)
X
300
700
5
Y
500
100
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
Z
300
300
3
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品， 要使混合食品中至少含35000单位的维生素A 及40000单位的维生素B，设X，Y这两种食
物各取 kg、 kg，x 那么 y、 应满x足什y
么关系？
分析：
食物Z取多少kg?
食物X、Y、Z分别含维生素A、维生素B各多 少单位?
限制条件是什么？
学生讨论解决：（只要求列出式子）
食物Z有 (100 x y) kg
300x 500y 300(100 x y) 35000 700x 100 y 300(100 x y) 40000
探讨1、若以每本2元发行，销售收入为多少 万元？
探讨2、若以每本2.2元发行，发行量为多少？ 销售收入为多少万元？ 探讨3、若以每本3元发行，发行量为多 少 ？销售收入为多少万元？
探讨4、若以每本提高 x元发行，发行量
为多少？销售收入为多少万元？
学生活动4
问题（3）下表给出了X、Y、Z三种食物的 维生素的含量及成本：
人教版A版高中数学必修5：不等关系与不等式_课件44
解析 21－1＝ 2＋1＜ 3＋1.
答案 <
5．已知a，b，c∈R，有以下命题： ①若a>b，则ac2>bc2； ②若ac2>bc2，则a>b； ③若a>b，则a·2c>b·2c. 其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)． 解析 ①若c＝0则命题不成立． ②正确． ③中由2c>0知成立． 答案 ②③
③中，a，b 为正实数，所以 a＋ b＞| a－ b|＝1， 且|a－b|＝|( a＋ b)( a－ b)|＝| a＋ b|＞1，故③错． ④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)| ＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1. 若|a－b|≥1，不妨取 a＞b＞1，则必有 a2＋ab＋b2＞1，不合题意， 故④正确． 答案 ①④
[互动探究] 若本例中“q＞0”改为“q＜0”，试比较它们的大小．
解析 由例题解法知当 q≠1 时，Sa33－Sa55＝－qq－4 1. 当－1＜q＜0 时，Sa33－Sa55＜0，即Sa33＜Sa55； 当 q＝－1 时，Sa33－Sa55＝0, 即Sa33＝Sa55； 当 q＜－1 时，Sa33－Sa55＞0，即Sa33＞Sa55.
答案 C
[规律方法] 1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命
题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质， 并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要 用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质． 2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题 真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的 感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该 命题为假命题．
由 a>b＋1⇒a>b，但由 a>b 不能得出 a>b＋1，
高中数学必修五：3.1不等关系与不等式课件(共18张PPT)
33
3
还有其它 解法吗?
两式相加得－1≤f(3) ≤20.
提示:整体构造 f (3) f (1) f (2) 利用对应系数相等
求的与 ,从而求其范围.
注意:本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割 断它们之间的联系
小结
不等式的性质
内
容
对称性
a b b a; a b b a
传递性 加法性质
所以 (a b) 0, 即b a 0, 所以b a.
性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性。
性质2：如果a>b，b>c，那么a>（c. 传递性）
证明：a b，b c a b 0，b c 0
(a b) (b c) 0
3.1.2
不等关系与不等式
1. 用不等式或不等式组表示不等关系.
2. a b a b 0 a bab0 a b a b 0
3.比较两个代数式的大小——作差比较法
作差 →变形→判断符号 →得出结论
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a， 那么a>b.
证明： 因为a b,所以a b 0，
b2
真
注:（1）运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件。
（2）一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格加以证 明，要判断一个命题为假命题，可举反例，或者由题中条 件推出与结论相反的结果。
例1.已知 a > b >0, c <0, 求证
c
c ＞.
ab
证明：因为a > b >0, 所以 ab >0, 1 >0.
得a+c>b+d.
高一数学人必修课件不等关系与不等式
数轴上的表示
在数轴上，不等式可以用一个开区间、闭区间或半开半闭区间来表示。例如，不等式$x>2$在数轴上表示为 $(2,+infty)$；不等式$x≤3$在数轴上表示为$(-infty,3]$。
02
一元一次不等式与一元一次不等式 组
一元一次不等式解法
移项法
将不等式中的常数项移到不等式 的另一边，使不等式变为标准形
线性规划问题求解方法
图解法
通过绘制约束条件所表示的直线或平面区域，以及目标函 数所表示的直线，在可行域内寻找最优解的方法。适用于 决策变量较少的情况。
单纯形法
一种通过迭代逐步改进可行解的方法，每次迭代选择一个 非基变量进入基，同时保持其他变量不变，使得目标函数 值得到改进。适用于决策变量较多的情况。
传递性
如果$a>b$且$b>c$，那么$a>c$。
不等式的性质及其运算规则
可加性
如果$a>b$，$c>d$，那么$a+c>b+d$。
可乘性
如果$a>b>0$，$c>d>0$，那么$ac>bd$。
不等式的性质及其运算规则
加法与减法
不等式两边同时加上（或减去）同一 个数或整式，不等号方向不变。
乘法与除法
一元二次不等式解法
01
02
03
配方法
将一元二次不等式化为完 全平方的形式，然后利用 平方根的性质进行求解。
公式法
利用求根公式直接求解一 元二次不等式。
因式分解法
将一元二次不等式因式分 解，然后利用不等式的性 质进行求解。
判别式在解一元二次不等式中的应用
判别式定义
判别式Δ=b²-4ac，用于判断一元二次方程实数根的个数。
在数轴上，不等式可以用一个开区间、闭区间或半开半闭区间来表示。例如，不等式$x>2$在数轴上表示为 $(2,+infty)$；不等式$x≤3$在数轴上表示为$(-infty,3]$。
02
一元一次不等式与一元一次不等式 组
一元一次不等式解法
移项法
将不等式中的常数项移到不等式 的另一边，使不等式变为标准形
线性规划问题求解方法
图解法
通过绘制约束条件所表示的直线或平面区域，以及目标函 数所表示的直线，在可行域内寻找最优解的方法。适用于 决策变量较少的情况。
单纯形法
一种通过迭代逐步改进可行解的方法，每次迭代选择一个 非基变量进入基，同时保持其他变量不变，使得目标函数 值得到改进。适用于决策变量较多的情况。
传递性
如果$a>b$且$b>c$，那么$a>c$。
不等式的性质及其运算规则
可加性
如果$a>b$，$c>d$，那么$a+c>b+d$。
可乘性
如果$a>b>0$，$c>d>0$，那么$ac>bd$。
不等式的性质及其运算规则
加法与减法
不等式两边同时加上（或减去）同一 个数或整式，不等号方向不变。
乘法与除法
一元二次不等式解法
01
02
03
配方法
将一元二次不等式化为完 全平方的形式，然后利用 平方根的性质进行求解。
公式法
利用求根公式直接求解一 元二次不等式。
因式分解法
将一元二次不等式因式分 解，然后利用不等式的性 质进行求解。
判别式在解一元二次不等式中的应用
判别式定义
判别式Δ=b²-4ac，用于判断一元二次方程实数根的个数。
高一数学 不等关系与不等式课件新人教版
5m 5m 5m 5m
( L 10)(W 10) 350, L 4W L 0
问题3、某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提 价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢？
思考(1 )销售量减少了多少? (2)现在销售量是多少? (3)销售总收入为多少?
x 2.5 0.2万 本 0.1
x 2. 5 8 0 .2 0.1
x 2.5 (8 0.2)x万 元 0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万 本 因此，销售总收入为： 0.1
第三章
不等式
• 3.1不等关系与不等式 • 3.2一元二次不等式及其解法 • 3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题 • 3.4基本不等式
3.1 不等关系与不等式(第一课时)
一.生活中的不等关系
(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速 度不小于第一宇宙速度 ,且小于第二宇 宙速度 (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免 费携带物品 ------杆状物不超过200cm, 重量不得超过20kg (3)我们班的数学成绩高于平行班的成绩
x 2.5 (8 0.2)x万 元 用不等式表示为： 0.1
x 2.5 (8 0.2) x 20 0.1
问题4.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管 截成500mm和600mm的两种规格。按照生 产的要求，600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍 请思考:(1)找出两种规格 的钢管的数量满足的不等关系. (2)用不等式（组）表示上述不等关系. 分析：假设截得500mm的钢管x根，截得 600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么 样的不等关系呢？ (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负.
( L 10)(W 10) 350, L 4W L 0
问题3、某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提 价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢？
思考(1 )销售量减少了多少? (2)现在销售量是多少? (3)销售总收入为多少?
x 2.5 0.2万 本 0.1
x 2. 5 8 0 .2 0.1
x 2.5 (8 0.2)x万 元 0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万 本 因此，销售总收入为： 0.1
第三章
不等式
• 3.1不等关系与不等式 • 3.2一元二次不等式及其解法 • 3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题 • 3.4基本不等式
3.1 不等关系与不等式(第一课时)
一.生活中的不等关系
(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速 度不小于第一宇宙速度 ,且小于第二宇 宙速度 (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免 费携带物品 ------杆状物不超过200cm, 重量不得超过20kg (3)我们班的数学成绩高于平行班的成绩
x 2.5 (8 0.2)x万 元 用不等式表示为： 0.1
x 2.5 (8 0.2) x 20 0.1
问题4.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管 截成500mm和600mm的两种规格。按照生 产的要求，600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍 请思考:(1)找出两种规格 的钢管的数量满足的不等关系. (2)用不等式（组）表示上述不等关系. 分析：假设截得500mm的钢管x根，截得 600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么 样的不等关系呢？ (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负.
高中数学人教A版必修5课件 3-1 不等关系与不等式 第15课时《不等关系与不等式》
a>b c>d>0⇒ac>bd
同向
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2)
8
可开方性
a>b>0⇒n
n a>
b(n∈N*，n≥2)
同正
【练习 3】 (1)已知 a>b，e>f，c>0.求证：f－ac<e－bc； (2)若 bc－ad≥0，bd>0.求证：a＋b b≤c＋d d.
证明：证法一：(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc，∴－ac<－bc.∵f<e， ∴f－ac<e－bc.
分析：首先分别设出每天派出甲型卡车和乙型卡车的数量，然后
明确问题中的不等关系：(1)甲型卡车的数量不超过 4 辆且为自然数， 乙型卡车的数量不超过 7 辆且为自然数；(2)驾驶员不能超过 9 名；(3) 每天至少要运 360 t 矿石．再用不等式组表示出来即可．
解析：设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，则
变 式 探 究 4 若 二 次 函 数 f(x) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 且 1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，求 f(3)的范围．
解析：设 f(x)＝ax2＋c(a≠0)．ff12＝＝a4＋a＋cc ⇒ca＝＝4ff21－3－3ff12，.
z≥45
x>95 C.y>380
z>45
x≥95 D.y>380
z>45
解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即 “＞”，∴x≥95，y＞380，z＞45.
答案：D
知识点二 比较两个实数(代数式)大小
作差法比较两实数(代数式)大小
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练习1：用不等式表示下面的不等关系： 练习 ：用不等式表示下面的不等关系：
的和是非负数； （１）a与b的和是非负数； 与 的和是非负数
限高４ （２）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高４m” 某公路立交桥对通过车辆的高度 限高
（３）如图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个 如图，在一个面积为 平方米的矩形地基上建造一个 仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ大于宽Ｗ 仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ大于宽Ｗ的4倍． 倍
3 . 1 不等关系与不等式
用不等式研究下列含有不等关系的问题: 用不等式研究下列含有不等关系的问题
与平面的距离为d，Ｂ为平面上的任意一点， （1）设点 与平面的距离为 ，Ｂ为平面上的任意一点，则d满足 ）设点A与平面的距离为 ，Ｂ为平面上的任意一点 满足 的不等式是什么？ 的不等式是什么？ 元的价格销售， （2）某种杂志原以每本 元的价格销售，可以售出８万本， ）某种杂志原以每本2.5元的价格销售 可以售出８万本， 据市场调查，单价每提高0.1元 销售量就可能相应减少2000本. 据市场调查，单价每提高 元，销售量就可能相应减少 本 若把提价后杂志的定价设为x元 若把提价后杂志的定价设为 元，怎样用不等式表示销售的总收入 仍不低于20万元呢 万元呢? 仍不低于 万元呢 Ｒ，两圆的圆心距离为 （3）小圆的半径为 ，大圆的半径为Ｒ，两圆的圆心距离为 ， ）小圆的半径为r，大圆的半径为Ｒ，两圆的圆心距离为d， 若两圆相交， 需要满足的条件是什么？ 若两圆相交，则d需要满足的条件是什么？ 需要满足的条件是什么
练习２ 练习２：
有一个两位数大于50而小于 ，其个位数字比十位数字大２ 有一个两位数大于 而小于60，其个位数字比十位数字大２． 而小于 试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（ 试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a、b分别表示 、 分别表示 这个两位数的十位数字和个位数字）。 这个两位数的十位数字和个位数字）。
作业: 作业
课本第84页 组第4、 题 课本第 页：A组第 、5题 组第 B组第 、3题 组第1、 题 组第 提醒：应用题不用抄题，但是要有完整的解题过程！ 提醒：应用题不用抄题，但是要有完整的某市政府准备投资1800万元兴办一所中学 经调查 班级数量 某市政府准备投资 万元兴办一所中学 经调查,班级数量 个为宜,每个初 万元与58万元 以20到30个为宜 每个初、高中班硬件配置分别为 万元与 万元 到 个为宜 每个初、高中班硬件配置分别为28万元与 万元, 该学校的规模(初 高中班级数量）所满足的条件是什么？ 该学校的规模 初、高中班级数量）所满足的条件是什么？
的钢管截成500mm和600mm （４）某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 某钢铁厂要把长度为 的钢管截成 和 两种，按照生产的要求， 钢管的数量不能超过500mm钢管 两种，按照生产的要求， 600mm钢管的数量不能超过 钢管的数量不能超过 钢管 怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 的３倍，怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
如何比较两个数的大小呢？ 如何比较两个数的大小呢？
a-b＞0 ＞ a-b＜0 ＜ a-b = 0
a ＞b a＜b a=b
为实数， 例１．a、b为实数，比较 2＋b2与2ab的关系 、 为实数 比较a 的关系
例２.比较 a2 - 2a 与 a - 3 的大小 比较
比较a 例３.当a≠2或b≠-1时,比较 2+b2- 4a+2b与 -5 的大小 当 或 时 比较 与