综合练习卷4

ì(q + 1 ) xq , 0 < x < 1 9 设 总 体 ξ 的 密 度 函 数 为 ： f(x)= í ， X1 ， X2 ， … ， ， 0 , 其他 î
Xn， 为 其 样 本 。 求 θ 的 极 大 似 然 估 计 值 。 （ 10 分 ）
10.某 工 厂 用 自 动 包 装 机 包 装 葡 萄 糖 ，规 定 标 准 重 量 为 每 袋 500 克 。现 随 机 抽 取 9 袋 ， 测 得 各 袋 净 重 的 样 本 均 值 为 x = 501. 6 , 修 正 的 样 本 方 差 为 ： S =5.65 。 设 每 袋 净 重 服 从 正 态 分 布 N （ μ ， σ ） ，问包装机是否 正 常 工 作 ？ （ 取 显 著 性 水 平 为 α =0.05 ） ，若： （ 1 ） 已 知 每 袋 葡 萄 糖 净 重 的 标 准 差 为 σ =5 克 ； （ 2） 未 知 σ 。 （ u 0 .0 5 =1.65 ， u 0 .0 2 5 = 1.96 ， t 0 .0 5 （ 9 ） = 1.833 ， t 0 .0 2 5 （ 9 ） =2.26 ；
f ξ (x)，f η (y)；
（ 2） P（ ξ +η ＞ 1） ； （ 3） ξ 和 η 是 否 独 立 ？ （ 10 分 ）
解 ： 6、 （ 10 分 ） (1) .
+¥
f ) = ò f ( x , y ) dy x ( x
-¥
… … 1 分
ì 2 2 ï2 x + x , 0 £ x £ 1 \ f x ( x ) = í 3 ï 0 , 其他 î
m 2296 41 = = » 0 . 46 n 5040 90
2. 甲 乙 两 人 约 定 7 点 到 8 点 之 间 在 某 处 会 面 ， 并 约 定 先 到 者 等 候 10 分 钟 即 可 离 去 。设 想 甲 乙 两 人 各 自 随 意 地 在 7 点 到 8 点 之 间 任 一 时 刻 到 达 该 处 ， 问 甲 乙 两 人 能 会 面 的 概 率 为 多 少 ？ （ 10 分 ）
*
2
t 0 .0 5 （ 8 ） =1.860 ， t 0 .0 2 5 （ 8 ） =2.31 ） （ 10 分 在 整 数 0 至 9 的 10 个 数 字 中 任 取 4 个 ， 能 排 成 一 个 四 位 偶 数 的 概 率 是 多 少 ？ （ 10 分 ）
袋
，
B
表
示
随
机
抽
取
一
个
球
为
红
… … 1 分
1 2
… … 2
… … 3 分
P （ A 1 |B ） =
P( A ) P ( A P ( B | A 1 B 1 ) 1 ) = … … 4 分 P ( B ) P ( A P ( B | A ( A P ( B | A 1 ) 1 ) + P 2 ) 21 )
m 60 = =0.5 n 120
4. 从 甲 地 乘 汽 车 到 乙 地 的 途 中 有 3 个 交 通 岗 ，假 设 在 各 个 交 通 岗 遇 到 红 灯 的 事 件 是 相 互 独 立 的 ， 且 概 率 都 是 2/5 ， 设 X 为 途 中 遇 到 红 灯 的 次 数 ， 求 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 以 及 分 布 函 数 。 （ 10 分 ）
解 2 、 （ 10 分 ） 设 事 件 A 表 示 “ 甲 乙 两 人 能 会 面 ” 分 令 x 表 示 甲 到 达 的 时 刻 ， y 表 示 乙 到 达 的 时 刻 。 分 如 图 ， 0 ≤ x ≤ 60 ， 0 ≤ y ≤ 60 ， 分 甲 乙 两 人 能 会 面 的 区 域 （ 图 中 的 阴 影 部 分 ） 为 ： |x — y| ≤ 10 ， 分 所 以 ， P （ A ） = … … 6 … … 4 … … 2 … … 1
1. 汽 车 配 件 厂 轮 胎 库 中 某 型 号 轮 胎 20 只 中 混 有 2 只 漏 气 的 ， 现从中 任取 4 只安装在一辆汽车上，求此汽车因为轮胎漏气而要返工的 概率。 （ 10 分 ）
2. 甲 乙 两 箱 同 型 号 产 品 分 别 有 12 件 和 10 件 ， 而 且 每 一 箱 中 均 混 有 一件废品，任意从甲箱中取出一件放入乙箱，然后，再从乙箱中 随机取一件，求从乙箱中取出的这一件是废品的概率。 （ 10 分 ）
(3) . F ( x ) = P ( x £ x ) = 分
X
-¥
ò f ( x ) dx
… … 7
当 x < 0时， ( x ) = F
-¥
ò 2 e
0
1
- x
dx =
1 x e ， 2
当 x > 0时， ( x ) = F
1 x 1 1 e dx + ò e - x dx = 1 - e - x ， ò 2 2 2 -¥ 0
S 60 ´ 60 - 2 ´ 1 ´ 50 11 阴影 2 ´ 50 = = » 0 . 31 S 60 ´ 60 36 总
… … 10 分
3. 设 有 两 个 口 袋 ， 第 一 个 口 袋 内 有 3 个 红 球 2 个 白 球 ，第 二 个 口 袋 内 有 1 个红球 4 个白球。 （ 1） 现 随 机 地 选 择 一 个 口 袋 ，并 从 此 袋 中 随 机 地 抽 取 一 个 球 ，发 现 式 一 个 红 球 ，试 求“ 此 红 球 是 从 第 一 个 口 袋 内 抽 取 的 ”这 一 事 件的概率； （ 2） 将 两 个 口 袋 的 球 合 并 为 一 处 ，再 从 中 随 机 地 抽 取 3 个 球 ，试 求 “此 3 个球恰有 1 个红球 2 个白球” 这一事件的概率。 （ 10 分 ）
分
… … 10
5. 设 随 机 变 量 ξ 的 密 度 函 数 为 ： f(x)=A e
-|x|
， -∞ <x<∞ ,
求： （ 1）系 数 A； （ 2）P（ 0≤ ξ ≤ 1） ； （ 3）分 布 函 数 F（ x） 。 （ 10 分 ） 解 ： 5、 （ 10 分 ）
¥
(1) . 1 =
5. 设 随 机 变 量 ξ 的 概 率 分 布 为 ： ξ -2 -1 0
1
2
3
0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10 求： （ 1 ） E ξ 和 Dξ ； （ 2） η =ξ （ ξ +1） 的 概 率 分 布 。 （ 10 分 ）
p
6. 设 随 机 变 量 （ ξ ， η ） 的 联 合 概 率 密 度 函 数 为 ：
3. 一 个 口 袋 中 有 6 只 球 ，分 别 标 有 -3、-3、1、1、1、2 这 样 的 数 字 ， 从这口袋中任取一个球，用ξ表示所取得球上的数字。试求： （ 1） ξ 的 概 率 分 布 ； （ 2） ξ 的 分 布 函 数 。
ì Ax 2 , 1 £ x £ 2 ï 4. 设 随 机 变 量 ξ 的 密 度 函 数 为 ： f（ x） = í Ax , 2 < x < 3 ï 0 其他 î , 求： （ 1 ）常 数 A； （ 2）P｛ 1.5≤ ξ ≤ 2.5｝ ； （ 3）ξ 的 分 布 函 数 。(10 分 )
解 1 、 （ 10 分 ） 设 事 件 A 表 示 “ 能 排 成 一 个 四 位 偶 数 ”
4 样 本 空 间 总 数 为 ： n = A ´ 9 ´ 8 ´ 7 = 5040 10 = 10
… … 1 分 … … 4 分 … … 8 分 … … 10 分
事 件 A 包 含 的 样 本 点 为 ： m = 9 ´ 8 ´ 7 ´ 1 + 8 ´ 8 ´ 7 ´ 4 = 2296 所 以 ： P （ A ） =
3 4
… …
= 5 分
（ 2 ） 设 事 件 C 表 示 ： 此 3 个 球 恰 有 一 个 红 球 2 个 白 球 。 分
3 n = C 10 = 120
… … 6
,
1 2 m = C 14 C 60 = 60
… … 8 分 … … 10
P （ C ） = 分
x
… … 9 分
ì 1 x ï e , x < 0 所 以 ， 分 布 函 数 为 ： F ( x ， ) = í 2 1 x ï1 - e , x ³ 0 î 2
10 分
… …
5
6. 设 二 维 随 机 变 量 （ ξ ， η ） 的 联 合 概 率 密 度 为 ： ì 2 xy ï x + , 0 £ x £ 1 , 0 £ y £ 2 f(x,y)= í 3 ï 其他 î 0 求： （ 1） （ξ，η）的两个边缘密度函数
f（ x） = í
| y | < x , 0 < x < 1 ì1, ， , 其他 î0
求 ： （ 1） ξ ， η 的 边 缘 密 度 函 数
f ξ (x)，f η (y);
（ 2） P（ ξ +η ＞ 1 ） ； （ 3） ξ ， η 是 否 独 立 ？ （ 10 分 ）
1
解 4 、 （ 10 分 ） 由 题 意 可 知 ， X 服 从 二 项 分 布 B （ 3 ， 分 X 的 可 能 取 值 为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ； 分 P(X=0)= ( 1 … … 3
2 ） 5
… … 2
2 3 27 ) = ， 5 125
( X = 1 ) = C 31 2 (1 - 2 ) 2 = 54 P 5 5 125 ( X = 3 ) = P
解 3 、 （ 10 分 ）
3
（ 1 ） A1 表 示 任 取 一 个 口 袋 为 第 一 个 口 袋 ， A2 表 示 任 取 一 个 口 袋 为 第 二 个 口 球， 所 以 ， P （ A 1 ） =P （ A 2 ） = 分 P （ B|A 1 ） =