7.4 三角函数的诱导公式
完整版)三角函数诱导公式总结
完整版)三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式与同角的三角函数知识点1】诱导公式及其应用诱导公式是指通过一些特定的公式，将三角函数中的某些角度转化为其他角度，从而简化计算。
以下是常用的诱导公式：公式一：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；tan(-α) = -tanα公式二：sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tan(π+α) =tanα公式三：sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；tan(π-α) = -tanα公式四：sin(2π-α) = -sinα；cos(2π-α) = cosα；tan(2π-α) = -tanα公式五：sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα公式六：sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα公式七：sin(-π/2-α) = -cosα；cos(-π/2-α) = -sinα公式八：sin(-π/2+α) = -cosα；cos(-π/2+α) = sinα公式九：sin(α+2kπ) = sinα；cos(α+2kπ) = cosα；tan(α+2kπ) = tanα（其中k∈Z）。
以上公式可以总结为两条规律：1.前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限。
2.公式五到公式八总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限）。
另外，还有一个规律是：奇变偶不变，符号看象限。
也就是说，将三角函数的角度全部化成kπ/2+α或是kπ/2-α的形式，如果k是奇数，那么符号要改变；如果k是偶数，符号不变。
例1、求值：（1）cos(2916π)= ________；（2）tan(-855)= ________；（3）sin(-π)= ________。
例2、已知tan(π+α)=3，求：(2cos(-α)-3sin(π+α))/(4cos(-α)+sin(2π-α))的值。
三角函数诱导公式一览表
三角函数诱导公式一览表公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：1、sin（2kπ+α）=sinα 2、cos（2kπ+α）=cosα3、tan（2kπ+α）=tanα 4、cot（2kπ+α）=cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：1、sin（π+α）=－sinα2、cos（π+α）=－cosα3、tan（π+α）=tanα4、cot（π+α）=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：1、sin（－α）=－sinα2、cos（－α）=cosα3、tan（－α）=－tanα4、cot（－α）=－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：1、sin（π－α）=sinα2、cos（π－α）=－cosα3、tan（π－α）=－tanα4、cot（π－α）=－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：1、sin（2π－α）=－sinα2、cos（2π－α）=cosα3、tan（2π－α）=－tanα4、cot（2π－α）=－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：1、sin（π/2+α）=cosα2、cos（π/2+α）=－sinα3、tan（π/2+α）=－cotα4、cot（π/2+α）=－tanα5、sin（π/2－α）=cosα6、cos（π/2－α）=sinα7、tan（π/2－α）=cotα8、cot（π/2－α）=tanα公式七：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：1、sin（3π/2+α）=－cosα2、cos（3π/2+α）=sinα3、tan（3π/2+α）=－cotα4、cot（3π/2+α）=－tanα5、sin（3π/2－α）=－cosα6、cos（3π/2－α）=－sin α7、tan（3π/2－α）=cotα 8、cot（3π/2－α）=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
三角函数的诱导公式知识点
三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式知识点数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
下面是店铺整理的三角函数的诱导公式知识点，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
三角函数的诱导公式诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
三角函数诱导公式一览表
三角函数诱导公式一览表公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：1、sin（2kπ+α）=sinα2、cos（2kπ+α）=cosα3、tan（2kπ+α）=tanα4、cot（2kπ+α）=cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：1、sin（π+α）=－sinα2、cos（π+α）=－cosα3、tan（π+α）=tanα4、cot（π+α）=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：1、sin（－α）=－sinα2、cos（－α）=cosα3、tan（－α）=－tanα4、cot（－α）=－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：1、sin（π－α）=sinα2、cos（π－α）=－cosα3、tan（π－α）=－tanα4、cot（π－α）=－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：1、sin（2π－α）=－sinα2、cos（2π－α）=cosα3、tan（2π－α）=－tanα4、cot（2π－α）=－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：1、sin（π/2+α）=cosα2、cos（π/2+α）=－sinα3、tan（π/2+α）=－cotα4、cot（π/2+α）=－tanα5、sin（π/2－α）=cosα6、cos（π/2－α）=sinα7、tan（π/2－α）=cotα8、cot（π/2－α）=tanα公式七：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：1、sin（3π/2+α）=－cosα2、cos（3π/2+α）=sinα3、tan（3π/2+α）=－cotα4、cot（3π/2+α）=－tanα5、sin（3π/2－α）=－cosα6、cos（3π/2－α）=－sinα7、tan（3π/2－α）=cotα8、cot（3π/2－α）=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
三角函数诱导公式大全
三角函數誘導公式大全三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k²π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）例如：sin(2π－α)＝sin(4²π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
三角函数的8个诱导公式(汇总)
三角函数的8个诱导公式（汇总）三角函数的8个诱导公式1. 正弦函数的诱导公式sin(-x) = -sin(x)这个公式表明，正弦函数的值在x轴上是关于原点对称的。
也就是说，如果一个角度的正弦值为a，那么它的相反数的正弦值就是-a。
这个公式在解三角形问题时非常有用，为它可以帮助我们计算负角度的正弦值。
2. 余弦函数的诱导公式cos(-x) = cos(x)这个公式表明，余弦函数的值在y轴上是关于原点对称的。
也就是说，如果一个角度的余弦值为a，那么它的相反数的余弦值也是a。
这个公式同样也可以帮助我们计算负角的余弦值。
3. 正切函数的诱导公式tan(-x) = -tan(x)这个公式表明，正切函数的值在原点上是关于y轴对称的。
也就是说，如果一个角的正切值为a，那么它的相反数的正切值就是-a。
这个公式在计算负角的正切值时非常有用。
4. 余切函数的诱导公式cot(-x) = -cot(x)这个公式表明，余切函数的值在原点上是关于x轴对称的。
也就是说，如果一个角的余切值为a，那么它的相反数的余切值就是-a。
这个公式同样也可以帮助我们计算负角的余切值。
5. 正弦函数的平方的诱导公式sin^2(x) + cos^2(x) = 1这个公式是三角函数中最著名的公式之一，它表明正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1。
这个公式在解三角形问题时非常有用，为它可以帮助我们计算三角形中的未知边长。
6. 正切函数的平方的诱导公式tan^2(x) + 1 = sec^2(x)这个公式表明，正切函数的平方加1等于其对应的正割函数的平方。
这个公式在计算三角形中的未知边长时非常有用。
7. 余切函数的平方的诱导公式cot^2(x) + 1 = csc^2(x)这个公式表明，余切函数的平方加1等于其对应的余割函数的平方。
这个公式同样也可以帮助我们计算三角形中的未知边长。
8. 正弦函数和余弦函数的诱导公式sin(x + π/2) = cos(x)cos(x + π/2) = -sin(x)这两个公式表明，正弦函数和余弦函数之间存在一种特殊的关系，即它们的相位差为π/2。
7-4-1三角函数的诱导公式(一)
自学导引 1．诱导公式一 sin(2kπ＋α)＝ sin α ，
cos(2kπ＋α)＝ cos α ， tan(2kπ＋α)＝ tan α . 2．诱导公式二 sin(－α)＝ －sin α ， cos(－α)＝ cos α ， tan(－α)＝ －tan α .
3．诱导公式三 sin(π－α)＝ sin α ， cos(π－α)＝ －cos α ， tan(π－α)＝ －tan α . 4．诱导公式四 sin(π＋α)＝ －sin α ， cos(π＋α)＝ －cos α ， tan(π＋α)＝ tan α .
解
1 1 ∵ sin π＋α ＝－ sin α ＝－ ，∴ sin α ＝ ，∴ cos α ＝ 3 3
2 2 2 2 ± 1－sin α＝± 3 ，∴cos5π＋α＝cosπ＋α＝－cos α＝± 3 .
2
规律方法
解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之
规律方法
求解此类给角求值问题，主要是利用诱导公式把
任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值来求解．如果是负 角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，注意要熟记 那些特殊角的三角函数值．
【变式 1】 把下列三角函数值化成锐角三角函数值： 46 (1)sin 890° ； (2)cos(－1 090° )； (3)sin π. 5 解 (1)sin 890° ＝ sin(2×360° ＋170° )＝ sin 170° ＝sin(180° －10° )＝sin 10° . (2)cos(－1 090° )＝cos(－3×360° －10° )＝cos (－10° ) ＝cos 10° .
解
1＋2sin360° －70° · cos360° ＋70° (1)原式＝ sin180° ＋70° ＋cos720° ＋70°
7.4 诱导公式
学习目标：
1.理解正弦、余弦、正切的诱导公式三、四的推导过程；
学习过程： 一、自主探究：(看一看，你会有新的发现! ) 1、角 2κ π +α （κ ∈Z）与角α 的三角函数间的关系：
sin(2 ) cos(2 )
tan(2 )
( Z ) ( Z ) ( Z )
2、角—α 与角α 的三角函数间的关系： sin(-α )= cos(-α )= tan(-α )= 3、角π +α 与角α 的三角函数间的关系： cos(π +α )= sin(π +α )= tan(π +α )= 4、角
2
与角α 的三角函数间的关系：
sin( cos(
2
2
)=
)=
5、利用诱导公式证明： （1） sin(-)=sin （2） cos(-)=-cos （3） tan(-)=-tan
班级
姓名
时间：
年
月
日
2.掌握公式三、四，并会正确运用公式进行有关计算、化简。
二、合作探究： （议一议，你会有更大的收获！ ） 计算：
30°
45°
60°ห้องสมุดไป่ตู้
120° 135° 150°
2 3 3 4 5 6
6
sin cos tan
4
3
三、达标测试： （相信自己，你一定会取得成功！ ） 1、 求值： （1） sin(-810° ) （2） tan150° 2、 证明： （1） sin(2-)=-sin （2） cos(2-)=cos 四、拓展延伸： （徜徉于知识的海洋，你会有意想不到的收获！ ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《数学》教案（2014～2015 学年第一学期）适用计算机专业
教学部计算机
班级14.2 14.3 14.4 14.5 教师邱实
教案首页
教学设计
教学内容
三角函数的诱导公式
教学目标：
1、 知识与技能：识记诱导公式，理解和掌握诱导公式的内涵和结构特征，会初步运用诱导公式 求三角函数的值，并进行简单三角函数的化简。
2、过程与方法：通过诱导公式的推导，培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会教学的化归思想方法，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维模式。
3、情感态度与价值观：通过诱导公式的推导，培养学生主动探索，勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
教学重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归成已知问题的思想方法。
教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法。
教学方法：问答探究式教学。
教学过程：
一、课前回顾
1．任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？ 2．2()k k Z πα+∈与α的三角函数之间的关系是什么？ 3．求sin750°和sin930°的值。
利用诱导公式一，可将任意角的三角函数值，转化为0°～360°范围内的三角函数值，其中锐角的三角函数可以查表计算，而对于90°～360°范围内的三角函数值，如何转化为锐角的三角函数值，是我们需要研究和解决的问题。
二、新课探究
问1：210°角与30°角有何内在联系？
210°=180°+30°
问2：若α为锐角，则（180°，270°）范围内的角可以怎样用α表示？ 180°+α
问3：对于任意给定的一个角α，角απ+的终边与角α的终边有什么关系？ 关于原点对称。
问4：设角α的终边与单位圆交于点P ),(y x ，则角
απ+的终边与单位圆的交点Q 坐标如何？
Q ),(y x --
问5：根据三角函数定义，试确定sin(απ+)、 cos （απ+）、tan （απ+）的值分别是什么？
y -=+)sin(απ ， ， 问6：对比sin α，cos α，tan α的值，απ+的三角函数与α的三角函数有什么关系？
y -=+)sin(απ
观察得出：公式二
问7：该公式有什么特点，如何记忆？ 特点一：各等式函数名相同；
特点二：若将α当成锐角，则απ+为第三象限角，此时sin α为正，sin(απ+)为负。
问1：对于任意给定的一个角α，α-的终边与α的
终边有什么关系？
x -=+)cos(απx
y
=
+)tan(απco si s ta n n y x
y x ααα===x -=+)cos(απx y =+)tan(απα
απααπα
απtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+
α
αα-
关于X 轴对称。
问2：设角α的终边与单位圆交于点P ),(y x ，则α-的终边与单位圆的交点Q 坐标如何？ Q ),(y x -
问3：根据三角函数定义，α-的三角函数与α的三角函数有什么关系？
观察得出：公式三
问4：利用απ-=)(απ-+，结合公式二、三，你能得到什么结论？ 例如：()[]ααααπαπsin )sin ()sin(sin )sin(=--=--=-+=-
类似可得ααπcos )cos(-=-，ααπtan )tan(-=-。
即公式四：
问5：如何根据三角函数定义推导公式四？（请同学自己根据图像完成）
问6：公式三、四有什么特点，如何记忆？
问7：公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2()k k Z πα+∈，απ+，α-，α
π-cos()tan()sin()y x y x ααα-==-=---co si s ta n n y x
y x
ααα===α
αααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=-α
απααπα
απtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=-的终边
αα-
的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？
2()k k Z πα+∈，απ+，α-，απ-的三角函数值，等于α的同名函数值，再放上原函
数的象限符号。
始终将α看做锐角，再判断2()k k Z πα+∈，απ+，
α-，απ-为第几象限角，根据2()k k Z πα+∈，απ+，α-，απ-所在象限的三角函数符号确定诱导公式的符号。
） 三、知识应用
例1 求下列各三角函数的值：
（1）︒225cos ； （2）3
11sin
π
； （3）)3
16sin(π
-
； （4）)2040cos(︒-。
答案：（1）22-
；（2）23
-；（3）2
3；（4）21-。
例2 已知3
1
)c os(=
+x π，求下列各式的值： （1）)2cos(x -π； （2）)cos(x -π。
答案：（1）3
1
-；（2）31。
例3 化简 （1）
)cos()sin()2sin()cos(αππαπααπ----++； （2）︒
︒-︒-︒585tan )350cos()
210sin(190cos 。
答案：（1）1；（2）2
1
-。
四、课堂小结
1．诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立。
2．以诱导公式一～四为基础，还可以产生一些派生公式，如sin （απ-2）=－sin α， sin
（απ-3）=sin α等。
3．利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：。