信息安全数学基础 课件1
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信息安全数学基础课件
信息安全数学基础
经典的古典密码算法主要有：
代替密码：将明文字符用另外的字符代替，典型的
引
有恺撒密码、仿射密码、维吉尼亚密码等；
换位密码：明文的字母保持相同，但顺序打乱。
言
经典的现代密码算法有很多种，最通用的有：
DES：数据加密标准，对称密码算法，用于加密； AES: 高级加密标准，对称密码算法，用于加密；
言
Kerchoffs原则
1883年Kerchoffs第一次明确提出了编码的原则： 保密性完全依赖于密钥，算法应该公开。
这一原则已得到普遍承认，成为判定密码强度的 衡量标准，实际上也成为古典密码和现代密码的 分界线。
信息安全数学基础
基于密钥的算法，按照密钥的特点分类：
对称密码算法：又称秘密密钥算法或单密钥算
Eve
窃听 篡改 伪造
密码学是一门古老而深奥的学科,包括密码编码 学和密码分析学; 通信双方按照某种约定将消息的原形隐藏。 密码系统:明文,密文,加解密算法,密钥。
信息安全数学基础
密码学的起源与发展
三个阶段：
引
1949年之前：密码学是一门艺术； 1949～1975年：密码学成为科学；
1976年以后：密码学的新方向－－公钥密码学。
如何鉴别通信对象的身份？
引
公共网络
Alice
Bob
言
Eve
假冒
身份鉴别：就是确认实体是它所声明的，身份鉴别服务 提供关于某个实体身份的保证，以对抗假冒攻击。
解决方法：密码技术
信息安全数学基础
本课程的相关知识点
简单的密码学基础：
引
密码技术是信息安全的核心技术； 需要掌握一些密码学基础知识。
相关的数学知识：
信息安全数学基础第一章-第一章第4-5节
p2 2
L
ps s
,
b
p1 1
p2 2
L
ps s
,
其中 i i 0, (i 1, 2,L , t);
i i 0, (i t 1, 2,L , s).
取
a'
p1 1
p2 2
于是 (120,150, 210, 35) 5.
同样 [120,150, 210, 35] 23 3 52 7 4200.
23
例5 设a, b是两个正整数,则存在整数a ' | a, b' | b,使得
a 'b' [a, b], (a ', b') 1.
证 设a, b有分解式:
a
p1 1
b p1 ' p2 'L pu ', c pu1 ' p2 'L ps ' 于是 n bc p1 ' p2 'L pu ' pu1 ' p2 'L ps '
15
适当改变pi '的次序,即得(1)式.
由归纳法原理, 对于所有n 1的整数,(1)式成立.
再证表达式的唯一性. 假设还有
n q1q2 L qt , q1 q2 L qt
所以[a, b] | m.
此定理表明:任意两个正整数的乘积等于这两个数的 最小公倍数与最大公因数的乘积.这两个数的最小公 倍数不但是最小的正倍数,且是另外的公倍数的因数.
10
推论 设m, a, b是正整数,则[ma, mb] m[a, b].
证
[ma, mb]
m 2 ab (ma, mb)
m2ab m ab m(a,b) (a,b)
信息安全数学基础 绪论
( 1859, 1573,11) (143,11) 11.
定义4 整数a1, a2, , ak (ai ≠0)的公共倍数称为 a1, a2, , ak的公倍数。a1, a2, , ak 的正公倍数中
最小的一个叫做a1, a2, , ak的最小公倍数，记为
[a1, a2, , ak]. 定理3 下面的等式成立： (ⅰ) [a, 1] = |a|，[a, a] = |a|； (ⅱ ) [a , b ] = [ b , a ]；
则称d是 a1 , a2 ,, an 的最大公因数。
定理1〔有关最大公因数的结论〕
(1) (a1 , a2 , , an ) ( a1 , a2 , , an ); (2) b a (a , b) b ; (0, b ) b ;
(3) a bq r , q 0 (a , b) (b, r ).
定理2
设 (a1 , a2 ) d 2 ,(d 2 , a3 ) d 3 ,,(dn 2 , an1 ) dn1 , 设 (a1 , a2 ,, an ) d .
(d n1 , an ) d n , 则 (a1 , a2 ,, an ) d n .
证明
一方面，d a1 , d a2 d d 2 d d n ；
证：由[a1 , a2 ] m2 ,[m2 , a3 ] m3 ,,[mn1 , an ] mn
知mn是a1 , a2 ,, an的一个公倍数.
对a1 , a2 ,, an的任一公倍数m，
由a1 m , a2 m ，且[a1 , a2 ] m2 m2 m ，m3 m ， ，mn m . [a1 , a2 ,, an ] mn .
[a1, a2, , ak]. 定义5 设d是正整数且满足以下两个条件：
信息安全数学基础第1章 整数的可除性
《信息安全数学基础》 第1章
欧几里德算法
•
《信息安全数学基础》 第1章
•
《信息安全数学基础》 第1章
欧几里德算法
•
《信息安全数学基础》 第1章
欧几里德算法-举例
【例1.2.6】 利用欧几里德算法求（172, 46）.
172=46×3+34 46=34+12
(172, 46)=(46,34) (46,34)=(34,12)
《信息安全数学基础》 第1章
1.2.1带余除法
•
《信息安全数学基础》 第1章
•
《信息安全数学基础》 第1章
带余除法一般形式
•
《信息安全数学基础》 第1章
带余除法-举例
•
《信息安全数学基础》 第1章
1.2 .2 最大公因数
•
《信息安全数学基础》 第1章
最大公因数-举例
•
《信息安全数学基础》 第1章
(172, 46)=(46,34)
《信息安全数学基础》 第1章
•
《信息安全数学基础》 第1章
裴蜀等式-特例
•
《信息安全数学基础》 第1章
裴蜀等式-举例
•
《信息安全数学基础》 第1章
void Euclid(unsigned int num1,unsigned int num2) {
int a[32],b[32]; int inv_a,inv_b,tmp; int i=0,j=0; a[0]=num1; b[0]=num2; while(a[i]%b[j]!=0) {
•
《信息安全数学基础》 第1章
标准分解式
•
《信息安全数学基础》 第1章
•
《信息安全数学基础》 第1章
欧几里德算法
•
《信息安全数学基础》 第1章
•
《信息安全数学基础》 第1章
欧几里德算法
•
《信息安全数学基础》 第1章
欧几里德算法-举例
【例1.2.6】 利用欧几里德算法求（172, 46）.
172=46×3+34 46=34+12
(172, 46)=(46,34) (46,34)=(34,12)
《信息安全数学基础》 第1章
1.2.1带余除法
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《信息安全数学基础》 第1章
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《信息安全数学基础》 第1章
带余除法一般形式
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《信息安全数学基础》 第1章
带余除法-举例
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《信息安全数学基础》 第1章
1.2 .2 最大公因数
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《信息安全数学基础》 第1章
最大公因数-举例
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《信息安全数学基础》 第1章
(172, 46)=(46,34)
《信息安全数学基础》 第1章
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《信息安全数学基础》 第1章
裴蜀等式-特例
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《信息安全数学基础》 第1章
裴蜀等式-举例
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《信息安全数学基础》 第1章
void Euclid(unsigned int num1,unsigned int num2) {
int a[32],b[32]; int inv_a,inv_b,tmp; int i=0,j=0; a[0]=num1; b[0]=num2; while(a[i]%b[j]!=0) {
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《信息安全数学基础》 第1章
标准分解式
•
《信息安全数学基础》 第1章
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《信息安全数学基础》 第1章
信息安全中的数学基础第一章
最小公倍数与最大公因子关系
定理1-8
a，b 2）
（a，b）
1）设d是a，b的任意公倍数，则 [a，b] d． ab ，特别地，如果(a，b) = 1，[a，b] = |ab|．
定理2证明
证明
1）做带余除法： d = q[a，b] + r，0r[a，b]， 由于ad，bd，那么 a[a，b]，b[a，b]， 则ar，br， r也是a，b的公倍数，
互素
定义1-7：设a，b是两个不全为0的整数，如果(a，b) = 1，
则称a，b互素．
推论1-1：a，b互素的充分必要条件是：
存在u，v，使ua+vb = 1． 证明 必要条件是定理1的特例，只需证充分条件． 如果存在u，v，使 ua+vb = 1． 则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1， 所以(a，b) = 1．
v， 使
(a，b)= ua+vb．
最大公因子定理
例6：将a = 888，b = 312的最大公因子表示为(a，b) = ua+vb 解 利用欧几里得除法求最大公因子的过程可以解出． 888 = 2312+264 312 = 1264+48 264 = 548+24 48=2 24 我们有： 264 = 8882312=a-2b 48 = 312264 = b (a-2b) = –a+3b 24 = 264548 = (a-2b)5(–a+3b) =6a17b 故(888，312) = 24 = 6888+(17)312．
（3）近世代数（第二版），韩士安，林磊著，科学出版社， 2009年
《信息安全数学基础》课程介绍
课程内容：数论，近世代数，有限域 课程目的：培养抽象思维能力和严格的逻辑推理 能力, 为学习专业基础课及专业课打好基础
第2章 信息安全数学基础(数论)计算机系统与网络安全技术课件
2020/10/3
素数定义及素数个数定理
1.定义：
一个大于1的整数p，只能被1或者是它本身整除,而不能 被其他整数整除，则称整数为素数(prime number)，否 则就叫做合数(composite)。 eg 素数（2，3，5，7，11，13等）
合数（4，6，8，9，12等）
2020/10/3
素数补充定理
Euclid算法实例：求 gcd(132, 108).
132110824, 10842412, 24212,
gcd(1,1302)8 gcd(1,0284) gcd(42,12) 12.
2020/10/3
最大公约数的欧几里得算法（续）
欧几里得算法（例1）
求：gcd（1180，482）
1 1 8 0＝ 2 4 8 2＋ 2 1 6 4 8 2＝ 2 2 1 6＋ 5 0 2 1 6＝ 4 5 0＋ 1 6 5 0＝ 3 1 6＋ 2 1 6＝ 8 2＋ 0
≈3.9 * 1097.
2020/10/3
整数的唯一分解定理
1.整数的唯一分解理定理（算术基本定理）:
设n∈Z, 有分解式, n = ±p1e1p2e2...pmem,其中p1, p2,…, pm∈Z+是互不相同的素数, e1,e2,…,em∈Z+, 并且数对(p1, e1), (p2, e2),…,(pm, em)由n唯一确定（即 如果不考虑顺序，n的分解是唯一的）.
b r1q2 r2, 0 r2 r1,
gcd(r1,r2 )
r1 r2q3 r3, 0 r3 r2,
gcd(r2,r3)
..........
rn2 rn1qn rn, 0 rn rn1,
rn1 rnqn1,
素数定义及素数个数定理
1.定义：
一个大于1的整数p，只能被1或者是它本身整除,而不能 被其他整数整除，则称整数为素数(prime number)，否 则就叫做合数(composite)。 eg 素数（2，3，5，7，11，13等）
合数（4，6，8，9，12等）
2020/10/3
素数补充定理
Euclid算法实例：求 gcd(132, 108).
132110824, 10842412, 24212,
gcd(1,1302)8 gcd(1,0284) gcd(42,12) 12.
2020/10/3
最大公约数的欧几里得算法（续）
欧几里得算法（例1）
求：gcd（1180，482）
1 1 8 0＝ 2 4 8 2＋ 2 1 6 4 8 2＝ 2 2 1 6＋ 5 0 2 1 6＝ 4 5 0＋ 1 6 5 0＝ 3 1 6＋ 2 1 6＝ 8 2＋ 0
≈3.9 * 1097.
2020/10/3
整数的唯一分解定理
1.整数的唯一分解理定理（算术基本定理）:
设n∈Z, 有分解式, n = ±p1e1p2e2...pmem,其中p1, p2,…, pm∈Z+是互不相同的素数, e1,e2,…,em∈Z+, 并且数对(p1, e1), (p2, e2),…,(pm, em)由n唯一确定（即 如果不考虑顺序，n的分解是唯一的）.
b r1q2 r2, 0 r2 r1,
gcd(r1,r2 )
r1 r2q3 r3, 0 r3 r2,
gcd(r2,r3)
..........
rn2 rn1qn rn, 0 rn rn1,
rn1 rnqn1,
信息安全数学基础(概率论)PPT幻灯片PPT
lim P[ n p ] 1 n n
贝努里大数定理（续）
定理（辛钦大数定理）设随机变量 1,,n 独立同分布，且具有数学期望 E(i ) , i 1,2, ，则
由定义，显然D(ξ) ≥0；当ξ的可能取值集中在E(ξ)附近时， D(ξ)较小；否则D(ξ)较大。 可见，方差大小反映了ξ与E(ξ)的偏离程度（或取值的分散 程度）。 2021/5/13
方差的计算
(1 )D ()E ()2(E ())2 (2 )D （ ） = E ( E ())2 (xiE ())2p i,其 中 p iP { xi}
设 是 一 随 机 变 量 ， 若 E ( E ( ) ) 2 , 则 称 E ( E ( ) ) 2 为 随 机 变 量 的 方 差 ， 记 为 ： D ( ) 。
即 ： D ()＝ E(E ())2
而 称 D ( ) 为 的 标 准 差 （ 或 均 方 差 ） ， 记 为 ： ()
使 D(i ) C i 1,2,，则对任意的 0 ，有
lim P{
n
1 n
n i 1
i
1 n
n i1
E( i
)
} 0
证明：由切比雪夫不等式知： 0, 有：
n
0 P{ 1
n
n
i
i 1
1 n
n i 1
E(i )
} 1 2
D( 1 n
n
i)
i 1
D i
i 1
n2 2
nC n2 2
例如，抛掷一枚硬币的试验就属于贝努里试验。
假设在任何一次试验中：P[“成功”]＝p，P[“失
败”]＝1－p
那么：
P[n次试验中有k次为“成功”]＝ kn
信息安全数学基础第一章
7
1.1 群的定义-群的定义
注4：由于群里结合律是满足的，把元素 的n次连乘 ：由于群里结合律是满足的，把元素a的 次连乘 记为a 交换群也可记为na），称为a的 次幂 ），称为 记为 n （交换群也可记为 ），称为 的n次幂 或称乘方）。 （或称乘方）。 注5：若(G, )只满足结合律，则称 为半群；如果 只满足结合律， 为半群； ： 只满足结合律 则称G为半群 (G, ) 满足结合律且有单位元，则称 为有单位元的 满足结合律且有单位元，则称G为有单位元的 半群。 半群。
SL(n, R ) ≤ GL(n, R )
18
1.2
群的性质群的性质-子群
定理1 一个群G和它的一个子群 和它的一个子群H有 定理1 一个群 和它的一个子群 有： 1）G的单位元和 的单位元是同一的； 的单位元和H的单位元是同一的 ） 的单位元和 的单位元是同一的； 2）如果 ∈H，a−1是a在G中的逆元，则a−1∈H． 中的逆元， ）如果a∈ ， 在 中的逆元 ．
an = 1 ⇔ | a | n
的阶， 2）记 | a | 为元素 a 的阶，则 |a| i | a |= (| a |, i )
16
1.2
群的性质-群的分类 群的性质-群的分类
从元素个数来分：有限群与 从元素个数来分：有限群与无限群 的剩余类加法群、乘法群， 次对称群等为有 模 n 的剩余类加法群、乘法群， n 次对称群等为有 限群；一般线性群，特殊线性群，整数加群等为无 限群；一般线性群，特殊线性群，整数加群等为无 限群。 限群。 从代数运算的交换性来分：交换群与 从代数运算的交换性来分：交换群与非交换群 的剩余类加法群、乘法群，整数加群等为交 模 n 的剩余类加法群、乘法群，整数加群等为交 n 换群； 次对称群， 换群； 次对称群，一般线性群和特殊线性群等 非交换群。 为非交换群。
1.1 群的定义-群的定义
注4：由于群里结合律是满足的，把元素 的n次连乘 ：由于群里结合律是满足的，把元素a的 次连乘 记为a 交换群也可记为na），称为a的 次幂 ），称为 记为 n （交换群也可记为 ），称为 的n次幂 或称乘方）。 （或称乘方）。 注5：若(G, )只满足结合律，则称 为半群；如果 只满足结合律， 为半群； ： 只满足结合律 则称G为半群 (G, ) 满足结合律且有单位元，则称 为有单位元的 满足结合律且有单位元，则称G为有单位元的 半群。 半群。
SL(n, R ) ≤ GL(n, R )
18
1.2
群的性质群的性质-子群
定理1 一个群G和它的一个子群 和它的一个子群H有 定理1 一个群 和它的一个子群 有： 1）G的单位元和 的单位元是同一的； 的单位元和H的单位元是同一的 ） 的单位元和 的单位元是同一的； 2）如果 ∈H，a−1是a在G中的逆元，则a−1∈H． 中的逆元， ）如果a∈ ， 在 中的逆元 ．
an = 1 ⇔ | a | n
的阶， 2）记 | a | 为元素 a 的阶，则 |a| i | a |= (| a |, i )
16
1.2
群的性质-群的分类 群的性质-群的分类
从元素个数来分：有限群与 从元素个数来分：有限群与无限群 的剩余类加法群、乘法群， 次对称群等为有 模 n 的剩余类加法群、乘法群， n 次对称群等为有 限群；一般线性群，特殊线性群，整数加群等为无 限群；一般线性群，特殊线性群，整数加群等为无 限群。 限群。 从代数运算的交换性来分：交换群与 从代数运算的交换性来分：交换群与非交换群 的剩余类加法群、乘法群，整数加群等为交 模 n 的剩余类加法群、乘法群，整数加群等为交 n 换群； 次对称群， 换群； 次对称群，一般线性群和特殊线性群等 非交换群。 为非交换群。
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a bq1 (aq2 )q1 a(q1 q2 )
于是q1 q2 =1, 因q1 , q2是整数,所以
q1 q2 1,
从而a b.
20
练习：
1. 设a，b是两个给定的非零整数，且有整数x， y使得ax+by=1.证明：若a|n且b|n，则ab|n
2. 设 是整系数多项 式。若d|b-c，则d| f (b) f (c)
f ( x) an xn an1xn1 ... a1x a0
2015/12/22
21
解答：
1.证明：由n=n(ax+by)=(na)x+(nb)y,及 ab|na，ab|nb 得证。 na=k1(ab) ; nb=k2(ab) (na)x+(nb)y=ab(k1*x+k2*y) 2.证明：
本章主要内容：
整除的概念 欧几里得算法(*) 整数的表示 最大公因子与广义欧几里得算法(*) 最小公倍数 素数与算数基本定理(*) 素数定理
2015/12/22
12
1.1 整除的概念 欧几里得除法
一、整除基本概念及性质
定义1 设a , b是任意两个整数,其中b 0, 如果 存在一个整数q使得等式 a bq 成立,则称b整除a或者a被b整除,记作b | a . 此时q可 a 写成a / b或 . b 如果b | a, 则b叫做a的因数, 而a叫做b的倍数.
证 (q, r的存在性) 考虑数列
,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,
则a必在上述数列的某两项之间, 即存在整数q,
30
使得 qb a (q 1)b
0 a bq b
令r a bq, 则有
a = bq + r, 0 r b
(q, r的唯一性) 若有整数q,r和q1 ,r1 , 使得
16
定理2 设a, b, c 0是三个整数. 若c | a, c | b, 则c | a b.
证 因c | a, c | b, 所以存在整数q1 , q2 , 使得
a cq1 , b cq2
a b cq1 cq2 c(q1 q2 ) 因q1 q2是整数, 所以c | a b.
解 小于等于 100 10的所有素数为2, 3, 5, 7, 划去2, 3, 5, 7的倍数和1, 余下的即为1 ~ 100之间的素 数.
26
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59
f (b) f (c) an (bn cn ) an1 (bn1 cn1 ) ... a1 (b c)
又 d | b j c j 得证。
2015/12/22
22
二、素数(质数)及其判别法
1. 素数
定义2 设整数n 0， 1，如果除了 1和 n 外，n没有其它因数,则n叫做素数(或质数或不可 约数),否则n叫做合数. Nhomakorabea28
定理8 素数有无穷多个.
证(反证法) 假设整数中只有有限个素数, 设为p， ，p， 1 p， 2 k 令
n p1 p2 pk 1，
于是n的大于 则n pi ( i = 1,2,, k ), 所以n是合数.
1的最小正因数p是素数, 这里 p 某个pi (1 i k ),
数论特点
任意两个整数可以相加，相减，相乘， 结果仍是整数 但两个整数不一定能在整数的范围内相 除，这是整数系统的特点(乘法) 研究整数就针对这一特点加以分析 实际上，研究整数的性质基本上就是 要研究整除性和因数分解等问题以及 其它一些有关的问题
数论内容
介绍数论中一些最基本的事实 介绍整数的一些最基本的性质 有时似乎在叙述或证明一些尽人皆知非常 明显的事实。实则并非如此 有些事情，我们习而不察，知其然而不知其 所以然。有些事情，虽然知道，却知道的不 确切 若未特别指明，凡出现的数都是指整数
a bq r ,
0r b
a bq1 r1 , 0 r1 b
故q = q1 , 从而r r1 .
b(q q1 ) r1 r .
若q q1 , 则 | b(q q1 ) | b, 而 | r1 r | b, 矛盾.
31
注 : 如果将条件b 0, 改为b 0, 则定理9中结 论可改为 a bq r , 0 r | b |
推论 b | a a被b除所得的余数r 0.
由定理7和欧几里得除法, 可得判断一个整数 是否为素数的方法.
2.素数的判别法1(Eratosthenes筛法)
1、求不超过n的一切素数, 只须把不超过 n的素数的倍数划去即可.
2、要划掉素数p的倍数,可以从p2 开始划起, 因对于每一个小于p2的合数a , 它的最小素因数 a p, 因而在之前已被划掉了.
25
例2 求出所有不超过N 100的素数.
证 因c | a, c | b, 且sa tb 1, 所以有
c | sa tb
故c 1.
c | 1,
19
定理5 设a , b都是非零整数, 若a | b, b | a , 则 a b.
证 因a | b, b | a, 所以存在整数q1 , q2 , 使得
a bq1 , b aq2
假设矛盾,所以 p是素数. 因n是合数, p是n的大于1的最小正因数,所以
存在整数n1 , 使得 n pn1 1 p n1 n
P*P<=n1*p=n
24
因此 p2 n, 故 p n .
整数为素数的判别法
定理7 设n是一个正整数, 如果对所有的素数 p n , 都有p | n, 则n是素数.
整数 什么叫整数？
整数的一部分—最简单的数学模型就是自然 数 自然数的严格定义是在集合论的基础上，由 Peano(皮亚诺)给出了自然数公理 如果有一些对象(可数集)，除了它们的数 目之外其它性质我们不予考虑的话，我们 就可以用自然数来数它们
无穷大
总有一些数目由于太大而没有名称。这种现象或许 就是人们第一次碰到无穷大 这在古代就已经导致这种严肃的问题：有没有大 得不能数的数？ 阿基米德在一本题为《数沙器》(公元前200年)的 书中回答了 他列举了一系列增长很快的数目，并且通过体 积的估计而证明：这些数目当中有些数目比地 球上甚至比太阳系中的沙粒的数目还大
因此 p | p1 p2 pk , p | 1
P|n-p1*p2*…=1
这是不可能的.故素数有无穷多个.
29
三、欧几里得除法(带余除法)
定理9 (欧几里得除法) 设a , b是两个整数,其 中b 0,则存在唯一的整数 q, r ,使得 a = bq + r, 0r b
其中q叫做a被b除所得的不完全商, r叫做a被b除所 得的余数.
信息安全数学基础
吴 汉 炜 180260006@
2015/12/22
信息科学技术学院 信息安全系
1
网络安全 (应用技 术)
身份识别技术、防火墙技术、 入侵检测技术等
信息安全
密码学 (理论基 础)
2015/12/22
数学
(数论、代数和椭圆曲线理论)
2
课程内容
数论 代数(群、环、域)
整 数 的 可 除 性
如果b不能整除a, 则记作b | a.
13
注 : (1) 当b遍历整数a的所有因数时, b也遍历整数 a的所有因数.
(2) 当b遍历整数a的所有因数时, a / b也遍历整数 a的所有因数.
(3) 对任何整数b 0, 有b | 0.
(4) 对任何整数b, 有1|b.
(5) 对任何整数a 0, 有a | a.
素数的数目是有限多还是无穷多？
有了研究的对象集合，再建立对象集合上的运算。 一些乘法的经验表明，有些数是一些比1大的其 它数的乘积 而有些数，就没有这种性质----质数(素数) 在欧几里德的《原本》中，已经有一个简单而巧 妙的推理能够得出结论：质数无穷多 计算机只能处理有限数和有限个数，计算机的计算 模型，硬件体系结构的设计与实现，代数编码，软 件设计与实现，计算机通信及密码学等，都广泛使 用了整数理论 而数学可以处理无穷大
10 20 30 40 50 60
69 70 79 80 89 90 99 100
27
故1 ~ 100之间的素数有 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97共 25个.
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信息安全数学基础
第1章：整数的可除性
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5
整数论是研究整数的学科
数的集合：{…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…}
在数学中有一门称为“整数论”的分支 早在公元前50年左右，在我国第一部数学专著 《九章算术》(作者不详)的第一章中就开始讨论 整数，介绍了辗转相除法 它与公元前三世纪欧几里德所著《几何原本》 中介绍的辗转相除法是各自独立地总结出来的 五世纪时，在我国的《孙子算经》中更有闻名 于世的中国剩余定理(即孙子定理)，也对整数做 了研究
于是q1 q2 =1, 因q1 , q2是整数,所以
q1 q2 1,
从而a b.
20
练习：
1. 设a，b是两个给定的非零整数，且有整数x， y使得ax+by=1.证明：若a|n且b|n，则ab|n
2. 设 是整系数多项 式。若d|b-c，则d| f (b) f (c)
f ( x) an xn an1xn1 ... a1x a0
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解答：
1.证明：由n=n(ax+by)=(na)x+(nb)y,及 ab|na，ab|nb 得证。 na=k1(ab) ; nb=k2(ab) (na)x+(nb)y=ab(k1*x+k2*y) 2.证明：
本章主要内容：
整除的概念 欧几里得算法(*) 整数的表示 最大公因子与广义欧几里得算法(*) 最小公倍数 素数与算数基本定理(*) 素数定理
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1.1 整除的概念 欧几里得除法
一、整除基本概念及性质
定义1 设a , b是任意两个整数,其中b 0, 如果 存在一个整数q使得等式 a bq 成立,则称b整除a或者a被b整除,记作b | a . 此时q可 a 写成a / b或 . b 如果b | a, 则b叫做a的因数, 而a叫做b的倍数.
证 (q, r的存在性) 考虑数列
,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,
则a必在上述数列的某两项之间, 即存在整数q,
30
使得 qb a (q 1)b
0 a bq b
令r a bq, 则有
a = bq + r, 0 r b
(q, r的唯一性) 若有整数q,r和q1 ,r1 , 使得
16
定理2 设a, b, c 0是三个整数. 若c | a, c | b, 则c | a b.
证 因c | a, c | b, 所以存在整数q1 , q2 , 使得
a cq1 , b cq2
a b cq1 cq2 c(q1 q2 ) 因q1 q2是整数, 所以c | a b.
解 小于等于 100 10的所有素数为2, 3, 5, 7, 划去2, 3, 5, 7的倍数和1, 余下的即为1 ~ 100之间的素 数.
26
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59
f (b) f (c) an (bn cn ) an1 (bn1 cn1 ) ... a1 (b c)
又 d | b j c j 得证。
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二、素数(质数)及其判别法
1. 素数
定义2 设整数n 0， 1，如果除了 1和 n 外，n没有其它因数,则n叫做素数(或质数或不可 约数),否则n叫做合数. Nhomakorabea28
定理8 素数有无穷多个.
证(反证法) 假设整数中只有有限个素数, 设为p， ，p， 1 p， 2 k 令
n p1 p2 pk 1，
于是n的大于 则n pi ( i = 1,2,, k ), 所以n是合数.
1的最小正因数p是素数, 这里 p 某个pi (1 i k ),
数论特点
任意两个整数可以相加，相减，相乘， 结果仍是整数 但两个整数不一定能在整数的范围内相 除，这是整数系统的特点(乘法) 研究整数就针对这一特点加以分析 实际上，研究整数的性质基本上就是 要研究整除性和因数分解等问题以及 其它一些有关的问题
数论内容
介绍数论中一些最基本的事实 介绍整数的一些最基本的性质 有时似乎在叙述或证明一些尽人皆知非常 明显的事实。实则并非如此 有些事情，我们习而不察，知其然而不知其 所以然。有些事情，虽然知道，却知道的不 确切 若未特别指明，凡出现的数都是指整数
a bq r ,
0r b
a bq1 r1 , 0 r1 b
故q = q1 , 从而r r1 .
b(q q1 ) r1 r .
若q q1 , 则 | b(q q1 ) | b, 而 | r1 r | b, 矛盾.
31
注 : 如果将条件b 0, 改为b 0, 则定理9中结 论可改为 a bq r , 0 r | b |
推论 b | a a被b除所得的余数r 0.
由定理7和欧几里得除法, 可得判断一个整数 是否为素数的方法.
2.素数的判别法1(Eratosthenes筛法)
1、求不超过n的一切素数, 只须把不超过 n的素数的倍数划去即可.
2、要划掉素数p的倍数,可以从p2 开始划起, 因对于每一个小于p2的合数a , 它的最小素因数 a p, 因而在之前已被划掉了.
25
例2 求出所有不超过N 100的素数.
证 因c | a, c | b, 且sa tb 1, 所以有
c | sa tb
故c 1.
c | 1,
19
定理5 设a , b都是非零整数, 若a | b, b | a , 则 a b.
证 因a | b, b | a, 所以存在整数q1 , q2 , 使得
a bq1 , b aq2
假设矛盾,所以 p是素数. 因n是合数, p是n的大于1的最小正因数,所以
存在整数n1 , 使得 n pn1 1 p n1 n
P*P<=n1*p=n
24
因此 p2 n, 故 p n .
整数为素数的判别法
定理7 设n是一个正整数, 如果对所有的素数 p n , 都有p | n, 则n是素数.
整数 什么叫整数？
整数的一部分—最简单的数学模型就是自然 数 自然数的严格定义是在集合论的基础上，由 Peano(皮亚诺)给出了自然数公理 如果有一些对象(可数集)，除了它们的数 目之外其它性质我们不予考虑的话，我们 就可以用自然数来数它们
无穷大
总有一些数目由于太大而没有名称。这种现象或许 就是人们第一次碰到无穷大 这在古代就已经导致这种严肃的问题：有没有大 得不能数的数？ 阿基米德在一本题为《数沙器》(公元前200年)的 书中回答了 他列举了一系列增长很快的数目，并且通过体 积的估计而证明：这些数目当中有些数目比地 球上甚至比太阳系中的沙粒的数目还大
因此 p | p1 p2 pk , p | 1
P|n-p1*p2*…=1
这是不可能的.故素数有无穷多个.
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三、欧几里得除法(带余除法)
定理9 (欧几里得除法) 设a , b是两个整数,其 中b 0,则存在唯一的整数 q, r ,使得 a = bq + r, 0r b
其中q叫做a被b除所得的不完全商, r叫做a被b除所 得的余数.
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数学
(数论、代数和椭圆曲线理论)
2
课程内容
数论 代数(群、环、域)
整 数 的 可 除 性
如果b不能整除a, 则记作b | a.
13
注 : (1) 当b遍历整数a的所有因数时, b也遍历整数 a的所有因数.
(2) 当b遍历整数a的所有因数时, a / b也遍历整数 a的所有因数.
(3) 对任何整数b 0, 有b | 0.
(4) 对任何整数b, 有1|b.
(5) 对任何整数a 0, 有a | a.
素数的数目是有限多还是无穷多？
有了研究的对象集合，再建立对象集合上的运算。 一些乘法的经验表明，有些数是一些比1大的其 它数的乘积 而有些数，就没有这种性质----质数(素数) 在欧几里德的《原本》中，已经有一个简单而巧 妙的推理能够得出结论：质数无穷多 计算机只能处理有限数和有限个数，计算机的计算 模型，硬件体系结构的设计与实现，代数编码，软 件设计与实现，计算机通信及密码学等，都广泛使 用了整数理论 而数学可以处理无穷大
10 20 30 40 50 60
69 70 79 80 89 90 99 100
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故1 ~ 100之间的素数有 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97共 25个.
2015/12/22
4
信息安全数学基础
第1章：整数的可除性
2015/12/22
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整数论是研究整数的学科
数的集合：{…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…}
在数学中有一门称为“整数论”的分支 早在公元前50年左右，在我国第一部数学专著 《九章算术》(作者不详)的第一章中就开始讨论 整数，介绍了辗转相除法 它与公元前三世纪欧几里德所著《几何原本》 中介绍的辗转相除法是各自独立地总结出来的 五世纪时，在我国的《孙子算经》中更有闻名 于世的中国剩余定理(即孙子定理)，也对整数做 了研究