南通市2015届高三三模数学试题含答案

（第10题）C（第11题）（第5题）（第4题）南通市2015届高三第三次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合A ={3，m }，B ={3m ，3}，且A =B ，则实数m 的值是 ▲ ． 2． 已知复数z =(1i)(12i)+-(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ． 3． 已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z =2x +y 的最小值是 ▲ ．4． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50 75)，中的频数为5． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x ，则log 2x 为整数的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为▲ ．8． 在等差数列{a n }中，若a n +a n +2=4n +6（n ∈N *），则该数列的通项公式a n = ▲ ． 9． 给出下列三个命题： ①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件； ②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a =0”是“函数f (x ) = x 3+ax 2（x ∈R ）为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为 ▲ ．10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V = ▲ cm 3．11． 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ．若P 为劣弧 EF 上的动点，则PC PD的最小值为 ▲ ． 12． 已知函数322301()5 1x x m x f x mx x ⎧++=⎨+⎩≤≤，，，＞.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，过点P （-5，a ）作圆x 2+y 2-2ax +2y -1=0的两条切线，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值为 ▲ ． 14．已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形． （1）求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）如果点D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，求证：DE ∥平面ABC 1．16．（本小题满分14分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22ϕππ-＜＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式； （2）若3()2f α=，求sin(2)6απ+的值．1（第15题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(0)，F 20)，且经过点12)．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4． ①求k 1k 2的值； ②求OB 2+OC 2的值．18．（本小题满分16分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧 PQ 上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB长为m ；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超过．．．．200 m ． （1）试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大？（2）当△OAB 的周长最大时，设∠DOC =2θ，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值．B CDQ（第18题）O（第17题）已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n ．（1）若12n n a -=，求S n ；（2）是否存在等比数列{a n }，使2n n b S +=对任意n ∈N *恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；若不存在，说明理由；（3）若a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，求证：0≤S n ＜2．20．（本小题满分16分） 已知函数1()ln f x a x x=--（a ∈R ）． （1）若a =2，求函数()f x 在(1，e 2)上的零点个数（e 为自然对数的底数）； （2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值集合；（3）若()f x 有两零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求证：2＜x 1+x 2＜13e a --1．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，BC 为圆O 的直径，A 为圆O 上一点，过点A 作圆O 的切线交BC 的延长线于点P ，AH ⊥PB 于H ． 求证：P A ·AH =PC ·HB ．（第21（A ）题）B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵0112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A'，B'，C'，求△A B C'''的面积．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cossinx ry rαα=⎧⎨=⎩，，（α为参数，r为常数，r＞0）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos()204θπ++=．若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB=，求r的值．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：14936a b b c c d a d++----≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，12AA AB =． （1）求1AD 与面11BB D D 所成角的正弦值；（2）点E 在侧棱1AA 上，若二面角E -BD -C 1， 求1AEAA 的值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)； （2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．A B CDA 1B 1C 1D 1（第22题）南通市2015届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．【答案】0 2．【答案】3 3．【答案】-3 4．【答案】1000 5．【答案】-4 6．【答案】497．【答案8．【答案】2n +1 9．【答案】③ 10．【答案】1+11． 【答案】5- 12．【答案】（-5，0） 13．【答案】3或-2 14．【答案】[1，83]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形． （1）求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）如果点D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，求证：DE ∥平面ABC 1．解：（1）因三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形， 故B 1C ⊥BC 1．……………………………………………………………………… 2分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，故B 1C ⊥平面ABC 1．5分因B 1C ⊂平面BCC 1B 1，故平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1． 7分（2）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又D 为A 1C 1的中点，故DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因DF ⊄平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1，故DF ∥面ABC 1． ………………… 10分 同理，EF ∥面ABC 1．因DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，故平面DEF ∥面ABC 1．……………………………………………………………… 12分 因DE ⊂平面DEF ，故DE ∥面ABC 1．…………………………………………………………………… 14分1 （第15题答图）1（第15题）16．（本小题满分14分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22ϕππ-＜＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式； （2）若3()2f α=，求sin(2)6απ+的值．解：（1）由图可知，A =2，…………………………………………………………… 2分 T =2π，故1ω=，所以，f (x ) =2sin()x ϕ+．…………………………………… 4分又22()2sin()233f ϕππ=+=，且22ϕππ-＜＜，故6ϕπ=-． 于是，f (x ) =2sin()6x π-．…………………………………………………………7分 （2）由3()2f α=，得3sin()64απ-=．…………………………………………9分 所以，sin(2)sin 2()cos 2()6626αααππππ⎡⎤⎡⎤+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………………………12分=2112sin ()68απ--=-．……………………………………14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(0)，F 20)，且经过点12)．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4． ①求k 1k 2的值； ②求OB 2+OC 2的值．解：（1）方法一依题意，ca 2=b 2+3，……………………………………………………… 2分由2213413b b +=+，解得b 2=1(b 2=34-，不合，舍去)，从而a 2=4．（第17题）故所求椭圆方程为：2214x y +=．离心率e．…………………………………………………………………… 5分方法二由椭圆的定义知，2a4，即a =2．…………………………………………………………………………… 2分又因cb 2=1．下略．（2）①设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则D (-x 1，-y 1)，于是k 1k 2=21212121y y y y x x x x -+⋅-+=12222221y y x x --=22212221(1)(1)44x x x x ----=14-．………………… 8分②方法一由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-，故x 1x 2=124y y -．所以，(x 1x 2)2=(-4y 1y 2)2，即(x 1x 2)2=221216(1)(1)44x x --=22221212164()x x x x -++，所以，2212x x +=4．…………………………………………………………………… 11分又2=22221212()()44x x y y +++=222212124x x y y +++，故22121y y +=． 所以，OB 2+OC 2 =22221122x y x y +++=5．………………………………………… 14分方法二由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-．将直线y =k 3x 方程代入椭圆2214x y +=中，得2123414x k =+．…………………… 9分同理，2224414x k =+．所以，22122234441414x x k k +=+++=22334411414()4k k +++-=4．…………………… 11分 下同方法一．18．（本小题满分16分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧 PQ 上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB长为m ；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超过．．．．200 m ． （1）试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大？（2）当△OAB 的周长最大时，设∠DOC =2θ，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值．解：（1）设(0200]OA m OB n m n ==∈，，，，， 在△OAB 中，22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，即222m n mn =++，…………………………………………………… 2分所以，22222()3()()()44m n m n mn m n m n +=+-+-=+≥，…………4分所以100m n +≤，当且仅当m =n =50时，m n +取得最大值，此时△OAB 周长取得最大值． 答：当OA OB 、都为50 m 时，△OAB 的周长最大． 6分（2）当△AOB 的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形． 过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ， 则E F 、分别为AB ，CD 的中点，所以DOE θ∠=，由CD 200≤，得(0]6 θπ∈，．8分在△ODF 中，200sin 200cos DF OF θθ==，． 又在△AOE 中，cos253OE OA π==，故200cos 25EF θ=-． 10分所以，1400sin )(200cos 25)2S θθ=-=8sin )(8cos 1)θθ-8sin 64sin cos θθθθ=-+，(0]6θπ∈，．…………12分（一直没有交代范围扣2分）令()8sin 64sin cos f θθθθθ=-+(0]6θπ∈，，()8cos 64cos216sin()64cos26f θθθθθθπ'=--+=-++，(0]6θπ∈，，BCDQ（第18题）O BCDQ（第18题答图）OEF又y =16sin()6πθ-+及y =cos 2θ在(0]6θπ∈，上均为单调递减函数，故()f θ'在(0]6θπ∈，上为单调递减函数．因1()4)62f π'=--⨯＞0，故()f θ'＞0在(0]6θπ∈，上恒成立，于是，()f θ在(0]6θπ∈，上为单调递增函数．……… 14分所以当6θπ=时，()f θ有最大值，此时S有最大值为625(8+． 答：当6θπ=时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为625(8+ m 2．… 16分19．（本小题满分16分） 已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n ．（1）若12n n a -=，求S n ；（2）是否存在等比数列{a n }，使2n n b S +=对任意n ∈N *恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；若不存在，说明理由；（3）若a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，求证：0≤S n ＜2．解：（1）当a n =12n -时，b n =11(1)42n -⋅=232n +．………………………………………2分 所以，S n =1231133(1)82242n n -++++=- ．………………………………………4分（2）满足条件的数列{a n }存在且只有两个，其通项公式为a n =1和a n =1(1)n --． 证明：在2n n b S +=中，令n =1，得b 3=b 1． 设a n =1n q -，则b n =211(1)nq q -．………………………………………………… 6分由b 3=b 1，得2321111(1)(1)q q q q-=-． 若q =1±，则b n =0，满足题设条件．此时a n =1和a n =1(1)n --．………………… 8分 若q 1≠±，则311q q=，即q 2 =1，矛盾． 综上，满足条件的数列{a n }存在，且只有两个，一是a n =1，另一是a n =1(1)n --． 10分（3）因1=a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，故0n a ＞，0＜1n n a a +≤1，于是0＜221nn a a +≤1．所以，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅≥0，n =1，2，3，…．所以，S n =b 1+b 2+…+b n ≥0．………………………………………………………… 13分又，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅=1111(1)(1)n n n n n a a a a a ++++-⋅=11111(1)()n n n n n n a a a a a a ++++-⋅≤1112()n n a a +-． 故，S n =b 1+b 2+…+b n ≤122311111112()2()2()n n a a a a a a +-+-++- =11112()n a a +-=112(1)n a +-＜2． 所以，0≤S n ＜2．…………………………………………………………………16分20．（本小题满分16分） 已知函数1()ln f x a x x=--（a ∈R ）． （1）若a =2，求函数()f x 在(1，e 2)上的零点个数（e 为自然对数的底数）； （2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值集合；（3）若()f x 有两零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求证：2＜x 1+x 2＜13e a --1．解：（1）由题设，()f x '=21x x -，故()f x 在(1，e 2)上单调递减．……………………2分所以()f x 在(1，e 2)上至多只有一个零点． 又221(1)(e )1()ef f =⨯-＜0，故函数()f x 在(1，e 2)上只有一个零点．…………… 4分 （2）()f x '=21xx-，令()f x '=0，得x =1． 当x ＞1时，()f x '＜0，()f x 在(1 )+∞，上单调递减； 当0＜x ＜1时，()f x '＞0，()f x 在(0，1)上单调递增，故max [()]f x =f (1)=a -1．……………………………………………………… 6分 ①当max [()]f x =0，即a =1时，因最大值点唯一，故符合题设；…………… 8分②当max [()]f x ＜0，即a ＜1时，f (x )＜0恒成立，不合题设； ③当max [()]f x ＞0，即a ＞1时，一方面，e a ∃＞1，1(e )e a af =-＜0； 另一方面，e a -∃＜1，(e )2e a a f a -=-≤2a -e a ＜0(易证：e x ≥e x )，于是，f (x )有两零点，不合题设．综上，a 的取值集合为{1}．………………………………………………………… 10分 （3）证：先证x 1+x 2＞2． 依题设，有a =111ln x x +=221ln x x +，于是212121ln x x x x x x -=．记21x x =t ，t ＞1，则11ln t t tx -=，故11ln t x t t-=． 于是，x 1+x 2=x 1(t +1)=21ln t t t-，x 1+x 2-2=212(ln )2ln t t t t --．记函数g (x )=21ln 2x x x--，x ＞1．因22(1)()2x g x x -'=＞0，故g (x )在(1 )+∞，上单调递增． 于是，t ＞1时，g (t )＞g (1)=0．又ln t ＞0，所以，x 1+x 2＞2．…………………………………………………………… 13分 再证x 1+x 2＜13e a --1．因f (x )=0⇔h (x )=ax -1-x ln x =0，故x 1，x 2也是h (x )的两零点． 由()h x '=a -1-ln x =0，得x =1e a -(记p =1e a -)．仿（1）知，p 是h (x )的唯一最大值点，故有12()0.h p x p x ⎧⎨⎩＜＞，＜作函数h (x )=2()ln ln x p x p x p ---+，则22()()()x p h x x x p -'=+≥0，故h (x )单调递增． 故，当x ＞p 时，h (x )＞h (p )=0；当0＜x ＜p 时，h (x )＜0． 于是，ax 1-1=x 1ln x 1＜11112()ln x x p x p x p-++．整理，得211(2ln )(2ln 1)p a x p ap p p x p +--+--+＞0， 即，21111(3e 1)e a a x x ----+＞0．同理，21122(3e 1)e a a x x ----+＜0． 故，21122(3e 1)e a a x x ----+＜21111(3e 1)e a a x x ----+， 1212121()()(3e 1)()a x x x x x x -+---＜，于是，1123e 1a x x -+-＜．综上，2＜x 1+x 2＜13e a --1．………………………………………………………16分21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB于H．求证：P A·AH=PC·HB．证：连AC，AB．因BC为圆O的直径，故AC⊥AB．又AH⊥PB，故AH2=CH·HB，即AH HBCH AH=．………………………………5分因P A为圆O的切线，故∠P AC=∠B．在Rt△ABC中，∠B+∠ACB=90°．在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB=90°．所以，∠HAC=∠B．所以，∠P AC=∠CAH，所以，PC PACH AH=，即AH PACH PC=．所以，PA HBPC AH=，即P A·AH=PC·HB．…………………………………………10分B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵0112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A'，B'，C'，求△A B C'''的面积．解：因0000⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M，2001⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M，21122⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M，即1(00)(01)(2)2A B C'''--，，，，，．……………………………………………………6分故1212S A B''=⨯⨯=．………………………………………………………………10分（第21（A）题答图）（第21（A）题）C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，（α为参数，r 为常数，r ＞0）．以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos()204θπ++=．若直线l与曲线C 交于A ，B两点，且AB =，求r 的值．解cos()204θπ++=，得cos sin 20ρθρθ-+=，即直线l 的方程为20x y -+=．…………………………………………………… 3分由cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，得曲线C 的普通方程为222x y r +=，圆心坐标为(0,0)，……… 6分所以，圆心到直线的距离d =AB =，则2r =．……………… 10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ＞c ＞d ，求证：14936a b b c c d a d++----≥．证：因a ＞b ＞c ＞d ，故a -b ＞0，b -c ＞0，c -d ＞0． 故2149[()()()](123)36a b b c c d a b b c c d ⎛⎫-+-+-++++= ⎪---⎝⎭≥，…………… 6分 所以，14936a b b c c d a d++----≥．………………………………………………… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，12AA AB =． （1）求1AD 与面11BB D D 所成角的正弦值；（2）点E 在侧棱1AA 上，若二面角E -BD -C 1， 求1AEAA 的值． A B CDA 1B 1C 1D 1（第22题）解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系D -xyz ． 设1AB =，则D （0，0，0），A （1，0，0）， B （1，1，0），C （0，1，0），D 1（0，0，2），A 1（1，0，2），B 1（1，1，2），C 1（0，1，2）．2分（1）设1AD 与面11BB D D 所成角的大小为θ，1(102)AD =-，，，设平面11BB D D 的法向量为n =（x ，y ，z ），(1,1,0)DB = ，1(0,0,2)DD = ，则10,0DB DD ⋅=⋅=n n ，即0,0x y z +==．令1x =，则1y =-，所以(110) =-，，n ，111sin |cos ,|||||||AD AD AD θ⋅=<>=n n n ，所以1AD 与平面11BB D D ．………………………… 6分（2）设E (1，0，λ)，0≤λ≤2．设平面EBD 的法向量为n 1=（x 1，y 1，z 1），平面1BDC 的法向量为n 2=（x 2，y 2，z 2），(110)(10)DB DE λ== ，，，，，，由1100DB DE ⋅=⋅=，n n ，得11110,0x y x z λ+=+=， 令11z =，则11,x y λλ=-=，1(,,1)λλ=-n ，1(0,1,2)DC =，由22100DB DC ⋅=⋅=，n n ，得2222020x y y z +=+=，， 令z 2=1，则x 2=2，y 2=-2，2(2,2,1)=-n ，121212cos ,||||⋅<>==n n n n n n ，||=，得1λ=．所以112AE AA =．…………………………… 10分23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ．（1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．解：（1）由题意可知X 2=3，4，5． 当X 2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P (X 2=3)=11331188C C C C ⨯=964；当X 2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P (X 2=4)=1111355411118888C C C C C C C C +=3564；当X 2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P (X 2=5)=11541188C C C C =516．……3分所以随机变量X 2的概率分布如下表：数学期望E (X 2)=935526734564641664⨯+⨯+⨯=．……………………………… 5分（2）设P (X n =3+k )=p k ，k =0，1，2，3，4，5．则p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5=1，E (X n )=3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5．P (X n +1=3)=038p ，P (X n +1=4)=58p 0+48p 1，P (X n +1=5)=48p 1+58p 2，P (X n +1=6)=38p 2+68p 3，P (X n +1=7)=28p 3+78p 4，P (X n +1=8)=18p 4+88p 5，……………………… 7分所以，E (X n +1)=3×38p 0+4×(58p 0+48p 1)+5×(48p 1+58p 2)+6×(38p 2+68p 3)+7×(28p 3+78p 4)+8×(18p 4+88p 5)=298p 0+368p 1+438p 2+508p 3+578p 4+648p 5 =78(3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5)+ p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5 =78E (X n )+1． …………………9分 由此可知，E (X n +1)-8=78(E (X n )-8)．又E (X 1)-8=358-，所以E (X n )=13578()88n --．…………………………… 10分。