2016年江苏南通市高三一模数学试卷

2016年江苏南通市高三一模数学试卷
一、填空题（共14小题；共70分）
1. 已知集合，，那么 ______．
2. 若复数满足，则的值为______．
3. 若从，，，这四个数中一次随机地取两个数，则所取两个数的乘积是偶数的概率为______．
4. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果的值为______．
S←0
I←0
While S≤10
S←S+I^2
I←I+1
End While
Print S
5. 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了户家庭的月消费金额（单位：元），
所有数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的户家庭中，有______ 户的月消费额在元以下．
6. 已知等比数列的前项和为，若，，则的值为______．
7. 在平面直角坐标系中，已知双曲线过点，其一条渐近线的
方程为，那么该双曲线的方程为______．
8. 若正方体的棱长为，是棱的中点，则三棱锥的体积为
______．
9. 若函数为奇函数，则的值为______．
10. 已知，那么的值为______．
11. 在平面直角坐标系中，已知点，．若直线上存在点使得
．则实数的取值范围是______．
12. 在边长为的正三角形中，若，，与交于点，则的
值为______．
13. 在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，切点分别为
和，则的值为______．
14. 已知函数．若对于任意的，都有成立，则
的最大值是______．
二、解答题（共6小题；共78分）
15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
16. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，是的中点．
（1）求证：；
（2）求证： 平面．
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆相交于，两点（异于点），线段被轴平分，且，求直线的方程．
18. 如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以为圆心、半径为的半圆面．公
路经过点，且与直径垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路（点在直径的延长线上，点在公路上），为切点．
（1）按下列要求建立函数关系：
①设（单位：），将的面积表示为的函数；
②设（单位：），将的面积表示为的函数．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求的面积的最小值．
19. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）试求函数的零点个数，并证明你的结论．
20. 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称数列为“等比源数列”．
（1）在数列中，已知，．
①求数列的通项公式；
②试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
（2）已知数列为等差数列，且，，求证：数列为“等比源数列”．
答案
第一部分
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
第二部分
15. （1）在中，由，
得，
即．
因为，所以．
（2）方法一：因为，
由正弦定理，得．
因为，
所以，
所以，
即，
即．
又因为，
所以，即，
所以，
所以的面积为．方法二：由及余弦定理，
得，
化简得．
又，
所以的面积为．
16. （1）如图，在直四棱柱中，
连接交于点，连接交于点．
是菱形，
所以．
因为四棱柱为直棱柱，
所以平面．
又平面，
所以．
因为，平面，平面，
所以平面．
又平面，
所以．
（2）连接，
为直棱柱，
所以四边形为矩形．
又，分别是，的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以．
又平面，平面，
所以 平面．
17. （1）由题意知椭圆的离心率为，
所以．
又点在椭圆上，
所以，
解得
所以椭圆的方程为．
（2）将代入椭圆的方程，得，整理，得．
由线段被轴平分，得．
因为，所以．
因为当时，点，关于原点对称，
所以设点的坐标为，
点的坐标为，
由方程，得．
又因为，点的坐标为，
所以
所以．
因为当时，直线过点，故不符合题意，舍去，所以直线的方程为．
18. （1）①由题意知，在中，
，，
所以．
又
所以．
在中，，
所以的面积为
②由题意得；，，且，
所以，即，化简，得，
所以的面积为．（2）选用（1）中①的函数关系．
由，得
当变化时，，的变化情况如下表：
所以当时，的面积
极小值
取得最小值，且最小值为．
选用（1）中②的函数关系．
．
由，得．
所以当时，的面积当变化时，，的变化如下表：
极小值
取得最小值，且最小值为．
19. （1）由函数，
得．
令，得．
当变化时，，的变化情况如下表：
因此，函数的
极小值
单调增区间为，单调减区间为．
（2）由（1）可知，．
（i）当时，由，得函数的零点个数为．
（ii）当时，因为在上单调递增，在上单调递减，故
时，
，所以函数的零点个数为．
（iii）当时，．
①当时，
因为当时，，所以函数在区间上无零点．
因为在上单调递增，且，
又，且，所以函数在上有且只有一个零点．
故当时，函数的零点个数为．
②当时，
因为在上单调递增，且，，
所以函数在区间上有且只有个零点．
因为在上单调递减，且，
又，且（当时，成立），
所以函数在上有且只有个零点．
故当时，函数的零点个数为．
综上所述，当时，函数的零点个数为；
当或时，函数的零点个数为；
当时，函数的零点个数为．
20. （1）①由，得，且，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，
所以，
故数列的通项公式为．
②数列不是“等比源数列”．
用反证法证明如下：
假设数列是“等比源数列”，则存在三项，，按一定次序排列构成等比数列．因为，
所以，
所以，得，即．又，，
所以，，，，
所以为偶数，
与矛盾，
所以数列中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．
综上，数列不是“等比源数列”．
（2）不妨设等差数列的公差为．
当时，等差数列为非零常数数列，数列为“等比源数列”．
当时，因为，则，且，
所以数列中必有一项．
为了使得数列为“等比源数列”．
只需要中存在第项、第项（），使得成立，
即，
即成立．
当，时，上式成立，
所以存在，，成等比数列，
所以数列为“等比源数列”．。