2019届江苏省南通市高三第一次模拟考试 数学(理)
南通市2019届高三一模数学试卷及答案
南通市2019届高三一模数学试卷 (满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高. 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝ .2. 已知复数z ＝2i1－i－3i (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 .3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：次数 2 3 4 5 人数2015105则平均每人参加活动的次数为 .4. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 .5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 .6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的体积为 cm 3.7. 若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线为l ，直线l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝6，则p 的值为 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x ＋t 与曲线y ＝a sin x ＋b cos x(a ，b ，t ∈R )相切于点(0，1)，则(a ＋b )t 的值为 。
10. 已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：① 数列{|a n |}是等比数列； ② 数列{a n a n ＋1}是等比数列；③ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； ④ 数列{lg a 2n }是等比数列.其中正确的命题有 个.11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x ).当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为 .12. 在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，AB →·AC →＝3，AC →·AD →＝2，则|AC →＋2AD →|的最小值为 .13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P(m ，0)的直线l ，直线l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 .14. 已知函数f(x)＝(2x ＋a)(|x －a|＋|x ＋2a|)(a<0).若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2 019的x 的值为 .二、 解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点.已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA ＝DP.求证：(1) MN∥平面PBC；(2) MD⊥平面PAB.16. (本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a cos B＝2b cos A，cos A＝3 3.(1) 求角B的值；(2) 若a＝6，求△ABC的面积.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B.(1) 已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；(2) 已知△ABF 的外接圆的圆心在直线y ＝－x 上，求椭圆的离心率e 的值.18. (本小题满分16分)如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB ，AD 的长分别为2 3 m 和4 m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，∠COD ＝2π3.(1) 求图1中拱门最高点到地面的距离； (2) 现欲以点B 为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC 与地面水平线l 所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax＋ln x(a ∈R ).(1) 讨论函数f (x )的单调性；(2) 设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若函数f (x )有两个不相同的零点x 1，x 2. ① 求实数a 的取值范围；② 证明：x 1f ′(x 1)＋x 2f ′(x 2)>2ln a ＋2.20. (本小题满分16分)已知等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }满足k ＝1n (b k a 2n ＋1－2k )＋2a n ＝3(2n －1)(n ∈N *).① 证明：{b n }为等比数列；② 求集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫（m ，p ）|a m b m＝3a p b p，m ，p ∈N *.2019届高三年级第一次模拟考试(九)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，且(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002，求矩阵M .[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2.求： (1) 直线l 的直角坐标方程；(2) 直线l 被曲线C 截得的线段长.C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤1，求证：1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1≥.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 553等.显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.(1) 求X为“回文数”的概率；(2) 设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).23. (本小题满分10分)设集合B是集合A n＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集.记集合B中所有元素的和为S(规定：集合B为空集时，S＝0).若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”.求：(1) 集合A1的“和谐子集”的个数；(2) 集合A n的“和谐子集”的个数.南通市2019届高三一模数学参考答案1. {0，1，3}2. 53. 34. 75. 23 6. 547. －6 8. 26 9. 4 10. 3 11. 2 12. 2 5 13. ⎝⎛⎭⎫－4，43 14. 337 15. (1) 在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点， 所以MN ∥AD.(2分) 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD.所以MN ∥BC.(4分)又BC ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， 所以MN ∥平面PBC.(6分) (2) 因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊂底面ABCD ， 所以AB ⊥侧面PAD.(8分) 又MD ⊂侧面PAD ， 所以AB ⊥MD.(10分)因为DA ＝DP ，又M 为AP 的中点， 从而MD ⊥PA.(12分)又PA ，AB 在平面PAB 内，PA ∩AB ＝A ， 所以MD ⊥平面PAB.(14分) 16. (1) 在△ABC 中，因为cos A ＝33，0<A<π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝63.(2分) 因为a cos B ＝2b cos A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A cos B ＝2sin B cos A.所以cos B ＝sin B.(4分)若cos B ＝0，则sin B ＝0，与sin 2B ＋cos 2B ＝1矛盾，故cos B ≠0. 于是tan B ＝sin Bcos B ＝1.又因为0<B<π， 所以B ＝π4.(7分)(2) 因为a ＝6，sin A ＝63， 由(1)及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得663＝b22，所以b ＝322.(9分)又sin C ＝sin (π－A －B) ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63×22＋33×22 ＝23＋66.(12分) 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×322×23＋66＝6＋324.(14分)17. (1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，所以c a ＝12，则a ＝2c.因为线段AF 中点的横坐标为22， 所以a －c 2＝22.所以c ＝2，则a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝6. 所以椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.(4分)(2) 因为点A(a ，0)，点F(－c ，0)， 所以线段AF 的中垂线方程为x ＝a －c2.又因为△ABF 的外接圆的圆心C 在直线y ＝－x 上， 所以点C ⎝⎛⎭⎫a －c 2，－a －c 2.(6分) 因为点A(a ，0)，点B(0，b)，所以线段AB 的中垂线方程为：y －b 2＝ab ⎝⎛⎭⎫x －a 2. 由点C 在线段AB 的中垂线上，得－a －c 2－b 2＝a b ⎝⎛⎭⎫a －c 2－a 2，整理得，b(a －c)＋b 2＝ac ，(10分)即(b －c)(a ＋b)＝0.因为a ＋b>0，所以b ＝c.(12分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c2＝22.(14分)18. (1) 如图1，过点O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点O 1，O 2，交劣弧CD 于点P ，O 1P 的长即为拱门最高点到地面的距离.在Rt △O 2OC 中，∠O 2OC ＝π3，CO 2＝3，所以OO 2＝1，圆的半径R ＝OC ＝2.所以O 1P ＝R ＋OO 1＝R ＋O 1O 2－OO 2＝5. 故拱门最高点到地面的距离为5 m .(4分)(2) 在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离.由(1)知，在Rt △OO 1B 中，OB ＝OO 21＋O 1B 2＝2 3.以B 为坐标原点，地面所在的直线为x 轴，建立如图2所示的坐标系.① 当点P 在劣弧CD 上时，π6<θ≤π2.由∠OBx ＝θ＋π6，OB ＝23，由三角函数定义，得点O ⎝⎛⎭⎫23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 则h ＝2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6.(8分) 所以当θ＋π6＝π2即θ＝π3时，h 取得最大值2＋2 3.(10分)② 如图3，当点P 在线段AD 上时，0≤θ≤π6.设∠CBD ＝φ，在Rt △BCD 中， DB ＝BC 2＋CD 2＝27，sin φ＝2327＝217，cos φ＝427＝277.由∠DBx ＝θ＋φ，得点D(27cos (θ＋φ)，27sin (θ＋φ)).所以h ＝27sin (θ＋φ)＝4sin θ＋23cos θ.(14分)又当0<θ<π6时，h′＝4cos θ－23sin θ>4cos π6－23sin π6＝3>0.所以h ＝4sin θ＋23cos θ在⎣⎡⎦⎤0，π6上递增. 所以当θ＝π6时，h 取得最大值5.因为2＋23>5，所以h 的最大值为2＋2 3.故h ＝⎩⎨⎧4sin θ＋23cos θ， 0≤θ≤π6，2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， π6<θ≤π2.艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2＋23)m .(16分)19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x －ax 2. ① 当a ≤0时，f′(x)>0成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)为增函数；(2分) ② 当a>0时，(ⅰ) 当x>a 时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(a ，＋∞)上为增函数； (ⅱ) 当0<x<a 时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，a)上为减函数.(4分) (2) ① 由(1)知，当a ≤0时，函数f(x)至多一个零点，不合题意； 当a>0时，f(x)的最小值为f(a)，依题意知f(a)＝1＋ln a<0，解得0<a<1e.(6分)一方面，由于1>a ，f(1)＝a>0，函数f(x)在(a ，＋∞)为增函数，且函数f(x)的图象在(a ，1)上不间断.所以函数f(x)在(a ，＋∞)上有唯一的一个零点.另一方面，因为0<a<1e ，所以0<a 2<a<1e .f(a 2)＝1a ＋ln a 2＝1a ＋2ln a ，令g(a)＝1a ＋2ln a ，当0<a<1e 时，g′(a)＝－1a 2＋2a ＝2a －1a 2<0，所以f(a 2)＝g(a)＝1a＋2ln a>g ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2>0.又f(a)<0，函数f(x)在(0，a)为减函数，且函数f(x)的图象在(a 2，a)上不间断，所以函数f(x)在(0，a)有唯一的一个零点.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1e .(10分) ② 设p ＝x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)＝1－a x 1＋1－a x 2＝2－⎝⎛⎭⎫a x 1＋a x 2. 又⎩⎨⎧ln x 1＋ax 1＝0，ln x 2＋a x 2＝0，则p ＝2＋ln (x 1x 2).(12分) 下面证明x 1x 2>a 2.不妨设x 1<x 2，由①知0<x 1<a<x 2.要证x 1x 2>a 2，即证x 1>a 2x 2. 因为x 1，a 2x 2∈(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数， 所以只要证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 1).又f(x 1)＝f(x 2)＝0，即证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2).(14分)设函数F(x)＝f ⎝⎛⎭⎫a 2x －f(x)＝x a －a x－2ln x ＋2ln a(x>a). 所以F′(x)＝（x －a ）2ax 2>0， 所以函数F(x)在(a ，＋∞)上为增函数.所以F(x 2)>F(a)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2)成立.从而x 1x 2>a 2成立.所以p ＝2＋ln (x 1x 2)>2ln a ＋2，即x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)>2ln a ＋2成立.(16分)20. (1) 设等差数列{a n }的公差为d.因为等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝4，8a 1＋8×72d ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n.(3分)(2) ① 设数列{b n }的前n 项和为B n .由③－④得3(2n －1)－3(2n －1－1)＝(b 1a 2n －1＋b 2a 2n －3＋…＋b n －1a 3＋b n a 1＋2n)－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝[b 1(a 2n －3＋2)＋b 2(a 2n －5＋2)＋…＋b n －1(a 1＋2)＋b n a 1＋2n]－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝2(b 1＋b 2＋…＋b n －1)＋b n ＋2＝2(B n －b n )＋b n ＋2.所以3·2n －1＝2B n －b n ＋2(n ≥2，n ∈N *)，又3(21－1)＝b 1a 1＋2，所以b 1＝1，满足上式.所以2B n －b n ＋2＝3·2n －1(n ∈N *)，⑤(6分)当n ≥2时，2B n －1－b n －1＋2＝3·2n －2，⑥由⑤－⑥得，b n ＋b n －1＝3·2n －2.(8分)b n －2n －1＝－(b n －1－2n －2)＝…＝(－1)n －1(b 1－20)＝0，所以b n ＝2n －1，b n ＋1b n＝2， 所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.(10分)② 由a m b m ＝3a p b p ，得m 2m －1＝3p 2p －1，即2p －m ＝3p m . 记c n ＝a n b n ，由①得，c n ＝a n b n ＝n 2n －1， 所以c n ＋1c n ＝n ＋12n≤1，所以c n ≥c n ＋1(当且仅当n ＝1时等号成立). 由a m b m ＝3a p b p，得c m ＝3c p >c p ， 所以m <p .(12分)设t ＝p －m (m ，p ，t ∈N *)，由2p －m ＝3p m ，得m ＝3t 2t －3. 当t ＝1时，m ＝－3，不合题意；当t ＝2时，m ＝6，此时p ＝8符合题意；当t ＝3时，m ＝95，不合题意； 当t ＝4时，m ＝1213<1，不合题意. 下面证明当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3<1. 不妨设f (x )＝2x －3x －3(x ≥4)，则f ′(x )＝2x ln 2－3>0，所以函数f (x )在[4，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )≥f (4)＝1>0，所以当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3<1，不合题意. 综上，所求集合{(m ，p )|a m b m ＝3a p b p，m ，p ∈N *}＝{(6，8)}.(16分) 21. A. 由题意知(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002， 则MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012.(4分) 因为N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，则N －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(6分) 所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4001.(10分) B. (1) 直线l 的极坐标方程可化为ρ(sin θcos π4－cos θsin π4)＝2，即ρsin θ－ρcos θ＝2. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(4分)(2) 曲线C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)的普通方程为x 2＝y . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，x －y ＋2＝0得x 2－x －2＝0， 所以直线l 与曲线C 的交点A (－1，1)，B (2，4).(8分)所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ＝（－1－2）2＋（1－4）2＝3 2.(10分)C. 由柯西不等式，得[(a 2＋1)＋(b 2＋1)＋(c 2＋1)](1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1)≥(a 2＋11a 2＋1＋b 2＋11b 2＋1＋c 2＋11c 2＋1)2＝9，(5分) 所以1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1≥9a 2＋b 2＋c 2＋3≥91＋3＝94.(10分) 22. (1) 记“X 是‘回文数’”为事件A.9个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.所以事件A 的概率P(A)＝29.(3分) (2) 根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2.由(1)得P(A)＝29.(5分) 设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立. 根据已知条件得，P(B)＝20C 29＝59. P(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝(1－29)×(1－59)＝2881； P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－29)×59＋29×⎝⎛⎭⎫1－59＝4381； P(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝29×59＝1081(8分) 所以，随机变量ξξ0 1 2 P 2881 4381 1081所以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)＝0×2881＋1×4381＋2×1081＝79.(10分) 23. (1) 集合A 1＝{1，2，3}的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，其中所有元素和为3的整数倍的集合有∅，{3}，{1，2}，{1，2，3}， 所以A 1的“和谐子集”的个数等于4.(3分)(2) 记A n 的“和谐子集”的个数等于a n ，即A n 有a n 个所有元素和为3的整数倍的子集； 另记A n 有b n 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有c n 个所有元素和为3的整数倍余2的子集.由(1)知，a 1＝4，b 1＝2，c 1＝2.集合A n ＋1＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n ，3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)}的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1))：第一类：集合A n ＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n}的“和谐子集”，共a n 个； 第二类：仅含一个元素3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个；同时含两个元素3n ＋1，3n ＋2的“和谐子集”，共a n 个；同时含三个元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个； 第三类：仅含一个元素3n ＋1的“和谐子集”，共c n 个；同时含两个元素3n ＋1，3(n ＋1)的“和谐子集”，共c n 个；第四类：仅含一个元素3n ＋2的“和谐子集”，共b n 个；同时含有两个元素3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共b n 个， 所以集合A n ＋1的“和谐子集”共有a n ＋1＝4a n ＋2b n ＋2c n 个.同理得b n ＋1＝4b n ＋2c n ＋2a n ，c n ＋1＝4c n ＋2a n ＋2b n .(7分)所以a n ＋1－b n ＋1＝2(a n －b n )，a 1－b 1＝2，所以数列{a n －b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.所以a n －b n ＝2n .同理得a n －c n ＝2n .又a n ＋b n ＋c n ＝23n ，所以a n ＝23×2n ＋×23n (n ∈N *).(10分)。
2019年江苏省高考第一次模拟考试数学试卷(含答案)
2019年江苏省高考第一次模拟考试数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 圆锥的体积公式：V 圆锥13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.5.函数y =232x x -- 的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则f （5a ）的值是 ▲ .12. 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A -)的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的四倍. (1) 若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。
2019届江苏南通市高三数学模拟试题答案
参考答案1、 {12}-，2、3-3、1-4、1455、126、(20)(2)-+∞U ，，7、14 8、2 9、73π 10、158- 11、43 12、6 13、13- 14、26215、（1）π3C =．（2）39sin 26B =．16、略17、（1）椭圆C 的方程为22143y x +=． （2）若1l 的斜率为0，则463PQ =，2MN =， 所以△PQN的面积为463，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． 设直线1l 的方程为1y kx =+， 由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得22(34)880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，， 则2124262134k k x k--⋅+=+，2224262134k k x k -+⋅+=+， 所以221212()()PQ x x y y =-+-22212246121134k k k x x k+⋅+=+-=+．直线2l 的方程为11y x k =-+，即0x ky k +-=，所以． 22222111k MN k k=-=++ 所以△PQN的面积12S PQ MN =⋅2222461211232341k k k k +⋅+=⨯⋅=++，解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． 18、（1）方法一：建立直角坐标系四边形ABA F '的面积为24m 3．方法二：设ABF θ∠=，则2ABA θ'∠=．在直角△ABD 中，3tan 24AD AB θ==， 所以22tan 341tan θθ=-， 解得1tan 3θ=或tan 3θ=-（舍去）．所以2tan 3AF AB θ==． 所以△ABF 的面积为21222m 233⨯⨯=，所以四边形ABA F '的面积为24m 3．（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系． 设AE a =，AF b =，()00A x y '，，则直线EF 的方程为0bx ay ab +-=，因为点A ，A '关于直线EF 对称，所以0000022y ax b bx ay ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，，解得20222a b y a b =+． 因为四边形AEA F '的面积为3，所以3ab =， 所以3043232333a y a a a==++． 因为02a <≤，302b <≤，以2323a ≤≤． 设33()f a a a =+，2323a ≤≤． 244(3)(3)(3)9()1a a a f a a a++-'=-=， 令A B CDFE xy()0f a '=，得3a =或3a =-（舍去）． 列表如下：当3a =时，()f a 取得极小值，即最小值433， 所以0y 的最大值为32，此时点A '在CD 上，3a =，1b =． 答：点A '到AB 距离的最大值为3m 2．方法二：设AE a =，AEF θ∠=，则tan AF a θ=．因为四边形AEA F '的面积为3，所以3AE AF ⋅=，即2tan 3a θ=，所以23tan a θ=．过点A '作AB 的垂线A T '，垂足为T ，则sin2sin2sin2A T A E AE a θθθ''=⋅=⋅= 22224332232sincos 2tan 33sin cos tan 11a a a a a a a θθθθθθ⨯=⋅=⋅=⋅=++++．因为02AE <≤，302AF <≤，所以2323a ≤≤． （下同方法一）19、（1）由11(2)(21)n n n n na a a a ---=-，得1122n n n a a -=+-，得()11121n n n n a a -⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦，即12n n b b -=因为1=3a ，所以11121=03b a =--≠，所以12n n bb -=（2n ≥），所以{}n b 是以1b 为首项，2为公比等比数列．（2）① 设111a λ-=，由（1）知，12n n b b -=， 所以21121222n n n n b b b b ---====L ，即112n nn a λ--=⋅，所以112k k k a λ-=⋅+．因为1k a ，11k a +，21k a +成等差数列，则11(2)(22)2(21)k k k k k k λλλ-+⋅++⋅++=⋅++，所以120k λ-⋅=，所以0λ=，所以1n n a =，即1n a n=．② 要证111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-，即证111()ln 2n n n a a n +++>，即证1112ln 1n n n n ++>+．设1n t n +=，则111111t t t n n t t -+=-+=-+，且1t >，从而只需证，当1t >时，12ln t t t ->． 设1()2ln f x x x x=--（1x >），则22121()1(1)0f x x x x '=+-=->，所以()f x 在(1)+∞，上单调递增，所以()(1)0f x f >=，即12ln x x x ->，因为1t >，所以12ln t t t ->，所以，原不等式得证． 20、（1）()f x 的定义域为()()110e e --+∞，，U ． 由， 222112(1ln )2(ln )2()(1ln )(1ln )ax x ax ax x x f x x x +-⋅+'==++ 令()0f x '>，因为0a >，得12e x ->， 因为112ee -->，()f x 的单调增区间是()12e -+∞，． a2333⎡⎫⎪⎢⎣⎭，3(32⎤⎦， ()f a ' -0 +()f a单调递减 极小值单调递增ABCDFET（2）当0a <时，1(1)02e b f a -=<<，不合题意； 当0a >时，令()0f x '<，得10e x -<<或112e e x --<<， 所以()f x 在区间()10e-，和()112ee--，上单调递减． 因为()1121e e 2--∈，，且()f x 在区间()12e-+∞，上单调递增，所以()f x 在12e x -=处取极小值2e a ，即最小值为2e a ． 若12x ∀≥，1()2e b f x -≥，则122e e b a -≥，即e b a ≥．不妨设0b >，则e b b b a ≤． 设()e bb g b =（0b >），则1()e b b g b -'=．当01b <<时，()0g b '>；当1b >时，()0g b '<，所以()g b 在()01，上单调递增；在()1+∞，上单调递减，所以()(1)g b g ≤，即1e ebb ≤，所以b a 的最大值为1e ． （3）由（2）知，当0a >时，()f x 无极大值， 当0a <时，()f x 在()10e -，和()112e e--，上单调递增；在()12e -+∞，上单调递减，所以()f x 在12e x -=处取极大值， 所以122(e )2ea f -==-，即e a =-． 设()()e x F x f x =+，即2e ()e 1ln xx F x x=-+， 当()10e x -∈，，1ln 0x +<，所以()0F x >； 当()1e x -∈+∞，，2e (12ln )()e (1ln )x x x F x x +'=-+， 由（2）知，e e x x ≤，又212ln (1ln )x x ++≤， 所以()0F x '≥，且()F x 不恒为零， 所以()F x 在()1e -+∞，上单调递增．不等式()e 0x f x +<，即为()0(1)F x F <=，所以1e 1x -<<， 即不等式的解集为()1e 1-，． 21A 、由题意得，11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AA ，即2122100101a c a dac b d bd b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1120a b c d ====，，，，即矩阵1201-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． 设()P x y ，为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点()P x y '''，， 则 1201x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩， 由已知条件可知，()P x y '''，满足21y x =+，整理得：2510x y -+=， 所以曲线C 的方程为2510x y -+=．21B 、（1）分别将()π42A ，，()5π4B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r += 又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB=r21C 、因为关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根， 所以164(1)0a a ∆=--+≥，即41a a -+≤ 当1a ≥时，421a -≤，得512a ≤≤； 当01a <<时，1≤4，恒成立，即01a <<； 当0a ≤时，412a -≤，得032a -≤≤， 综上：所求a 的取值范围为3522a -≤≤．22、（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）每个人积分不低于9分的概率为59．()()3464=0=9729P ξ=；()()()21354240=1=C 99729P ξ=；()()()22354300=2=C 99729P ξ=；()()35125=3=9729P ξ=． 所以，随机变量ξ的概率分布列为所以642403001255()01237297297297293E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．所以，随机变量ξ的数学期望为53．23、（1）由201234444441111153P C C C C C =-+-+=，2123444441234103Q C C C C =-+-+=，所以2220P Q -=．（2）设n n T nP Q =-，则01221232222222221232()()n nn n n n n n n n n n n n n T C C C C C C C C =-+-⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+ 0123222222123nn n n n nn n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ① 因为222k n k n n C C -=， 所以2212223022222123n n n n n n n n n n n n n n T C C C C C -------=-+-+⋅⋅⋅+0123222222123nn n n n n n n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ② ①+②得，20T =，即0n n T nP Q =-=，所以0n n nP Q -=．。
江苏省南通市第一中学2019 年高考数学模拟试卷
6．定义域为R 的奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且(2)2018f =，则(2018)(2016)f f +=A ．4034B ．2020C ．2018D ．27．已知函数y ＝f(x －2)的图像关于直线x ＝2对称，在(0,)x ∈+∞时，f(x)单调递增。
若ln311(4),[()],(ln )3e a f b f c f π===(其中e 为自然(1,2,)n a n ++=，数列{n c 122(1,2,)n n c b b b n =++++=，若{}n c 为等比数列，则a q +=__________．12．已知3a =，=4b ，且a 与b 不共线，若)()a kb a kb +⊥-（，则k =____.13．过坐标原点的直线l 与圆C ：x 2＋(y －2)2＝2相交于A ，B 两点，且△ACB 为等腰直角三角形，则直线l 的方程为0得()200001122x a f x x x +<---成立，求实数a 的取值范围. 17．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司做了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x（单位：年）与所支出的总费用y（单位：万元）有如下的数据资料：+的回归系数，b；bx a(1)求这个二次函数的解析式;(2)求当{}∈-≤≤时，二次函数的最大值与最小值.x x x|4020．（16分）已知，．（1）若，求实数的取值范围．（2）若，求实数的取值范围．21．(12分)如图直三棱柱ABC-A1B1C1中，截面AB1C1⊥平面AA1B1B.（12分）（1）求证：A1B1⊥B1C1（2）记二面角A-B1C1-A1的大小为α，直线AC1与平面A1B1C1所成的角为β，试比较α与β的大小轴对称，它的顶点在坐标原y2一、选择题1．B 解析：B 【解析】 【分析】得4MA MF ==，所以MAF ∆故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．D 解析：D 先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果.【详解】由20x x -<得01x <<，所以所求概率为1012(2)4-=--，选D.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．cosβ=，∴()cos αβcos αcos βsin αsin β+=-=，又α、β为锐角， 所以()αβ0π+∈，，∴παβ4+=． 故选：A根据等比数列的性质求出a3，再根据S3＝a2+4a1，求得公比，根据通项公式即可求出a1的值 【详解】由已知，S3＝，则，所以.又，所以，. 故答案为1. 【点睛】本题考查了 解析：【解析】 【分析】根据等比数列的性质求出a 3，再根据S 3＝a 2+4a 1，求得公比，根据通项公式即可求出a 1的值【详解】由已知，S 3＝123214a a a a a ++=+，则313a a =，所以23q =.又55123453243T a a a a a a ===，所以2313a a q ==，11a =.故答案为1.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，属于基础题． 11．3 【解析】 【分析】先由题意求出数列的通项公式，代入求出数列的通项公式，根据等比数列通项公式的性质，即可求出，得出结果.【详解】因为数列是以为首项，为公比的等比数列，所以； 则， 则 ， 要使 解析：3 【解析】 【分析】先由题意求出数列{}n b 的通项公式，代入求出数列{}n c 的通项公式，根据等比数列通项公式的性质，即可求出,a q ，得出结果.【详解】因为数列{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，所以1n n a aq -=；则12(1)111111n nn n a q a aq b a a a q q q-=++++=+=+----，则12(1)221111n n n a a q q c b b b n q q q ⎛⎫-=++++=++-⨯ ⎪---⎝⎭1n +222222)()0a kb a kb a k b a k b +⋅-=-=-=（，又因为3a =，4b =，所以239160,.4k k -=∴=±【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查两个向量垂直的表示，考查方程的思想，所以基础题.13．无三、解答题342,2x x ⎪--<-⎪⎩函数()f x 图象如图，2=++-=x x a2321()f x和函数y a=5)(5,)+∞方程的解与函数图象交点的关系，考查了数形结合思想的应用，属于中档题.BD（2）由题意可知，AD＝2cosθ，∠ABD＝60°－θ，在△ABD中，由正弦定理可知，02cos ,tan sin sin sin(60)AD AB ABD ADB θθθ=∴=∴=∠∠-.16．（1）{|1a a ≤或21}2e a ->（2）21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭.∴a 的取值范围是21|12e a a a ⎧⎫-≤>⎨⎬⎩⎭或.（2）在[1,]e 上存在一点0x ，使得()200001122x a f x x x +<---成立，等价于00001ln 0ax a x x x +-+<在[1,]e 上有解，即函数1()ln a g x x a x x x=+-+在[1,]e 12),1e e ⎛++∞-⎝【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用单调性判断函数的零点个数，考查了利用导数求函数的最值，还考查了分【解析】 【分析】（1）根据已知数据求得公式各个构成部分的值，代入公式求得结果；（2）由（1）可得回归直线，代入10x =即可求得结果. 【详解】（1）由题意知：4x =，5y =，52190i i x ==∑，51112.3i i i x y ==∑2112.354512.31.23905410b -⨯⨯∴===-⨯5 1.23bx -=-分别为：x-y+1=0，x-y-1=0，.（2）由()x m f x -＞x ，得x x me-＞x ，故m ＜x-x e x在x ∈[0，+∞）有解， 令h （x ）=x-x e x，则m ＜h （x ）max ，故F （x ）min =e t2+2=2，即函数y=f （x ）和y=g （x ）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．解法二：由于函数y=f （x ）和y=g （x ）的偏差：F （x ）=|f （x ）-g （x ）|=e x-lnx ，x ∈（0，+∞），令F 1（x ）=e x-x ，x ∈（0，+∞）；令F 2（x ）=x-lnx ，x ∈（0，试题分析：（1）根据正弦定理sin sin a bA B=2sin b A =转2sin sin A B A =，由于sin 0A ≠，所以sin B =，由根据锐角三角形，于是得到3B π=；（2）本文主要考查余弦定理及三角形面积公式，根据第（1）问3B π=及已知条件b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-变形得出()2222cos b a c ac ac B =+--，整理后得出。
江苏省南通市2019届高三第一次模拟考试数学Word版含答案
019届高三年级第一次模拟考试学满分160分，考试时间120分钟)考公式：体的体积公式：V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高.、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝.2. 已知复数z＝－3i(i为虚数单位)，则复数z的模为.3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：平均每人参加活动的次数为.4. 如图是一个算法流程图，则输出的b的值为.5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为.6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积为cm3.7. 若实数x，y满足x≤y≤2x＋3，则x＋y的最小值为.8. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l，直线l与双曲线－y2＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，AB＝，则p的值为.9. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x＋t与曲线y＝a sin x＋b cos x(a，b，t∈R)相切于点(0，1)，则(a＋b)t的值为。
0. 已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：数列{|a n|}是等比数列；②数列{a n a n＋1}是等比数列；数列是等比数列；④数列{lg a}是等比数列.中正确的命题有个.1. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x).当0<x≤1时，f(x)＝x3－ax＋1，则实数a的值为.2. 在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，·＝3，·＝2，则|＋2|的最小值为.3. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－4)2＋y2＝4.若存在过点P(m，0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是.4. 已知函数f(x)＝(2x＋a)(|x－a|＋|x＋2a|)(a<0).若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2 019的x的值为.、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.5. (本小题满分14分)图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点.已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证：1) MN∥平面PBC；2) MD⊥平面PAB.6. (本小题满分14分)△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a cos B＝b cos A，cos A＝.1) 求角B的值；2) 若a＝，求△ABC的面积.7. (本小题满分14分)图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.1) 已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；2) 已知△ABF的外接圆的圆心在直线y＝－x上，求椭圆的离心率e的值.8. (本小题满分16分)图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为2 m和4 m，上部是圆心为O的劣弧CD，∠COD＝.1) 求图1中拱门最高点到地面的距离；2) 现欲以点B为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC与地面水平线l所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值.9. (本小题满分16分)知函数f(x)＝＋ln x(a∈R).1) 讨论函数f(x)的单调性；2) 设函数f(x)的导函数为f′(x)，若函数f(x)有两个不相同的零点x1，x2. 求实数a的取值范围；证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2ln a＋2.0. (本小题满分16分)知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36.1) 求数列{a n}的通项公式；2) 若数列{b n}满足(b k a2n＋1－2k)＋2a n＝3(2n－1)(n∈N*).证明：{b n}为等比数列；求集合.019届高三年级第一次模拟考试学附加题本部分满分40分，考试时间30分钟)1. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)知矩阵M＝，N＝，且(MN)－1＝，求矩阵M.选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin＝.求：1) 直线l的直角坐标方程；2) 直线l被曲线C截得的线段长.. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)知实数a，b，c满足a2＋b2＋c2≤1，求证：＋＋≥.必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2. (本小题满分10分)回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 553等.显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.1) 求X为“回文数”的概率；2) 设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).3. (本小题满分10分)集合B是集合A n＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集.记集合B中所有元素的和为S(规定：集合B为空集时，S＝0).若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”.求：1) 集合A1的“和谐子集”的个数；2) 集合A n的“和谐子集”的个数.019届高三年级第一次模拟考试(南通)学参考答案.{0，1，3} 2. 3.3 4.7 5. 6.54.－68.29.410.311.212.23.14.3375. (1) 在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，以MN∥AD.(2分)底面ABCD是矩形，以BC∥AD.以MN∥BC.(4分)BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，以MN∥平面PBC.(6分)2) 因为底面ABCD是矩形，以AB⊥AD.侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，以AB⊥侧面PAD.(8分)MD⊂侧面PAD，以AB⊥MD.(10分)为DA＝DP，又M为AP的中点，而MD⊥PA.(12分)PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，以MD⊥平面PAB.(14分)6. (1) 在△ABC中，因为cos A＝，0<A<π，以sin A＝＝.(2分)为a cos B＝b cos A，正弦定理＝，得sin A cos B＝sin B cos A.以cos B＝sin B.(4分)cos B＝0，则sin B＝0，与sin2B＋cos2B＝1矛盾，故cos B≠0. 是tan B＝＝1.因为0<B<π，以B＝.(7分)2) 因为a＝，sin A＝，(1)及正弦定理＝，得＝，以b＝.(9分)sin C＝sin(π－A－B)sin(A＋B)sin A cos B＋cos A sin B×＋×.(12分)以△ABC的面积为S＝ab sin C＝×××＝.(14分)7. (1) 因为椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以＝，则a＝2c.为线段AF中点的横坐标为，以＝.以c＝，则a2＝8，b2＝a2－c2＝6.以椭圆的标准方程为＋＝1.(4分)2) 因为点A(a，0)，点F(－c，0)，以线段AF的中垂线方程为x＝.因为△ABF的外接圆的圆心C在直线y＝－x上，以点C.(6分)为点A(a，0)，点B(0，b)，以线段AB的中垂线方程为：y－＝.点C在线段AB的中垂线上，得－－＝，理得，b(a－c)＋b2＝ac，(10分)(b－c)(a＋b)＝0.为a＋b>0，所以b＝c.(12分)以椭圆的离心率e＝＝＝.(14分)8.(1) 如图1，过点O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离.Rt△O2OC中，∠O2OC＝，CO2＝，以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2.以O1P＝R＋OO1＝R＋O1O2－OO2＝5.拱门最高点到地面的距离为5m.(4分)2) 在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离.(1)知，在Rt△OO1B中，OB＝＝2.B为坐标原点，地面所在的直线为x轴，建立如图2所示的坐标系.当点P在劣弧CD上时，<θ≤.∠OBx＝θ＋，OB＝2，三角函数定义，点O，h＝2＋2sin.(8分)以当θ＋＝即θ＝时，h取得最大值2＋2.(10分)如图3，当点P在线段AD上时，0≤θ≤.∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，B＝＝2，inφ＝＝，cosφ＝＝.∠DBx＝θ＋φ，得点D(2cos(θ＋φ)，2sin(θ＋φ)).以h＝2sin(θ＋φ)＝4sinθ＋2cosθ.(14分)当0<θ<时，h′＝4cosθ－2sinθ>4cos－2sin＝>0.以h＝4sinθ＋2cosθ在上递增.以当θ＝时，h取得最大值5.为2＋2>5，所以h的最大值为2＋2.h＝术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2＋2)m.(16分)9. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.当a≤0时，f′(x)>0成立，以函数f(x)在(0，＋∞)为增函数；(2分)当a>0时，ⅰ) 当x>a时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(a，＋∞)上为增函数；ⅱ) 当0<x<a时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，a)上为减函数.(4分)2) ①由(1)知，当a≤0时，函数f(x)至多一个零点，不合题意；a>0时，f(x)的最小值为f(a)，题意知f(a)＝1＋ln a<0，解得0<a<.(6分)方面，由于1>a，f(1)＝a>0，函数f(x)在(a，＋∞)为增函数，且函数f(x)的图象在(a，1)上不间断.以函数f(x)在(a，＋∞)上有唯一的一个零点.一方面，因为0<a<，所以0<a2<a<.(a2)＝＋ln a2＝＋2ln a，令g(a)＝＋2ln a，0<a<时，g′(a)＝－＋＝<0，以f(a2)＝g(a)＝＋2ln a>g＝e－2>0.f(a)<0，函数f(x)在(0，a)为减函数，且函数f(x)的图象在(a2，a)上不间断，以函数f(x)在(0，a)有唯一的一个零点.上，实数a的取值范围是.(10分)设p＝x1f′(x1)＋x2f′(x2)＝1－＋1－＝2－.则p＝2＋ln(x1x2).(12分)面证明x1x2>a2.妨设x1<x2，由①知0<x1<a<x2.证x1x2>a2，即证x1>.为x1，∈(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数，以只要证f>f(x1).f(x1)＝f(x2)＝0，即证f>f(x2).(14分)函数F(x)＝f－f(x)＝－－2ln x＋2ln a(x>a).以F′(x)＝>0，以函数F(x)在(a，＋∞)上为增函数.以F(x2)>F(a)＝0，以f>f(x2)成立.而x1x2>a2成立.以p＝2＋ln(x1x2)>2ln a＋2，即x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2ln a＋2成立.(16分)0. (1) 设等差数列{a n}的公差为d.为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，以解得以数列{a n}的通项公式为a n＝n.(3分)2) ①设数列{b n}的前n项和为B n.③－④得(2n－1)－3(2n－1－1)＝(b1a2n－1＋b2a2n－3＋…＋b n－1a3＋b n a1＋2n)－(b1a2n－3＋b2a2n－5＋…＋b n－1a1＋2n－2)＝[b1(a2n－3＋2)＋b2(a2n－5＋2)＋…＋b n－1(a1＋2)＋b n a1＋2n]－(b1a2n－3＋b2a2n－5＋…＋b n a1＋2n－2)＝2(b1＋b2＋…＋b n－1)＋b n＋2＝2(B n－b n)＋b n＋2.－1以3·2n－1＝2B n－b n＋2(n≥2，n∈N*)，3(21－1)＝b1a1＋2，所以b1＝1，满足上式.以2B n－b n＋2＝3·2n－1(n∈N*)，⑤6分)n≥2时，2B n－1－b n－1＋2＝3·2n－2，⑥⑤－⑥得，b n＋b n－1＝3·2n－2.(8分)－2n－1＝－(b n－1－2n－2)＝…＝(－1)n－1(b1－20)＝0，n以b n＝2n－1，＝2，以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(10分)由＝，得＝，即2p－m＝.c n＝，由①得，c n＝＝，以＝≤1，所以c n≥c n＋1(当且仅当n＝1时等号成立).＝，得c m＝3c p>c p，以m<p.(12分)t＝p－m(m，p，t∈N*)，2p－m＝，得m＝.t＝1时，m＝－3，不合题意；t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；t＝3时，m＝，不合题意；t＝4时，m＝<1，不合题意.面证明当t≥4，t∈N*时，m＝<1.妨设f(x)＝2x－3x－3(x≥4)，f′(x)＝2x ln2－3>0，以函数f(x)在[4，＋∞)上是单调增函数，以f(x)≥f(4)＝1>0，以当t≥4，t∈N*时，m＝<1，不合题意.上，所求集合{(m，p)|＝，m，p∈N*}＝{(6，8)}.(16分)1.A.由题意知(MN)－1＝，MN＝.(4分)为N＝，则N－1＝.(6分)以矩阵M＝＝.(10分). (1) 直线l的极坐标方程可化为ρ(sinθcos－cosθsin)＝，即ρsinθ－ρcosθ＝2. x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.(4分)2) 曲线C(t为参数)的普通方程为x2＝y.得x2－x－2＝0，以直线l与曲线C的交点A(－1，1)，B(2，4).(8分)以直线l被曲线C截得的线段长为AB＝＝3.(10分).由柯西不等式，得(a2＋1)＋(b2＋1)＋(c2＋1)](＋＋)≥(＋＋)2＝9，(5分)以＋＋≥≥＝.(10分)2. (1) 记“X是‘回文数’”为事件A.个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.以事件A的概率P(A)＝.(3分)2) 根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2.(1)得P(A)＝.(5分)“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立.据已知条件得，P(B)＝＝.(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝(1－)×(1－)＝；(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－)×＋×＝；(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝×＝(8分)以，随机变量ξ以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.(10分)3.(1) 集合A1＝{1，2，3}的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，中所有元素和为3的整数倍的集合有∅，{3}，{1，2}，{1，2，3}，以A1的“和谐子集”的个数等于4.(3分)2) 记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素和为3的整数倍的子集；记A n有b n个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素和为3的整数倍余2的子集.(1)知，a1＝4，b1＝2，c1＝2.合A n＋1＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n，3n＋1，3n＋2，3(n＋1)}的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素3n＋1，3n＋2，3(n＋1))：一类：集合A n＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}的“和谐子集”，共a n个；二类：仅含一个元素3(n＋1)的“和谐子集”，共a n个；时含两个元素3n＋1，3n＋2的“和谐子集”，共a n个；时含三个元素3n＋1，3n＋2，3(n＋1)的“和谐子集”，共a n个；三类：仅含一个元素3n＋1的“和谐子集”，共c n个；时含两个元素3n＋1，3(n＋1)的“和谐子集”，共c n个；四类：仅含一个元素3n＋2的“和谐子集”，共b n个；时含有两个元素3n＋2，3(n＋1)的“和谐子集”，共b n个，以集合A n＋1的“和谐子集”共有a n＋1＝4a n＋2b n＋2c n个.理得b n＋1＝4b n＋2c n＋2a n，c n＋1＝4c n＋2a n＋2b n.(7分)以a n＋1－b n＋1＝2(a n－b n)，a1－b1＝2，以数列{a n－b n}是以2为首项，2为公比的等比数列.以a n－b n＝2n.同理得a n－c n＝2n.a n＋b n＋c n＝23n，所以a n＝×2n＋×23n(n∈N*).(10分)。
江苏省南通市2019-2020学年高考数学一模试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】令sin 0x ≠，可得{},x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()cos cos sin sin x xe ef x f x x x--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项；当0πx <<时，cos 0xe >，sin 0x >，则()cos 0sin xe f x x=>，排除B 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =u u u r（ ）A ．2132AB AC +u u ur u u u rB ．1124AB AC +u u ur u u u rC ．1123AB AC +u u ur u u u rD ．2133AB AC +u u ur u u u r【答案】B 【解析】 【分析】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 由B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线,可知21x y +=，312xy +=,解得,x y 即可得出结果. 【详解】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 因为B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线， 所以21x y +=，312x y +=，所以12x =，14y =.故选:B. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.3．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322zy x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值， 即max 32206z =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ） A ．7 B ．14C ．28D ．84【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，可求解得到114a =，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【详解】56104a a a +=+Q ，111111465a d a d a d ∴+-=-+-解得114a =．121211121()21842a a S a +∴===．故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.5．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误；D 中，()xxy f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.6．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm D ．175cm【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC F D ．三棱锥B CEF -的体积为定值【答案】B 【解析】 【分析】根据平行的传递性判断A ；根据面面平行的定义判断B ；根据线面垂直的判定定理判断C ；由三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，判断D.【详解】在A 中，因为,F M 分别是,AD CD 中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；在B 中，由于直线BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故B 错误；在C 中，由平面几何得BM CF ⊥，根据线面垂直的性质得出1BM C C ⊥，结合线面垂直的判定定理得出BM ⊥平面1CC F ，故C 正确；在D 中，三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.8．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为（ ）A ．2B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】 【分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值． 【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，， 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b【答案】B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种 B ．144种 C ．288种 D ．360种【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可 【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种. 选B . 【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题 11．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】 【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
南通市2019届高三数学第一次调研测试 参考答案
【答案】 4
10．已知数列an 是等比数列，有下列四个命题：
①数列 an 是等比数列；
③数列
1 an
是等比数列；
其中正确的命题有 ▲ 个．
②数列an an+1 是等比数列； ④数列lg an2 是等比数列．
【答案】 3
11．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (x + 2) = f (x) ．当 0 x ≤1 时， f (x) = x3 − ax +1 ，则实
l
被两圆截得的弦长相等，1 −
d12
=
4
−
d
2 2
d22
−
d12
=
3
①当斜率 k 不存在时，此时直线不可能与两圆相交，斜率 k 存在 ②当斜率 k 存在时，设 l : kx − y − mk = 0
d22
− d12
=
(4 − m)2 k 2 − m2k 2
k2 +1
=3
整理可得： (13 − 8m)k 2 = 3 k 2 = 3
数 a 的值为 ▲ ． 【答案】2 【解析】由题意得： T = 2
x3 − ax + 1, 0 x 1
f ( x) = 0,
x=0 ,
−
ax
−
1,
−1
x
0
由奇函数得 f (−1) = f (1) f (1) = 2 − a = 0 a = 2
12．在平面四边形 ABCD 中， AB = 1，DA = DB ， AB AC = 3，AC AD = 2 ，则 AC + 2AD 的最小 值为 ▲ ． 【答案】 2 5
2019年江苏省南通市高考数学模拟试卷及参考答案(理科)(4月份)
2019年江苏省南通市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3}，则集合A∪B中的元素个数为．2．（5分）已知复数z＝a+3i（i为虚数单位），若z2是纯虚数，则实数a的值为．3．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1，则点（4，0）到C的渐近线的距离为．4．（5分）设命题p：x＞4；命题q：x2﹣5x+4≥0，那么p是q的条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．5．（5分）函数f（x）＝的定义域为．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A＝．7．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和为S n，若a4+a10＝0，2S12＝S2+10，则d 的值为．8．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．9．（5分）已知函数f（x）＝sin x（x∈[0，π]）和函数g（x）＝tan x的图象相交于A，B，C三点，则△ABC的面积为．10．（5分）设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．其中的正确命题序号是．11．（5分）设x＞0，y＞0，向量＝（1﹣x，4），＝（x，﹣y），若∥，则x+y的最小值为．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，则不等式f（x2﹣4）+f（3x）＞0的解集为．13．（5分）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知直线l：y＝kx+3与圆C：x2+y2﹣2y＝0无公共点，AB为圆C的直径，若在直线l上存在点P使得，则直线l的斜率k的取值范围是．二、解答题（本大题共10小题，计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值；（2）若角β满足，求cosβ的值．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB＝60°，AC＝BC，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求证：平面A1DC⊥平面ABC．17．已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆E经过点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．18．某海警基地码头O的正西方向30海里处有海礁界碑A，过点A且与AO成60°角（即北偏东30°）的直线l为此处的一段领海与公海的分界线（如图所示）．在码头O的正西方向且距离O点12海里的领海海面P处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发．若巡逻艇以可疑船的航速的λ倍（λ＞1）前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点Q处截获可疑船．（1）若可疑船的航速为10海里/小时，λ＝2，且可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间．（2）若要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，求λ的最小值．19．已知函数f（x）＝ax3+bx2+4a，（a，b为常数）（1）若a＝1，b＝3．①求函数f（x）在区间[﹣4，2]上的最大值及最小值．②若过点（1，t）可作函数f（x）的三条不同的切线，求实数t的取值范围．（2）当x∈[1，4]时，不等式0≤f（x）≤4x2恒成立，求a+b的取值范围．20．已知正项等比数列{a n}的前n项和为，且a3＝a2+2，a2•a4＝16．数列{b n}的前n项和为T n，且．（1）求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n；（2）证明数列{b n}为等差数列，并求出{b n}的通项公式；（3）设数列，问是否存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m，n，l；若不存在，请说明理由．21．[选做题]已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变成点（9，15），求出矩阵M．22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．23．某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B、C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．（1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，求X的概率分布和数学期望E（X）．24．已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线P A交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，＝λ，＝μ，求证：+为定值．2019年江苏省南通市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3}，则集合A∪B中的元素个数为4．【解答】解：∵集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3，5}，∴集合A∪B中的元素个数为4．故答案为：4．2．（5分）已知复数z＝a+3i（i为虚数单位），若z2是纯虚数，则实数a的值为±3．【解答】解：∵z＝a+3i，∴z2＝（a+3i）2＝（a2﹣9）+6ai，由z2是纯虚数，得，解得：a＝±3．故答案为：±3．3．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1，则点（4，0）到C的渐近线的距离为2．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，点（4，0）到C的渐近线的距离为d＝＝2．故答案为：2．4．（5分）设命题p：x＞4；命题q：x2﹣5x+4≥0，那么p是q的充分不必要条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．【解答】解：命题q：x2﹣5x+4≥0⇔x≤1，或x≥4，∵命题p：x＞4；故p是q的：充分不必要条件，故答案为：充分不必要5．（5分）函数f（x）＝的定义域为[e2，+∞）．【解答】解：要使f（x）有意义，则：lnx﹣2≥0；∴x≥e2；∴f（x）的定义域为：[e2，+∞）．故答案为：[e2，+∞）．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A＝．【解答】解：∵，∴由正弦定理，可得：sin B＝＝＝，∵b＜c，B∈（0，），∴B＝，∴A＝π﹣B﹣C＝π﹣﹣＝．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和为S n，若a4+a10＝0，2S12＝S2+10，则d 的值为﹣10．【解答】解：由a4+a10＝0，2S12＝S2+10，可得，解得d＝﹣10，故答案：﹣108．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为．【解答】解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1＝．则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：＝．故答案为：．9．（5分）已知函数f（x）＝sin x（x∈[0，π]）和函数g（x）＝tan x的图象相交于A，B，C三点，则△ABC的面积为π．【解答】解：根据题意，令sin x＝tan x，即sin x（1﹣）＝0，解得sin x＝0，或1﹣＝0，即sin x＝0或cos x＝．又x∈[0，π]，∴x＝0或x＝π，或x＝arccos，∴点A（0，0），B（π，0），C（arccos，），∴△ABC的面积为•|AB|•|y C|＝＝π，故答案为：．10．（5分）设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．其中的正确命题序号是②④．【解答】解：由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；在②中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；在③中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；在④中，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：②④．11．（5分）设x＞0，y＞0，向量＝（1﹣x，4），＝（x，﹣y），若∥，则x+y的最小值为9．【解答】解：因为∥，所以4x+（1﹣x）y＝0，又x＞0，y＞0，所以+＝1，故x+y＝（+）（x+y）＝5++≥9．当＝，+＝1同时成立，即x＝3，y＝6时，等号成立．（x+y）min＝9．故答案为：9．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，则不等式f（x2﹣4）+f（3x）＞0的解集为{x|x ＞1或x＜﹣4}．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，有f（﹣x）＝e﹣x﹣e x﹣2（﹣x）＝﹣（e x﹣e﹣x﹣2x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）＝e x+e﹣x﹣2＝e x+﹣2≥0，即函数f（x）在R上为增函数，则f（x2﹣4）+f（3x）＞0⇒f（x2﹣4）＞﹣f（3x）⇒f（x2﹣4）＞﹣f（3x）⇒f（x2﹣4）＞f（﹣3x）⇒x2﹣4＞﹣3x，即x2+3x﹣4＞0，解可得：x＞1或x＜﹣4，故答案为：{x|x＞1或x＜﹣4}．13．（5分）已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（1，2]．【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣a有三个不同的零点，即方程f（x）﹣a＝0有三个不同的实数根，作出y＝f（x）与y＝a的图象如图：由图可知，要使函数g（x）＝f（x）﹣a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．14．（5分）已知直线l：y＝kx+3与圆C：x2+y2﹣2y＝0无公共点，AB为圆C的直径，若在直线l上存在点P使得，则直线l的斜率k的取值范围是（﹣，﹣1]∪[1，）．【解答】解：直线l：y＝kx+3与圆C：x2+y2﹣2y＝0无公共点，可得＞1，解得﹣＜k＜，设P（m，n），由题意可得+＝2，两边平方可得2+2+2•＝42，即为2[m2+（n﹣1）2+1]+2＝4（m2+（n﹣1）2），化为m2+（n﹣1）2＝2，即有P在直线l上，又在圆x2+（y﹣1）2＝2上，可得≤，解得k≥1或k≤﹣1，综上可得k∈（﹣，﹣1]∪[1，）．故答案为：（﹣，﹣1]∪[1，）．二、解答题（本大题共10小题，计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值；（2）若角β满足，求cosβ的值．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点，∴∴…………（4分）∴…………（7分）（2）∵，∴…………（9分）∵β＝（α+β）﹣α，∴cosβ＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα∴当时，；…………（11分）当时，…………（13分）综上所述：或…………（14分）16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB＝60°，AC＝BC，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求证：平面A1DC⊥平面ABC．【解答】（1）证明：连结C1A，设AC1∩A1C＝E，连结DE．∵三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形，∴E为AC1中点在△ABC1中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC1．∵DE⊂平面A1DC，BC1不包含于平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC（2）证明：∵ABB1A1为菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1AB为正三角形∵D是AB的中点，∴AB⊥A1D．∵AC＝BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD．∵A1D∩CD＝D，∴AB⊥平面A1DC．∵AB⊂平面ABC，∴平面A1DC⊥平面ABC．17．已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆E经过点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）因为椭圆焦点坐标为，且过点，所以，所以a＝2，…………（3分）从而，故椭圆的方程为．…………（6分）（2）设点M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），因为A（﹣2，0），且A，D，M三点共线，所以，解得，所以，…………（8分）同理得，…………（10分）因此，＝，…………（12分）因为点M（x0，y0）在椭圆上，所以，即，代入上式得：．∴四边形ABCD的面积为2．…………（14分）18．某海警基地码头O的正西方向30海里处有海礁界碑A，过点A且与AO成60°角（即北偏东30°）的直线l为此处的一段领海与公海的分界线（如图所示）．在码头O的正西方向且距离O点12海里的领海海面P处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发．若巡逻艇以可疑船的航速的λ倍（λ＞1）前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点Q处截获可疑船．（1）若可疑船的航速为10海里/小时，λ＝2，且可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间．（2）若要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，求λ的最小值．【解答】解：（1）因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为10海里/小时，所以巡逻艇的航速为20海里/小时，且OQ＝2PQ，设PQ＝a，则OQ＝2a；又可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，所以∠QPO＝120°，…………（2分）在△OPQ中，有OQ2＝OP2+PQ2﹣2OP•PQ cos∠OPQ，即4a2＝a2+144﹣2×12a cos120°，故a2﹣4a﹣48＝0，解得（负值舍去）；……（5分）所以巡逻艇成功拦截可疑船所用时间为小时；…………（7分）（2）以O为坐标原点，AO的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则P（﹣12，0），A（﹣30，0），设Q（x，y），因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的λ倍，所以OQ＝λPQ，故x2+y2＝λ2[（x+12）2+y2]，即；故可疑船被截获的轨迹是以为圆心，以为半径的圆；…………（10分）又直线l的方程为，即，要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则：圆心在直线下方，且Q的轨迹与直线l至多只有一个公共点，所以且；…………（13分）即，解得，故要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则．…………（16分）19．已知函数f（x）＝ax3+bx2+4a，（a，b为常数）（1）若a＝1，b＝3．①求函数f（x）在区间[﹣4，2]上的最大值及最小值．②若过点（1，t）可作函数f（x）的三条不同的切线，求实数t的取值范围．（2）当x∈[1，4]时，不等式0≤f（x）≤4x2恒成立，求a+b的取值范围．【解答】解：（1）因为a＝1，b＝3，所以f（x）＝x3+3x2+4，从而f'（x）＝3x2+6x．①令f'（x）＝0，解得x＝﹣2或x＝0，列表：所以，f（x）max＝f （2）＝24，f（x）min＝﹣12．…………（4分）②设曲线f（x）切线的切点坐标为，则，故切线方程为，因为切线过点（1，t），所以，即，…………（6分）令，则，所以，当x0∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，g'（x0）＞0，此时g（x0）单调递增，当x0∈（﹣1，1）时，g'（x0）＜0，此时g（x0）单调递减，所以g（x0）极小值＝g（1）＝t﹣8，g（x0）极大值＝g（﹣1）＝t，要使过点（1，t）可以作函数f（x）的三条切线，则需，解得0＜t＜8．…………（9分）（2）当x∈[1，4]时，不等式0≤ax3+bx2+4a≤4x2等价于，………（11分）令，则，所以，当x∈（1，2）时，h'（x）＜0，此时函数单调递减；当x∈（2，4）时，h'（x）＞0，此时函数单调递增，故h（x）min＝3，h（x）max＝5．…………（13分）若a＝0，则0≤b≤4，此时0≤a+b≤4；若a≠0，则，从而a+b＝2（3a+b）﹣（5a+b）∈[﹣4，8]；综上可得﹣4≤a+b≤8．…………（16分）20．已知正项等比数列{a n}的前n项和为，且a3＝a2+2，a2•a4＝16．数列{b n}的前n项和为T n，且．（1）求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n；（2）证明数列{b n}为等差数列，并求出{b n}的通项公式；（3）设数列，问是否存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m，n，l；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则由a2•a4＝16，得，从而a3＝4，又由a3＝a2+2，得a2＝2，因此，，所以，．（2）方法一：因为，所以，从而数列是以为首项，为公差的等差数列，故，故，当n≥2时，，且n＝1时适合，因此，b n＝n，从而当n≥2时，b n﹣b n﹣1＝1为常数，所以，数列{b n}为等差数列．方法二：因为，所以，当n≥2时，有，两式相减得：nT n+1＝2nT n﹣nT n﹣1+n，即T n+1＝2T n﹣T n﹣1+1，故T n+1﹣T n＝T n﹣T n﹣1+1，即b n+1＝b n+1，又由得T2＝2T1+1＝3，从而b2＝T2﹣T1＝2，故b2﹣b1＝1，所以，数列{b n}为等差数列．（3）因为，所以，假设存在存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列，则，即，令，则原问题等价于存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），使得，即2d n'＝d m'+d l'成立．因为（因为n≥3），故数列{d n}单调递增，若l'﹣n'≥2，即l'≥n'+2，则d l'≥d n'+2，从而，即d l'＞2d n'，而2d n'＝d m'+d l'，因此，d m'＜0，这与d m'＞0恒成立矛盾，故只能有l'﹣n'＝1，即l'＝n'+1，从而，故，即，（*）①若n'为奇数，则记，从而，因为数列单调递增，所以数列单调递减，故当n'≥4时，，而2m'∈N*，故t∉N，因此，（*）式无正整数解．②若n'为偶数，则记，即，同理可得（*）无正整数解．综上，不存在存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），使得c m'，c n'，c l'成等差数列，也即不存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列．21．[选做题]已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变成点（9，15），求出矩阵M．【解答】解：设，由题意有，，且，∴，解得，∴．22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．【解答】解：曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsinθ．又x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：，令y＝0，得x＝2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C的圆心坐标为（0，1），半径r＝1，则，∴．23．某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B、C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．（1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，求X的概率分布和数学期望E（X）．【解答】解：（1）记“该游客游览i个景点”为事件A i，则i＝0，1；所以，；所以该游客至多游览一座山的概率为；…………（4分）（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4；计算，，，，，所以X的概率分布为：…………（8分）数学期望为；答：X的数学期望为．…………（10分）24．已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线P A交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，＝λ，＝μ，求证：+为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，设过点（0，1）的直线方程为y＝kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组可得，消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，且k≠0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，又∵P A、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；（Ⅱ）证明：设点M（0，y M），N（0，y N），则＝（0，y M﹣1），＝（0，﹣1）因为＝λ，所以y M﹣1＝﹣y M﹣1，故λ＝1﹣y M，同理μ＝1﹣y N，直线P A的方程为y﹣2＝（x﹣1）＝（x﹣1）＝（x﹣1），令x＝0，得y M ＝，同理可得y N ＝，因为+＝+＝+＝＝＝＝＝＝2，∴+＝2，∴+为定值．第21页（共21页）。
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2019届江苏省南通市高三第一次模拟数 学 理 科(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高. 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1. 已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝ . 2. 已知复数z ＝2i1－i－3i (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 .3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：次数 2 3 4 5 人数2015105则平均每人参加活动的次数为 .4. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 .5.有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 .6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的体积为 cm 3.7. 若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线为l ，直线l 与双曲线x24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝6，则p 的值为 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x ＋t 与曲线y ＝a sin x ＋b cos x(a ，b ，t ∈R )相切于点(0，1)，则(a ＋b )t 的值为 。
10. 已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：① 数列{|a n |}是等比数列； ② 数列{a n a n ＋1}是等比数列；③ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是等比数列； ④ 数列{lg a2n }是等比数列.其中正确的命题有 个. 11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x ).当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为 .12. 在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，AB →·AC →＝3，AC →·AD →＝2，则|AC →＋2AD →|的最小值为 . 13.在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P(m ，0)的直线l ，直线l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 .14. 已知函数f(x)＝(2x ＋a)(|x －a|＋|x ＋2a|)(a<0).若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2 019的x 的值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点.已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证：(1) MN∥平面PBC；(2) MD⊥平面PAB.16. (本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a cos B＝2b cos A，cos A＝3 3.(1) 求角B的值；(2) 若a＝6，求△ABC的面积.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B.(1) 已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；(2) 已知△ABF 的外接圆的圆心在直线y ＝－x 上，求椭圆的离心率e 的值.18. (本小题满分16分)如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB ，AD 的长分别为23 m 和4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，∠COD ＝2π3.(1) 求图1中拱门最高点到地面的距离； (2)现欲以点B 为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC 与地面水平线l 所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax＋ln x(a ∈R ).(1) 讨论函数f (x )的单调性；(2) 设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若函数f (x )有两个不相同的零点x 1，x 2. ① 求实数a 的取值范围；② 证明：x 1f ′(x 1)＋x 2f ′(x 2)>2ln a ＋2.20. (本小题满分16分)已知等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }满足k ＝1n (b k a 2n ＋1－2k )＋2a n ＝3(2n －1)(n ∈N *).① 证明：{b n }为等比数列；② 求集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫（m ，p ）|am bm ＝3ap bp ，m ，p ∈N*.2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，且(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002，求矩阵M .[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.求： (1) 直线l 的直角坐标方程； (2) 直线l 被曲线C 截得的线段长.C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤1，求证：1a2＋1＋1b2＋1＋1c2＋1≥.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 553等.显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.(1) 求X为“回文数”的概率；(2) 设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).23. (本小题满分10分)设集合B是集合A n＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集.记集合B中所有元素的和为S(规定：集合B为空集时，S＝0).若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”.求：(1) 集合A1的“和谐子集”的个数；(2) 集合A n的“和谐子集”的个数.2019届高三年级第一次模拟考试(南通)数学参考答案1.{0，1，3}2. 53.34.75.23 6.547.－6 8.2 6 9.4 10.3 11.2 12.2 513.⎝⎛⎭⎫－4，43 14.337 15. (1) 在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点， 所以MN ∥AD.(2分) 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD.所以MN ∥BC.(4分)又BC ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， 所以MN ∥平面PBC.(6分) (2) 因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊂底面ABCD ， 所以AB ⊥侧面PAD.(8分) 又MD ⊂侧面PAD ， 所以AB ⊥MD.(10分)因为DA ＝DP ，又M 为AP 的中点， 从而MD ⊥PA.(12分)又PA ，AB 在平面PAB 内，PA ∩AB ＝A ， 所以MD ⊥平面PAB.(14分) 16. (1) 在△ABC 中，因为cos A ＝33，0<A<π， 所以sin A ＝1－cos2A ＝63.(2分) 因为a cos B ＝2b cos A ，由正弦定理a sinA ＝bsinB，得sin A cos B ＝2sin B cos A.所以cos B ＝sin B.(4分)若cos B ＝0，则sin B ＝0，与sin 2B ＋cos 2B ＝1矛盾，故cos B ≠0. 于是tan B ＝sinBcosB ＝1.又因为0<B<π， 所以B ＝π4.(7分)(2) 因为a ＝6，sin A ＝63， 由(1)及正弦定理a sinA ＝b sinB ，得663＝b22，所以b ＝322.(9分)又sin C ＝sin (π－A －B) ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63×22＋33×22 ＝23＋66.(12分) 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×322×23＋66＝6＋324.(14分)17. (1) 因为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，所以c a ＝12，则a ＝2c.因为线段AF 中点的横坐标为22， 所以a －c 2＝22.所以c ＝2，则a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝6.所以椭圆的标准方程为x28＋y26＝1.(4分)(2) 因为点A(a ，0)，点F(－c ，0)， 所以线段AF 的中垂线方程为x ＝a －c2.又因为△ABF 的外接圆的圆心C 在直线y ＝－x 上， 所以点C ⎝⎛⎭⎫a －c 2，－a －c 2.(6分) 因为点A(a ，0)，点B(0，b)，所以线段AB 的中垂线方程为：y －b 2＝ab ⎝⎛⎭⎫x －a 2. 由点C 在线段AB 的中垂线上，得－a －c 2－b 2＝a b ⎝⎛⎭⎫a －c 2－a 2，整理得，b(a －c)＋b 2＝ac ，(10分)即(b －c)(a ＋b)＝0.因为a ＋b>0，所以b ＝c.(12分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝c b2＋c2＝22.(14分)18. (1) 如图1，过点O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点O 1，O 2，交劣弧CD 于点P ，O 1P 的长即为拱门最高点到地面的距离.在Rt △O 2OC 中，∠O 2OC ＝π3，CO 2＝3，所以OO 2＝1，圆的半径R ＝OC ＝2.所以O 1P ＝R ＋OO 1＝R ＋O 1O 2－OO 2＝5. 故拱门最高点到地面的距离为5m .(4分)(2) 在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P. 当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离.由(1)知，在Rt △OO 1B 中，OB ＝OO21＋O 1B 2＝2 3.以B 为坐标原点，地面所在的直线为x 轴，建立如图2所示的坐标系. ①当点P 在劣弧CD 上时，π6<θ≤π2.由∠OBx ＝θ＋π6，OB ＝23，由三角函数定义，得点O ⎝⎛⎭⎫23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 则h ＝2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6.(8分) 所以当θ＋π6＝π2即θ＝π3时，h 取得最大值2＋2 3.(10分)②如图3，当点P 在线段AD 上时，0≤θ≤π6.设∠CBD ＝φ，在Rt △BCD 中， DB ＝BC2＋CD2＝27，sin φ＝2327＝217，cos φ＝427＝277.由∠DBx ＝θ＋φ，得点D(27cos (θ＋φ)，27sin (θ＋φ)).所以h ＝27sin (θ＋φ)＝4sin θ＋23cos θ.(14分)又当0<θ<π6时，h′＝4cos θ－23sin θ>4cos π6－23sin π6＝3>0.所以h ＝4sin θ＋23cos θ在⎣⎡⎦⎤0，π6上递增. 所以当θ＝π6时，h 取得最大值5.因为2＋23>5，所以h 的最大值为2＋2 3.故h ＝⎩⎨⎧4sinθ＋23cosθ， 0≤θ≤π6，2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，π6<θ≤π2.艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2＋23)m .(16分)19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x －ax2.①当a ≤0时，f′(x)>0成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)为增函数；(2分) ②当a>0时，(ⅰ) 当x>a 时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(a ，＋∞)上为增函数； (ⅱ) 当0<x<a 时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，a)上为减函数.(4分) (2) ①由(1)知，当a ≤0时，函数f(x)至多一个零点，不合题意； 当a>0时，f(x)的最小值为f(a)，依题意知f(a)＝1＋ln a<0，解得0<a<1e .(6分)一方面，由于1>a ，f(1)＝a>0，函数f(x)在(a ，＋∞)为增函数，且函数f(x)的图象在(a ，1)上不间断.所以函数f(x)在(a ，＋∞)上有唯一的一个零点.另一方面，因为0<a<1e ，所以0<a 2<a<1e .f(a 2)＝1a ＋ln a 2＝1a ＋2ln a ，令g(a)＝1a ＋2ln a ，当0<a<1e 时，g′(a)＝－1a2＋2a ＝2a －1a2<0，所以f(a 2)＝g(a)＝1a＋2ln a>g ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2>0.又f(a)<0，函数f(x)在(0，a)为减函数，且函数f(x)的图象在(a 2，a)上不间断，所以函数f(x)在(0，a)有唯一的一个零点.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1e .(10分) ②设p ＝x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)＝1－a x1＋1－a x2＝2－⎝⎛⎭⎫a x1＋a x2. 又⎩⎨⎧lnx1＋a x1＝0，lnx2＋a x2＝0，则p ＝2＋ln (x 1x 2).(12分) 下面证明x 1x 2>a 2.不妨设x 1<x 2，由①知0<x 1<a<x 2.要证x 1x 2>a 2，即证x 1>a2x2. 因为x 1，a2x2∈(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数， 所以只要证f ⎝⎛⎭⎫a2x2>f(x 1).又f(x 1)＝f(x 2)＝0，即证f ⎝⎛⎭⎫a2x2>f(x 2).(14分)设函数F(x)＝f ⎝⎛⎭⎫a2x －f(x)＝x a －a x－2ln x ＋2ln a(x>a). 所以F′(x)＝（x －a ）2ax2>0， 所以函数F(x)在(a ，＋∞)上为增函数.所以F(x 2)>F(a)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫a2x2>f(x 2)成立.从而x 1x 2>a 2成立.所以p ＝2＋ln (x 1x 2)>2ln a ＋2，即x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)>2ln a ＋2成立.(16分)20. (1) 设等差数列{a n }的公差为d.因为等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36，所以⎩⎪⎨⎪⎧a1＋3d ＝4，8a1＋8×72d ＝36，解得⎩⎨⎧a1＝1，d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n.(3分)(2) ①设数列{b n }的前n 项和为B n .由③－④得3(2n －1)－3(2n －1－1)＝(b 1a 2n －1＋b 2a 2n －3＋…＋b n －1a 3＋b n a 1＋2n)－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝[b 1(a 2n －3＋2)＋b 2(a 2n －5＋2)＋…＋b n －1(a 1＋2)＋b n a 1＋2n]－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝2(b 1＋b 2＋…＋b n －1)＋b n ＋2＝2(B n －b n )＋b n ＋2.所以3·2n －1＝2B n －b n ＋2(n ≥2，n ∈N *)，又3(21－1)＝b 1a 1＋2，所以b 1＝1，满足上式.所以2B n －b n ＋2＝3·2n －1(n ∈N *)，⑤(6分)当n ≥2时，2B n －1－b n －1＋2＝3·2n －2，⑥由⑤－⑥得，b n ＋b n －1＝3·2n －2.(8分)b n －2n －1＝－(b n －1－2n －2)＝…＝(－1)n －1(b 1－20)＝0，所以b n ＝2n －1，bn ＋1bn＝2， 所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.(10分)②由am bm ＝3ap bp ，得m 2m －1＝3p 2p －1，即2p －m ＝3p m. 记c n ＝an bn ，由①得，c n ＝an bn ＝n 2n －1， 所以cn ＋1cn ＝n ＋12n≤1，所以c n ≥c n ＋1(当且仅当n ＝1时等号成立). 由am bm ＝3ap bp，得c m ＝3c p >c p ， 所以m <p .(12分)设t ＝p －m (m ，p ，t ∈N *)，由2p －m ＝3p m ，得m ＝3t 2t －3. 当t ＝1时，m ＝－3，不合题意；当t ＝2时，m ＝6，此时p ＝8符合题意；当t ＝3时，m ＝95，不合题意； 当t ＝4时，m ＝1213<1，不合题意. 下面证明当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3<1. 不妨设f (x )＝2x －3x －3(x ≥4)，则f ′(x )＝2x ln2－3>0，所以函数f (x )在[4，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )≥f (4)＝1>0，所以当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3<1，不合题意. 综上，所求集合{(m ，p )|am bm ＝3ap bp，m ，p ∈N *}＝{(6，8)}.(16分) 21.A.由题意知(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002， 则MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012.(4分) 因为N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，则N －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(6分) 所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4001.(10分) B. (1) 直线l 的极坐标方程可化为ρ(sin θcos π4－cos θsin π4)＝2，即ρsin θ－ρcos θ＝2. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(4分)(2) 曲线C ⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)的普通方程为x 2＝y . 由⎩⎨⎧x2＝y ，x －y ＋2＝0得x 2－x －2＝0， 所以直线l 与曲线C 的交点A (－1，1)，B (2，4).(8分)所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ＝（－1－2）2＋（1－4）2＝32.(10分)C.由柯西不等式，得[(a 2＋1)＋(b 2＋1)＋(c 2＋1)](1a2＋1＋1b2＋1＋1c2＋1)≥(a2＋11a2＋1＋b2＋11b2＋1＋c2＋11c2＋1)2＝9，(5分) 所以1a2＋1＋1b2＋1＋1c2＋1≥9a2＋b2＋c2＋3≥91＋3＝94.(10分) 22. (1) 记“X 是‘回文数’”为事件A.9个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.所以事件A 的概率P(A)＝29.(3分) (2) 根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2.由(1)得P(A)＝29.(5分)设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立.根据已知条件得，P(B)＝20C29＝59. P(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝(1－29)×(1－59)＝2881； P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－29)×59＋29×⎝⎛⎭⎫1－59＝4381； P(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝29×59＝1081(8分) 所以，随机变量ξξ0 1 2 P 2881 4381 1081所以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)＝0×2881＋1×4381＋2×1081＝79.(10分) 23. (1) 集合A 1＝{1，2，3}的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，其中所有元素和为3的整数倍的集合有∅，{3}，{1，2}，{1，2，3}， 所以A 1的“和谐子集”的个数等于4.(3分)(2) 记A n 的“和谐子集”的个数等于a n ，即A n 有a n 个所有元素和为3的整数倍的子集； 另记A n 有b n 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有c n 个所有元素和为3的整数倍余2的子集.由(1)知，a 1＝4，b 1＝2，c 1＝2.集合A n ＋1＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n ，3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)}的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1))：第一类：集合A n ＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n}的“和谐子集”，共a n 个； 第二类：仅含一个元素3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个； 同时含两个元素3n ＋1，3n ＋2的“和谐子集”，共a n 个；同时含三个元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个； 第三类：仅含一个元素3n ＋1的“和谐子集”，共c n 个；同时含两个元素3n ＋1，3(n ＋1)的“和谐子集”，共c n 个； 第四类：仅含一个元素3n ＋2的“和谐子集”，共b n 个；同时含有两个元素3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共b n 个， 所以集合A n ＋1的“和谐子集”共有a n ＋1＝4a n ＋2b n ＋2c n 个. 同理得b n ＋1＝4b n ＋2c n ＋2a n ，c n ＋1＝4c n ＋2a n ＋2b n .(7分)所以a n ＋1－b n ＋1＝2(a n －b n )，a 1－b 1＝2，所以数列{a n －b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.所以a n －b n ＝2n .同理得a n －c n ＝2n .又a n ＋b n ＋c n ＝23n ，所以a n ＝23×2n ＋×23n (n ∈N *).(10分)。