2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)7.6空间向量及其运算和空间位置关系课件
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)1.1 集合课件 新人教A版
型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，
以“探究”为途径，以“发现”为目的，常见的命题形 式有新定义、新运算、新性质，这类试题只是以集合为 依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．
1．创新集合新定义
创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，
对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知 识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题． 1 [典例 1] 若 x∈A，则x∈A，就称 A 是伙伴关系
集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集 合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅
两种可能的情况．
[例1] (1)(2012· 新课标全国卷)已知集合A＝ {1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B 中所含元素的个数为 ( )
A．3
C．8
B．6
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝
－4，且m＝(－2)· (－2)＝4，这两式不能同时成立， ∴B≠{－2}； ③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－ 2)＝－3，且m＝(－1)· (－2)＝2，由这两式得m＝2.
C．(1,3)
D．(1,2)∪(3,4)
解析：因为∁RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(∁RB) ＝{x|3＜x＜4}．
答案：B
3．(2012· 惠州模拟)已知集合A＝{(x，y)，B＝{(x，y)|x－y ＝0，x，y∈R}，则集合A∩B＝ A．(0,0) B．{0} ( )
C．{(0,0)}
A．A⊆B
C．D⊆C
B．C⊆B
2014届高三数学一轮复习专讲(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：1.3全称量词与存在量词、
2014届高三数学一轮复习专讲(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：1.3全称量词与存在量词、逻辑联结词课时跟踪检测(三)全称量词与存在量词、逻辑联结词1．命题a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2的否定是()A．存在a，b∈R，a2＋b2＋2ab≠(a＋b)2B．存在a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．任意a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．任意a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)22．(2012·山东高考改编)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cosx的图像关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()A．p为真 B．q为真C．p且q为假D．p或q为真3．下列命题中，真命题是()A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)`都是偶函数D．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数4．(2012·长沙模拟)设p、q是两个命题，则“命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是()A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真D．p为真，q为假5．(2012·揭阳模拟)已知命题p：存在x∈R，cos x＝54；命题q：任意x∈R，x2－x＋2>0，则下列结论正确的是()题为真命题．其中所有真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②④ C ．②D ．④8．(2012·石家庄模拟)已知命题p ：任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＝1或a ≤－2B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤19．命题“存在实数x ，使sin x ＝x ”的否定是________．10．已知命题p ：“存在正数x ，使x >1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．11．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________．12．若存在θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6的值为________．13．已知命题p ：存在a ∈R ，曲线x 2＋y2a ＝1为双曲线；命题q ：x －1x －2≤0的解集是{x |1<x <2}．给出下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且(綈q )”是真命题；③命题“(綈p )或q ”为真命题；④命题“(綈p )或(綈q )”是真命题．其中正确的是________．14．下列结论：①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝2；命题q ：任意x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p 且(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)1．下列说法错误的是( )A ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：若“a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：存在x ∈R ，ln(x 2＋1)<0，则綈p ：任意x ∈R ，ln(x 2＋1)≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件2．(2013·“江南十校”联考)命题p ：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是()A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题C．綈p为假命题D．綈q为假命题3．已知命题p：“任意x∈R，存在m∈R,4x －2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________．4．下列四个命题：①存在x∈R，使sin x＋cos x＝2；②对任意x∈R，sin x＋1sin x≥2；③对任意x∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，tan x＋1tan x≥2；④存在x∈R，使sin x＋cos x＝ 2.其中正确命题的序号为________．5．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎨⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p 且q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．6．已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．答案课时跟踪检测(三)A级1．选A该命题是全称命题，即对任意a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，其否定为：存在a，b∈R，a2＋b2＋2ab≠(a＋b)2.2．选C命题p，q均为假命题，故p且q 为假命题．3．选A由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．4．解析：选C∵p或q为真⇔p、q中至少有一个为真；p且q为假⇔p、q中至少有一个为假，∴“命题p或q为真，p且q为假”⇔p 与q一真一假．5．选C命题p是假命题，命题q是真命题，∴p且q是假命题，p且(綈q)是假命题，(綈p)且q是真命题，(綈p)或(綈q)是真命题．6．选D因为对任意x∈R，e x＞0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，＝－1，故排除C.取a＝b＝0，则不能推出ab7．选C命题“存在x∈R，x2＋1>3x”的否定是“任意x∈R，x2＋1≤3x”，故①错；“p 或q”为假命题说明p和q都假，则綈p且綈q 为真命题，故②对；a>5⇒a>2，但a>2⇒/a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③错；“若xy＝0，则x＝0且y＝0”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．8．选A若命题p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0真，则a≤1.若命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0真，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a≥1或a≤－2，又p且q为真命题所以a＝1或a≤－2.9．对任意实数x，都有sin x≠x.10．解析：命题q为“对任意正数x，x≤1 x”是假命题．答案：对任意正数x，x≤1x假11．解析：由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图像知Δ＝a 2－4>0，解得a >2或a <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 12．解析：∵存在θ∈R 使sin θ－1≥0. 又－1≤sin θ≤1，∴sin θ＝1. ∴θ＝2k π＋π2(k ∈Z)．故cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＝12.答案：1213．解析：因为命题p 是真命题，q 为假命题，所以命题“p 且q ”是假命题，命题“p 且(綈q )”是真命题，命题“(綈p )或q ”是假命题，命题“(綈p )或(綈q )”是真命题．答案：②④14．解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p 且(綈q )”是假命题是正确的．在②中l 1⊥l 2⇔a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．答案：①③B 级1．选D sin θ＝12是θ＝30°的必要不充分条件．2．选B ∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p或q ”是假命题．3．解析：若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.答案：(－∞，1]4．解析：∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]；故①存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2错误； ④存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2正确； ∵sin x ＋1sin x ≥2或sin x ＋1sin x ≤－2，故②对任意x ∈R ，sin x ＋1sin x ≥2错误；③对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，tan x >0，1tan x >0，由基本不等式可得tan x ＋1tan x≥2正确．答案：③④5．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0， 得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3， 即p 为真命题时，1<x <3.由⎩⎨⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎨⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时，2<x ≤3.若p 且q 为真，则⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3，⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)设A ＝{x |x ≤a ，或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2，或x >3}，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]． 6．解：由2x 2＋ax －a 2＝0， 得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a >2，或a <－2.。
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)7.7空间向量与空间角课件 新人教A版
[答案] A
本例条件下，在线段OB上，是否存在一点M，使C1M 与AB1所成角的余弦为 明理由． 1 ？若存在，求例题图， 假设存在符合条件的点M，设M(0,0，a)， 则 C1 M ＝(0，－2，a)，又 AB1 ＝(－2,2,1)，
故PD与平面PBC所成的角为30° .
利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出直线和它在平面内的投影直线的方向
向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向
量与平面的法向量的夹角，再求直线和平面的夹角．
2.(2013· 宝鸡模拟)如图，已知PA⊥ 平面ABC，且PA＝ 2，等腰直角 三角形ABC中，AB＝BC＝1，AB ⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E.
所以PC⊥平面ADE.
(2)如图所示，建立空间直角坐标系B－xyz. 则A(1,0,0)，C(0,1,0)， P(1,0， 2)， 因为PC⊥平面ADE， 所以 PC ＝(－1,1，－ 2)是平面ADE的 一个法向量． 设直线AB与平面ADE所成的角为θ， PC· | AB 则sin θ＝| | PC || AB | －1，1，－ 2· －1，0，0 1 ＝ ＝ ， 2 2 则直线AB与平面ADE所成的角为30° .
异面直线所成的角
[例1] (2012· 陕西高考)如图，
在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB， 则直线BC1与直线AB1夹角的余弦 值为 ( )
5 A. 5 2 5 C. 5
5 B. 3 3 D. 5
[自主解答] 不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.可得 O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)， ∴ BC1 ＝(0,2，－1)， AB1 ＝(－2,2,1)， BC1 · 1 AB 4－1 1 ＝ ∴cos〈 BC1 ， AB1 〉＝ ＝ ＝ 5× 9 5 | BC1 || AB1 | 5 >0. 5 ∴ BC1 与 AB1 的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角， 5 ∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为 . 5
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)9.2排列与组合课件 新人教A版
[答案] B
本例所求的6位数中，有多少个偶数？
解：若个位排0，则有A
5 5
个偶数；若个位排
3 3
1 2，则十位可从3,4,5中任选1个，有C 1 C 3 A 3 个偶 3 3
数；若个位排4，则十位只能排5，有C 1 A 3
2 5
种排法，再排其
余位置有A4种排法，共有A2· 4＝480种排法． 4 5 A4
[答案] C
[题后悟道]
解决排列组合问题最基本的方法是位
置分析法和元素分析法，若以位置为主，需首先满足特 殊位置的要求，再处理其他位置；若以元素为主，需先 满足特殊元素的要求，再处理其他元素．
2．捆绑法、插空法
[典例2] (2012· 绥化一模)有5盆各不相同的菊花，其
记为Am. n
二、组合与组合数 1．组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组 ，叫做
从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合 的个数 _____________
Cm ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数， n
用符号
3．(1)某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发
言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时 参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺 序种类为 A．720 B．520 ( )
C．600
D．360
(2)(2012· 北京海淀区期末)世博会期间，某班有四名学生参
加了志愿者工作．将这四名学生分到A、B、C三个不同的
3 共有C1C2＋C4＝16(种)． 2 4
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)6.5归纳与类比课件 新人教A版
n
[解析] nn－1 d， 2
若{an}是等差数列，则 a1＋a2＋„＋an＝na1＋
n－1 d d ∴bn＝a1＋ d＝ n＋a1－ ，即{bn}为等差数列；若 2 2 2 {cn}是等比数列， 则 n
n 1＋2＋„＋(n－1) n nn－1 c1· c2· „· cn＝c1 · q ＝c1 · q ，
①大前提——已知的 一般性道理 ； 模式：三段论②小前提——所研究对象的 特殊情况 ； 2.演绎推理 ③结论——根据大前提和小前提作出的判断. 特点：演绎推理是由一般到特殊的推理.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整 数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推 理错误的原因是 A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但推理形式错误 ( )Leabharlann 归纳推理[例 1]
x (2012· 河南调研)已知函数 f(x)＝ (x＞0)．如 x＋2
下 定 义 一 列 函 数 ： f1(x) ＝ f(x) ， f2(x) ＝ f(f1(x)) ， f3(x) ＝ f(f2(x))，„，fn(x)＝f(fn－1(x))，„，n∈N*，那么由归纳推理 可得函数 fn(x)的解析式是 fn(x)＝________.
解析：此类问题由平面类比到空间，则可由面积类比体积， S△AEC AC VA－CDE S△ACD 由长度类比面积，由 ＝ ，类比得 ＝ . S△BEC BC VB－CDE S△BDC
VA－CDE S△ACD 答案： ＝ VB－CDE S△BDC
演绎推理
[例 3]
数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1
1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由
【三维设计】2014届高考数学一轮(基础知识高频考点解题
第二节同角三角函数的根本关系与诱导公式[ 知识能否忆起 ]1．同角三角函数的根本关系式(1 平方关系： sin2α＋cos2α＝1(α∈R．(2 商数关系： tan α＝.2．六组诱导公式角2kπ＋α(k∈Zπ ＋α－απ－α－α＋α函数正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_ αtan_α－tan_α－tan_α对于角“±α〞(k∈Z 的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限〞，“奇变偶不变〞是指“当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变〞．“符号看象限〞是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号〞．[ 小题能否全取 ]1．sin 585°的值为 (A．－ B.C．－ D.解析：选 A sin 585 °＝ sin(360 °＋225°＝s in 225°＝ sin(180°＋45°＝－ sin 45°＝－.2．(教材习题改编 sin( π＋θ＝－cos(2π－θ，|θ|< ，那么θ等于 (A．－ B．－C. D.解析：选 D∵sin(π＋θ＝－cos(2π－θ，∴－ sin θ＝－cos θ，∴ tan θ＝ .∵|θ|< ，∴θ＝ .3． tan θ＝ 2，那么＝ (A．2 B．－ 2C．0 D.解析：选 B原式＝＝＝＝－ 2.4． (教材习题改编如果sin( ＋πA ＝，那么c os 的值是 ________．解析：∵ sin( π＋ A ＝，∴－ sin A ＝ .∴c os＝－ sin A ＝.答案：5．α是第二象限角，tan α＝－，那么cos α＝ ________.解析：由题意知cos α<0，又 sin 2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－ .∴ cos α＝－ .答案：－应用诱导公式时应注意的问题(1 利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号确实定．(2 在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要特别注意判断符号．(3 注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．同角三角函数的根本关系式典题导入[例 1](1(2021 江·西高考假设tan θ＋＝ 4，那么 sin 2θ＝(A. B.C. D.(2 sin(3π＋α＝2sin，那么＝ ________.[自主解答]＋＝，(1∵ tan θ4∴＋＝4，∴＝4，即＝4，∴sin 2θ＝.(2 法一：由 sin(3π＋α＝2sin 得 tan α＝2.原式＝＝＝－ .法二：由得 sin α＝ 2cos α.原式＝＝－ .[答案] (1D (2－在(2 的条件下， sin2α＋sin 2α＝ ________.解析：原式＝ sin2α＋2sin αcos α＝＝＝ .答案：由题悟法1．利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝ tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用 (sin α±cos α2＝1±2sin αcos α，可以知一求二 (参阅本节题型技法点拨．3．注意公式逆用及变形应用：1＝ sin2α＋ cos2α， sin2α＝1－ cos2α， cos2α＝ 1－ sin2α.以题试法1． (1(2021 长·沙模拟假设角α的终边落在第三象限，那么＋的值为( A．3 B．－ 3C．1 D．－ 1(2 sin α＝ 2sin β， tan α＝ 3tan β，那么 cos α＝ ________.解析： (1 由角α的终边落在第三象限得sin α<0， cos α<0，故原式＝＋＝＋＝－1－ 2＝－ 3.(2∵ sin α＝ 2sin β， tan α＝ 3tan β，∴sin2α＝ 4sin2β，①tan2α＝ 9tan2β，②由①÷②得： 9cos2α＝ 4cos2β，③①＋③得： sin2α＋ 9cos2α＝4，∵c os2α＋ sin2α＝ 1，∴cos2α＝，即 cos α＝±.答案： (1B(2 ±三角函数的诱导公式典题导入[例 2](1＝ ________.(2 A＝＋ (k∈Z，那么 A 的值构成的集合是(A ． {1 ，－ 1,2，－ 2}B． { － 1,1}C． {2 ，－ 2} D ．{1 ，－ 1,0,2，－ 2}[自主解答 ] (1 原式＝＝＝＝－＝－·＝－ 1.(2 当 k 为偶数时， A＝＋＝ 2；k 为奇数时， A＝－＝－ 2.[答案 ] (1－ 1(2C由题悟法利用诱导公式化简求值时的原那么(1 “负化正〞，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．(2 “大化小〞，利用 k·360 °＋α(k∈Z的诱导公式将大于 360 °的角的三角函数化为 0°到360 °的三角函数．(3 “小化锐〞，将大于90°的角化为0°到 90°的角的三角函数．(4 “锐求值〞，得到 0°到 90°的三角函数后，假设是特殊角直接求得，假设是非特殊角可由计算器求得．以题试法2． (1(2021 滨·州模拟sin 600 ＋°tan 240 的°值等于 (A．－ B.C.－D. ＋(2 f(x＝ asin( xπ＋α＋ bcos( xπ－β，其中α，β， a， b 均为非零实数，假设f(2 012＝－ 1，那么 f(2 013 等于 ________．解析： (1sin 600°＋ tan 240°＝ sin(720 °－ 120°＋ tan(180 °＋ 60°＝－ sin 120°＋ tan 60°＝－＋＝.(2 由诱导公式知f(2 012 ＝ asin α＋bcos β＝－ 1，∴f(2 013 ＝ asin( π＋α＋bcos( π－β＝－ (asin α＋ bcos β＝ 1.答案： (1B (21诱导公式在三角形中的应用典题导入[例 3]在△ABC中，假设sin(2－πA＝－sin(π－B，cos A＝－cos (π－B，求△ABC的三个内角．[自主解答 ]由得sin A ＝sin B ， cos A＝ cos B 两式平方相加得2cos2A ＝ 1，即 cos A ＝或 cos A＝－ .(1 当 cos A＝时， cos B＝，又角 A 、 B 是三角形的内角，∴A ＝， B ＝，∴C＝π－ (A ＋ B ＝ .(2 当 cos A＝－时， cos B＝－，又角 A 、B 是三角形的内角，∴A＝，B＝，不合题意．综上知， A＝， B＝， C＝ .由题悟法1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有： A ＋ B ＝π－ C,2A ＋ 2B ＝ 2π－2C，＋＋＝等，于是可得sin(A ＋ B ＝ sin C， cos＝ sin 等；2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．以题试法3．在三角形ABC 中，(1 求证： cos2＋ cos2＝ 1；(2 假设 cossintan (C－π <0，求证：三角形ABC 为钝角三角形．证明： (1 在△ ABC 中， A＋B＝π－ C，那么＝－，所以 cos＝ cos＝ sin，故 cos2＋ cos2＝ 1.(2 假设 cossintan (C－π <0，那么(－ sin A(－cos Btan C<0，即 sin Acos Btan C<0，∵在△ ABC 中， 0<A<π，0< B<π，0<C<π，∴s in A>0 ，或∴B 为钝角或 C 为钝角，故△ ABC 为钝角三角形．1． sin(θ＋π <0， cos(θ－π >0，那么以下不等关系中必定成立的是( A ． sin θ<0，cos θ>0B． sin θ>0， cos θ<0C． sin θ>0，cos θ>0 D ． sin θ<0 ， cos θ<0解析：选 B sin(θ＋π<0，∴－ sin θ<0， sin θ>0.∵c os(θ－π>0，∴－ cos θ>0.∴ cos θ<0.2． (2021 ·徽名校模拟安tan x＝ 2，那么 sin2x＋ 1＝ (A．0 B.C. D.解析：选 B sin2x＋ 1＝＝＝ .3． (2021 ·西高考假设＝，那么江tan 2α＝ (A．－ B.C．－ D.解析：选 B∵ ＝＝，∴ tanα＝－3.∴tan 2α＝＝ .4． (2021 ·博模拟淄sin 2α＝－，α∈，那么 sin α＋cos α＝( A．－ B.C．－ D.解析：选 B(sin α＋cos α2＝ 1＋ 2sin αcos α＝1＋ sin 2α＝，又α∈， sin α＋ cos α>0，所以 sin α＋cos α＝.5． cos＝，且 |φ|<，那么 tan φ＝ (A．－ B.C．－ D.解析：选 D cos＝ sin φ＝，又|φ|<，那么 cos φ＝，所以 tan φ＝ .6． 2tan α·sin α＝ 3，－＜α＜ 0，那么 sin α＝ (A.B ．－C.D．－解析：选 B由2tanα·sinα＝3得，＝3，即 2cos2α＋ 3cos α－ 2＝ 0，又－＜α＜ 0，解得 cos α＝ (cos α＝－ 2 舍去，故 sin α＝－ .7． cos－ sin 的值是 ________．解析：原式＝ cos＋ sin ＝ cos＋ sin＝ .答案：8．假设＝ 2，那么 sin( θ－ 5π sin＝ ________.解析：由＝ 2，得sin θ＋ cos θ＝ 2(sin θ－ cos θ，两边平方得：1＋ 2sin θcos θ＝4(1－ 2sin θcos θ，故 sin θcos θ＝，∴sin(θ－ 5πsin＝ sin θcos θ＝ .答案：9． (2021 ·山模拟中cos＝，那么 sin＝ ________.解析： sin＝ sin＝－ sin ＝－ cos＝－ .答案：－10．求值： sin(－ 1 200 ·°cos 1 290 ＋°cos(－1 020 °·sin( － 1 050 ＋°tan 945 . °解：原式＝－ sin 1 200 ·°cos 1 290 ＋° cos 1 020 °·(－ sin 1 050 ＋°tan 945 °＝－ sin 120 ·°cos 210 °＋ cos 300 °·(－ sin 330 °＋ tan 225 °＝(－ sin 60 ·°(－ cos 30 °＋ cos 60 °·sin 30 ＋°tan 45 °＝×＋×＋ 1＝ 2.11． cos( π＋α＝－，且α是第四象限角，计算：(1sin(2 －πα；(2(n∈Z．解：∵ cos(π＋α＝－，∴－cos α＝－， cos α＝.又∵ α是第四象限角，∴s in α＝－＝－ .(1sin(2π－α＝ sin [2π＋(－α]＝ sin(－α＝－sinα＝；(2＝＝＝＝＝－＝－ 4.12．(2021 ·信阳模拟角α的终边经过点 P.(1 求 sin的α值；(2 求·的值．解：(1∵ |OP|＝1，∴点 P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sinα＝－.(2 原式＝·＝＝，由余弦函数的定义得cos α＝.故所求式子的值为 . 1．＝－，那么的值是 (A.B ．－C．2 D．－ 2解析：选 A由于·＝＝－1，故＝.2．假设角α的终边上有一点P(－ 4， a，且 sinα· cos＝，那么α a的值为(A．4 B．±4C．－ 4 或－ D.解析：选 C依题意可知角α的终边在第三象限，点P(－ 4，a 在其终边上且sinα· cos＝α易得 tan α＝或，那么a＝－ 4 或－ .3． A 、 B、 C 是三角形的内角，sin A ，－ cos A 是方程 x2－ x＋ 2a＝0 的两根．(1求角 A；(2 假设＝－ 3，求 tan B.解： (1 由可得，sin A －cos A ＝1.①又 sin2A ＋ cos2A＝ 1，所以 sin2A ＋(sin A － 12＝ 1，即 4sin2A － 2sin A ＝ 0，得 sin A ＝ 0(舍去或 sin A ＝，那么 A＝或，将 A ＝或代入①知 A ＝时不成立，故 A＝.(2 由＝－ 3，得 sin2B － sin Bcos B － 2cos2B＝ 0，∵c os B ≠0，∴ tan2B －tan B－ 2＝0，∴tan B ＝ 2 或 tan B＝－ 1.∵tan B ＝－ 1 使 cos2B－ sin2B＝ 0，舍去，故 tan B ＝ 2.1． sin＝ m，那么 cos 等于 (A ． mB ．－ mC.D．－解析：选 A∵sin＝m，∴cos＝ sin＝ m.2．求证： sinθ＋(1tan＋θcos＝θ＋.证明：左边＝ sinθ＋cosθ＝s in ＋θ＋ cos θ＋＝＋＝＋＝＋＝右边．3． sin( －πα－ cos( π＋α＝ .求以下各式的值：(1sin α－ cos α；(2sin3＋ cos3.解：由 sin( π－α－ cos(π＋α＝，得 sin α＋ cos α＝，①将①两边平方，得1＋ 2sin α·cos α＝，故 2sin α·cos α＝－ .又<α<π，∴ sin α>0， cos α<0.(1(sin α－ cos α2＝ 1－ 2sin α·cos α＝ 1－＝，∴ sin α－ cos α＝ .(2sin3＋ cos3＝cos3α－sin3α＝ (cos α－ sin α(cos2α＋ cos α·sin α＋sin2α＝－×＝－ .。
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数
设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(u，v)，那么 定义
v 叫做 α 的正 u 叫做 α 的
弦函数，记作 余弦函数，记 sin α 作 cos α
v u 叫做 α 的正
切函数，记作 tan α
三角函数 各 象 限 符 号
正弦 正 正 负 负
余弦
正切 正 负 正 负
若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方
形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析： 设圆半径为 R， 则圆内接正方形的对角线长为 2R， 2R ∴正方形边长为 2R，∴圆心角的弧度数是 R ＝ 2.
答案： 2
1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度
制下更方便、简捷．
1 1 2 2． 记住下列公式： ①l＝αR； ②S＝ lR； ③S＝ αR . 2 2 其中 R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角， S 是扇形面积．
式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、
π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角 的终边位置．
1．(1)给出下列四个命题： 3π 4π ①－ 是第二象限角；② 是第三象限角；③－400° 4 3 是第四角限角；④－315° 是第一象限角．其中正确的 命题有 ( )
A．1个 C．3个
[小题能否全取]
1．在 0° ～360° 范围内与－870° 终边相同的角是(
A．－150° C．210° B．150° D．－210°
)
解析：－870° ＝－3×360° ＋210° .
答案：C
2．已知角 α 的终边经过点( 3，－1)，则角 α 的最小正 值是
2π A. 3 5π C. 6 11π B. 6 3π D. 4
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)2.10函数模型及其应用课件 新人教A版
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
2．解函数应用题常见的错误 (1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．
一次函数与二次函数模型
[例 1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家
科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二 氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的 处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与 1 2 月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝ x － 2 200x＋80 000， 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产 品价值为 100 元．
故到今年为止，已砍伐了 5 年． (3)设从今年开始，以后砍了 n 年，
2 则 n 年后剩余面积为 a(1－x)n. 2 2 2 n 1 n 令 a(1－x) ≥ a，即(1－x) ≥ ， 2 4 4
1 n 1 3 n 3 10 ≥ 2 ， ≤ ，解得 10 2 2 2
分段函数模型
[例 2]
(2012· 孝感统考)某公司生产一种产品，每年
需投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这样的产 品，还需增加投入 0.25 万元，经市场调查知这种产品年 需求量为 500 件，产品销售数量为 t 件时，销售所得的
1 2 收入为0.05t－20 000t 万元．
答案：B
3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧 时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图 象表示为图中的 ( )
解析：由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.
答案：B
4．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使 成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数 x(0<x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成_______．
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1 A．2， 2
1 1 B．－ ， 3 2
C．－3,2 D．2,2 解析：由a∥b⇒a＝mb即
λ＋1＝6m， 0＝m2μ－1， 2＝2mλ， 1 ∴λ、μ可以是2， . 2
答案：A
3．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝ (－4，－6,2)，则下列结论正确的是 ( )
1 1 1 2 2 1 C. a＋ b－ c D. a＋ b－ c 2 2 2 3 3 2 1 2 解析：显然 MN ＝ ON － OM ＝ ( OB ＋ OC )－ OA . 2 3
答案：B
2．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ 的值可以是 ( )
a· b (5)cos〈a，b〉＝ ＝ |a||b|
6．利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定 直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．
(1)设直线l1的方向向量v1，l2的方向向量v2. 则l1∥l2⇔ v1∥v2 .l1⊥l2⇔ v1⊥v2 .
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则l ∥α⇔ v⊥n .l⊥α⇔ v∥n .
本例条件不变，设 A1C1 与 B1D1 交点为 M，试 用 a，b，c 表示 MG . 解：如图， MG ＝ MA1 ＋ A1G 1 1 ＝－ ( A1 B1 ＋ A1 D1 )＋ ( A1 D ＋ A1 B ) 2 3 1 1 1 1 ＝－ a－ b＋ ( AD － AA1 )＋ ( AB － AA1 ) 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 ＝－ a－ b＋ b－ c＋ a－ c 2 2 3 3 3 3 1 1 2 ＝－ a－ b－ c 6 6 3
[知识能否忆起]
1.空间向量及其有关概念
名称 定义 过空间任意一点O作与向量a、b相等的向量 OA 、 OB ，则∠AOB叫作向量a、b的 夹角 ，记作 向量 的夹 〈a，b〉，规定 0≤〈a，b〉≤π，〈a，b〉＝π 2 角 时，向量a、b垂直，记作 a⊥b ，〈a，b〉＝0或π 时，向量a、b平行，记作 a∥b
3．线性运算的运算律
(1)加法交换律： a＋b＝b＋a ； (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ；
(3)数乘向量分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ； (4)向量对实数加法的分配律： a(λ＋μ)＝λa＋μa
(5)数乘向量的结合律：λ(μa)＝(λμ)a .
；
4．空间向量的数量积
(1)定义： 空间两个向量a和b的数量积等于 |a||b|cos〈a，b〉 ，
分解． 3．几何体中向量问题的解决，选好基底是关键．
空间向量的线性运算
如图，在平行六面体ABCD －A1B1C1D1中G为△A1BD的重心，设 AB ＝a， AD ＝b， AA1 ＝c，试用a，b，c表 示 AC1 ， AG . [例1]
(2)a⊥b⇔a· b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)； a b ＋a b ＋a b (3)a· b＝ 1 1 2 2 3 3 ；
(4)|a|＝ a· a＝
a2＋a2＋a3 ； 1 2 3
a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 a2＋a2＋a3· b2＋b2＋b2 . 1 2 1 3
(3)设平面α的法向量n1，β的法向量为n2，则α∥β⇔ n1∥n2 ，α⊥β⇔ n1⊥n2 .
[小题能否全取] 1．(教材习题改编)已知空间四边形OABC中， OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中 点，则 MN ＝ ( ) 1 2 1 2 1 1 A. a－ b＋ c B．－ a＋ b＋ c 2 3 2 3 2 2
(3)证明： A1 B · 1 M ＝( A1 A ＋ AB )·C1 A1 ＋ A1 M ) ( C ＝ A1 A · 1 A1 ＋ A1 A · 1 M ＋ AB · 1 A1 ＋ AB · 1 M C A C A
1 2 解析：∵ OG ＝ OM ＋ MG ＝ OA ＋ MN 2 3 1 2 ＝ OA ＋ ( ON － OM ) 2 3 1 2 2 ＝ OA ＋ ON － OM 2 3 3 1 2 1 2 1 ＝ OA ＋ × ( OB ＋ OC )－ × OA 2 3 2 3 2 1 1 1 ＝ OA ＋ OB ＋ OC 6 3 3
a的单位向量，记作a0.a0与a同向
2．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理： 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在 实数λ，使得 a＝λb .
(2)空间向量基本定理： 如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是 空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得 a＝ λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 一个 基底 ． .把e1，e2，e3叫作这个空间的
[自主解答] AC1 ＝ AB ＋ BC ＋ CC1 ＝ AB ＋ AD ＋ AA1
＝a＋b＋c. AG ＝ AA1 ＋ A1G 1 ＝ AA1 ＋ ( A1 D ＋ A1 B ) 3 1 1 ＝ AA1 ＋ ( AD － AA1 )＋ ( AB － AA1 ) 3 3 1 1 1 ＝ AA1 ＋ AD ＋ AB 3 3 3 1 1 1 ＝ a＋ b＋ c. 3 3 3
1 1 1 ∴x，y，z的值分别为 ， ， . 6 3 3 1 1 1 答案： ， ， 6 3 3
空间向量的数量积的应用
[例2]
如图所示，直三棱柱ABC－
A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠ BCA＝90° ，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、 A1A的中点．
(1)求BN的长； (2)求向量 BA1 与 CB1 的夹角的余弦值； (3)求证： A1 B ⊥ C1 M .
________． 2 解析：设正方体的棱长为1，①中( A1 A ＋ A1 D1 ＋ A1 B1 ) 2 ＝3 A1 B1 ＝3，故①正确；②中 A1 B1 － A1 A ＝ AB1 ，由于
AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角 为60° ，但 AD1 与 A1 B 的夹角为120° ，故③不正确；④中 答案：①② | AB · 1 · |＝0.故④也不正确． AA AD
名称
定义
直线的 若l是空间一直线，A、B是直线l上任意两点， 方向向 则称 AB 为直线l的 方向向量 ．显然，与 AB 平 量 法向量 单位向 量 行的任意非零向量a也是直线l的方向向量 平面的 如果直线l垂直于平面α，那么把 直线l的方向向
量a 叫作平面α的法向量
a 对于任意一个非零向量a，我们把 |a| 叫做向量
A．a∥c，b∥c C．a∥c，a⊥b
B．a∥b，a⊥c D．以上都不对
解析：∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a· b＝0，故a⊥b.
答案：C
4．在四面体O－ABC中， OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，D为 BC的中点，E为AD的中点，则 OE ＝________(用a，
b 记作 a· .
(2)运算律： ①交换律：a· b＝b· a；
b＋a· ； c ②分配律：a· (b＋c)＝ a· b(λ∈R) ． ③结合律：λ(a· b)＝ (λa)·
5．空间向量的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a∥b⇔a＝λb⇔a1＝ λb1 ，a2＝ λb2，a3＝ λb3 (λ∈R)；
＝ 2· cos 135° 1· ＋0＋0＋4＝3，
2 2 又∵| BA1 | ＝( BA ＋ AA1 ) 2 2 ＝| BA| ＋2 BA · 1 ＋| AA1 | AA ＝2＋0＋4＝6，∴| BA1 |＝ 6. 2 2 2 2 又∵|CB1 | ＝( CB ＋ BB1 ) ＝|CB | ＋2 CB · 1 ＋| BB1 | BB BA1 · 1 CB ∴cos〈 BA1 ， CB1 〉＝ | BA1 || CB1 | 3 30 30 ＝ ＝ ，∴向量 BA1 与 CB1 的夹角的余弦值为 . 10 6· 5 10
2 [自主解答] (1)| BN | ＝ BN · BN ＝( BA ＋ AN )·BA ＋ AN ) ( 2 2 ＝| BA | ＋| AN | ＋2 BA · ＝2＋1＝3， AN ∴| BN |＝ 3. CB (2)∵ BA1 · 1＝( BA ＋ AA1 )·CB ＋ BB1 ) ( CB CB ＝ BA · ＋ BA · 1 ＋ AA1 · ＋ AA1 · 1 BB BB
b，c表示)．
1 1 解析：如图， OE ＝ OA ＋ OD 2 2
1 1 1 ＝ OA ＋ OB ＋ OC 2 4 4
1 1 1 ＝ a＋ b＋ c. 2 4 4
1 1 1 答案： a＋ b＋ c 2 4 4
5．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①( A1 A ＋ A1 D1 ＋ 2 2 ( A1 B1 ) ＝3 A1 B1 ；② A1C ·A1 B1 － A1 A )＝0；③向量 AD1 与向量 A1 B 的夹角是60° ；④正方体ABCD－A1B1C1D1的 体积为| AB · AA1 · AD |.其中正确命题的序号是
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以
图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法 与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形 法则．பைடு நூலகம்