2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)7.6空间向量及其运算和空间位置关系课件

(3)设平面α的法向量n1，β的法向量为n2，则α∥β⇔ n1∥n2 ，α⊥β⇔ n1⊥n2 .
[小题能否全取] 1．(教材习题改编)已知空间四边形OABC中， OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中 点，则 MN ＝ ( ) 1 2 1 2 1 1 A. a－ b＋ c B．－ a＋ b＋ c 2 3 2 3 2 2
a的单位向量，记作a0.a0与a同向
2．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理： 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在 实数λ，使得 a＝λb .
(2)空间向量基本定理： 如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是 空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得 a＝ λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 一个 基底 ． .把e1，e2，e3叫作这个空间的
[自主解答] AC1 ＝ AB ＋ BC ＋ CC1 ＝ AB ＋ AD ＋ AA1
＝a＋b＋c. AG ＝ AA1 ＋ A1G 1 ＝ AA1 ＋ ( A1 D ＋ A1 B ) 3 1 1 ＝ AA1 ＋ ( AD － AA1 )＋ ( AB － AA1 ) 3 3 1 1 1 ＝ AA1 ＋ AD ＋ AB 3 3 3 1 1 1 ＝ a＋ b＋ c. 3 3 3
1 2 解析：∵ OG ＝ OM ＋ MG ＝ OA ＋ MN 2 3 1 2 ＝ OA ＋ ( ON － OM ) 2 3 1 2 2 ＝ OA ＋ ON － OM 2 3 3 1 2 1 2 1 ＝ OA ＋ × ( OB ＋ OC )－ × OA 2 3 2 3 2 1 1 1 ＝ OA ＋ OB ＋ OC 6 3 3
3．线性运算的运算律
(1)加法交换律： a＋b＝b＋a ； (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ；
(3)数乘向量分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ； (4)向量对实数加法的分配律： a(λ＋μ)＝λa＋μa
(5)数乘向量的结合律：λ(μa)＝(λμ)a .
；
4．空间向量的数量积
(1)定义： 空间两个向量a和b的数量积等于 |a||b|cos〈a，b〉 ，
本例条件不变，设 A1C1 与 B1D1 交点为 M，试 用 a，b，c 表示 MG . 解：如图， MG ＝ MA1 ＋ A1G 1 1 ＝－ ( A1 B1 ＋ A1 D1 )＋ ( A1 D ＋ A1 B ) 2 3 1 1 1 1 ＝－ a－ b＋ ( AD － AA1 )＋ ( AB － AA1 ) 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 ＝－ a－ b＋ b－ c＋ a－ c 2 2 3 3 3 3 1 1 2 ＝－ a－ b－ c 6 6 3
________． 2 解析：设正方体的棱长为1，①中( A1 A ＋ A1 D1 ＋ A1 B1 ) 2 ＝3 A1 B1 ＝3，故①正确；②中 A1 B1 － A1 A ＝ AB1 ，由于
AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角 为60° ，但 AD1 与 A1 B 的夹角为120° ，故③不正确；④中 答案：①② | AB · 1 · |＝0.故④也不正确． AA AD
(3)证明： A1 B · 1 M ＝( A1 A ＋ AB )·C1 A1 ＋ A1 M ) ( C ＝ A1 A · 1 A1 ＋ A1 A · 1 M ＋ AB · 1 A1 ＋ AB · 1 M C A C A
1 1 1 ∴x，y，z的值分别为 ， ， . 6 3 3 1 1 1 答案： ， ， 6 3 3
空间向量的数量积的应用
[例2]
如图所示，直三棱柱ABC－
A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠ BCA＝90° ，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、 A1A的中点．
(1)求BN的长； (2)求向量 BA1 与 CB1 的夹角的余弦值； (3)求证： A1 B ⊥ C1 M .
2 [自主解答] (1)| BN | ＝ BN · BN ＝( BA ＋ AN )·BA ＋ AN ) ( 2 2 ＝| BA | ＋| AN | ＋2 BA · ＝2＋1＝3， AN ∴| BN |＝ 3. CB (2)∵ BA1 · 1＝( BA ＋ AA1 )·CB ＋ BB1 ) ( CB CB ＝ BA · ＋ BA · 1 ＋ AA1 · ＋ AA1 · 1 BB BB
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a· b (5)cos〈a，b〉＝ ＝ |a||b|
6．利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定 直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．
(1)设直线l1的方向向量v1，l2的方向向量v2. 则l1∥l2⇔ v1∥v2 .l1⊥l2⇔ v1⊥v2 .
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则l ∥α⇔ v⊥n .l⊥α⇔ v∥n .
1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般
用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般 用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数 量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量 的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．
2．空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的
＝ 2· cos 135° 1· ＋0＋0＋4＝3，
2 2 又∵| BA1 | ＝( BA ＋ AA1 ) 2 2 ＝| BA| ＋2 BA · 1 ＋| AA1 | AA ＝2＋0＋4＝6，∴| BA1 |＝ 6. 2 2 2 2 又∵|CB1 | ＝( CB ＋ BB1 ) ＝|CB | ＋2 CB · 1 ＋| BB1 | BB BA1 · 1 CB ∴cos〈 BA1 ， CB1 〉＝ | BA1 || CB1 | 3 30 30 ＝ ＝ ，∴向量 BA1 与 CB1 的夹角的余弦值为 . 10 6· 5 10
b，c表示)．
1 1 解析：如图， OE ＝ OA ＋ OD 2 2
1 1 1 ＝ OA ＋ OB ＋ OC 2 4 4
1 1 1 ＝ a＋ b＋ c. 2 4 4
1 1 1 答案： a＋ b＋ c 2 4 4
5．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①( A1 A ＋ A1 D1 ＋ 2 2 ( A1 B1 ) ＝3 A1 B1 ；② A1C ·A1 B1 － A1 A )＝0；③向量 AD1 与向量 A1 B 的夹角是60° ；④正方体ABCD－A1B1C1D1的 体积为| AB · AA1 · AD |.其中正确命题的序号是
b 记作 a· .
(2)运算律： ①交换律：a· b＝b· a；
b＋a· ； c ②分配律：a· (b＋c)＝ a· b(λ∈R) ． ③结合律：λ(a· b)＝ (λa)·
5．空间向量的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a∥b⇔a＝λb⇔a1＝ λb1 ，a2＝ λb2，a3＝ λb3 (λ∈R)；
A．a∥c，b∥c C．a∥c，a⊥b
B．a∥b，a⊥c D．以上都不对
解析：∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a· b＝0，故a⊥b.
答案：C
4．在四面体O－ABC中， OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，D为 BC的中点，E为AD的中点，则 OE ＝________(用a，
1 A．2， 2
1 1 B．－ ， 3 2
C．－3,2 D．2,2 解析：由a∥b⇒a＝mb即
λ＋1＝6m， 0＝m2μ－1， 2＝2mλ， 1 ∴λ、μ可以是2， . 2
答案：A
3．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝ (－4，－6,2)，则下列结论正确的是 ( )
名称
定义
直线的 若l是空间一直线，A、B是直线l上任意两点， 方向向 则称 AB 为直线l的 方向向量 ．显然，与 AB 平 量 法向量 单位向 量 行的任意非零向量a也是直线l的方向向量 平面的 如果直线l垂直于平面α，那么把 直线l的方向向
量a 叫作平面α的法向量
a 对于任意一个非零向量a，我们把 |a| 叫做向量
分解． 3．几何体中向量问题的解决，选好基底是关键．
空间向量的线性运算
如图，在平行六面体ABCD －A1B1C1D1中G为△A1BD的重心，设 AB ＝a， AD ＝b， AA1 ＝c，试用a，b，c表 示 AC1 ， AG . [例1]
[知识能否忆起]
1.空间向量及其有关概念
名称 定义 过空间任意一点O作与向量a、b相等的向量 OA 、 OB ，则∠AOB叫作向量a、b的 夹角 ，记作 向量 的夹 〈a，b〉，规定 0≤〈a，b〉≤π，〈a，b〉＝π 2 角 时，向量a、b垂直，记作 a⊥b ，〈a，b〉＝0或π 时，向量a、b平行，记作 a∥b
(2)a⊥b⇔a· b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)； a b ＋a b ＋a b (3)a· b＝ 1 1 2 2 3 3 ；
(4)|a|＝ a· a＝
a2＋a2＋a3 ； 1 2 3
a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 a2＋a2＋a3· b2＋b2＋b2 . 1 2 1 3
1 1 1 2 2 1 C. a＋ b－ c D. a＋ b－ c 2 2 2 3 3 2 1 2 解析：显然 MN ＝ ON － OM ＝ ( OB ＋ OC )－ OA . 2 3
答案：B
2．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ 的值可以是 ( )
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以
图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法 与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形 法则．
1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对 角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC 的中点，点G在线段MN上，且 MG ＝2 GN ， 若 OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x，y，z的值分 别为________．