【苏教版(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【配套课件】第十四章14.1
【步步高】(江苏专用)版高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.3 课时1 坐标系课件 理
范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一
对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.
答案
(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可 知下面关系式成立：
x＝ρcos θ， 或 y＝ρsin θ
ρ2＝x2＋y2， y tan θ＝ x≠0 x
.
这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
答案
3.常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点，半 径为r的圆 圆心为(r,0)，半径 为r的圆 图形 极坐标方程 ρ＝r(0≤θ<2π)
其垂直于x轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，
π 相应的极坐标方程为 θ＝2(ρ∈R)和 ρcos θ＝2.
解析答案
题型二
求曲线的极坐标方程
将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，
例2
得曲线C.
(1)写出曲线C的方程； 解 设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，
解 π π 由题意知 A、B 的极坐标分别为(3，3)、(4，6)，
1 1 π 则△AOB 的面积 S△AOB＝2OA· OB· sin∠AOB＝2×3×4×sin 6＝3.
1
2
3
解析答案
3.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B 两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.
x＝x1， 依题意，得 y＝2y1.
由
2 x2 ＋ y 1 1＝1
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件1.3.2含有一个量词的命题的否定
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题． (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在 量词改为恰当的全称量词． (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成 立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立” 等． (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.
本 专 题 栏 目 开 关
解 在区间[ －1,1] 中至少存在一个实数c， 使得f(c)>0的否定是在[ －1,1] 上的所有实 数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数 的图象特征可知，
f－1≤0， f1≤0， 4＋2p－2－2p2－p＋1≤0， 即 2 4 － 2 p － 2 － 2 p －p＋1≤0，
本 专 题 栏 目 开 关
研一研· 问题探究、课堂更高效
结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)， 它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)， 全称命题的否定是存在性命题．
本 专 题 栏 目 开 关
研一研· 问题探究、课堂更高效
例1 写出下列全称命题的否定： (1)p：所有能被3整除的整数都是奇数； (2)p：每一个四边形的四个顶点共圆； (3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
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填一填· 知识要点、记下疑难点
1．全称命题的否定： 全称命题 p：∀ x∈ M， p(x)，
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∃x∈M，綈p(x) 它的否定綈 p： ________________.
2．存在性命题的否定： 存在性命题 p：∃ x∈ M， p(x)，
∀x∈M，綈p(x) 它的否定綈 p： ___落实处
4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________ 有的向量
高考苏教版数学理大一轮复习课件14.4.1不等式的基本性质、含有绝对值的不等式
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
②利用“零点分段法”求解，体现了分类 讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解， 体现了函数与方程的思想．
解含有绝对值不等式时， 脱去 绝对值符号的方法主要有： 公 式法、分段讨论法、平方法、 几何法等． 这几种方法应用时 各有利弊， 在解只含有一个绝 对值的不等式时， 用公式法较 为简便； 但若不等式含有多个 绝对值时， 则应采用分段讨论 法； 应用平方法时， 要注意只 有在不等式两边均为正的情 况下才能施行． 因此， 我们在 去绝对值符号时， 用何种方法 需视具体情况而定．
思维启迪 解析 探究提高
＋1.
题型分类·深度剖析
题型一
【例1】
含绝对值不等式的解法
x 解不等式|x＋3|－|2x－1|< 2
思维启迪 解析 探究提高
利用零点分段法求解．
＋1.
题型分类·深度剖析
题型一 含绝对值不等式的解法
探究提高 思维启迪 解析 x 【例1】 解不等式|x＋3|－|2x－1|< 2 x 解 ①当x<－3时，原不等式化为－(x＋ 3)－(1－2x)< ＋1，解得 由于出现的结果有限，每次每 2 ＋1. 颗只能有四种结果，且每种结 x<10，∴x<－3.
解含有绝对值不等式时， 脱去 绝对值符号的方法主要有： 公 式法、分段讨论法、平方法、 几何法等． 这几种方法应用时 各有利弊， 在解只含有一个绝 对值的不等式时， 用公式法较 为简便； 但若不等式含有多个 绝对值时， 则应采用分段讨论 法； 应用平方法时， 要注意只 有在不等式两边均为正的情 况下才能施行． 因此， 我们在 去绝对值符号时， 用何种方法 需视具体情况而定．
【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义--函数图象与性质的综合应用
专题一 函数图象与性质的综合应用1．函数的三要素是对应关系、定义域、值域；其中函数的核心是对应关系． 2．函数的性质主要包括：单调性、周期性、对称性、最值等．3．求函数值域的方法有配方法、换元法、不等式法、函数单调性法、图象法等． 4．作图一般有两种方法：描点法作图、图象变换法作图． 5．图象的三种变换：平移变换、伸缩变换和对称变换．1． (2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.2． 函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为 ( )A.13B.23 C ．1 D ．2 答案 B解析 令f (x )＝0，解得x ＝1；令f (x )＝1，解得x ＝13或3.因为函数f (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．故b －a 的最小值为1－13＝23.3． (2011·辽宁)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ， x ≤11－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞) 答案 D解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．4． (2011·湖北)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于 ( ) A ．2 B.154 C.174 D ．a 2答案 B解析 ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，① 得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x . 又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ， ∴f (2)＝22－2－2＝154.5． 已知y ＝f (x )的图象如图，则y ＝f (1－x )的图象为下列四图中的 ( )答案 A解析 将y ＝f (1－x )变形为y ＝f [－(x －1)]①作y ＝f (－x )图象，将y ＝f (x )关于y 轴对称即可； ②将f (－x )的图象沿x 轴正方向平移1个单位， 得y ＝f [－(x －1)]＝f (1－x )的图象.题型一 函数求值问题例1 (2012·苏州模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2×(t ＋1)x ，x ≥0 且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为________．思维启迪：首先根据f (1)＝6求出t 的取值，从而确定函数解析式，然后由里到外逐层求解f (f (－2))的值，并利用指数与对数的运算规律求出函数值． 答案 12解析 ∵1>0，∴f (1)＝2×(t ＋1)＝6， 即t ＋1＝3，解得t ＝2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋2)，x <0，2×3x ， x ≥0，所以f (－2)＝log 3[(－2)2＋2]＝log 36>0. f (f (－2))＝f (log 36)＝2×3log 36＝2×6＝12.探究提高 本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围 内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题．解决此类问题的关键是 要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的 函数解析式求值，在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值．(2012·广东六校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )， x >0，f (x ＋1)＋1， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于 ( )A ．－2B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 题型二 函数性质的应用例2 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0，则不等式f (－x )－f (x )x≥0的解集为 ( ) A ．[－2,0]∪[2，＋∞) B ．(－∞，－2]∪(0,2] C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．[－2,0)∪(0,2] 思维启迪：转化成f (m )<f (n )的形式，利用单调性求解． 答案 D解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，不等式可化为－f (x )－f (x )x ≥0，即－f (x )x ≥0.当x >0时，则有f (x )≤0＝f (2)，由f (x )在(0，＋∞)上单调递增可得x ≤2；当x <0时，则有f (x )≥0＝－f (2)＝f (－2)，由函数f (x )为奇函数可得f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x ≥－2.所以不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．探究提高 解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质，利用函数的单调性去 掉函数符号是解决问题的关键，由函数为奇函数可知，不等式的解集关于原点对称，所 以只需求解x >0时的解集即可．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(－x )，－x >0log 2x ，－x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(－x )，x <0，log 2x ，x >0.当m >0时，f (m )<f (－m )⇒log 12m <log 2m ⇒m >1；当m <0时，f (m )<f (－m )⇒log 2(－m )<log 12(－m )⇒－1<m <0.所以，m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 题型三 函数图象及应用例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc的取值范围是_____________．思维启迪：可以先画出函数f (x )的图象，通过图象的特征观察a 、b 、c 的关系． 答案 (10,12)解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10,10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<abc <12.探究提高 通过图形可以发现a ，b ，c 所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab ＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．已知不等式x 2－log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围． 解由x 2－log a x <0， 得x 2<log a x .设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x .由题意知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方， 如图，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，⎝⎛⎭⎫122≤log a 12， 解得116≤a <1.∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1. 题型四 函数的值域与不等式恒成立问题例4 (2012·天津滨海新区五所重点学校联考)定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．思维启迪：(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决． (2)将恒成立问题转化成函数最值问题． (1)解 令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)， 即f (0)＝0.(2)证明 令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．(3)解 方法一 因为f (x )在R 上是增函数， 又由(2)知f (x )是奇函数．f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)， 所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2，32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k2，当1＋k2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2.综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立．方法二 由k ·3x <－3x ＋9x ＋2，得k <3x ＋23x －1.u ＝3x ＋23x －1≥22－1,3x ＝2时，取“＝”，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R ，不等式k <3x ＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.探究提高 对于恒成立问题，若能转化为a >f (x ) (或a <f (x ))恒成立，则a 必须大于f (x )的最大值(或小于f (x )的最小值)．因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解．若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，对于任意的θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，均有f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0，试求实数m 的取值范围． 解 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (x )在(－∞，0]上也是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0， ∵f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0， ∴f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )， 于是cos 2θ－3>2m cos θ－4m ，① 即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0. 得m >cos 2θ－2cos θ－2，设h (θ)＝cos 2θ－2cos θ－2，则h (θ)＝4－⎣⎡⎦⎤(2－cos θ)＋22－cos θ≤4－22，即h (θ)max ＝4－22，只须m >4－2 2.故实数m 的取值范围是(4－22，＋∞)． 2.高考中的函数零点问题典例：(2011·山东)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.考点分析 本题考查对数函数、函数单调性、函数零点等知识，体现了函数知识的综合．求解策略 解答本题可先确定函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性，然后根据a ，b 满足的条件及对数的运算性质探究出f (x )零点所在的区间，从而对照x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *确定出n 的值． 答案 2解析 ∵2<a <3，∴f (x )＝log a x ＋x －b 为定义域上的单调递增函数．f (2)＝log a 2＋2－b ， f (3)＝log a 3＋3－b .∵2<a <3<b ，∴0<lg 2<lg a <lg 3，∴lg 2lg 3<lg 2lg a <1.又∵b >3，∴－b <－3，∴2－b <－1， ∴log a 2＋2－b <0，即f (2)<0.∵1<lg 3lg a <lg 3lg 2，3<b <4，∴－1<3－b <0，∴log a 3＋3－b >0，∴f (3)>0，即f (2)·f (3)<0. 由x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *知，n ＝2.解后反思 (1)本题考查函数零点，与函数的单调性相结合；(2)解决函数的有关问题，要综合利用函数的图象，函数的单调性、对称性、周期性、值域等．方法与技巧1． 利用复合函数求函数值是一类重要问题，解题关键是利用已知的函数值，通过解析式的变化特点进行代入求值，有时也可以利用周期性来解题．2． 抽象函数奇偶性的判断关键在于构造f (－x )，使之与f (x )产生等量关系，即比较f (－x )与±f (x )是否相等，此时赋值比较多的是－1、1、0等．3． 作图、识图和用图是函数图象中的基本问题．作图的基本途径：求出函数的定义域；尽量求出值域；变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状；描点作图．识图就是从 图形中发现或捕捉所需信息，从而使问题得到解决．用图就是根据需要，作出函数的图 形，使问题求解得到依据，使函数、方程、不等式中的许多问题化归为函数图象问题． 失误与防范1． 函数求值问题一定要关注自变量的取值范围，尤其是分段函数，以防代错解析式． 2． 对于由抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中，一定要注意单调区间，需将自变量转化到同一个单调区间上去．3． 识图要抓住性质特征，关键点；作图要规范，一般从基本图形通过平移、对称等变换来作图.(时间：60分钟) A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·重庆)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是 ( )A ．(－∞，1]B ．[－1，43]C ．[0，32) D ．[1,2)答案 D解析 方法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－ ∞，1]上单调递减．当0<2－x ≤1，即1≤x <2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函 数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 方法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D.2． (2011·北京)如果log 12x <log 12y <0，那么 ( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x 答案 D解析 不等式转化为⎩⎨⎧log 12x <log 12y ，log 12y <0⇒1<y <x .3． (2012·浙江改编)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32等于 ( ) A.32 B ．－14 C.14 D.12 答案 A解析 当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]， ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x ＋1. ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－⎝⎛⎭⎫－12＋1＝32. 4． (2012·江西)如图所示，|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π6，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC 行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止．设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图象大致是( )答案 A解析 对t 进行分段，确定函数y ＝S (t )的解析式．由题意知，当0<t ≤1时，甲从O 向B 移动，乙从O 向A 移动，则t 时刻，|OB |＝t ，|OA | ＝2t ，此时S (t )＝12·|OB |·|OA |sin π6＝12t 2，此段图象为抛物线；当t >1时，设圆弧半径为r ，甲从B 沿圆弧移动到C 后停止，乙在A 点不动，则此时S (t )＝12×1×2·sin π6＋12·r ·3(t －1)＝3r 2t ＋1－3r2，此段图象为直线，当甲移动至C 点后，甲、乙均不再移动，面积不再增加，选项B 中开始一段函数图象不对，选项C 中后两段图象不对，选项D 中前两段 函数图象不对，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为______． 答案 (2，＋∞)解析 ∵x 2－2x ＋3>0，即(x －1)2＋2>0的解集为R ， ∴函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)的定义域为R . 又∵函数y ＝x 2－2x ＋3有最小值2，无最大值． 据题意有a >1.∴log a (x －1)>0＝log a 1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －1>1，解得x >2，即不等式log a (x －1)>0的解集为(2，＋∞)． 6． 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是__________． 答案 [－94，0]∪(2，＋∞)解析 由x <g (x )得x <x 2－2，∴x <－1或x >2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)． 当－1≤x ≤2时，－94≤y ≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．7． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －5 (x >6)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋4 (x ≤6)，在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 [7,8)解析 由题意知，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14－a 2>0⎝⎛⎭⎫4－a 2×6＋4≤a 6－5，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1a <8a ≥7，解得7≤a <8. 三、解答题(共25分)8． (12分)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1| (a >0且a ≠1)的图象有两个交点，求a 的取值范围．解 ①当a >1时，画出函数y ＝|a x －1|的草图：若y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点， 则有0<2a <1，∴0<a <12(舍去)．②当0<a <1时，画出函数y ＝|a x －1|的草图：若y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，则有0<2a <1，∴0<a <12. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12. 9． (13分)已知a >0，且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性；(3)求f (x 2－3x ＋2)<0的解集．解 (1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t ，且f (t )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫a t －1a t .∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (x ∈R )． (2)当a >1时，a x －a －x 为增函数， 又a a 2－1>0，∴f (x )为增函数； 当0<a <1时，a x －a －x 为减函数， 又aa 2－1<0，∴f (x )为增函数． ∴函数f (x )在R 上为增函数．(3)∵f (0)＝a a 2－1(a 0－a 0)＝0，∴f (x 2－3x ＋2)<0＝f (0)． 由(2)知：x 2－3x ＋2<0，∴1<x <2.∴不等式的解集为{x |1<x <2}．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知函数f (x )＝||lg x ，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )A ．(22，＋∞) B.[ 22，＋∞)C ．(3，＋∞) D.[ 3，＋∞)答案 C解析 由已知条件0<a <1<b 和f (a )＝f (b )得，－lg a ＝lg b ，则lg a ＋lg b ＝0，ab ＝1，因此a ＋2b ＝a ＋2a ，由对勾函数知y ＝x ＋2x在(0,1)单调递减，得a ＋2b >3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)．2．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1a ＋1，则 ( )A ．a <12且a ≠－1 B ．－1<a <0 C ．a <－1或a >0 D ．－1<a <2答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)<1，∴f (－1)>－1.又∵函数f (x )的周期为3，∴f (－1)＝f (2)＝2a －1a ＋1>－1，∴3a a ＋1>0， 解得a >0或a <－1.3． 设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0 (a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 ( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，34)D ．(34，2)答案 D解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是以4为周期的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的大致图象如图中实线所示，令g (x )＝log a (x ＋2) (a >1)，则g (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x＋2)＝0 (a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，则只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<3g (6)>3，即⎩⎨⎧log a 4<3log a 8>3，解得34<a <2. 二、填空题(每小题4分，共12分)4． 函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．答案 [－8，－6]解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.5． 已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4 (a ，b ∈R )，且f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝________.答案 3解析 lg(log 210)＝－lg(lg 2)，f (－x )＝a sin(－x )＋b 3－x ＋4＝－(a sin x ＋b 3x )＋4.又f [lg(log 210)]＝5，∴f [lg(lg 2)]＝4－5＋4＝3.6． 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a的取值范围是__________．答案 (－2,1)解析∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x ，作出f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，即－2<a <1.三、解答题(13分)7． 设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．(1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围；(2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c 3a，由条件a >c >0， 得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛 物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数．若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ， 得c 2－c <0，所以0<c <1.(2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点．②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a. 而f ⎝⎛⎭⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac 3a <0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1) 内有两个零点．。
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件第一章§1.1算法的含义
【学习要求】 1．了解算法的含义，体会算法的思想；
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2．能够用自然语言叙述算法； 3．掌握正确的算法应满足的要求； 4．会写出解线性方程(组)的算法． 【学法指导】 通过生活中的实例，体会算法的思想，从而得到算法的概念 及算法步骤，体会不同的问题有不同的算法．由于思考问题 的角度不同，同一个问题也可能有多个算法.
第二步：将下一个整数 b 与“最大值”比较，若整数 b 大于 “最大值”，就假定“最大值”是整数 b；
第三步：将“最大值”与下一个整数 c 比较，若整数 c 大于 “最大值”，就假定“最大值”是整数 c；
第四步：输出这个“最大值”．
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问题 3
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在例 3 中我们是用自然语言来描述算法的，描述起来比
有运算结果， 答案可以由计算机解决． 算法没有一个固定的
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模式，但有以下几个基本要求： (1)符合运算规则，计算机能操作； (2)每个步骤都有一个明确的计算任务； (3)对重复操作步骤作返回处理； (4)步骤个数尽可能少； (5)每个步骤的语言描述要准确、简明．
Hale Waihona Puke 研一研·问题探究、课堂更高效
第四步，得到计算的结果．
解析 求三个数的平均数必须是先计算三个数的总和， 再被 3 除．
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4．已知算法：第一步，输入 n.第二步，判断 n 是否是 2，若 n＝ 2，则 n 满足条件；若 n>2，则执行第三步．第三步，依次检
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验从 2 到 n－1 的整数能不能整除 n，若不能整除 n，满足条
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件3.2.1常见函数的导数
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x＋Δx－ x Δy fx＋Δx－fx 解 ＝ ＝ Δx Δx Δx
x＋Δx－ x x＋Δx＋ x ＝ Δx· x＋Δx＋ x Δx ＝ Δx· x＋Δx＋ x
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1 ＝ . x＋Δx＋ x
Δy 1 从而，当Δx→0时， → . Δx 2 x 1 ∴f′(x)＝ . 2 x
答案 ①③④
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3 2．函数f(x)＝ x，则f′(3)等于________ ． 6 1 解析 ∵f′(x)＝( x)′＝ ， 2 x
3 ∴f′(3)＝ ＝6. 2 3 1
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3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直 π 3π [0， ]∪[ ，π) 4 4 线l，则直线l的倾斜角的范围是__________________ ．
x a ln a a>0，且 a≠ 1) f′(x)＝ ______( x e f′(x)＝ ________ 1 f′(x)＝ ________( xln a a>0且 a≠ 1)
α－1
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x
f(x)＝ logax f(x)＝ ln x
1 f′(x)＝ ________ x
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π ∴f′3＝－sin
π 3 3＝－ 2 .
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小结
函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝x0处的函
数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求 出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导．
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件第一章§1.2.3循环结构
解析 利用流程图中描述的算法特点求解．
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2．在循环结构中，每次执行循环体前对控制循环的条件进行
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判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止，这样的
当型循环 循环结构是______________ ．
练一练·当堂检测、目标达成落实处 ③ ．(填序号) 3．下列关于循环结构的说法正确的是________
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小结
变量 S 作为累加器，来存放所求数据之和．累加器的初
值为 0，第一次循环时，输入了一个数据 G 然后执行“S←S＋
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G”，就是把 0＋G 的结果存放在 S 中，第二次循环时，输入了 第二个数据也用 G 表示，执行 S←S＋G 就是把两次输入的数据 的和存放在 S 中．如此循环，则可实现数的累加求和．
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跟踪训练 2 1 2 3 n 已知有一列数 ， ， ，…， ，设计流程图实 2 3 4 n＋ 1
现求该列数前 20 项的和． 解 流程图如图所示：
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方法一：
方法二：
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8 1．执行如图所示的流程图，输出的 S 值为________ ．
这个方法可以在条件限制中加入任
意的值来，比如 1×2×3×4×…×100 也可以用同样的程序来执行， 只要修改一 下限制条件即可．
流程图如图：
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问题 4 问题 3 中流程图使用的是直到型循环， 如何改变一下算 法使之适合当型循环？你能画出流程图吗？
答 S1 T←1；
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【苏教版(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版题库】9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系一、填空题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为________．解析 集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22＜1＝r ，所以直线与圆相交，故A ∩B 的元素个数有2个．答案 22．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋4y ＝0，则两圆的位置关系是________． 解析 圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：x 2＋(y ＋2)2＝22， 所以C 1C 2＝5，且2－1＜5＜2＋1，所以两圆相交． 答案 相交3．若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围是________．解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1， 解得－2－5≤a ≤－2＋ 5. 答案 [－2－5，－2＋5]4．与圆x 2＋y 2＝25外切于点P (4,3)，且半径为1的圆的方程是________． 解析 设所求圆的圆心为C (m ，n )，则O ，P ，C 三点共线，且OC ＝6， 所以m ＝45×6＝245，n ＝35×6＝185，所以圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1852＝1. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫x －2452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1852＝1 5．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为________． 解析 显然x ＝2为所求切线之一．另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx－y＋4－2k＝0，那么|4－2k|k2＋1＝2，k＝34，即3x－4y＋10＝0.答案x＝2或3x－4y＋10＝06．台风中心从A地以每小时20 k m的速度，向东北方向移动，离台风中心30 k m 内的地区为危险地区，城市B在A地正东40 k m处，B城市处于危险区内的时间为________．答案 1 h7．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为________．解析由题意，得直线2(x＋1)－y＋λ＝0，即2x－y＋2＋λ＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以|λ－2|5＝5，λ－2＝±5，所以λ＝－3或λ＝7.答案－3或78．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离C1C2＝________.解析设与两坐标轴都相切的圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，将点(4,1)代入得a2－10a＋17＝0，解得a＝5±22，设C1(5－22，5－22)，则C2(5＋22，5＋22)，则C1C2＝32＋32＝8.答案89．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.答案710．已知圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相交，则实数m的取值范围为________．解析(x＋3)2＋(y－4)2＝36，由题意，得|6－m|＜5＜6＋m，解得1＜m＜11，所以1＜m＜121.答案 1＜m ＜12111．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是________．解析 圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋21＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号，∴1a ＋1b的最小值为4.答案 412．圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0恰有三条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．解析 由题意，两圆外切，所以|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即－2a2＋b 2＝3，也即4a 2＋b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝19(4a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝19⎝⎛⎭⎪⎫5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥19×(5＋4)＝1，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，即b 2＝2a 2时等号成立．答案 113．已知集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2，r ＞0}，若点(x ，y )∈A 是点(x ，y )∈B 的必要条件，则r 的最大值是________． 解析 由题意得B ⊆A ，所以r 的最大值即为原点到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22. 答案 22二、解答题(每小题15分，共45分)14．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程． 解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.15．求过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．解析 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0代入①得x 1＝－15、x 2＝－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25、(－1，－2)．过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25、(－1，－2)为端点的线段为直径的圆，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45. 16．如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相交于点(0,1)且被x 轴分成的两段圆弧长之比为1∶2，过点H (0，t )的直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)当t ＝1时，求出直线l 的方程； (3)求直线OM 的斜率k 的取值范围．解析 (1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)， 所以圆心C 在直线y ＝1上． 设圆C 与x 轴的交点分别为A 、B .由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3. 所以CA ＝CB ＝2.圆心C 的坐标为(－2,1)，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1.由⎩⎨⎧y ＝mx ＋1，x ＋2＋y －2＝4，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4m 2＋1，y ＝m 2－4m ＋1m 2＋1.不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)． 因为以MN 为直径的圆恰好经过O (0,0)，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1)＝m 2－4m ＋1m 2＋1＝0，解得m ＝2± 3.所以所求直线l 方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1. (3)设直线MO 的方程为y ＝kx . 由题意，知|－2k －1|1＋k2≤2，解得k ≤34.同理，得－1k ≤34，解得k ≤－43或k ＞0.由(2)知，k ＝0也满足题意．所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.17．如图所示，某粮食储备库占地呈圆域形状，它的斜对面有一条公路，从储备库中心A 向正东方向走1 k m 是储备库边界上的点B ，接着向正东方向走2 k m 到达公路上的点C ；从A 向正北方向走2.8 k m 到达公路上的另一点D .现准备在储备库的边界上选一点E ，修建一条由E 通往公路CD 的专用线路EF ，要求造价最低，用坐标法回答：点E 应该选在何处？解析 如图所示，分别以直线AC 、AD 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系， 作圆A 的切线GH ，使GH ∥CD ，这时切点就是E 点的位置(另一条切线不在考虑之列)，连接AE ，A 、E 、F 三点共线，AF ⊥CD ，由已知，CD 的斜率为－2.83＝－1415，∴AF 的斜率为1514，AF 的方程为y ＝1514x ，圆A 的方程为x 2＋y 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝1514x x 2＋y 2＝1解得E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14421421，15421421.∴E 点选在坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14421421，15421421的点，造价最低． 18．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A (3,0)，且与圆O 相切． (1)求直线l 1的方程；(2)设圆O 交x 轴于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′，求证：以线段P ′Q ′为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标．解析 (1)由题意，可设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0， 则由d ＝|－3k |k 2＋1＝1，解得k ＝±24，所以直线l 1的方程为y ＝±24(x －3)． (2)证明 由题意，P (－1,0)，Q (1,0)，直线l 2的方程为x ＝3. 设M (s ，t )(s ≠±1)，则直线PM 的方程为y ＝t s ＋1(x ＋1)，于是由⎩⎨⎧x ＝3，y ＝ts ＋1x ＋1，得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3，4t s ＋1，同理可得Q ′⎝⎛⎭⎪⎫3，2t s －1. 所以，以线段P ′Q ′为直径的圆C 的方程为(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －4t s ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t s －1＝0， 又s 2＋t 2＝1，整理，得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2ty ＝0.若圆C 过定点，则只需令y ＝0，得x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±2 2.。
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相似三角形的判定及性质
如图所示，已知在△ABC
思维启迪 解析 探究提高
中，∠ BAC ＝90° AD BC E， 是 证明 ∵∠ BAC ＝， 90° ，⊥ AD ⊥， BC
由于出现的结果有限，每次每
AC 的中点， ED 交 AB 的延长线于 ∴∠ ADB＝∠ ADC ＝ ∠BAC ＝90° ， 颗只能有四种结果，且每种结 AB DF F，求证： ＝， . 2＋∠ACB＝90° ∴∠ 1＋∠2＝ 90° ∠ ， AC AF 果出现的可能性是相等的，所 AB BD ∴∠1＝∠ACB，∴△ABD∽△CAD，∴ 以是古典概型．由于试验次数 AC＝AD. 又∵E 是 AC 的中点，∴DE＝EC，∴∠3＝∠ACB. 少，故可将结果一一列出． 又∵∠3＝∠4，∠1＝∠ACB，∴∠1＝∠4，
难点正本 疑点清源
3.与圆有关的等角问题
找角相等，要有找同弧或等 弧所对的圆周角，并注意结 合应用弦切角定理的意识．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
a 2 16 9
1∶ 3
解析
6 6 4 3
题型分类 思想方法 练出高分
基础知识
题型分类·深度剖析
难点正本 疑点清源
3.与圆有关的等角问题
找角相等，要有找同弧或等 弧所对的圆周角，并注意结 合应用弦切角定理的意识．
基础知识
题型分类
思ห้องสมุดไป่ตู้方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
(9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理 (ⅰ)如果四边形的对角 互补 ，则此四边形 内接于圆； (ⅱ)如果四边形的一个外角 等于 它的内角 的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆. ②圆内接四边形性质定理 (ⅰ)圆内接四边形的对角 互补 ； (ⅱ)圆内接四边形的外角 等于 它的内角的 对角．
斜边上的高的平方等于 两条直角边在
斜边上的射影的乘积
.
4．圆中有关的定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所 对弧的度数的 一半 ． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于
它所对弧
的度数．
题型分类 思想方法 练出高分
基础知识
基础知识·自主学习
要点梳理
(3)切线的判定与性质定理 ①切线的判定定理 过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆 的切线． ②切线的性质定理 圆的切线 垂直 于经过切点的半径． (4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长
1.抓住判定两个三角形相 似的常规思路
(1)先找两对对应角相等； (2)若只能找到一对对应角 相等，则判断相等的角的 两夹边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判 断三边是否对应成比例， 否则考虑平行线分线段成 比例定理及相似三角形的 “传递性”．
题型分类 思想方法
基础知识
练出高分
基础知识·自主学习
(1)先找两对对应角相等； (2)若只能找到一对对应角 相等，则判断相等的角的 两夹边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判 断三边是否对应成比例， 否则考虑平行线分线段成 比例定理及相似三角形的 “传递性”．
思想方法
相似比．
②相似三角形周长的比等于 相似比． ③相似三角形面积的比等于 相似比的
相等 ．
难点正本 疑点清源 2.借助图形判断三角形相 似的方法
(1)有平行线的可围绕平行 线找相似； (2)有公共角或相等角的可 围绕角做文章，再找其他相 等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋 转，观察其特征，找出相等 的角或成比例的对应边．
(5)弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的度数的
要点梳理
2．相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应 相等 的两个三角形 相似 ； ②两边对应成比例且夹角 相等 的两个三 角形 相似 ； ③三边对应成比例 的两个三角形相似 . (2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形的对应线段的比等于
难点正本 疑点清源
1.抓住判定两个三角形相 似的常规思路
一半 . 基础知识 题型分类
思想方法
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基础知识·自主学习
要点梳理
(6)相交弦定理 圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两 条线段长的积 相等 ． (7)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积 相等 . (8)切割线定理 从圆外一点引圆的一条割线与一条切线， 切线长是这点到割线与圆的两个交点的线 段长的 等比中项 ．
数学
苏（理）
§14.1 几何证明选讲
第十四章 系列4选讲
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1．平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组 平行线 在一条直线上截得的 线段 相等 ,那么在任一条(与这组平行 线相交的)直线上截得的线段也 相等 . (2)平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交，它们被 这组平行线截得的对应线段成 比例 .
题型一
【例 1】
相似三角形的判定及性质
如图所示，已知在△ABC
思维启迪 解析 探究提高
中，∠BAC＝90° ，AD⊥BC，E 是 AC 的中点，ED 交 AB 的延长线于 AB DF F，求证：AC＝AF .
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
相似三角形的判定及性质
如图所示，已知在△ABC
平方 .
基础知识 题型分类 练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
3．直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于
该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积 ,
难点正本 疑点清源 2.借助图形判断三角形相 似的方法
(1)有平行线的可围绕平行线 找相似； (2)有公共角或相等角的可围 绕角做文章，再找其他相等 的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋 转，观察其特征，找出相等 的角或成比例的对应边．
又有∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA， BD DF AB DF ∴AD＝ AF，∴AC＝AF .
思维启迪 解析 探究提高
中，∠BAC＝90° ，AD⊥BC，E 是 先证明△ABD∽△CAD，再证明 BD 利用AD过渡可 AC 的中点，ED 交 AB 的延长线于 △FBD∽△FDA， AB DF F，求证：AC＝AF . 证结论．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】