U0056,2012届华师一附中高一下学期课外综合训练题(十四)---空间直线,平面之间的位置关系--答案

高一课外综合训练题（十四）1. 四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。

已知∠ABC ＝45°， AB ＝2，BC=SA ＝SB(Ⅰ) 证明：SA ⊥BC ；(Ⅱ) 求直线SD 与平面SAB 所成角的大小；解： （Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面 SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC = ∠，故A O B △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO =1SO =，SD =SAB △的面积112S AB ==DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == . 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =，解得h = 设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===．所以，直线SD 与平面SBC 所成的角为arcsin11． 2. 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。

（Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ； （Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面A 1BD 的距离； 解：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，A OBC ∴⊥． 正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，OD ，分别为1BC CC ，的中点，1B O BD ∴⊥，1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥ 于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．ODBCASABC D1A 1C 1BOF在1AA D △中，可求得5AF =，又112AG AB ==，sin AG AFG AF ∴===∠ 所以二面角1A A D B --的大小为． （Ⅲ）1A BD △中，111A BD BD A D A B S ===∴=△1BCD S =△．在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B设点C 到平面1A BD 的距离为d ．由11A BCD C A BD V V --=得11133BCD A BD S S d = △△，12BCD A BD d S ∴==△△．∴点C 到平面1A BD的距离为2． 3．如图，在三棱锥V -ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC =BC =a ，∠VDC =θ⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ。

（Ⅰ）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围； 解：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的 中点，CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ． （Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ．连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角．在CHD Rt △中，sin CH θ=；设CBH ϕ∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ϕ=sin sin 2θϕ=．π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．4. 如图1，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将GAB △，GCD △分别沿A B C D ，翻折成1G A B △，2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD <．连结2BG ，如图2．A E BGDFCAEBCFDG 1G 2图1 图2（I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；（II ）当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角； 解：（Ｉ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB 平面ABCD AB =,AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面1G AB ，又AD ⊂平面12G ADG ，所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ． （II ）过点B 作1BH AG ⊥于点H ，连结2G H ．由（I ）的结论可知，BH ⊥平面12G ADG ，所以2BG H∠是2BG 和平面12G ADG 所成的角．因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB 平面ABCD AB =，1G E AB ⊥，1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，故1G E EF ⊥．因为12G G AD <，AD EF =，所以可在EF 上取一点O ，使12EO G G =，又因为12G G AD EO ∥∥，所以四边形12G EOG 是矩形．由题设12AB =，25BC =，8EG =，则17GF =．所以218G O G E ==，217G F =，15OF =，1210G G EO ==．因为AD ⊥平面1G AB ，12G G AD ∥，所以12G G ⊥平面1G AB ，从而121G G G B ⊥．故222222221126810200BG BE EG GG =++=++=，2BG =110AG ==，由11BH AG G E AB = 得81248105BH ⨯==．故22481s i n 5BH BG H BG ∠===即直线2BG 与平面12G ADG所成的角是． 5. 如图是一个直三棱柱（以A 1B 1C 1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知A 1B 1＝B 1C 1＝l ，∠A l B l C 1＝90°，AA l ＝4，BB l ＝2，CC l ＝3。

（I ）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面A 1B 1C 1；（II ）求二面角B —AC —A 1的大小； （Ⅲ）求此几何体的体积；解：（1）作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点，所以1111()32OD AA BB CC =+==．则1ODC C 是平行四边形，因此 有1OC C D ∥．1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ． （2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，AA 12A 2则BH ⊥平面1AC．又因为AB =BC =222AC AB BC AC =⇒=+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为2BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH = ∠，即：所求二面角的大小为30 ． （3）因为2BH =，所以22221111(12)33222B AAC C AA C C V S BH -==+= ． 1112211111212A B C A BC A B C V S BB -=== △．所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=．6. 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值． 证：（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且SO =，从而222OA SO SA +-．所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．又AO BO O = ． 所以SO ⊥平面ABC ．（Ⅱ）取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO O C S A A C ==，，得O M S C A M S C ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥= ，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥，又AM SA =，故sin AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为3． 7. 如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中,//AD BC , ,90︒=∠ABC 平面⊥PA ABC ，32,2,4===AB AD PA ,BC =6。

(Ⅰ)求证：BD PAC ⊥平面； (Ⅱ)求二面角D BD P --的大小； 解：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ．BD PA ∴⊥．又tan AD ABD AB ==tan BC BAC AB == 30ABD ∴= ∠，60BAC = ∠，90AEB ∴= ∠，即B D A C ⊥．又P A A C A = ．BD ∴⊥平面PAC ．（Ⅱ）过E 作EF PC ⊥，垂足为F ，连接DF ．DE ⊥平面PAC ，EF 是DF 在平面PAC 上的射影，由三垂线定理知PC DF ⊥，EFD ∴∠为二面角A PC D --的平面角．AEDPCF又9030DAC BAC =-=∠∠，sin 1DE AD DAC ∴==，sin AE AB ABE =，又AC =EC ∴=8PC =．由Rt Rt EFC PAC △∽△得PA EC EF PC ==． 在Rt EFD △中，tan 9DE EFD EF ==，arctan 9EFD ∴=∠．∴二面角A PC D --的大小为arctan9． 8．四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1， ∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角B AC M --的大小； （Ⅲ）求三棱锥MAC P -的体积；解：（Ⅰ）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥= ,PC ABC ⊥平面, 又∵PC PAC ⊂平面,∴PAC ABC ⊥平面平面.（Ⅱ）取BC 的中点N ，则1CN =，连结,AN MN ，∵//PM CN =，∴//MN PC =，从而MN ABC ⊥平面,作NH AC ⊥，交AC 的延长线于H ，连结MH ，则由三垂线定理知，AC NH ⊥，从而MHN ∠为二面角M AC B --的平面角,直线AM 与直线PC 所成的角为060,∴060AMN ∠=.在ACN ∆中，由余弦定理得AN在AMN ∆中，cot 1MN AN AMN =⋅∠==； 在CNH ∆中，sin 1NH CN NCH =⋅∠==在MNH ∆中，t an MN MN MHN NH=∠===，故二面角M AC B --的平面角大小为（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN 为正方形，∴011sin1203212P MAC A PCM A MNC M ACN V V V V AC CN MN ----====⨯⋅⋅⋅=9．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==,E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥； （Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ； （Ⅲ）求二面角A PD C --的大小. 解：（Ⅰ）在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥= ，∵，CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =．E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C = ，所以AE ⊥平面P C D ．而PD ⊂平面P C D ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴．又AB AE A = ∵，综上得PD ⊥平面ABE ． （Ⅲ）过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥．因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角．由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，可得332PA a AD a PD a AE a ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AMPD PA AD =∴··，a PA AD AM a PD ===··． 在AEM Rt △中，sin AEAME AM ==A PD C --的大小是． 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角．由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，可得132PA a AD PD CF a FD =====，，，，．FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD=∴．于是，3a FD PA FM PD ===··．在CMF Rt △中，1tan a CF CMF FM ===所以二面角A PD C --的大小是AB CD PE ABCDPEFMABCDPEM10. 在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点。