2018届北师大版(文) 推理与证明 单元测试
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知ABC 的边长分别为a 、b 、c ，ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则2=++Sr a b c ，类比这一结论可知：若三棱锥A BCD -的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球半径为R ，三棱锥A BCD -的体积为V ，则R =（ ）A ．1234+++VS S S SB ．12342+++VS S S SC ．12343+++VS S S SD ．12344+++VS S S S2．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789+107+++++=，，可以得出的一般结论是（ ）A ．()()()21232n n n n n ++++++-=B ．()()()21231n n n n n ++++++-=C ．()()()()2123221n n n n n ++++++-=- D ．()()()()2123121n n n n n ++++++-=-3．天干地支纪年法源于中国，包含十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，……依此类推．已知一个“甲子”为60年，即天干地支纪年法的一个周期，1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80周年时，即2029年为（ ） A ．己申年B ．己酉年C ．庚酉年D ．庚申年4．如图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以为（ ）A ．21n a n =-B ．21nn a =- C ．3nn a =D ．13-=n n a5．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则57S ＝（ ）A ．265B ．521C ．1034D ．20596．三角形的面积为1()2S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．1()3V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）7．在ABC △中，若AC BC ⊥，AC b =，BC a =，则ABC △的外接圆半径222a b r +=，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA 、SB 、SC 两两互相垂直，SA a =，SB b =，SC c =，则四面体S ABC -的外接球半径R =（ ）A ．2222a b c ++B ．2223a b c ++C 3333a b c ++D 3abc 8．0x y =，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为09．将正整数排列如下：则图中数2020出现在（ ） A ．第64行第3列B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列10．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有=⨯大吕黄钟太簇()23⨯大吕黄钟夹钟()23⨯太簇黄钟夹钟数列{}n a 中，k a =（ ）A ．11n k n n a a --+⋅B ．11n k n n a a --+⋅C ．111n k k n a a ---⋅D ．111k n k n a a ---⋅11．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4号或5号选手得第一名；观众丁猜测：3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．现有A B C D 、、、四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个教师办公室时，A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室；D 说：我去过丙办公室，我还和B 去过同一个办公室.由此可判断B 去过的教师办公室为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定 二、填空题13．从22211,2343,345675,=++=++++=中，可猜想第n 个等式为__________.14．若数列{}n a 是等差数列，则数列()*1n n mn a a b m N m++++=∈也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{}n c 是等比数列，则数列n d = _________也是等比数列. 15．甲、乙、丙三名运动员，其中一名是足球运动员，一名是兵乓球运动员，一名是羽毛球运动员，已知丙的身高比羽毛球运动员高，甲与乒乓球运动员身高不同，乒乓球运动员比乙身高低，据此推断足球运动员是__ 16．把数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：111351111791113111115172729⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第k 行有12k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(),A t s ，则()11,4A =________. 17．观察下列数表：如此继续下去，则此表最后一行的数为_______（用数字作答）.18．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如123451,2,2,4,2,S S S S S =====⋯⋯，则33S =____________① ②19．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲团队获得一等奖”； 小王说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小李说：“丁团队获得一等奖”；小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是___．20．语文中有回文句，如：“上海自来水来自海上”，倒过来读完全一样。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11+11+1+...中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=，求得x ==（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-2．下列推理过程不是演绎推理的是（ ）①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除； ②由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为棱长的立方； ③在数列{}n a 中，()111,312n n a a a n -==-≥，由此归纳出{}n a 的通项公式； ④由“三角形内角和为180︒”得到结论:直角三角形内角和为180︒. A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④3．某扶贫调研团根据要求从甲、乙、丙、丁、戊五个镇选择调研地点：①若去甲镇，则必须去乙镇；②丁、戊两镇至少去一镇；③乙、丙两镇只去一镇；④丙、丁两镇都去或都不去；⑤若去戊镇，则甲、丁两镇也必须去.该调研团至多去了（ ） A ．丙、丁两镇B ．甲、乙两镇C ．乙、丁两镇D ．甲、丙两镇4．三角形的面积为1()2S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．1()3V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）5．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ） A ．62B ．63C ．64D ．656．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13787．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．12n n n nn n c c c d n++⋯+=D ．12n n n d c c c =⋅⋅⋯⋅8．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证23b ac a -<”索的因应是（ ）A ．0a b ->B ．0a c ->C ．()>0)(a b a c --D ．()<0)(a b a c --9．观察下列各式：553125=，6515625=，7578125=，…，则20195的末四位数字为（ ） A ．3125B ．5625C ．0625D ．812510．已知正三角形ABC 的边长是a ，若D 是ABC 内任意一点，那么D 到三角形三边的距离之和是定值32a .若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于a 的正四面体ABCD 中，若O 是正四面体内任意一点，那么O 到正四面体各面的距离之和等于（ ）A 3B 6C 6aD 3 11．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年B ．乙巳年C ．丙午年D ．丁未年12．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法预测二、填空题13．已知函数2()42(0)f x x x x =++≥，若1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，*n N ∈，则2020()f x 在[0,1]上的最大值为____________．14．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”则乙的卡片上的数字是______.15．将正偶数按下表排列成5列，每行有4个偶数的蛇形数列（规律如表中所示），则数字2018所在的行数与列数分别是_______________.16．已知直线l 与圆222x y r +=交于A 、B 两点，P 线段AB 的中点，则1AB OP k k ⋅=-.试用类比思想，对椭圆写出结论：______. 17．观察下列等式：11=，3211=123+=，332123+=1236++=，33321236++=……可以推测3333123n +++⋅⋅⋅+=____（*n N ∈，用含有n 的代数式表示）． 18．给出下列等式：222233311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ 由以上等式可推出一个一般结论：对于*n N ∈，()2314121++=12223212n n n n +⨯⨯+⨯⨯⨯+__________________．19．某种型号的机器人组装由,,,A B C D 四道工序，完成它们需要的时间依次为5,3,3x ，小时，已知完成这四道工序先后顺序及相互关系是：①,A B 可以同时开工；②只有在B 完成后C 才能开工；③只有在,A C 都完成后D 才能开工.若完成该型号的机器人组装总时间为9小时，则完成工序B 需要的时间的最大值为__________． 20．在“数学发展史”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测: 甲说:我的成绩比乙高; 乙说:丙的成绩比我和甲的都高; 丙说:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人中预测正确的是________.三、解答题21．（1）设a ，b ，()0,1c ∈，用反证法求证：下列三个关于x 的方程210ax x b ++-=，210bx x c ++-=，210cx x a ++-=中至少有一个有实数根. （2）已知0b a >>，且01ab <≤，用分析法求证：3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b . 22．（1）求证：cot tan 2cot 2ααα=+（2）请利用（1）的结论证明：cot tan 2tan24cot 4αααα=++（3）请你把（2）的结论推到更一般的情形，使之成为推广后的特例，并加以证明： （4）化简：tan52tan104tan208tan50︒+︒+︒+︒. 23．已知i 为虚数单位，观察下列各等式：()()cos1sin1cos2sin 2cos3sin3i i i ++=+； ()()cos3sin3cos4sin 4cos7sin7i i i ++=+；()()cos5sin5cos6sin6cos11sin11i i i ++=+；()()cos7sin7cos8sin8cos15sin15i i i ++=+． 记()cos sin ,f i R αααα=+∈．（1）根据以上规律，试猜想()()(),,f f f αβαβ+成立的等式，并加以证明；（2）计算6122i ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭． 24．已知函数()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠），（1）若()()()()()1221f g f g g k ⋅+⋅=，求实数k 的值；（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想． 25．（1）已知正数,a b 满足2a b ab +≤，求证：29a b +≥；（2）求证：1，3不可能是一个等差数列中的三项. 26．求证：一个三角形中，最大的角不小于60o..【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据类比，列方程求解结果. 【详解】2x x =∴=，选A. 【点睛】本题考查利用类比方法列方程求解数学问题，考查基本分析求解能力，属基础题.2．C解析：C 【解析】分析：①，④具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理，②选项属于类比推理；③选项属于归纳推理；只有①④符合题意.详解：①，④，具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理；②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方形的体积为棱长的立方，属于类比推理；③在数列{}n a 中，()111,312n n aa a n -==-≥，由此归纳出{}n a 的通项公式，属于归纳推理，即不是演绎推理的是②③，故选C.点睛：本题主要考查归纳推理、类比推理、演绎推理的定义与性质，属于简单题. 归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，根据三种推理的定义可知，归纳推理与类比推理都是合情推理，不等当作结论与定理应用，如果应用必须加以证明.3．A解析：A【分析】根据条件假设去甲镇，则可找到矛盾，排除两个答案，再假设不去甲镇，去乙镇同样可得到矛盾，进而可得到答案【详解】解：假设去甲镇，则必去乙镇，但去乙镇则不能去丙镇，不去丙镇则也不能去丁镇，不去丁镇则也不能去戊镇，而丁、戊都不去则不符合条件．矛盾，则可淘汰选项B、D，若不去甲镇去乙镇，同样无法完成参观；故甲、乙两镇都不能去，则一定不能去戊镇，∴能去的地方只有丙、丁两镇．故选：A．【点睛】本题考查学生合情推理的能力，也运用假设法是关键，属于中档题，4．D解析：D【分析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据体积公式得到答案.【详解】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，∴V13=（S1+S2+S3+S4）r.故选：D．【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.5．B解析：B【分析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n组最后一个数是2+3+4+…..+n+1=()32n n+，然后再验证求解.【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2，第二组最后一个数是5=2+3，第三组最后一个数是9=2+3+4，……，依此，第n组最后一个数是2+3+4+…..+n+1=()32n n+.当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】记三角形数构成的数列为{}n a ，计算可得()12n n n a +=；易知2n b n =．据此确定复合题意的选项即可. 【详解】记三角形数构成的数列为{}n a ，则11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++，…， 易得通项公式为()11232n n n a n +=++++=；同理可得正方形数构成的数列{}n b 的通项公式为2n b n =．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有249501225352⨯==． 故选C ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．D解析：D 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】 解：数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ， 则()112121111n n nn n c c c c c q c q c q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．8．C解析：C 【分析】根据分析法的步骤以及不等式的性质求解即可. 【详解】由a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0得b ＝－a －c ，a >0，c <0.< 只要证22()3a c ac a ---< 即证2220a ac a c -+-> 即证()()()0a a c a c a c -++-> 即证()()0a a c b a c ---> 即证()()0a c a b -->故求证”索的因应是()()0a c a b -->. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了分析法，属于中档题.9．D解析：D 【解析】 【分析】先求895,5，寻找周期性规律，结合周期可求. 【详解】895390625,51953125,==可以看出后四位呈周期出现，且周期为4，201950443=⨯+，所以20195的末四位数字为8125，故选D. 【点睛】本题主要考查归纳推理，一般是利用所给项的特点推测目标项的特点,注意规律的总结.10．B解析：B 【分析】将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和，计算得到答案. 【详解】棱长都等于a 的正四面体ABCD ：每个面面积为：221sin 23S a π==正四面体的高为：3a体积为：23134312V a a a =⨯⨯= 正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和32123412341()12343V a a h h h h h h h h ==⨯+++⇒+++= 故答案选B 【点睛】本题考查了体积的计算，将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和是解题的关键.11．C解析：C 【分析】按照题中规则依次从2019年列举到2026年，可得出答案． 【详解】根据规则，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故选C ． 【点睛】本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题．12．A解析：A 【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次． 【详解】若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名．因此，第三名是甲，故选A ． 【点睛】本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题．二、填空题13．【分析】先求出且再求出且且依次类推即得解【详解】由题得函数在单调递增且所以在单调递增且所以且同理且同理且依次类推且故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质复合函数的单调性和函数最值的求法考 解析：2020232-【分析】先求出21max [()]32f x =-，且1()0f x >，再求出222max [()]32f x =-，且2()0f x >，323max [()]32f x =-，且3()0f x >，依次类推即得解.【详解】由题得函数2()42f x x x =++在[0,)+∞单调递增，且()0f x >，所以1()f x 在[0,1]单调递增，且1()0f x >，所以21max [()]142732f x =++==-，且1()0f x >，同理222max 1max [()][(())](7)7932f x f f x f ====-，且2()0f x >， 同理323max 2max [()][(())](79)32f x f f x f ===-，且3()0f x >， 依次类推，202022020max 2019max [()][(())]32f x f f x ==-，且2020()0f x >.故答案为：2020232-.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、复合函数的单调性和函数最值的求法，考查归纳推理能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．2和3【分析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3乙的卡片上的数字为2和3丙的卡片上的数字为1和2【详解】由题意可知丙不拿2和3若丙拿1和2则乙拿2和3甲拿1和3满足题意；若丙拿1和3则乙拿2和3解析：2和3 【分析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2． 【详解】由题意可知丙不拿2和3．若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意； 若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意． 故乙的卡片上的数字是2和3．故答案为：2和3 【点睛】本题主要考查推理，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．15．行列【分析】设位于第行第列观察表格中数据的规律可得出由此可求出的值再观察奇数行和偶数行最小数的排列可得出的值由此可得出结果【详解】设位于第行第列由表格中的数据可知第行最大的数为则解得由于第行最大的数解析：253行2列 【分析】设2018位于第m 行第n 列，观察表格中数据的规律，可得出()8120188m m -<≤，由此可求出m 的值，再观察奇数行和偶数行最小数的排列，可得出n 的值，由此可得出结果. 【详解】设2018位于第m 行第n 列(),,15m n N n *∈≤≤，由表格中的数据可知，第()k k N *∈行最大的数为8k ，则()8120188m m -<≤，解得253m =，由于第252行最大的数为25282016⨯=，所以，2018是表格中第253行最小的数， 由表格中的规律可知，奇数行最小的数放在第2列，那么2n =. 因此，2018位于表格中第253行第2列. 故答案为：253行2列. 【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键就是要结合表格中数据所呈现的规律来进行推理，考查推理能力，属于中等题.16．若椭圆与直线交于两点是线段中点则【分析】由题意可知椭圆与直线交于两点是线段中点再根据点差法求解写出结论即可【详解】由类比思想可知椭圆与直线交于两点是线段中点设点中点则即将两点代入椭圆中上下两式相减得解析：若椭圆22221x y a b +=与直线l 交于A 、B 两点，P 是线段AB 中点，则22AB OPb k k a=-【分析】由题意可知，椭圆22221x y a b+=与直线l 交于A 、B 两点，P 是线段AB 中点，再根据点差法，求解22AB OP b k k a=-.写出结论即可.【详解】由类比思想，可知椭圆22221x y a b+=与直线l 交于A 、B 两点，P 是线段AB 中点.设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12()x x ≠，中点00(,)P x y 则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即000000OP y y k x x -==- 将11(,)A x y ，22(,)B x y 两点代入椭圆22221x y a b +=中，22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上下两式相减得 22221212220x x y y a b--+=，即1212121222()()()()y y y y x x x x b a -+-+=- 所以22201212222121201···ABOPx y y x x b b b k x x a y y a y a k -+==-=-=--+ 即22AB OPb k k a=-故答案为：若椭圆22221x y a b +=与直线l 交于A 、B 两点，P 是线段AB 中点，则22AB OP b k k a=-.【点睛】本题考查类比推理，以及中点弦问题，属于中档题.17．或或【解析】【分析】观察找到规律由等差数列求和可得【详解】由观察找到规律可得：故可得解【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和属于中档题解析：()212n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦或()2214n n +或()2123n +++⋅⋅⋅+ 【解析】 【分析】观察找到规律由等差数列求和可得. 【详解】由观察找到规律可得：()223333(1)123123,2n n n n +⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦故可得解. 【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和，属于中档题.18．【分析】由已知中的三个式子我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势可以归纳出其通项为分析等式右边的式子发现每一个式了均为两项差的形式且被减数均为1减数为由此即可得到结论【详解】由已知中的等式：…由以上 解析：11(1)2nn -+【分析】由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为()2112n n n n +⨯+，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为()112n n +，由此即可得到结论．【详解】由已知中的等式：222233311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯…由以上等式我们可以推出一个一般结论：对于()()*2314121111222321212n n n n N n n n +∈⨯+⨯+⋯+⨯=-⨯⨯++， ．故答案为()1112n n -+．【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．19．3【解析】分析：这是一个简单的合情推理问题我们可以根据四道工序的先后顺序及相互关系计算出完成整个工序需要的最少工作时间再结合该工程总时数为9小时构造方程易得到完成工序需要的天数的最大值详解：因为完成解析：3 【解析】分析：这是一个简单的合情推理问题，我们可以根据四道工序的先后顺序及相互关系，计算出完成整个工序需要的最少工作时间，再结合该工程总时数为9小时构造方程，易得到完成工序B 需要的天数x 的最大值． 详解：因为B 完成后，C 才可以开工，C 完成后，D 才可以开工，完成B C D 、、需用时间依次为,3,3x 小时， 且A ，B 可以同时开工， 该工程总时数为9小时， 则339max x ++= ， 所以3max x ：= ，点睛：本题考查的知识要点：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果，属于基础题型．20．甲【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙丙两人的预测入手因为只有一个人预测正确而乙对则丙必对丙对乙很有可能对假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙丙错误即可求得答案【详解】由题意可把解析：甲. 【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误,即可求得答案. 【详解】由题意,可把三人的预测简写如下: 甲:甲>乙. 乙:丙>乙且丙>甲. 丙:丙>乙.只有一个人预测正确,∴分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确.如果乙预测正确,则丙预测正确,不符合题意. 如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确, 则有丙>乙,乙>甲,乙预测不正确,而丙>乙正确, 只有丙>甲不正确,∴甲>丙,这与丙>乙,乙>甲矛盾,不符合题意. ∴只有甲预测正确,乙、丙预测不正确,甲>乙,乙>丙. ∴三人中预测正确的是:甲.故答案为:甲. 【点睛】本题主要考查了合情推理,解题关键是掌握合情推理解题方法和结合实际情况具体分析问题,考查了分析能力和推理能力,属于难题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）假设这三个方程都没有实根，由三个判别式均小于0推导出矛盾的结论． （2）利用不等式的性质，根据所要证的不等式寻找使它成立的充分条件． 【详解】证明：（1）假设这三个方程都没有实根，则()()()123141014101410a b b c c a ⎧∆=--<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩，即()()()114114114a b b c c a ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪->⎪⎩，三式相乘并整理，得()()()111164a ab bc c --->⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，① 因为01a <<，所以()211110,244a a a ⎛⎫⎛⎤-=--+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 同理()110,4b b ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，()110,4c c ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，所以()()()111164a ab bc c ---≤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，② 显然②与①矛盾，所以假设不成立，从而原结论成立. （2）因为0b a >>，所以110->a b， 要证3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b ，只需证2211111113⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++≥- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b a ab b a b ， 只需证221113++≥a ab b， 因为01ab <≤，所以221112133++≥+=≥a ab b ab ab ab，即上式成立， 则可得证3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b . 【点睛】关键点点睛：本题考查反证法和分析法．它们都是一种间接证明方法，在一个命题不容易证明，可以从它的反面入手，假设它的反面成立，并把假设作为条件进行推理，可能推导出与已知条件、已知定义、定理、公理矛盾的结论，也可能推导出相互矛盾的结论，从而说明假设是错误的，，肯定原命题成立，这就是反证法．分析法是从结论出发寻找结论成立的充分条件，称为执果索因．最后找到一个明显正确的条件，从而说明命题是正确的． 22．（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）2211*cot tan 2tan 22tan 22tan 22cot 2,n n n n n N αααααα--=+++++∈，证明见解析（4）cot 5【分析】（1）右边余切化正切后，利用二倍角的正切公式变形可证；（2）将（1）的结果变形为tan cot 2cot 2ααα=-，然后将所证等式的右边的正切化为余切即可得证；（3）根据（1）（2）的规律可得结果； （4）由（3）的结果可得. 【详解】（1）证明：因为2tan 2cot 2tan tan 2αααα+=+21tan tan 22tan ααα-=+⨯1tan tan tan ααα=+- cot α=，所以cot tan 2cot 2ααα=+ （2）因为cot tan 2cot 2ααα=+，所以tan 2tan 24cot 4ααα++cot 2cot 2αα=-+2(cot 22cot 4)4cot 4)ααα-+cot α=，所以cot tan 2tan24cot 4αααα=++ （3）一般地：2211*cot tan 2tan 22tan 22tan 22cot 2,n n n n n N αααααα--=+++++∈，证明：因为cot tan 2cot 2,ααα=+cot 2tan 22cot 4,ααα=+所以22cot tan 2tan 24cot 4tan 2tan 22cot 2ααααααα=++=++， 以此类推得2211*cot tan 2tan 22tan 22tan 22cot 2,n n n n n N αααααα--=+++++∈（4）tan52tan104tan208tan50︒+︒+︒+︒2233tan 52tan(25)2tan(25)2cot(25)=+⨯+⨯+⨯ cot 5=.【点睛】本题考查了归纳推理，考查了同角公式，考查了二倍角的正切公式，属于中档题. 23．(1) 猜想()()()f f f αβαβ=+，证明见解析；(2)-1【分析】 （1）将()(),f f αβ和()f αβ+之间的关系进行验证，总结出规律，即为猜想，作出证明即可；（2）利用（1）推出的结论，代入求解，即可得到答案． 【详解】（1）猜想()()()ff f αβαβ=+，证明：()()()()cos sin cos sin f f i i αβααββ=++ ()()cos cos sin sin sin cos cos sin i αβαβαβαβ=-++()()()cos sin i f αβαβαβ=+++=+；（2）因为()()()f f f αβαβ=+，所以()()()()()cosn isinn nff f f f n ααααααα===+，∴661cos sin 2266i i ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1i ππ=+=-． 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中根据题设中各式子的结构，合理归纳是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．24．（1）3k =（2）猜想：()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅；证明见解析 【分析】（1）分别代入并化简，可得()()()()()12213f g f g g ⋅+⋅=，即可求出答案；（2）猜想：()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅；分别代入表达式，化简并整理即可证明. 【详解】解：（1）122221(1)(2)(2)(1)2222a a a a a a a a f g f g ----+-+-⋅+⋅=⨯+⨯31331333(3)442a a a a a a a a a a g ------+--+--=+==.因为函数12x y a =与12x y a -=-具有相同的单调性，且都是单调函数，所以()g x 是单调函数.3k ∴=.（2）由(3)(12)=(1)(2)(2)(1)g g f g f g +⋅+⋅=， 猜想：()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅.证明: ()()()()2222x x y y y y x xa a a a a a a a f x g y f y g x ----+-+-⋅+⋅=⨯+⨯()()44x y y x x y x y x y y x x y x y a a a a a a a a +---++---++---+-=+()()2x y x y a a g x y +-+-==+.所以()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅.【点睛】本题考查了归纳推理，考查了学生的推理能力，属于中档题.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）用a 表示出b ，利用基本不等式得出最小值.（2）使用反证法，假设1，，3是一个公差为d 的等差数列的三项，导出矛盾即可证明. 试题（1）∵2a b ab +≤，∴()12a b a -≥，∵,0a b >，∴1a >， ∴21a b a ≥-，∴44215911a ab a a a a +≥+=-++≥--； （2）1,31rd sd =+=+（,r s 为非零整数），r s=， 而上式左边为无理数，右边为有理数，矛盾. 所以假设错误，原命题成立. 26．见解析． 【解析】试题分析：利用反证法证明命题. 试题证明：假设ABC ∆的三个内角中最大的角小于60°，即60,60,60A B C <︒<︒<︒， 则606060180A B C ++<︒+︒+︒=︒，这与三角形内角和为180°矛盾， 所以假设错误，原命题成立．。
2018_2019学年高中数学阶段质量检测(三)推理与证明(含解析)北师大版选修1_2
阶段质量检测（三）推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．演绎推理答案：B2．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是( )A．a n＝2n B．a n＝2n＋1C．a n＝2n－1 D．a n＝2n＋1答案：B3．在△ABC中，sin A sin C<cos A cos C，则△ABC一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选C 由sin A sin C<cos A cos C，可得cos(A＋C)>0，即cos B<0，所以B为钝角．4．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由菱形的性质，推出正方形的性质；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：选C 合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．5．用反证法证明：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至少有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数解析：选B “a ，b ，c 中至少有一个偶数”的否定应为“a ，b ，c 中至多有0个偶数”，即“a ，b ，c 都不是偶数”．6．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值一定( )A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．正负都有可能 解析：选A 因f (x )＝x 3＋x 是增函数且是奇函数，由a ＋b >0，∴a >－b ，∴f (a )>f (－b )，∴f (a )＋f (b )>0.7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好．因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.8．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法 解析：选B 从证明的过程来看，符合综合法的证明特点．9．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.n n －4＋8－n －n －4＝2 B.n ＋1n ＋－4＋n ＋＋5n ＋－4＝2 C.n n －4＋n ＋4n ＋－4＝2。
2018届北师大版 算法初步、推理与证明、复数 检测卷
1.【2017河南省豫北名校联盟高三年级精英对抗赛，2】复数22iz i=-（i 为虚数单位）所对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B 【解析】22(2)42242(2)(2)555i i i i z i i i i +-====-+--+,对应的点24(,)55-位于第二象限，故选B.【要点回扣】复数的运算与复数的几何意义.2.【2017广东郴州市高三第二次教学质量监测试卷，1】已知,x y R ∈，i 是虚数单位.若x yi +与31ii++互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】3(3)(1)4221(1)(1)2i i i i i i i i ++--===-++-,所以31ii ++互为共轭复数为2i +，即2,1x y ==，所以3x y +=，故选D.【要点回扣】1.复数相关的概念；2.复数的运算.3.【河北唐山市2017届高三年级期末，2】i 是虚数单位，复数()z a i a R =+∈满足213z z i +=-，则z =（ ）A ．2或5 C D ．5 【答案】C【要点回扣】1、复数的运算；2、复数的模．4.在区间上随机选取一个数M ，不变执行如图所示的程序框图，且输入x 的值为1，然后输出的值为N ，则的概率为（ ）A ．51 B ．52C ．53D ．54【答案】C【解析】243013x x x -+≤⇒≤≤.这是一个循环结构，循环的结果依次为：2,1;3,2x n x n ====4,3x n ==.最后输出3.所以在区间上随机选取一个数M ，则1M ≤的概率为35p =，选C. 【要点回扣】程序框图.5．【2017广东湛江市高三上学期期中调研考试，7】若执行如图所示的框图，输入12341,2,4,8x x x x ====，则输出的结果等于（ ）A ．14 B ．74 C.154D ．4 【答案】C【解析】该程序框图所表示的算法功能为12481544x +++==，故选C.【要点回扣】程序框图．6.【2017河南省豫北名校联盟高三年级精英对抗赛,3】如果执行如图所示的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12N a a a ，，，，输出A B ，，则（ ）A ．AB +为12N a a a ，，，的和 B ．2A B+为12N a a a ，，，的算数平均数 C ．A 和B 分别是12N a a a ，，，中最大的数和最小的数 D ．A 和B 分别是12N a a a ，，，中最小的数和最大的数 【答案】C【解析】据程序框图可知，,A B 分别为12,,,N a a a 中的最大数和最小数，故选C. 【要点回扣】程序框图．7.用秦九韶算法求多项式765()765f x x x x =++ 432432x x x x ++++,当3x =时,3v 的值为 （ ）A.27B.86C. 262D.78 【答案】C【要点回扣】算法思想．8．【2017广东郴州市高三第二次教学质量监测试卷,5】考拉兹猜想又名31n +猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i =（ ）A ．4B ．5 C.6 D ．7 【答案】D【解析】模拟算法：开始：10,1a i ==，1a =不成立；a 是奇数，不成立，5,2a i ==，1a =不成立； a 是奇数，成立，16,3a i ==，1a =不成立； a 是奇数，不成立，8,4a i ==，1a =不成立； a 是奇数，不成立，4,5a i ==，1a =不成立； a 是奇数，不成立，2,6a i ==，1a =不成立； a 是奇数，不成立，1,7a i ==，1a =成立；输出7i =，结束算法.故选D. 【要点回扣】程序框图9.【2017河北唐山市高三年级期末,7】执行如图所示的程序框图，则输出的a = （ ）A ．1B ．1- C.4- D ．52- 【答案】C【要点回扣】程序框图10.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，则r=（ ）A. B.C.D.【答案】C【解析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为，∴R=．【要点回扣】类比推理．11．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ） A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 【答案】B【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 得也最多只有一个，得C 最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多有3个．故选：B ． 【要点回扣】合情推理．12．【2017广西南宁、梧州高三毕业班摸底联考，11】给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导函数，()''f x 是函数()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00 x f x ，为函数()y f x =的“拐点”.已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00 M x f x ，，则点M （ ）A ．在直线3y x =-上B ．在直线3y x =上 C.在直线4y x =-上 D ．在直线4y x =上 【答案】B【解析】()()00'34cos sin ''4sin cos 0 4sin cos 0f x x x f x x x x x =++=-+=-=，，，所以()003f x x =，故()()00 M x f x ，在直线3y x =上.故应选B. 【要点回扣】新定义13.某同学在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2015个三角形中共有▲的个数是（ ） A ．64 B ．63 C ．62 D ．61【答案】C【解析】前n 个三角形中共有▲的个数是123n n ⋯＋＋＋＋＋＝(3)2n n +，由(3)2n n +2015＝解得62n ＝。
2018版数学北师大版选修2-2学案：第一章 推理与证明 推理与证明 章末复习课 含答案 精品
学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．知识点一归纳与类比(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．知识点二综合法和分析法(1)综合法是从已知条件推出结论的证明方法；(2)分析法是从结论追溯到条件的证明方法．知识点三反证法反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理矛盾等．知识点四数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝k时结论成立，推得当n＝k＋1时结论也成立．类型一合情推理的应用例1(1)有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3，5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13，15，17，19}；…，试观察每组内各数之和f(n)(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为________．答案f(n)＝n3解析 由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)在平面几何中，对于Rt △ABC ，AC ⊥BC ，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则 ①a 2＋b 2＝c 2； ②cos 2A ＋cos 2B ＝1；③Rt △ABC 的外接圆半径为r ＝a 2＋b 22.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明． 解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.下面对①的猜想进行证明．如图在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，面ABC ，面ABD ，面ACD 为三个两两垂直的侧面．设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2，S Rt △ABC ＝12ab .同理，CD ＝b 2＋c 2，S Rt △ACD ＝12bc .BD ＝a 2＋c 2，S Rt △ABD ＝12ac .∴S △BCD ＝14[BC 2·BD 2－14(BC 2＋BD 2－CD 2)2]. 经检验，S 2Rt △ABC ＋S 2Rt △ACD ＋S 2Rt △ABD ＝S 2△BCD .即所证猜想为真命题．反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n 个图形中有________个小正方形．(2)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N ＋且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：________________. 答案 (1)n 2＋3n ＋22(2)数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N ＋，m ≠n )，则T m ＋n ＝1 解析 (1)第1个图有3个正方形记作a 1， 第2个图有3＋3个正方形记作a 2， 第3个图有6＋4个正方形记作a 3， 第4个图有10＋5个正方形记作a 4， …，正方形的个数构成数列{a n }， 则a 2－a 1＝3， (1) a 3－a 2＝4, (2) a 4－a 3＝5, (3) ⋮⋮ a n －a n －1＝n ＋1，(n －1)(1)＋(2)＋…＋(n －1)，得a n －a 1＝3＋4＋5＋…＋(n ＋1)， a n ＝3＋(n －1)(4＋n )2＝n 2＋3n ＋22.类型二 综合法与分析法例2 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．证明 方法一 (综合法) 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥4， 所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (分析法)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋a ＋bab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋(1b ＋1a )≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab≥2恒成立，所以原不等式成立．反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 已知x >0，y >0，求证：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13. 证明 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13， 只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2.只需证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 只需证3x 4y 2＋3x 2y 4>2x 3y 3. 又x >0，y >0，∴x 2y 2>0， ∴只需证3x 2＋3y 2>2xy . ∵3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy ， ∴3x 2＋3y 2>2xy 成立， 故(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13. 类型三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋y x <2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾．故1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 类型四 数学归纳法 例4 观察下列四个等式： 第一个式子 1＝1 第二个式子 2＋3＋4＝9 第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25 第四个式子4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49(1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明． 解 (1)第五个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 证明：①当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，等式成立， 即有k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＝(2k －1)2. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝(2k －1)2＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝4k 2－4k ＋1＋8k ＝(2k ＋1)2 ＝[2(k ＋1)－1]2. 右边＝[2(k ＋1)－1]2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①②知，等式对任意n ∈N ＋都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74.a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)方法一 猜想a n ＝2n －12n －1.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k－12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k，满足上式，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立，由①②可知，对于n ∈N ＋，都有a n ＝2n －12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)．设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1为首项，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·q n －1＝－12n 1，所以a n ＝b n ＋2＝2n －12n －1.1．观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N ＋)个等式应为( ) A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9 B ．9(n －1)＋n ＝10n －9 C ．9n ＋(n －1)＝10n －1 D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10 答案 B解析 由已知中的式子，我们观察后分析： 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号， 等式右边是一个等差数列． 根据已知可以推断：第n (n ∈N ＋)个等式为9(n －1)＋n ＝10n －9. 故选B.2．在平面直角坐标系中，方程x a ＋yb ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( ) A.x a ＋y b ＋z c ＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1答案 A解析 ∵在平面直角坐标系中，方程x a ＋yb ＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y 轴上的截距分别为a ，b ”．类比到空间坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为x a ＋y b ＋zc＝1.故选A.3．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案 A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A. 4．如图，这是一个正六边形的序列：则第n个图形的边数为________．答案5n＋1解析图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为a n＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.5．用数学归纳法证明：(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．证明当n＝1时，左边＝－14，右边＝－1·2·7＝－14，等式成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)·(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)．那么当n＝k＋1时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[4k2＋12k＋9－4k2－6k－2]＝－(k＋1)[4k2＋3k＋2(6k＋7)]＝－(k＋1)(4k2＋15k＋14)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)＝－(k＋1)[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]．所以当n＝k＋1时等式也成立．根据以上论证可知，等式对任何n∈N＋都成立．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n ＝n 0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n ＝k 时，结论成立，推得当n ＝k ＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．课时作业一、选择题1．古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫作三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A ．n B.n (n ＋1)2C ．n 2－1D.n (n －1)2答案 B解析 观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为( )A ．①②③B ．②③①C ．③①②D ．③②① 答案 C3．用反证法证明命题：“a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”时的假设为( ) A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数 B ．a ，b ，c ，d 全为正数 C ．a ，b ，c ，d 全部大于等于0 D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 C解析 “a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定为“a ，b ，c ，d 全部大于等于0”． 4．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线x 2a 21－y 2b 21＝1”中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1)．故选A.5．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x ＜0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．为增函数D ．为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则 (－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值．故选A.6．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算?为：A i ?A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0，1，2，3，则满足关系式(x ?x ) A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 当x ＝A 0时，(x ?x )?A 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x ?x ) A 2＝A 2?A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x ?x )A 2＝A 0?A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x ?x )A 2＝A 2?A 2＝A 0，成立．故选B.7．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 答案 B解析 如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD 的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 二、填空题8．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 答案332解析 sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sinA ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332. 9．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________．答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)10．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 方法一 (补集法)令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0，即⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32.方法二 (直接法)依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0， 即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0， ∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32.三、解答题11．若n 为正整数，试比较3·2n－1与n 2＋3的大小，分别取n ＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜想一个一般性结论，并用数学归纳法证明． 解 当n ＝1时，3·2n －1<n 2＋3；当n ＝2时，3·2n －1<n 2＋3；当n ＝3时，3·2n －1＝n 2＋3；当n ＝4时，3·2n －1>n 2＋3；当n ＝5时，3·2n －1>n 2＋3；猜想：当n ≥4，n ∈N ＋时，3·2n －1>n 2＋3.证明如下：①当n ＝4时，3·2n －1>n 2＋3成立；②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，3·2k －1>k 2＋3成立，则当n ＝k ＋1时，左式＝3×2k ＝2×3×2k －1>2(k 2＋3)，右式＝(k ＋1)2＋3.因为2(k 2＋3)－[(k ＋1)2＋3]＝k 2－2k ＋2＝(k －1)2＋1>0，所以左式>右式， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综上所述，当n ≥4，n ∈N ＋时，3·2n －1>n 2＋3.12．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ， 即x 2＋y 2＋xy ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0.又⎝⎛⎭⎫x ＋y22≥0， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．13．设a ，b ，c 为任意三角形三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证：3S ≤I 2<4S . 证明 I 2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝a 2＋b 2＋c 2＋2S . 欲证3S ≤I 2<4S ，即证ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca . 先证明ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2， 只需证2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 即(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2≥0，显然成立； 再证明a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证a 2－ab －ac ＋b 2－ab －bc ＋c 2－bc －ca <0， 即a (a －b －c )＋b (b －a －c )＋c (c －b －a )<0， 只需证a <b ＋c ，且b <c ＋a ，且c <b ＋a ， 由于a ，b ，c 为三角形的三边长， 上述三式显然成立，故有3S ≤I 2<4S . 四、探究与拓展14．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0，1)处标7，依此类推，则标签为20172的格点的坐标为________．答案 (1009,1008)解析 观察已知的点(1，0)处标1，即12， 点(2，1)处标9，即32，点(3,2)处标25，即52， 由此推断点(n ＋1，n )处标(2n ＋1)2. 当2n ＋1＝2017时，n ＝1008，∴标签为20172的格点的坐标为(1009,1008)．15．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N ＋)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)求证：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512.(1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立， (2)证明 当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512.当n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n . ∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. 综上，对n ∈N ＋，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立．。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》检测卷(有答案解析)(3)
一、选择题1．观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102.根据规律，可以得到33312?50+++=（ ）A ．1205B ．1225C ．1245D ．12752．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2233445522,33,44,55338815152424====，则按照以上规律，若8888n n=具有“穿墙术”，则n =（ ） A ．35B ．48C ．63D ．803．已知三个月球探测器α，β，γ共发回三张月球照片A ，B ，C ，每个探测器仅发回一张照片.甲说：照片A 是α发回的；乙说：β发回的照片不是A 就是B ；丙说：照片C 不是γ发回的，若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则发回照片B 的探测器是（ ） A ．αB ．βC ．γD ．以上都有可能4．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于（ ） A ．243a b π B ．243ab π C ．22a b πD ．22ab π5．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，则此数列前135项的和为( )A．18-D．17252--C．17253-B．182522536．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b，可以推测:19b=（）A．1225 B．1275 C．2017 D．20187．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是( )A．甲可以知道四人的成绩B．丁可以知道自己的成绩C．甲､丙可以知道对方的成绩D．乙､丁可以知道自己的成绩8．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则项目积分规则100米跑以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分姓名100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲13.3 1.2411.8乙12.6 1.311.4丙12.9 1.2611.7丁13.1 1.2211.6A．甲B．乙C．丙D．丁9．设F为椭圆的左焦点，A为椭圆的右顶点，B为椭圆短轴上的一个顶点，当AB =时，该椭圆的离心率为12，将此结论类比到双曲线，得到的正确结论为（）A ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B为双曲线虚轴上的一个顶点，当AB =时，该双曲线的离心率为2 B ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B为双曲线虚轴上的一个顶点，当AB =时，该双曲线的离心率为4 C ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B为双曲线虚轴上的一个顶点，当FB AB =时，该双曲线的离心率为2 D ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B为双曲线虚轴上的一个顶点，当FB AB =时，该双曲线的离心率为4 10．“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（ ） A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形11．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过x =确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（ ）A1 B1 CD12．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x=+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都大于2D ．至少有一个不小于2二、填空题13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====，则按照以上规律，若(1n +=“穿墙术”，n T 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则9T 的值为______．14．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列nn b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为________.15．已知以区间()0,2上的整数为分子，以2为分母的数组成集合1A ，其所有元素的和为1a ；以区间()20,2上的整数为分子，以22为分母组成不属于集合1A 的数组成集合2A ，其所有元素的和为2a ；……依此类推以区间()0,2n上的整数为分子，以2n为分母组成不属于1A ，2A …1n A -的数组成集合n A ，其所有元素的和为n a ，若数列{}n a 前n 项和为n S ，则20202019S S -=__________．16．在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n （3n ≥）行左起第3个数为_______。
2018届北师大版(文) 推理与证明1
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．若a 、b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1【解析】 在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．【答案】 B2．①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |＜1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确【解析】 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．【答案】 D3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac ＜3a ”索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜0【解析】 由题意知b 2－ac ＜3a ⇐b 2－ac ＜3a 2⇐(a ＋c )2－ac ＜3a 2⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0⇐－2a 2＋ac ＋c 2＜0⇐2a 2－ac －c 2＞0⇐(a －c )(2a ＋c )＞0⇐(a －c )(a －b )＞0.【答案】 C4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定【解析】 ∵P 2＝2a ＋7＋2a ·a ＋7＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a ＋3·a ＋4＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2<Q 2，∴P <Q .【答案】 C5．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤【解析】 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1， 但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.【答案】 C6．用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________________________________________________________．【解析】 “至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除．【答案】 a ，b 中没有一个能被5整除7．下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件的序号是________．【解析】 要使b a ＋a b ≥2，只需b a ＞0且a b＞0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋a b≥2成立． 【答案】 ①③④8．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．【解析】 令⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－2p 2＋p ＋1≤0，f （1）＝－2p 2－3p ＋9≤0， 解得p ≤－3或p ≥32， 故满足条件的p 的范围为⎝⎛⎭⎫－3，32. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－3，32 9．已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【证明】 要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立，只需证：2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0，即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.∵a ≥b ＞0，∴a －b ≥0，a ＋b ＞0，2a ＋b ＞0，从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立，∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .10．已知四棱锥S -ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)证明 由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，∴SA ⊥平面ABCD .(2)假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD .∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD .∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ，∴平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，∴假设不成立．∴不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤BC ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A【解析】 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b， 又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数．∴f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C . 【答案】 A12．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形【解析】 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1. 那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2， 这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形． 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．【答案】 D13．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．【解析】 由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n， ∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1＜c n .【答案】 c n ＋1＜c n14．(2016·江苏)记U ＝{1，2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T ＜a k ＋1；(3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .【解析】 (1)由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *. 于是当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2)证明 因为T ⊆{1，2，…，k }，a n ＝3n －1＞0，n ∈N *， 所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1 ＝12(3k －1)＜3k .因此，S T ＜a k ＋1. (3)证明 下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D .③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集．令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ，则E ≠∅，F ≠∅，E ∩F ＝∅.于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D 得S E ≥S F .设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l .由(2)知，S E ＜a k ＋1.于是3l －1＝a l ≤S F ≤S E ＜a k ＋1＝3k ，所以l －1＜k ，即l ≤k .又k ≠l ，故l ≤k －1.从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12， 故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1，即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1. 综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D .15．(2015·北京高考节选)已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18(n ＝1，2，…)．记集合M ＝{a n |n ∈N *}．(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数．【解析】 (1)6，12，24.(2)证明 因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．由a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n＞18可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数． 如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数．如果k ＞1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1是3的倍数．类似可得，a k －2，…，a 1都是3的倍数．从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数．综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数．。
2018届高中数学北师大版推理证明与复数单元测试Word版含答案
考点：复数的运算，复数的概念．
7. 【2016 辽宁哈尔滨月考】 若复数 z 满足 zi 1 i ，则 z 的共轭复数是（
）
A． 1 i
B． 1 i
C． 1 i D． 1 i
【答案】 B
【解析】
试题分析：
zi 1 i, z 1 i 1 i ，所以 z 的共轭复数是 1 i i
选 B． 考点：本题主要考查复数的计算．
2. 【 2016 山东实验中学月考】若复数 z 满足 z z i 2 3i （ i 为虚数单位） ，则在复平面
内复数 z 对应的点位于（
）
A．第一象限 【答案】 D
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
考点：复数几何意义
2
3. 【2016 山东滨州二模】复数 z
(i 为虚数单位） ，则（ ）
1i
A． z 的实部为 2
B
． z 的虚部为 i
C． z 1 i
D
．z 2
【答案】 D 【解析】
试题分析：把复数 z 2 (i 为虚数单位）化简得 z 1i
21 i 1i 1i
21 i 2
1 i ，所以
z 2 ，故选 D.
考点： 1、复数； 2、复数的模 .
( ) 4. 【 2016 东北师大附中月考】复数 z 满足 1 +i z = 2（ i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数在
【答案】 A
【解析】 解：复数 z=﹣ 1﹣（i i 为虚数单位） ，则 |1 ﹣ z|=|1 ﹣（﹣ 1﹣ i）|=|2+i|=
故选： A．
） =．
11.【2015 哈尔滨六中一模】 若复数 z 满足 iz=2+4i，则在复平面内， z 对应的点的坐标是 （ ）
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数 学
M 单元 推理与证明
M1 合情推理与演绎推理
16．M1[2015·陕西卷] 观察下列等式
1－12＝12
1－12＋13－14＝13＋14
1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16
……
据此规律，第n 个等式可为____________．
16．1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n [解析] 根据给出的等式的规律归纳即得．
M2 直接证明与间接证明
6．E1，M2[2015·浙江卷] 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )
A ．ax ＋by ＋cz
B ．az ＋by ＋cx
C ．ay ＋bz ＋cx
D ．ay ＋bx ＋cz
6．B [解析] (ax ＋by ＋cz )－(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(a －c )(x －z )>0.故选项A 中的不是最低费用；(ay ＋bz ＋cx )－(az ＋by ＋cx )＝a (y －z )＋b (z －y )＝(a －b )(y －z )>0，故选项C 中的不是最低费用；(ay ＋bx ＋cz )－(az ＋by ＋cx )＝a (y －z )＋b (x －y )＋c (z －x )＝a (y －z )＋b (x －y )＋c (z －y ＋y －x )＝(a －c )(y －z )＋(b －c )(x －y )>0，选项D 中的不是最低费用．
综上所述，选项B 中的为最低费用．
M3 数学归纳法
M4 单元综合
10．M4[2015·广东卷] 若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p <s ≤4，0≤q <s ≤4，0≤r <s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )
A ．200
B ．150
C ．100
D ．50
10．A [解析] 当s ＝4时，p ，q ，r 都可取0，1，2，3中的一个，有4×4×4＝64(种)；当s ＝3时，p ，q ，r 都可取0，1，2中的一个，有3×3×3＝27(种)；当s ＝2时，p ，q ，r 都可取0，1中的一个，有2×2×2＝8(种)；当s ＝1时， p ，q ，r 都取0.所以card(E )＝64＋27＋8＋1＝100.当t ＝0时，u 可取1，2，3，4中的一个；当t ＝1时，u 可取2，3，4中的一个；当t ＝2时，u 可取3，4中的一个；当t ＝3时，u 取4.所以t ，u 的取值共有1＋2
＋3＋4＝10(种)，同理v ，w 的取值也有10种，所以card(F )＝10×10＝100，所以card(E )＋card(F )＝100＋100＝200.
2．[2015·浙江两市联考] 用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应
是( ) A.3a ＝3b B.3a <3b C.3a ＝3b 且3a <3b D.3a ＝3b 或3a <3b
2．D [解析] 假设结论不成立，3a>3b 的否定为3a ≤3b ，故选D .
3．[2015·湖北八校联考] 观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，….由以上等式推测出一个一般性的结论：对于n ∈N *，12－22＋32－42＋…
＋(－1)n ＋1n 2＝______________________．
3．(－1)
n ＋1n 2＋n 2 [解析] 由于1＝(－1)1＋1×12＋12，－3＝(－1)2＋1×22＋22，6＝(－1)3＋1×32＋32，－10＝(－1)4＋1×42＋42
， 因此12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n 2
＋n 2.
5．[2015·武汉武昌区调研] 给出以下数对序列：
(1，1)
(1，2) (2，1)
(1，3) (2，2) (3，1)
(1，4) (2，3) (3，2) (4，1)
……
记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3，2)，则a 54＝________，a nm ＝________．
5．(4，2) (m ，n －m ＋1) [解析] 由前4行的特点归纳可得，若a nm ＝(a ，b)，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，
∴a 54＝(4，5－4＋1)＝(4，2)，a nm ＝(m ，n －m ＋1)．
图K501
8．[2015·泉州五校联考] 对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，任何
一个三次函数的图像都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f (x )＝13x 3－12
x 2＋3x －512，请你根据这一发现，计算f 12015＋f 22015＋f 32015＋…＋f 20142015
＝________．
8．2014 [解析] f′(x)＝x 2－x ＋3，由f″(x)＝2x －1＝0，得x ＝12，则点12
，1为y ＝f(x)的图像的对称中心，故f 12015＋f 20142015＝f 22015＋f 20132015＝…＝2f 12＝2，故f 12015＋f 22015＋f 32015
＋…＋f 20142015
＝2014. 9．[2015·武汉调研] 如图K502(1)所示，在平面几何中，设O 是等腰直角三角形ABC
的底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有1AQ
＋1AR
＝2.类比以上结论，将其拓展到空间中，如图K502(2)所示，设O 是正三棱锥A - BCD 的底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有__________________．
图K502
9.1AQ ＋1AR ＋1AP
＝3 [解析] 设O 到正三棱锥A - BCD 三个侧面的距离为d ，易知V 三棱锥R - AQP
＝13S △AQP ·AR ＝13×12·AQ ·AP ·AR ＝16AQ ·AP ·AR.又∵V 三棱锥R - AQP ＝V 三棱锥O - AQP ＋V 三棱锥O - ARP ＋V 三棱锥O - AQR ＝13S △AQP ·d ＋13S △ARP ·d ＋13S △AQR ·d ＝16
(AQ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR)d ，
∴16AQ ·AP ·AR ＝16(AQ·AP ＋AR·AP ＋AQ·AR)d ，即1AQ ＋1AR ＋1AP ＝1d
.而V 三棱锥A - BDC ＝13×12×1×1×1＝16，∴V 三棱锥O - ABD ＝13V 三棱锥A - BDC ＝118
， 即13·S △ABD ·d ＝13×12×d ＝118，∴d ＝13
， ∴
1AQ ＋1AR ＋1AP
＝3.。