几个函数的分析与探讨

若干特殊函数的分析性质探讨摘要Dirichlet函数、Riemann函数、积分上限函数都是数学分析中具有特殊形式的函数,对它们的研究,能够推导出新的、有用的性质,有助于对基础学科有个更深层次的理解和把握,有利于将基础的知识运用于实际的生活中。

狄利克雷函数在数学分析、实变函数、泛函分析等研究领域中起着十分重要的作用。

对黎曼函数和狄利克雷函数的性质研究有助于对这两个函数更好的把握,并能有助于在函数证明中的运用。

积分上限函数是沟通微分学和积分学的桥梁,其结果可应用于构造辅助函数,将积分不等式转化函数不等式来证明,部分结论在信号与系统的研究中具有一定的实用价值。

本文分别对Dirichlet函数、Riemann函数、积分上限函数的基本性质如：可积性、可导性、连续性等作了深入的分析,并在此基础上给出了函数的相应的一些应用,例如：Dirichlet函数作为反例在证明中的应用,积分上限函数在证明单调性、连续性、证明不等式和恒等式、证明积分中值定理、定义有关函数等方面的一些应用,并给出了相应的证明。

关键词：Dirichlet函数；Riemann函数；积分上限函数；性质；引言 (3)绪论 (4)1.Dirichlet函数的性质 (5)性质1.1 (5)性质1.2 (5)性质1.3 (5)性质1.4 (7)2.Riemann函数的性质 (8)性质2.1 (8)性质2.2 (8)性质2.3 (8)性质2.4 (10)3.Dirichlet函数的应用 (10)3.1用来否定是似而非的命题 (10)3.2用来纠正直观上可能产生的错觉 (11)3.3用来说明命题或定理条件与结论的不可更改性 (11)4.积分上限函数的性质 (11)定理4.1 (11)定理4.2 (12)定理4.3 (13)定理4.4 (14)定理4.5 (15)5.积分上限函数的应用 (15)5.1 积分上限函数在求导中的应用 (16)5.2 积分上限函数在单调性中的应用 (16)5.3 积分上限函数在函数关系中的应用 (17)5.4 在函数连续性方面的应用 (18)5.5 积分上限函数在证明不等式中的应用 (19)5.6 积分上限函数在证明中值定理中的应用 (20)总结 (21)致谢 (22)参考文献 (23)函数的可积性、可导性、连续性、极限是数学的基础学科一些基本性质,对它们的研究,有助于对基础学科有个更深层次的理解和把握,有利于将基础的知识运用于实际的生活中。

狄利克雷函数在数学分析、实变函数、泛函分析等研究领域中起着十分重要的作用。

对黎曼函数和狄利克雷函数的性质研究有助于对这两个函数更好的把握,并能有助于在函数证明中的运用。

积分上限函数是沟通微分学和积分学的桥梁,其结果可应用于构造辅助函数。

关于狄利克雷函数及黎曼函数的性质问题,很多学者都做了研究,主要有：林艺,李军对狄利克雷函数的应用研究,将狄利克雷函数运用于函数证明中,以反例的形式在实际中进行具体的应用。

王家军,户青文的黎曼函数的推广及性质中就黎曼函数的可微性、可积性做了研究,并给出了黎曼函数的一种推广形式。

曹玉升的关于积分上限函数所确定的复合函数若干性质及应用的探讨,主要讨论了积分上限函数有关的复合问题,并对其运用进行了例证。

蒋善利,普丰山给出了积分上限函数的定义,通过对积分上限的可导性、连续性、单调性的证明,指出了积分上限函数的应用。

狄利克雷函数和黎曼函数在数学中大都是用以否定错误命题而举的例子出现,反例可分为三类：1、用来否定似是而非命题的；2、用来纠正直观上可能产生的错觉；3、用来说明命题或定理的条件及结论的不可更改性。

黎曼函数的间断点在定义域中稠密,能够帮我们更深刻的认识函数的极限。

黎曼函数和狄利克雷函数有着本质的区别,黎曼函数是黎曼可积的,而狄利克雷函数是非黎曼可积的。

另外,黎曼函数在函数极大值点的可能分布情况中有着重要的作用。

现阶段对积分上限函数的一些研究主要是论证函数的可导性、连续性、可积性,在此基础上又探讨积分上限函数的新性质和应用。

积分上限函数由于有很多性质,如：李普希兹连续性、单调性、奇偶性、周期性、和n重迭代积分公式等,因此,积分上限函数的应用很广,它在求导数、求极限、证明单调性及连续性、证明积分中值定理,定义有关函数等多方面都有着应用,特别是在证明积分中值定理中的应用。

Dirichlet 函数、Riemann 函数虽不复杂,但难以用列表法或图像法表示,只能用语言来描述。

积分上限函数问题是教学和实际生活中有特殊位置,一方面比较简单,另一方面它能解决很多实际问题,有着非常广泛的应用。

本文讨论了Dirchlet 函数和Riemann 函数的连续性、可积性、可导性等,对积分上限函数的导数的存在性、周期性进行了分析；并讨论了它在求导数、证明单调性及连续性、证明积分中值定理、证明不等式和恒等式、定义有关函数等方面的一些应用。

Dirichlet 函数的定义：定义函数⎩⎨⎧∈∈=cQ x Qx x D ,0,1)(为Dirichlet 函数。

Riemann 函数的定义：Riemann 函数时定义在区间]1,0[上的一种特殊函数,其表达式为：⎪⎩⎪⎨⎧=∈==+内的无理数。

和当为既约公约数当)1,0(1,0x 0),N ,(x )(p 1q p q q q p x R积分上限函数的定义：设函数()f x 在区间[],a b 可积,则对于每一个取定的[],x a b ∈,对应唯一个积分值,即()()[],,xax f t dt x a b Φ=∈⎰称为函数()f x 的积分上限函数。

积分上限函数有明显的几何意义： 设[],x a b ∀∈有()0f x ≥,则积分上限函数()()xa x f t dt Φ=⎰是区间[],a x 上的区边梯形的面积。

如图（1）的阴影部分。

xy图（1）y=f(x)xbao1.Dirichlet 函数的性质性质 1.1有界性：)(x D 的值域为{}1,0,由此可得)(x D 有界,并且0)(i n f ,1)(s u p ==x D x D 。

性质1.2 连续性：任意一个实数0x 都有)(x D 的第二类间断点。

证明：R x ∈∀0,假设)(x D 在点0x 处极限存在且α=→)(lim 0x D x x 。

（1）当1≠α时,)0(100>-<∃εαε,01>∀δ，Q x ∈∃,使得100δ<-<x x ,此时有01)(εαα>-=-x D ；（2）点1=α时,)0(10100>-=<∃εε,02>∀δ，c Q x ∈∃,使得200δ<-<x x , 此时有010)(εα>-=-x D 。

综上,R ∈∀α都不能作为)(x D 在0x 处的极限,因此)(x D 在任意一点0x 都不存在极限,进而)(x D 在R 上不连续、不可导。

事实上，对R x ∈∀0,由)(x D 定义,当Q x x x ⋂-∈),(00ε时,1)(lim 0=-→x D x x ,当c Q x x x ⋂-∈),(00ε时,0)(lim 0=-→x D x x 。

由此可知)(lim 0x D x x -→不存在,同理)(lim 0x D x x +→也不存在。

因此0x 为)(x D 的第二类间断点,按间断点的种类分应该为震荡间断点。

性质1.3可积性：)(x D 在任何闭区间上非Riemann 可积。

下面给出Riemann 可积的两种定义,并给出)(x D 非Riemann 可积相应的证明方法。

Riemann 积分的两种定义：定义一：设一元函数)(x f 在[]b a ,上有定义,[]b a ,内存在n+1个点,依次为b x x x x a n =<<<<= 210,这n+1个分点将[]b a ,划分成n 个区间[]),3,2,1(,1n i x x i i =-,做成一种分法∆,子区间[]i i x x ,1-的长度1--=∆i i i x x x ,称}{max 1i ni x ∆=∆≤≤为分法∆的模。

对于[]b a ,的上述分法∆,任取点列],[1i i i x x -∈ξ，称∑-∆ni i i x f 1)(ξ为)(x f 在[]b a ,上的一个Riemann 和。

如果∑=→∆∆ni iix f 1)(limξ存在并且与分法∆和点列i ξ的选取均无关,则称)(x f 在[]b a ,上是Riemann 可积的,记i ni i bax f dx x f ∆=∑⎰=→∆10)()(lim ξ为)(x f 在[]b a ,上的积分。

由)(x D 的周期性可知,当我们讨论)(x D 在任意闭区间[]b a ,上的可积性时,只需讨论)(x D 在[]1,0上的可积性即可。

证法一：对定义在[]1,0上的)(x D ,我们在[]1,0上做出一种指定的分法之后,只需在区间[]i i x x ,1-上选取两组不同的点列i η和i ζ,然后证明∑=→∆∆ni iixD 1)(limη和∑=→∆∆ni iix D 1)(lim ζ不相等即可。

具体为：取Q x x i i i ⋂∈-],[1η,c i i i Q x x ⋂∈-],[1ζ。

由)(x D 的定义可知,1)(=i D η且0)(=i D ζ,显然≠∆∑=→∆n i iix D 1)(limη∑=→∆∆ni iix D 1)(lim ζ。

定义二：设一元函数)(x f 在[]b a ,上有定义,R I ∈，若对0>∀ε,0>∃δ,对一切分法∆和一切点列i ξ,只要满足δ<∆,恒有εξ<-∆∑=ni iiIx f 1)(,则称)(x f 在[]b a ,上Riemann 可积,I 为)(x f 在[]b a ,上的定积分,记作⎰=badx x f I )(。

证法二：假设)(x D 在[]1,0上Riemann 可积,则R I ∈∃,对)21,0(0∈ε,0>∃δ,对任意分法∆和任意点列],[1i i i x x -∈ξ,只要δ<∆,恒有21)(01<<-∆∑=εξni i i I x D 。

特地的,取点列取Q x x i i i ⋂∈-],[1η,ci i i Q x x ⋂∈-],[1ζ。

显然,101)()(11===∆-∆∑∑==ni i i n i i i x D x D ζη。

而另一方面))(())(()()(1111I x D I x D xD x D ni i i n i i i ni iin i ii-∆--∆=∆-∆∑∑∑∑====ζηζη12121)()(11=+<-∆+-∆≤∑∑==I x D I x D ni iini iiζη,这就产生了矛盾。