第3章 刚体的定轴转动
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第三章 刚体的转动
M
o
r
F
M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F
※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
第三章 刚体的定轴转动
令
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
3.刚体的定轴转动
a a n a
2 3 2
2
6.16 10
3
2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2：一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都 是常量。求它的角加速度。 解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为： at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
（1） 定轴转动的角量描述
角位置： (t )
角位移： (t ) (t 0 ) 角速度：
d dt d
dt d
2
角加速度：
dt
2
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明：在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用 代数量表示。通常规定：当刚体作逆时针转动时，这些角量均 取正值；反之，取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动：
O点的运动：沿着直线向前移动 圆盘上其他点的运动：除向前移动外，还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时 刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为：
Ek
1 2
m i vi
2
1 2
m i ri
2
2
1 2
J
2
二、 力矩的功和功率
1.力矩的功
2 3 2
2
6.16 10
3
2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2：一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都 是常量。求它的角加速度。 解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为： at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
（1） 定轴转动的角量描述
角位置： (t )
角位移： (t ) (t 0 ) 角速度：
d dt d
dt d
2
角加速度：
dt
2
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明：在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用 代数量表示。通常规定：当刚体作逆时针转动时，这些角量均 取正值；反之，取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动：
O点的运动：沿着直线向前移动 圆盘上其他点的运动：除向前移动外，还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时 刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为：
Ek
1 2
m i vi
2
1 2
m i ri
2
2
1 2
J
2
二、 力矩的功和功率
1.力矩的功
刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
力学讲义-3刚体的定轴转动
物体（包括子弹）在 B 点的速度大小和θ 角的大小。
【思路分析】 此题可分两个过程，第一阶段，子弹射入木块前后，水平方向动量守恒；
第二阶段，含子弹的木块由 A 点沿曲线运动到 B 点，由于作用在木块上的弹簧拉力为有心
力，所以角动量守恒。同时，机械能也守恒，可解之。
解 子弹与木块作完全非弹性碰撞，水平方向动量守恒。设碰后的速度为 uK ，其大小为
（1）
T2 − m2 g sin α = m2a
（2）
另根据转动定律，对滑轮有
还有辅助方程
T1′R − T2′R = J β
T1′ = T1 T2′ = T2 a = Rβ
联立求解上述六个方程，解得 m1 的加速度大小为
a
=
(
m1 − m2 sinα (m1 + m2 )R2
) gR2
+J
（3）
（4） （5） （6）
与质点直线运动相对应的定理和定律，为便于记忆和理解，此处给出了质点一维运动与刚体
定轴转动的相应公式：
2
质点一维运动
刚体定轴转动
位移 Δx 速度 υ = dx
dt
加速度 a = dυ = d2 x dt dt2
质量 m
K 力F
运动定律
K F
=
maK
动量
K P
=
mυK
动量定理
JK dp
=
JK F
dt
∫K Fdt
向弹回，碰撞时间极短，如图 3-4 所示。已知滑块与棒碰撞
前后的速率分别为υ 和 u ，桌面与细棒间的滑动摩擦系数为 μ 。求从碰撞后到细棒停止运动所需的时间。
【思路分析】 首先由碰撞过程角动量守恒求出碰后细棒的角速度，再求得细棒受到的
第3章_刚体的定轴转动xtjd
3 g 3 9.8 18.4 (rad/s 2 ) 4l 4 0.40
l 1 1 2 2 （2） mg ml 2 2 3
3 9.8 8.57 (rad/s) 0.40 l 0.4 0.98 (J) （3） AG Ep mg 0.5 9.8 2 2 3g l
r
1 Ek J 2 196 (J) 2
r
(a)
(b)
Ek Fs 98 2 196 (J)
mg
2mg （3） mg T ma 43.6 (rad/s 2 ) 1 ( M 2 m )r Tr J Mr 2 解得： 2 2s 29.5 (rag/s) a r r 重力的功提供滑轮和物体两者的 1 1 2 2 2 E J Mr 21.8 (J) k 动能，不相同。 2 4
3L s 32
完全弹性碰撞：
解得：
J mvL J 1 J 2 1 J 2 1 mv 2 2 2 2
1 J mL2 3
1 v 3 gL 2
1 mgs mv 2 2
3L s 8
第三章习题解答
A JB JA 1 1 A 2 （2） E k J A A ( J A J B ) 2 2 2 1 1 1 2 2 J A A J A ( A ) J A 2 2 2 1 J A A ( A ) 2
C B
第三章习题解答
3-22. 均匀细棒质量为0.5kg、长为0.40m，或绕垂直于棒的一端 的水平 轴在竖直平面内转动。先将棒放在水平位置，然后任其下 落。求：（1）当棒转过60° 时的角加速度；（2）下落到竖直位 置时的角速度；（3）此过程中力矩的功。 1 2 l （1） M G mg sin ml 解： 2 6 3
大学物理上第3章 刚体的定轴转动
z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有： it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和， 对所有质元的同样的式子求和，有：
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩，记作M ∑ F r 表示合外力矩，记作 表示内力矩之和， ∑ f r 表示内力矩之和，其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量，记作J 称为刚体对轴的转动惯量，记作 ∑
则上式可简写成： 则上式可简写成：M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动 轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 说明: 说明: 1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、J、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动：刚体在运动过程中， 刚体的平动：刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终保持平行。 上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 来处理刚体的平动问题。 刚体的定轴转动： 刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同 一直线作圆周运动， 一直线作圆周运动，而直线本身在空 间的位置保持不动的一种转动。 间的位置保持不动的一种转动。这条 直线称为转轴 转轴。 直线称为转轴。
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
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例 一个飞轮的质量 m 60kg ，半径 R 0.25m，正在以转速 0 1000 r/min 转动。现在要制动飞轮，要求在 t 5.0s内 使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N 为多 大？假定闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为 k 0.8 ，而 飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上。 解 匀减速转动，角加速度 为恒量，方向与角速度方向相反 F 以角速度方向为正 0 t f 1000 2 104.7 rad/s N 其中 0 60 m 0; t 5.0s 0 0 104.7 2 20.9 rad/s 5
y
mg
m a g m' m 2
例 一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分 别为m和M的物体，且 M m 。 滑轮
可看作是质量均匀分布的圆盘，其质量 R 为 m，半径为R ，转轴垂直于盘面通 o M阻 m 过盘心，如图所示。由于轴上有摩擦， a 1 T2 滑轮转动时受到了摩擦阻力矩 M 阻 的作 T1 用。设绳不可伸长且与滑轮间无相对滑 m M 动，求物体的加速度及绳中的张力。 a2 mg Mg
J r dm
2 0 m R 0
dr
R
2m 3 1 r dr mR 2 R2 2
o r
l
思考1. 环上加一质量为m1的质点, J=? J = mR +m1R
2 2
m R O
思考2. 环上有一个x的缺口，J=?
m1
O
R
x
m J mR xR 2 2πR
2
质量均匀分布的几种刚体的转动惯量
m
L
1 2 J mL 3
B
A
L 2
J
m
B
L 2
1 mL2 12
(3) J与质量分布有关
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J R dm R
2 0 m 2
dm R O m
m
0
dm
mR 2
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
m 2mr dm dV 2 2 rdrl 2 dr πR l R
Wint 0 Wext Ek 2 Ek 1
2
1
Md
1 1 2 J 2 J 12 2 2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量
转动惯量的计算
J mi ri 2 对分立的质点组：
i
对质量连续分布的刚体：
J mi ri 2 r 2 dm
dr
2
P
x
力矩的功
W Md
1
d
o
r
三、转动动能
在刚体上取一质元 pi ：
1 1 2 2 2 动能：Eki mi vi mi ri 2 2
对刚体上所有质元的动能求和：
1 1 2 2 mi ri 2 2 Ek mi ri 2 i 2
F
F F
圆盘静止不动
F
圆盘绕圆心转动
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
一、力矩
刚体绕Oz轴旋转,力 F 作用在刚体上点P,且在转动平面内, 由点O 到力的作用点P的位矢为 r。 F 对转轴z的力矩 z M M r F
大小
M Fr sin Fd d : 力臂
O d
r
P
F
二、力矩的功
力 F 对质元P所做的元功： dW F dr F cos ds
z
d r dr
P
F
cos sin
ds rd dW Fr sin d 又 M Fr sin
dW Md
y
F
M Fd J
1 t 2 2
2 J F 126 N 2 dt
应用刚体转动定律解刚体定轴转动问题的方法和步骤： 1、选取研究对象，采用隔离法，把研究对象从一切和 它有牵连的其他物体中“隔离”出来,称之为隔离体。 2、分析受力情况，画出受力图，找出对轴力矩。 3、选取坐标系，这是一个重要的步骤，坐标选取正确， 可使运算简化。 4、列方程求解。根据坐标系分别写出研究对象的运动 方程，用牛顿第二定律（对质点），和转动定律（对刚 体）。方程采取投影式，还应写出必要的辅助方程。 5、讨论
B
1 4 J ml 2 ml 2 ml 2 3 3
E pB 3 l (mg sin mgl sin ) mgl sin 2 2
mg
2 2 2 3 0 ml mgl sin 3 2
3 g sin 1 2 ( ) 2 l
五 刚体定轴转动的转动定律
刚体定轴转动动能定理的微分形式
1 Md d J 2 2
Md J d
对于定轴转动刚体， 转动惯量 J 为常量
两端同除以 dt
d d M J dt dt
M J
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩 成正比，与刚体的转动惯量成反比
0
0
2 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动. 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
1 x x0 v0t at 2 2
2 v 2 v0 2a( x x0 )
第三章
刚体的定轴转动
§3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 预习要点
1. 注意描述刚体定轴转动的运动学方法。
2. 阅读附录1中矢量乘法。力对转轴的力矩如何计算?
3. 领会刚体定轴转动的动能定理的意义。注意区分平动 动能和转动动能的计算式。注意力矩的功的计算方法。 转动惯量的定义是什么? 转动惯量与哪些因素有关? 4. 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意它 的应用方法。
J mi ri 2 --- 对转动轴的转动惯量
i
ri
vi
mi
1 2 则刚体的转动动能 Ek J 2
四、转动动能定理
基本方法：
质点组动能定理
刚体特性 刚体定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的动能定理：
Wext Wint Ek 2 Ek 1
质点间无相对位移
10 在这5秒内滑轮转过的圈数为 N 1.6圈 2
(4)为了图示清晰，将滑轮放大为如图所示.
at a 0.4m s 2 an r '2 r 2t '2 0.32m s 2
2 a an at2 0.51m s 2
a
at
o
an
J mR 2
1 J mR 2 2
J
2 mR 2 5
例 一根长为l、质量为m的均匀 细棒, 棒的一端可绕通过O点 并垂直于纸面的轴转动, 棒的 另一端有质量为m 的小球。 开始时，棒静止地处于水平位 置A。当棒转过 角到达位 置B，棒的角速度为多少?
o
m, l
A
m
mg
1 l sin 2
一、刚体？
刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。 ----物体内任意两点的距离不变
刚体是一种理想模，一个特殊的质点组型.
形状改变，不能视为刚体 有许多物体在外力不甚大时，
形状大小不变 可视为刚体
形状和大小改变不显著，可视为刚体
二、刚体的平动及转动
平动：刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方 向始终不变。
r
a
这个加速度的方向与滑轮边缘的切线 方向的夹角为
an 1 0.32 tan tan 38.70 at 0.4
1
问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，
并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我 们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动有 影响吗？
例 如图所示，一质量为m' 、半径为R 的匀质 圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计绳子，绳子一端固
O
m'
R
定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m 的物 体，求物体下落时的加速度。
解 滑轮受到的外力矩为绳的拉力矩，对于轴O
M T1 R
T1
a
T2
由刚体的定轴转动定律得 1 M J m ' R 2 T1 R 2 对物体应用牛顿第二定律得 mg T2 ma a R , T1 T2 T
解 受力分析如图所示.对于上下作平动 的两物体，可以视为质点，由牛顿 第二运动定律得
m：-T1 mg ma1 M：Mg T2 Ma2
a1
M阻 o R m
T1
T2
若以顺时针方向正，则由刚体定轴 转动的转动定律得
m
M
a2
y
1 Mg T2 R T1 R M 阻 J mR 2 2 据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动，所以滑轮边缘上 一点的切向加速度和物体的加速度相等，即
B
mg
解: 取小球、细棒和地球为系统, 在棒转动过程中机械能守 恒, 设A位置为重力势能零点.
EkA E pA EkB E pB
EkA E pA EkB E pB
EkA EPA 0
o
m, l
A
m