第三章 刚体的定轴转动
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第三章 刚体的转动
M
o
r
F
M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F
※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
大学物理.第三章.刚体的转动
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
第3章 刚体的定轴转动 习题答案
1
1 v r 78 . 5 1 78 . 5 m s (3) 解：
an r 78.5 1 6162 .2 m s
2 2
2
a r 3.14 m s
2
3-13. 如图所示，细棒长度为l，设转轴通过棒上距中心d的一 点并与棒垂直。求棒对此轴的转动惯量 J O '，并说明这一转 动惯量与棒对质心的转动惯量 J O之间的关系。(平行轴定理)
n0
J 2 2 n 收回双臂后的角动能 E k J n 0 2 J 0 n
1 2 2 1 2
Ek 0 J
1 2
2 0
3-17. 一人张开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来， 此后无外力矩作用。则当此人收回双臂时，人和转椅这一系 统的转速、转动动能、角动量如何变化？
解：首先，该系统的角动量守恒。
设初始转动惯量为 J ，初始角速度为 0 收回双臂后转动惯量变为 J n ， 由转动惯量的定义容易知，n 1 由角动量守恒定理容易求出，收回双臂后的角速度 初始角动能
M t J
代入数据解得：M 12.5 N m
3-4. 如图所示，质量为 m、长为 l 的均匀细杆，可绕过其一 端 O 的水平轴转动，杆的另一端与一质量为m的小球固定在 一起。当该系统从水平位置由静止转过 角时，系统的角
速度、动能为？此过程中力矩所做的功？
解： 由角动能定理得：
解：设该棒的质量为m，则其
线密度为 m l
1 l d 2 1 l d 2
O
d O'
J O'
0
r dr
2
3
0
r dr
第三章 刚体的定轴转动
令
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
大学物理第3章刚体的定轴转动
13
【例5】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的 质心轴转动，求转动惯量 J。
【解】建立坐标系，分割质量元
J x2dm
l2 l 2
x2Байду номын сангаас
ml dx
1 ml 2 12
x o x dx
【例6】长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴 转动，求转动惯量 J。
【解】J x2dm
L
L
11
【例2】半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平 面的质心轴转动，求转动惯量J。
【解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。
M
J
R2dm R2
M
dm
MR2
0
0
【例3】在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 O轴转动，求质点系的转动惯量J。
刚体作定轴转动时, 刚体上各质点都作圆周运动。 各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。
1.角坐标
OP与极轴之间的夹角称 为角坐标（或角位置）
角坐标为标量，但可有正负。
o
P
x
在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： =(t)，称为转动方程。
3
2.角位移
角坐标的增量 称为刚体的角位移
i
i
i
得 LJ
v i m i ri
29
由刚体定轴转动定律
得到
MJ J
d dt
d( J ) dt
dL dt
M dL 定轴转动刚体角动量定理微分形式 dt
t
L
Mdt d
t0
L0
LLL0
刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
力学讲义-3刚体的定轴转动
物体（包括子弹）在 B 点的速度大小和θ 角的大小。
【思路分析】 此题可分两个过程，第一阶段，子弹射入木块前后，水平方向动量守恒；
第二阶段，含子弹的木块由 A 点沿曲线运动到 B 点，由于作用在木块上的弹簧拉力为有心
力，所以角动量守恒。同时，机械能也守恒，可解之。
解 子弹与木块作完全非弹性碰撞，水平方向动量守恒。设碰后的速度为 uK ，其大小为
（1）
T2 − m2 g sin α = m2a
（2）
另根据转动定律，对滑轮有
还有辅助方程
T1′R − T2′R = J β
T1′ = T1 T2′ = T2 a = Rβ
联立求解上述六个方程，解得 m1 的加速度大小为
a
=
(
m1 − m2 sinα (m1 + m2 )R2
) gR2
+J
（3）
（4） （5） （6）
与质点直线运动相对应的定理和定律，为便于记忆和理解，此处给出了质点一维运动与刚体
定轴转动的相应公式：
2
质点一维运动
刚体定轴转动
位移 Δx 速度 υ = dx
dt
加速度 a = dυ = d2 x dt dt2
质量 m
K 力F
运动定律
K F
=
maK
动量
K P
=
mυK
动量定理
JK dp
=
JK F
dt
∫K Fdt
向弹回，碰撞时间极短，如图 3-4 所示。已知滑块与棒碰撞
前后的速率分别为υ 和 u ，桌面与细棒间的滑动摩擦系数为 μ 。求从碰撞后到细棒停止运动所需的时间。
【思路分析】 首先由碰撞过程角动量守恒求出碰后细棒的角速度，再求得细棒受到的
大学物理上第3章 刚体的定轴转动
z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有： it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和， 对所有质元的同样的式子求和，有：
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩，记作M ∑ F r 表示合外力矩，记作 表示内力矩之和， ∑ f r 表示内力矩之和，其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量，记作J 称为刚体对轴的转动惯量，记作 ∑
则上式可简写成： 则上式可简写成：M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动 轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 说明: 说明: 1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、J、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动：刚体在运动过程中， 刚体的平动：刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终保持平行。 上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 来处理刚体的平动问题。 刚体的定轴转动： 刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同 一直线作圆周运动， 一直线作圆周运动，而直线本身在空 间的位置保持不动的一种转动。 间的位置保持不动的一种转动。这条 直线称为转轴 转轴。 直线称为转轴。
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9
大学物理学
2.
力
F
对转轴
z 的力矩：
M z r F
大小：Mz rF sin Fd
方向：可用正、负号表示。
第三章 刚体的定轴转动
z Байду номын сангаасM z Fz Od r
F F
3.
力矩的合成
M (ri Fi )
矢量和
i
对于固定转轴 Mz (Fidi ) 代数和
i
10
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
平动物体--质点--牛顿定律 线量与角量的关系 转动物体--刚体--转动定律 联动关系
13
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
例3.1 已知定滑轮的质量为 m ，半径
为 R ，若滑轮质量均匀分布，可求得
滑轮的转动惯量为 J 1 mR 2。通过一
轻绳在定滑轮的两边分2别挂上质量为
m
m1 和 m2 的两个物体( m1 > m2 )。设绳 不能伸长，绳与滑轮之间无相对滑动，m2
mR 2
刚体的转动惯量与刚体的质量分布（几何形状） 有关。
21
大学物理学
讨论
第三章 刚体的定轴转动
★刚体转动惯量大小的决定因素： ①质量
转动惯量与质量成正比。
②质量分布（几何形状）
质量越远离转轴分布，转动惯量越大。
③转轴的位置
对于穿过质心的转轴，其转动惯量最小。
★转动惯量是标量，且具有可加性。
22
可绕固定点 O 在竖直平面内转动，现将棒从水
平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平成θ角
时中心点 C 和端点 A 的速率。
解：棒只受重力矩作用
M mg l cos
2
重力矩做功
C
C
mg A
W Md mg l sin
0
2
A
28
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
由动能定理 W mg l sin 1 J 2 0
二、刚体定轴转动的转动定律
z
把刚体看成质点系，由
牛顿第二 定律 ，对质点 i 有 Mzi
Fi fi miai
O
Fit fit miait mi ri
f i ri
Fi t
Fi
mi
ri Fit ri fit ( miri 2 )
i
i
i
合内力矩： ri fit 0
i
合外力矩： M ri Fit ( miri2 ) J
及伸长。 解：分别对滑轮和物体受力分析
对滑轮做功
W1 TR
Th
1 2
J 2
⑴
对物体做功
W2
(m2 g
T
)h
1 2
m2
2
⑵
m1 T
h T
m2
m2 g
30
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
⑴+⑵得，总功
m2
gh
1 2
m2
2
1 2
J
2
且有
J
1 2
m1 R 2
R
解得 2 m2 gh
m1 2m2
系统机械能 守恒吗?
17
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
例3.2 求质量为 m ，长为 l 的均匀细棒对下面
两种给定的转轴的转动惯量。⑴ 转轴通过棒的
中心并与棒垂直。⑵ 转轴通过棒的一端并与棒
垂直。
z
解：在 r 处取 dr 小段质元
dr
dm m dr
dJ
l r 2dm
m
r 2dr
l 2
O
r lr
2
l
⑴ 对中心垂直轴
质量离散分布
r 2dm
m
质量连续分布
12
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
★转动惯量是描述刚体定轴转动时，其转动惯 性大小的物理量。转动惯量越大，刚体的转 动状态越难以改变。
★刚的体F定 轴m a转 ，动地中位的相M当。J ，与质点力学中
●解题基本方法（隔离法） 明确对象→隔离物体→受力分析→建坐标系→ 列方程→解方程→结果讨论
沿直径
1 mR 2 4
沿几何轴
1 2
m( R12
R2 2
)
球体
沿直径
2 mR 2 球壳 沿直径 5
2 mR 2
3
23
大学物理学
四、平行轴定理
第三章 刚体的定轴转动
z zC
J JC md 2
d
JC：刚体对质心轴 zC 的转动惯量
J：刚体对平行轴 z 的转动惯量
例如：细棒的转动惯量
z
J J
C
1 ml 2 12
刚体平动→质点运动
4
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
2. 刚体的转动
刚体中所有点都绕同一条
直线为转轴做圆周运动。
若转轴的位置和方向在所选的参考系中是 固定的，则称为刚体的定轴转动。（本章的研 究对象）
5
大学物理学
3. 刚体的平面平行运动 刚体中任意一点始终
在某一固定平面内运动。
第三章 刚体的定轴转动
dt dt dt
M dL
刚体绕定轴转动时，作用于刚体 的合外力矩 M ，等于刚体绕该轴
dt 的角动量 L 随时间的变化率。
——刚体绕定轴转动的角动量定理（微分式）
36
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
M t2 dt t1
d L2 L
L1
L2
L1
刚体绕定轴转动，其所受的冲量矩等于刚体
角动量的增量。
T2
m2 ( g
a2 )
(4m1 m)m2 g (2m1 2m2 m)
16
大学物理学
三、刚体对定轴的转动惯量
第三章 刚体的定轴转动
1. 质量离散分布（质点系）
z
r1 r2
J (miri 2 )
i
m1 O m2
J m1r12 m2r22
2. 质量连续分布
z
J r 2dm m
m O r dm
解：⑴ 在环上取 dm 质元
dJ R2dm
J R2dm mR 2 m
m dm
R
O
20
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
⑵ 取半径为 r ，宽度为 dr 的细圆环，则
dm
m
R2
2 rd r
2m R2
rdr
m
R r dr O
dJ
r 2dm
2m R2
r 3dr
J
R 0
2m R2
r 3dr
1 2
J
l
2 l
2
m l
r 2dr
1 12
ml
2
18
大学物理学
⑵ 对端点垂直轴
J l m r 2dr 1 ml 2
0l
3
第三章 刚体的定轴转动
z
dr
O
r
r l
刚体的转动惯量与刚体的质量和转轴位置有关。
19
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
例3.3 试求：⑴ 质量为 m ，半径为 R 的均匀 细圆环对通过中心并与环面垂直的转轴的转动 惯量。⑵ 质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆盘 对通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。
将转动定律应用到力矩做功公式中，有
W 2 Md 2J d
1
1
2J d d
1 dt
2J
1
d
1 2
J22
1 2
J12
W
1 2
J
2 2
1 2
J12
合外力矩对定轴转 动刚体所做的功等 于刚体转动动能的
增量。
——刚体定轴转动的动能定理 27
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
例3.4 一根质量为 m ，长为 l 的均匀细棒OA，
刚体的内力不做功。 25
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
二、刚体定轴转动的转动动能
把刚体看成质点系，则动能为
Ek
i
(
1 2
mi
i
2
)
i
(
1 2
mi
ri
2
2
)
1 2
i
(miri 2 ) 2
刚体定轴转动的 转动动能
Ek
1 2
J 2
26
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
三、刚体定轴转动的动能定理
i
i
11
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
M J
刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与所 受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反 比。——刚体的定轴转动定律（转动定律）
★外力矩 M 是使刚体转动状态发生变化即产生
角加速度 的原因。M 与 同向，它们是
瞬时关系。
★转动惯量：J
i
(mi ri 2 )
T1 R
T2 R
J
1 2
mR 2
T2 T2
a2
T1 m2 T1
m2g m1 a1
m1g
a1 a2 R
15
大学物理学
第三章 刚体的定轴转动
解得 ⑴ (m1 m2 )g
(m1
m2
m 2
)R
⑵
a1
a2
R
(m1 m2 )g
(m1
m2
m 2
)
⑶
T1
m1( g
a1 )
(4m2 m)m1g (2m1 2m2 m)
dt
加速度与角加速度： at