能量守恒定律 刚体的定轴转动
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刚体的定轴转动
第一节 刚体运动的描述
图5- 4 刚体的角量描述
第二节 刚体的定轴转动定律
一、 力对转轴的力矩
对于刚体的定轴转动而言，若 作用在刚体上p点的力F在转动平面 内，力的作用点p相对于转轴的位 矢为r，力臂为d，则力F对转轴的 力矩为
M=r×F 其中，力矩的大小M=Frsin θ 如图5-5所示.
图5- 5 力在转动平面内
第一节 刚体运动的描述
图5- 1 刚体的平动
第一节 刚体运动的描述
2. 刚体的转动
刚体在运动过程中，如果其上所有的点都绕同一条直线做圆 周运动，那么这种运动称为转动，这条直线称为转轴.如果转轴的 位置或方向随时间变化，那么这种转动称为非定轴转动；如果转 轴的位置或方向是固定不动的，那么这种转动称为定轴转动.
第一节 刚体运动的描述
一、 刚体的平动和转动
1. 刚体的平动
刚体在运动过程中,如果其上任意两点间所连的直线始终保持平 行,那么这种运动称为刚体的平动.例如,汽缸中活塞的运动、车床上 车刀的运动、升降机运动等,都属于平动.显然,刚体做平动时,刚体上 任意一条直线在刚体平动过程中始终保持平行,如图5-1所示.直线上 所有的点应有完全相同的位移、速度和加速度.在平动过程中,刚体上 所有点的运动是完全相同的，它们都具有相同的位移、速度和加速 度.因此，可以用刚体上任意一点的运动来代表整个刚体的平动.前面 质点运动的描述和质点力学的规律，实际上是刚体的平动规律.
第一节 刚体运动的描述
一般物体在外力作用下，其形状和大小都要发生变 化.但如果在外力作用下，物体的形状和大小保持不变， 即物体内任意两点之间的距离不因外力而改变，这样的物 体称为刚体.刚体可以看成由无数个连续分布的质点组成 的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元，这样刚体的 每个质量元都服从质点力学规律.不同于质点，刚体这个 特殊的质点系的力学规律有自己特殊的表现形式.
守恒定律与刚体定轴转动精品课件
▶
引力势能：Ep
=
−
Gm1 r
m2
▶
弹性势能：
1 2
k
(x
−
x0 )2
质心：⃗rC
=
∑∑i immi⃗ri i ，或 ⃗rC
=
∫ ∫⃗rdm
dm
质心运动定理：F⃗ 外 = m⃗aC
克尼希定理：Ek = ECk M + EC
质点的角动量：⃗L = ⃗r × ⃗p = m⃗r × ⃗v
角动量定理：M⃗
=
一质量为 m 的滑块以初速度 v0 沿切线方向进入屏障的一端，
⃗v
如图所示。设滑块与屏障间的摩擦系数为 µ。证明：当滑块从
屏障的另一端滑出时，摩擦力所做的功为
O
Wf
=
1 2
mv20(e−2µπ
− 1)。
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
. .. . . ..
2 / 33
功、动能、角动量定理
基本概念
功：质点在力 F⃗ 的作用下有位移 d⃗r，
该力做的功 dW = F⃗ ·d⃗r = Fdr cos θ,
∫B WAB = F⃗ ·d⃗r
A
动能（运动状态速率
v
的函数）：
1 2
mv2
（质点动能）
动能定理
▶ 质点的动能定理： WAB = EkB − EkA
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . .. 10 / 33
讨论题
2. 判断在下列几种情况中机械能是否守恒： (1) 当物体在空气中下落时，以物体和地球为系统 (2) 当地球表面物体匀速上升时，以物体与地球为系统（不计空气阻力） (3) 子弹水平地射入放在光滑水平桌面上的木块内，以子弹和木块为系统 (4) 当一球沿光滑的固定斜面向下滑动时，以小球和地球为系统
(完整版)刚体转动守恒定律
速度0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为 ，按 力矩的功和转动动能增量的关系式得
定轴转动的动能定理
mg l 1 J 2
22
由此得 mgl
J
因 J 1 ml 2 代入上式得 3g
3
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度
分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
刚体的平面平行运动
c.若系统内既有平动也有转动现象 发生，若对某一定轴的合外力矩为 零,则系统对该轴的角动量守恒。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
dv d2 x a dt dt2
P mv F
EK
1 mv2 2
m
dA Fdx Fdt
刚体的定轴转动
d
dt
d
dt
Mz
dLz dt
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
角动量定理的微分形式：
t2 t1
M
d
t
J
J0
t2 M d t为t t2 t1时间内力矩M 对给定轴的冲量矩
t1
。
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律：若一个系统一段时间内
所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角 动量L 为一恒量。
解 先对细棒OA所受的力
作一分析；重力G 作用在 O
棒的中心点C，方向竖直向
下；轴和棒之间没有摩擦
力，轴对棒作用的支承力N
垂直于棒和轴的接触面且
通过O点，在棒的下摆过
G
程中，此力的方向和大小
4-7 刚体定轴转动的势能和机械能守恒
大学 物理学
4-7
刚体定轴转动的势能和机械能守恒
刚体作为特殊的质点系，满足质点系的功能原理 和当条件成立时满足机械能守恒
刚体重力势能：
Δ mi
C×
hc hi
刚体重力势能等于质量集中于质 心， Ep=0 质心的重力势能。
第四章 刚体的转动
1
大学 物理学
4-7
刚体定轴转动的势能和机械能守恒
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
1 3mva 2 2 mva ( ml ma ) 2 2 3 m'l 3ma
第四章 刚体的转动
5
大学 物理学
4-7
刚体定轴转动的势能和机械能守恒
射入竿后，以子弹、细 杆和地球为系统：
外力： F
F
o
'
30
a
m dWF M F d 0 v in 非保守内力：刚体内力 W刚体 0
W
ex
W 0
in nc
第四章 刚体的转动
6
E E0
大学 物理学
4-7
刚体定轴转动的势能和机械能守恒
选初始位置为势能零点
o
30
1 1 ( ml 2 ma 2 ) 2 2 3
o
a
m v
'
l o mga (1 cos30 ) m g (1 cos 30 ) 2
dAF 0
N
M d 0 d 0 dAN N
第四章
刚体的转动
m1 g
9
大学 物理学
4-7
刚体定轴转动的势能和机械能守恒
FN
考虑过程：m2位移（下降）dh
4-7
刚体定轴转动的势能和机械能守恒
刚体作为特殊的质点系，满足质点系的功能原理 和当条件成立时满足机械能守恒
刚体重力势能：
Δ mi
C×
hc hi
刚体重力势能等于质量集中于质 心， Ep=0 质心的重力势能。
第四章 刚体的转动
1
大学 物理学
4-7
刚体定轴转动的势能和机械能守恒
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
1 3mva 2 2 mva ( ml ma ) 2 2 3 m'l 3ma
第四章 刚体的转动
5
大学 物理学
4-7
刚体定轴转动的势能和机械能守恒
射入竿后，以子弹、细 杆和地球为系统：
外力： F
F
o
'
30
a
m dWF M F d 0 v in 非保守内力：刚体内力 W刚体 0
W
ex
W 0
in nc
第四章 刚体的转动
6
E E0
大学 物理学
4-7
刚体定轴转动的势能和机械能守恒
选初始位置为势能零点
o
30
1 1 ( ml 2 ma 2 ) 2 2 3
o
a
m v
'
l o mga (1 cos30 ) m g (1 cos 30 ) 2
dAF 0
N
M d 0 d 0 dAN N
第四章
刚体的转动
m1 g
9
大学 物理学
4-7
刚体定轴转动的势能和机械能守恒
FN
考虑过程：m2位移（下降）dh
刚体定轴转动角动量守恒定律
角动量守恒； 机械能不守恒 .
机械能不守恒 .
第四章 刚体力学
角动量守恒； 机械能守恒 .
2
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
例：细棒m1，l静止放在摩擦系数为的水平桌上，可绕O旋转， 1 2 J m1l ., 小球以v1垂直击另一端，并以v2反向弹回。 3 求：（）碰后棒角速度；（）开始转动到停止所需 1 2 时间。 O 解： (1)碰撞过程中，角动量守 恒（向外为转轴正向）
生活中的例子：芭蕾舞 、滑冰、跳水
第四章 刚体力学
1
大学 物理
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律 讨论 子 弹 击 入 杆 圆 锥 摆
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
o
Hale Waihona Puke o T'
v
m
v
p
o
v
R
以子弹和沙袋为系统 动量守恒；
以子弹和杆为系统 动量不守恒； 角动量守恒；
圆锥摆系统 动量不守恒；
m2v1l m2v2l J
3m2 (v1 v2 ) m1l
(2)对棒，用角动量定理（ 设摩擦力矩 r ) M v1
l
m2
m1
v2
1 M r dt 0 J m1l 2 0 3
t
第四章
刚体力学
3
大学 物理
t
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
1 M r dt 0 J m1l 2 0 3
4-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
例 长为 l 的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下垂，如图 所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为l，摆球质量为m。现将 单摆拉到水平位置后由静止释放，摆球在 A 处与直杆作完全 弹性碰撞后恰好静止。试求：⑴ 细直杆的质量m0；⑵ 碰撞后 细直杆摆动的最大角度。（忽略一切阻力）
刚体的能量定轴转动的动能定理
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL 1 mL2
3g L
3
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
求： 当杆过铅直位置时的角速度：
N
YZ
XO
r
mg
刚体定轴转动的势能和机械能守恒_1446
m1l 2
12m2u
(m1 3m2 )l
u(m1 3m2)
m1 3m2
4.7 刚体定轴转动的势能和机械能守恒
4.7-4一长为l，质量为m1的棒可绕O点在竖直 平面内自由转动．一质量为m2，速度为v的子 弹射入棒内不复出，射入点距O点为a．若棒
偏转过的最大角度为60°，问子弹的初速度
联立解得 v Jg(m2a0.5m1l)
m2a
4.7 刚体定轴转动的势能和机械能守恒
水平面内绕通过其中心的竖直定轴转动，开
始细棒静止．质量为m2的小球，以水平速度 u与棒的端点作弹性碰撞．求：碰后小球弹
回的速度及棒的角速度
m2
解:不考虑摩擦力矩的作用,
O
u
弹性碰撞前后: 角动量守恒 m2u2l Jm22l 机械能守恒 12m2u212J212m22
m1 l
J
1 2
运动过程中只有保守内力做功，刚体 系统的机械能仍然守恒。
4.7 刚体定轴转动的势能和机械能守恒
4.7-1如图所示，一匀质细杆，质量为m1， 长为L，可绕通过其一端的水平光滑轴O在
铅直面内转动，另一端连接一质量为m2的小
球．现将杆抬至水平，静止后释放，求杆
摆至铅直位置时杆的角速度
解：杆摆下过程机械能守恒
刚体定轴转 动的势能和 机械能守恒
4.7 刚体定轴转动的势能和机械能守恒
刚体在重力、弹性力等保守力作用 下转动,刚体定轴转动的势能为：
E p m igh i( m ih i)gii刚体质心高度
m ihi
h c i m i
得 Ep mghc
i
刚体与地球系统的重力势能，等于刚体 的质量集中于质心时系统所具有的势能。
《大学物理》3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动， 例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
1 2
卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力， 解：卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力，其它力忽 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 m
0
r
A
θ = 90
0
mv
质点作圆周运动的角动量
θ
L = rmv = mr ω
2
2.2刚体的角动量 刚体的角动量 刚体对 oz轴的角动量为
z
ω
v
2
i
L = ∑ m r ω = (∑ m r )ω
2 i i i i
o
r
i
m
i
∑ m r 刚体绕 oz 轴的转动惯量
2 i i
L = Jω
L = Jω
刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。 刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。
1 m v 0 a = ( ML2 + ma 2 )ω 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML + ma )ω = mga (1 cos60°) + Mg (1 cos60°) 2 3 2
ω=
3(2ma + ML)g 2(3ma 2 + ML2 )
二、角动量定理和角动量守恒定理
1× mv 对时间求导 = r × (mv ) + × mv dt dt dt dr d dL ∵ = v , F = (mv ) M = dt dt dt dL 质点所受合外力矩等于质 ∴ = r × F + v × mv dt 点角动量对时间的变化率
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第二章 守恒定律
17
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
➢ 转动定律应用 M J
说明
(1) M J , 与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系．
(3) 转动中M J与平动中F ma
地位相同．
第二章 守恒定律
18
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
说明
刚体的转动惯量与以下三个因素有关：
第二章 守恒定律
14
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
转动定律 M J 讨论 （1） M
J （2） M J J d
dt
（3）M 0， ω=常量
第二章 守恒定律
15
物理 （工）
三 转动惯量
2-4 刚体的定轴转动
J mjrj2 J r2dm j
➢ 转动惯量的单位：kg·m2
第二章 守恒定律
22
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
2 刚体定轴转动的角动量定理
质M点i mi受ddLt合i 力d矩(dJMti()包括ddMt (iemx、iri
Miin
2)
)
对定轴转动的刚体
M
MMidex(Jdd)t
(
M i in
mi dL
矩等于角动量的增量．——定轴转动的角
动量定理
第二章 守恒定律
24
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0，则 L J =常量
如果物体所受的合外力矩等于零， 或者不受外力矩的作用，物体的角动量 保持不变．——角动量守恒定律
第二章 守恒定律
25
物理 （工）
2
物理 （工）
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
2-4 刚体的定轴转动
特点：各点运动
状态一样，如：v、a
等都相同．
刚体平动 质点运动
第二章 守恒定律
3
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
第二章 守恒定律
4
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
第二章 守恒定律
21
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
二 刚体定轴转动的角动量定理
和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动
的角动量
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
L
i
J
z
O ri vi
mi
j
第二章 守恒定律
13
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
Mej ( mjrj2 )α
j
定义转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
z
O rj
Fej
m j
Fij
转动定律 M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
2-4 刚体的定轴转动
讨论
➢ 守恒条件 M 0
若 J 不变，不变； 若 J 变， 也变，但 L J 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中 M in >> M exL 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第二章 守恒定律
26
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
Ft
F
O
r m
Fn
第二章 守恒定律
12
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
（2）刚体
质量元受外力
内力
Fij
Fej，
Mej Mij mjrj2
外力矩 内力矩
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
Mij M ji Mij 0
0 ，合外力矩
ri
2)
d(J)
dt
dt dt
第二章 守恒定律
23
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从
t1到 t2内，角速度从ω1变为 ω2，积分可得：
t2
t1
Mdt
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量
第二章 守恒定律
20
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
例2-14 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通
过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ，
r 在盘上取半径为 ，宽为 dr
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r2dm 2π r3dr 而 m π R2
➢ J 的意义：转动惯性的量度 .
第二章 守恒定律
16
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
➢ J 的计算方法
❖ 质量离散分布
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm j
r2dV V
dm：质量元 dV ：体积元
角速度矢量 lim d
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
第二章 守恒定律
6
物理 （工）
刚体定轴转动 (一维转动)的转动 方向可以用角速度 的正、负来表示.
角加速度 d
dt
2-4 刚体的定轴转动
z
>0
z
<0
第二章 守恒定律
7
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
z的力矩 F
F
Fi 0,
i
F
Mi 0
i
z
F
M
Od
r
P*
F
Fi 0,
i
F
Mi 0
i
第二章 守恒定律
9
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
讨论 （1）若力 F不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
F
Fz
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
§2-4 刚体的定轴转动
第二章 守恒定律
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．)
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
第二章 守恒定律
F
其中 Fz对转轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
第二章 守恒定律
10
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
（2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
定轴转动的特点
(1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；
(2) 任一质点运动 ,,均相同，但
v, a不同；
(3) 运动描述仅需一个角坐标．
第二章 守恒定律
8
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
一 力矩
用来描述力对刚体
的转动作用．
M Frsin Fd
d: 力臂
FM对 转r轴
解 GR J2 2 GR J FT R J1 1 FT R J
又 G > FT
所以 2 > 1
答案：选（C）
R β1
FT FT’
G
第二章 守恒定律
R β2
G
28
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
2012.10真题第2的体密度 有关． （2）与刚体的几何形状(及体密度 的分
布)有关．
（3）与转轴的位置有关．
第二章 守恒定律
19
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
2010.10
一匀质圆盘对某轴的转动惯量J=50kg·m2， 若它受到对于该轴的合外力矩M=l00N·m， 则圆盘的角加速度 α=______________rad/s2.
刚体的一般运动可看作：
随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
第二章 守恒定律
5
物理 （工）
2-4 刚体的定轴转动
一 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
z
ω
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0
r P’(t+dt)
.. O d P(t)
x
角位移 (t t) (t)
M ij
rj
j
O
d
ri
i
Fij
Fji
M ji
第二章 守恒定律
Mij M ji
11
物理 （工）
二 转动定律 （1）单个质点 m