一元二次方程根的分布测试及答案
一元二次方程根的分布(2019年11月)
C.必要不充分条件 D.既不必要不充分条件
例5:求方程3x2－2mx+m+1=0一根在0,1之 间另一根在1,2之间的充要条件
例6 : 抛物线y=－x2+3x－m与直线y=3－x在 0<x<3时只有一个交点,求m的范围. －3<m≤0或m=1
例7 设m,n分别是关于x的二次方程ax2+bx+c=0
一、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)的根的问题，常利用韦达 定理和判别式来解。常用结论有：1 方源自有两个正根2 方程有两个负根
3.方程有一个正根一个负根
x1 x2 0(或ac 0)
0
4.方程两根都大于m (x1 m) (x2 m) 0
(x1 m) (x2 m) 0
0
5 .方程两根都小于m (x1 m) (x2 m) 0
(x1 m) (x2 m) 0
6. 方程一根大于m另一根小于m
(x1 m) (x2 m) 0
• 例1: 方程x2+2ax+1=0有两个不等负
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
2.方程两根都小于m 3.方程一个根大于m另一根小于m 4.方程两根都大于m且都小于n
5.x1<m<n<x2
6.若f(m) ·f(n)<0，则方程必有一根在m与n之间
一元二次方程根的分布例题
例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点 的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围． 解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得：
x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, ① 由题意，方程①在区间(0, 1)上有实根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，则 当且仅当 f(0)·f(1)<0或 m<0或 m≤3-2且m≠0． 故m的取值范围为 (-, 0)∪(0, 3-2]. 例6.3．设关于的方程R）， （1）若方程有实数解，求实数b的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的 解。 分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有 解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解．另外，方程有解的问 题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方 程有解，则的值域． 解：（1）原方程为， ， 时方程有实数解； （2）①当时，，∴方程有唯一解； ②当时，. 的解为； 令 的解为； 综合①、②，得 1）当时原方程有两解：； 2）当时，原方程有唯一解； 3）当时，原方程无解。 变式：已知方程在上有两个根，求的取值范围． 解：令，当时，． 由于是一一映射的函数，所以在上有两个值，则在上有两个对应的 值．因而方程在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为
例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐Байду номын сангаас平面上两点(0,0), (1,1)为端点 的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围．
例6.3．设关于的方程R）， （1）若方程有实数解，求实数b的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案一、选择题1．用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是（ ） A ．(x −34)2=1716 B ．(x −34)2=12 C ．(x −34)2=134D ．(x −34)2=1142．一元二次方程(x −22)2=0的根为（ ）． A ．x 1=x 2=22B ．x 1=x 2=−22C ．x 1=0，x 2=22D ．x 1=−223．关于一元二次方程x 2+kx −9=0（k 为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定根的情况4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A ． 且B ．C ．且D ．5．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则的的值为（ ）A ．2B ．-1C ．2或-1D ．1或-26．已知a ，b 是一元二次方程x 2+3x −2=0的两根，则a 2+5a +2b 的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．07．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2−16x +60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A ．24B ．48C ．24或8√5D ．8√5 8．已知一元二次方程x 2+2x +6=10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2x 1x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12D ．−12二、填空题9．若用配方法解方程x 2+4x +1=0时，将其配方为(x +b)2=c 的形式，则c = ． 10．若实数a ，b 满足a −2ab +2ab 2+4=0，则a 的取值范围是 ． 11．已知(a 2+b 2)2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 .12．关于x 的一元二次方程x 2+2x-a ＝0的一个根是2，则另一个根是 .13．设x1，x2是方程2x2+6x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是．三、解答题14．解方程：（1）x2−4x+3=0；（2）3x2−5x+1=0．15．已知x=√5−1，求代数式x2+2x−3的值．16．关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．17．已知关于的一元二次方程（1）若方程的一个根为，求的值及另一个根；（2）若该方程根的判别式的值等于，求的值.18．若关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是、且满足，求的值.参考答案1．A2．A3．A4．A5．A6．B7．C8．B9．310．−8≤a<011．312．-413．−7214．（1）解：∵x2−4x+3=0∴(x−3)(x−1)=0∴x−3=0或x−1=0∴x1=3，x2=1．（2）解：∵3x2−5x+1=0∴a=3，b=−5，c=1∴Δ=25−12=13>0∴x=5±√136∴x1=5+√136，x2=5−√136．15．解：当x=√5−1时x2+2x−3＝x2+2x+1−1−3＝(x+1)2−4＝(√5−1+1)2−4＝5－4＝1．16．解：∵∴且，即．解得：且．17．（1）解：设方程的另一根是x2.∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3∴x=3是原方程的解∴9m﹣（m+2）×3+2=0解得m= ；又由韦达定理，得3×x2=∴x2=1，即原方程的另一根是1（2）解：∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3.18．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根∴即解得：；（2）解：设方程的两根分别是∴又∵∴∴∴解得：. 经检验，都符合原分式方程的根∵，∴。
一元二次方程在给定区间上的根的分布典例讲解
一元二次方程在给定区间上的根的分布典例讲解资料编号:202011202213例题 在“①∅=A ,②A 恰有两个子集,③∅≠⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A ”这三个条件中任选一个,补充在下列横线上,求解下列问题. 已知集合{}0122=+-=x mx x A . （1）若A ∉1,求实数m 的取值范围;（2）若集合A 满足__________,求实数m 的取值范围. 解:（1）若A ∈1,则012=+-m ,解之得:1=m . ∵A ∉1∴实数m 的取值范围是{}1≠m m ; （2）若选①:∅=A .当0=m 时,012=+-x ,解之得:21=x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ,不符合题意; 当0≠m 时,则有:()0422<--=∆m ,解之得:1>m . 综上所述,实数m 的取值范围是()+∞,1. 若选②: A 恰有两个子集. ∵A 恰有两个子集 ∴集合A 中只有一个元素. 当0=m 时,012=+-x ,解之得:21=x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ,符合题意; 当0≠m 时,则有:()0422=--=∆m ,解之得:1=m . 综上所述,实数m 的取值集合为{}1,0.若选③:∅≠⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A .∵∅≠⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A∴关于x 的方程0122=+-x mx 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,21内有解,显然,0≠m .（当0=m 时,∅=⎪⎭⎫⎝⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧=2,2121 A ,不符合题意）问题等价于当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,21x 时,求函数1111222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=x x x m 的值域. ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,21x ,∴⎪⎭⎫⎝⎛∈2,211x . ∴(]1,0∈m .∴实数m 的取值范围为(]1,0.另解分析 我们也可以采用“正难则反”的解题策略,来求解选择③时实数m 的取值范围.若∅=⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A :当0=m 时,012=+-x ,解之得:21=x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ,符合题意; 当0≠m 时,若∅=A ,则044<-=∆m ,解之得:1>m ;若∅≠A ,则方程0122=+-x mx 的两个实数根均小于21或大于2. 设()122+-=x mx x f ,其图象的对称轴为直线mm x 122=--=,方程0122=+-x mx 的两个实数根分别为21,x x .当方程0122=+-x mx 的两个实数根均小于21,则有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-=∆02121021210442121x x x x m ,即()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-=++-<-=-+≤04111412101211212121m m x x x x m x x m ,解之得:0<m ; 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=∆211041210442m m mf m ,解之得: 0<m ; 当方程0122=+-x mx 的两个实数根均大于2时,则有:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥-=∆022*******121x x x x m ,即()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-=++->-=-+≤04414204241212121mm x x x x m x x m ,解之得:无解. 或()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-=≥-=∆210342044mm m mf m ,解之得:无解. 综上所述,当∅=⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A 时,实数m 的取值范围为(]()+∞∞-,10, .∵∅≠⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A∴实数m 的取值范围为(]1,0.重要结论 若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根21,x x 均小于实数k ,则有:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--<-+-≥∆0002121k x k x k x k x , 或()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥∆k ab k af 200. 若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根21,x x 均小于实数k ,则有:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥∆0002121k x k x k x k x , 或()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥∆k ab k af 200. 另解分析 我们也可以从一元二次方程的跟的分布的角度理解问题.∅≠⎪⎭⎫⎝⎛2,21 A 说明方程0122=+-x mx 的两个根都在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21内,或只有一个根在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21内.需要用到下面重要的结论.（1）若一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根均在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆2121200k ab k k f k f . （2）若一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f ,或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k abk . 注意:要验证端点值:()01=k f ,()02=k f .另解 设()122+-=x mx x f ,其图象的对称轴为直线mm x 122=--=. 当0=m 时,012=+-x ,解之得:21=x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21A ,不符合题意; 当0≠m 时,若方程0122=+-x mx 的两个根都在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,21内,则有:()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>-=>=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=∆21210342041210442mm m mf m mf m ,解之得:m <43≤1. 若方程0122=+-x mx 只有一个根在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,21内,则有:()()03441221<-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛m m f f 或⎪⎩⎪⎨⎧<<=∆21210m.解之得:430<<m 或1=m . 令04121==⎪⎭⎫ ⎝⎛m f ,解之得0=m （舍去）;令()0342=-=m f ,解之得:43=m ,把43=m 代入方程可得:04832=+-x x ,解之得:⎪⎭⎫ ⎝⎛∉=2,2121x ,⎪⎭⎫⎝⎛∈=2,21322x ,符合题意. 综上所述,实数m 的取值范围为(]1,0. 巩固练已知方程()0112=+-+x m x .（1）若方程在区间[]2,0上有两个解,求实数m 的取值范围; （2）若方程在区间[]2,0上只有一个解,求实数m 的取值范围; （3）若方程在区间[]2,0上有解,求实数m 的取值范围. 解:（1） ∵方程()0112=+-+x m x 在区间[]2,0上有两个解∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<--<≥-+=>=>--=∆2210012420100412m m f f m ,解之得:23-≤1-<m .∴实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,23; （2）∵方程()0112=+-+x m x 在区间[]2,0上只有一个解∴()()()[]0124120<-+⨯=⋅m f f 或()⎪⎩⎪⎨⎧<--<=--=∆22100412m m 解之得:23-<m 或1-=m . 令()()01242=-+=m f ,解之得:23-=m ,此时方程在区间[]2,0上有两个解,不符合题意. 综上所述,实数m 的取值范围为{}123,-⎪⎭⎫⎝⎛-∞- ;（3）由（1）、（2）可知,若方程()0112=+-+x m x 在区间[]2,0上有解则实数m 的取值范围为{}(]1,123,1,23-∞-=-⎪⎭⎫⎝⎛-∞-⎪⎭⎫⎢⎣⎡-- .另解 方程()0112=+-+x m x 在区间[]2,0上有解 即方程12-+-=x x mx 在区间[]2,0上有解当0=x 时,01=-,显然不成立,舍去（即不存在实数m ,使方程的解为0）. 当0≠x 时,问题等价于当(]2,0∈x 时,求函数11+--=xx m 的值域. ∵1111+⎪⎭⎫⎝⎛+-=+--=x x x x m ≤112112-=+-=+⋅-x x当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴m 的最大值为1-,无最小值.∴m ≤1-,即实数m 的取值范围为(]1,-∞-.。
不等式一元二次方程根的分布
2023-11-07
目录
• 定义和公式 • 根的分布情况 • 图像表示 • 实例分析 • 解题技巧和注意事项 • 练习题与答案
01
定义和公式
一元二次方程的标准形式
定义
一元二次方程的标准形式是$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。
说明
一元二次方程的标准形式是解决一元二次方程问题的基础，通过配方等方法 可以将非标准形式一元二次方程转化为标准形式，便于分析其根的分布情 况。
实例二：求解不等式组
• 总结词：利用一元二次方程的根与系数的关系，求解不等式组。 • 详细描述：对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，当 $a>0$ 且 $\Delta\geq 0$ 时，方程有两个实根
$x_1$ 和 $x_2$，且 $x_1<x_2$。利用根与系数的关系，我们有 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ 和 $x_1x_2=\frac{c}{a}$。对于不等式组 ${ax^2+bx+c<0, x_1\leq x \leq x_2}$，可以通过求解两个根 $x_1$ 和 $x_2$ 的和与积，结合根的存在性条件，得出不等式组的解集。
01
02
03
两根不等
当判别式Δ大于0时，一 元二次方程有两个不相等 的实根。
实根与系数关系
两个实根的和为-b/a，两 个实根的积为c/a。
图像表示
在实数平面上表示为两个 不相交的直线。
当Δ = 0时，方程的根的分布
两根相等
当判别式Δ等于0时，一元 二次方程有两个相等的实 根。
实根与系数关系
专题一元二次方程根的分布(解析版)
专题04 一元二次方程根的分布二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.若在()+∞∞-,内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考查()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由∆、21x x +、21x x ⋅的值与符号，从而判断出实根的情况.若在区间()n m ,内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定.知识梳理分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）知识结模块一：得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f大致图象（0<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f综合结论（不讨论）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a【例1】已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由典例剖析()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+即为所求的范围．【例2】若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1） 方程两实根均为正数； （2） 方程有一正根一负根． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法．解1 （1）由题意，得.45244050)2(0)5(4)2(00022121-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->--≥---⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆m m m m m m m m m x x x x 或所以，当4-≤m 时，原方程两实根均为正数；（2）由题意，得.5050021>⇒<-⇒⎩⎨⎧<≥∆m m x x所以，当5>m 时，原方程有一正根一负根．解2 二次函数m x m x y -+-+=5)2(2的图象是开口向上的抛物线． （1）如图，由题意，得4052)2(4)2(022050)2(020)0(22-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+--->-->-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->->m m m m m m a b f a b f 。
一元二次方程根的分布问题
而另一根不小于 1. 试求：
（1）参数 m 的取值范围； （2）方程两根的平方和的最大值和最小值.
5．设 m 是整数, 且方程 3x2 mx 2 0 的两根都大于
9 7 而小于 ，求 m 得值。 5 3
二次方程的应用 二次方程最重要的性质是判别式和韦达定理 . 下面通过一些例题给出关于二次方程性 质的应用. 对于与二次方程有关的问题，通常可以利用判别式、韦达定理和求根公式解决. 例 1 已知实数 a ， b （ a b ） ，且满足
练习： 1．若方程 x2 3x 1 0 的两根 α ， β 也是方程 x
4
px2 q 0的根，求 p q 的值。
2．设 x1 ， x2 二次方程 x2 x 3 0 的两个根，求 x1
3
4x2 19 的值。
3．已知 b ， c 满足 c b 0 的整数，方程 x2 bx c 0 有两个不等的实根 x1 ， x2 ，在
例 3 若实数 x ，
y 满足
x y x y 1，求 x y 得值。 3 3 3 1， 3 3 3 3 4 3 6 5 4 5 63
3
求根公式法 例 4 已知 a 0， b 0 ， c 0，且
b2 4ac b 2ac，求 b2 4ac的最小值。
一元二次方程根的分布问题 一元二次方程根的分布问题是初中数学竞赛的一个热点问题， 它包括根的分布、 求参数 的范围等内容，涉及函数、不等式等知识，综合性较强。 例 1 当 a 满足什么条件时，方程 (a 值较大？
2
1)x2 6(3a 1)x 72 0 的两根异号且负根的绝对
例 2 设关于
2b 3c 得 a
一元二次方程根的分布(精练)(解析版)--2023届初升高数学衔接专题讲义
2023年初高中衔接素养提升专题课时检测第五讲一元二次方程根的分布（精练）（解析版）（测试时间60分钟）一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2022·四川巴中高一专题检测）若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实根，则m 的取值范围为（）A．((),22-∞---++∞B．(33---+C．((),33-∞---++∞D．(22---+【答案】C 【解析】由关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实根，所以2(1)40m m ∆=++=，即26+10m m +>解得：3m >-+或3m <--2.（2022·江苏·高一专题检测）一元二次方程24260x mx m -++=有两个不等的非正根，则实数m 的范围为（）A．30m -<<B．31m -<≤-C．31m -≤<-D．312m -≤≤【答案】C【解析】因为一元二次方程24260x mx m -++=有两个不等的非正根，2164(26)020260m m m m ⎧∆=-+>⎪<⎨⎪+≥⎩，解得31m -≤<-，故选：C 3.（2022·陕西榆林高一专题检测）若方程()2250x m x m ++++=只有正根，则m 的取值范围是（）A．4m ≤-或4m ≥B．54m -<≤-C．54m -≤≤-D．52m -<<-【答案】B 【解析】方程()2250x m x m ++++=只有正根，则1（）当()()22450m m ∆=+-+=，即4m =±时，当4m =-时，方程为()210x -=时，1x =，符合题意；当4m =时，方程为()230x +=时，3x =-不符合题意.故4m =-成立；2（）当()()22450m m ∆=+-+>，解得4m <-或4m >，则()()()224502050m m m m ⎧∆=+-+>⎪-+>⎨⎪+>⎩，解得54m -<<-.综上得54m -<≤-.故选B.4．（2022·江苏·高一月考）设1x ，2x 是关于x 的方程2(1)20x a x a +-++=的根．若111x -<<，212x <<，则实数a 的取值范围是()A ．4(,1)3--B ．31(,)42-C ．(2,1)-D ．(2,1)--【解答】解：由题意知，函数2()(1)2f x x a x a =+-++开口方向向上，若111x -<<，212x <<，则函数须同时满足三个条件：当1x =-时，2(1)20x a x a +-++>，代入解得40>，恒成立；当1x =时，2(1)20x a x a +-++<，代入解得220a +<，1a <-；当2x =时，2(1)20x a x a +-++>，代入解得4340,3a a +>>-，综上，实数a 的取值范围是4(,1)3--．故选：A ．5．（2022·广东深圳高一专题检测）已知一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，则m 的值为()A ．4-B ．5-C ．6-D ．7-【解答】解：一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，令2()(1)10g x x m x =+++=，则(0)0(1)0(3)0g g g >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即10301330m m >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得1333m -<<-，m Z ∈ ，4m ∴=-．故选：A ．二、填空题6.（2022·浙江义乌高一专题检测）若关于x 的方程20x x a ++=的一个根大于1、另一个根小于1，则实数a 的取值范围为_____.【答案】(,2)-∞-【解析】 关于x 的方程20x x a ++=的一个根大于1、另一个根小于1，令2()f x x x a =++，则()120f a =+<，解得2a <-，7.（2022·江苏·高一专题检测）已知方程x 2－a 2x －a ＋1＝0的两根x 1，x 2满足0＜x 1＜1，x 2＞1.则实数a的取值范围是．【解析】设f(x)＝x2－a2x－a＋1.(0)＝－a＋1＞0，(1)＝1－a2－a＋1＜0，解得a＜－2.8（2022·甘肃景泰二中高一专题检测）若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个小于2的不同零点，则实数m的取值范围是．【解析】＝(m－2)2－4(5－m)＞0，－m－22＜2，(2)＝m＋5＞0，解得m＞4.9.（2022·银川一中高一专题检测）关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0两个实根x1，x2满足x1＜2，x2＞4，则实数m的取值范围是．【解析】设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6.(2)＝4＋4(m－1)＋2m＋6＜0，(4)＝16＋8(m－1)＋2m＋6＜0，m＋6＜0，m＋14＜0，解得m＜－75.三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10（2022·江苏·高一专题检测）方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两实根都大于1，求实数m 的取值范围．【解析】方法一设函数f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，作其草图，如图．若两实根均大于1，需m－1)2－32(m－7)≥0，≥25或m≤9，∈R，＞17，解得m≥25.方法二设方程两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝m－18，x1x2＝m－78，因为两根均大于1，所以x1－1＞0，x2－1＞0，＝(m－1)2－32(m－7)≥0，x1－1)＋(x2－1)＞0，x1－1)(x2－1)＞0，)2－32(m－7)≥0，－m－18＋1＞0，解得11．（2022·江西高一第一月考）求实数m 的范围，使关于x 的方程22(1)260.x m x m +-++=(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<；(3)至少有一个正根.【解析】（1）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()20f <，即()441260m m +-++<，得1m <-．（2）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()()()02601450410140f m f m f m ⎧=+>⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得7554m -<<-．（3）设()()22126y f x x m x m ==+-++．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得()()Δ0002102f m ⎧⎪≥⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪-⎩，即153.311m m m m m ≤-≥⎧⎪>-∴-<≤-⎨⎪<⎩或．②有一个正根，一个负根，此时可得()00f <，得3m <-．③有一个正根，另一根为0，此时可得()6203210m m m +=⎧∴=-⎨-<⎩，．综上所述，得1m ≤-．12.（2022·湖北武汉高一课时检测）已知关于x 的方程220x x a -+=．(1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？【解析】（1）二次函数22y x x a =-+的图象是开口向上的抛物线，故方程220x x a -+=的一个根大于1，另一个根小于1，则2120a -+<，解得1a <，所以a 的取值范围是{}1a a <．（2）方程220x x a -+=的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数22y x x a =-+的大致图象，由图知，120120440960a a a a ++>⎧⎪-+<⎪⎨-+<⎪⎪-+>⎩，解得30a -<<．所以a 的取值范围是{}30a a -<<．（3）方程220x x a -+=的两个根都大于0，则Δ4400a a =-≥⎧⎨>⎩，解得01a <≤，所以a 的取值范围是{}01a a <≤．。
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一元二次方程根的分布一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
【定理1】01>x ，02>x (两个正根)⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩， 推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。
【例1】 若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101m m m m m mm ⎧⎪∆=++-≥⎪+⎪->⎨-⎪-⎪>⎪-⎩0<m <1。
【定理2】01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b ， 推论：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。
【例2】 若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。
（512-≤k 或k>3） 【定理3】210x x <<⇔0<ac【例3】 k在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？分析：依题意有3k k-<0=>0<k <3 【定理4】01=x ，02>x ⇔0=c 且0<ab； 01<x ，02=x ⇔0=c 且0>ab。
【例4】 若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知k －3=0，∴k =3，代入原方程得32x 设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
k 为常数。
则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。
【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k a b k af ac b 20)(042【定理2】k x x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042。
【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af 。
推论1210x x <<⇔0<ac 。
推论2211x x <<⇔0)(<++c b a a 。
【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a此定理可直接由定理4推出，请读者自证。
【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b三、例题与练习【例5】 已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。
（412912<<m ）（2）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。
（6252+>-<m m 或）（3）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。
（62521+>-<m m 或）【例6】 已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围。
（221221+-<<--m ）（2）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在0和1之间，求m 的取值范围。
（3221<<m ）（3）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 的较大实根在0和1之间，求实数m 的取值范围。
变式：改为较小实根（不可能；221<<m ）（4）若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（1-、1）内，求k 的取值范围。
（21324-<<+-k ）（5）若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围。
（3221<<k ）（6）已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足βα<<<10，求m 的取值范围。
（73-<<-m 或72<<m ） 【例7】 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过)若方程4(3)20x x m m +-•+=有两个不相同的实根，求m 的取值范围。
提示：令2x =t 转化为关于t 的一元二次方程有两个不同的正实根。
答案：0<m <1 2． 若关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一的实根，求实数a 的取值范围。
提示：原方程等价于2220020863x x x x x a ⎧+>⎪⎨+=--⎪⎩即2200 12630x x x x a <->⎧⎨+++=⎩或……①……②令()f x =2x +12x +6a +3(1) 若抛物线y =()f x 与x 轴相切，有△=144－4(6a +3)=0即a =112。
将a =112代入式②有x =－6不满足式①，∴a ≠112。
(2) 若抛物线y =()f x 与x 轴相交，注意到其对称轴为x =－6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是(20)0(0)0f f -≥⎧⎨<⎩解得163162a -≤<-。
∴当163162a -≤<-时原方程有唯一解。
另法：原方程等价于2x +20x =8x －6a －3(x <－20或x >0)……③问题转化为：求实数a 的取值范围，使直线y =8x－6a －3与抛物线y =2x +20x (x <－20或x>0)有且只有一个公共点。
虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将③变形为2x +12x +3=－6a (x <－20或x >0)，再在同一坐标系中分别也作出抛物线y =2x +12x +3和直线y =－6a ，如图，显然当3<－6a ≤163即163162a -≤<-时直线y =－6a 与抛物线有且只有一个公共点。
3． 已知()f x =(x －a )(x －b )－2(a <b )，并且α，β是方程()f x =0的两根(α<β)，则实数a ，b ，α、β的大小关系是( )A 、α<a <b <βB 、a <α<β<bC 、a <α<b <β D 、α<a <β<b 4． 方程()f x =2ax bx c ++=0(a >0)的两个根都大于1的充要条件是( ) A 、 △≥0且f (1)>0B、f(1)>0且－ab>2C、△≥0且－ab >2，ca>1D、△≥0且f(1)>0，－ab>2。