【同步检测】第五章测评-北师大版高中数学选修2-2练习

第五章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中,正确的是( ) A.复数的模总是正实数B.复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应C.若与复数z 对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定会在第一象限D.相等的向量对应着相等的复数解析:复数的模大于或等于0,因此A 不正确;复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一一对应,因此B 不对;同理C 也不正确,D 正确,因此选D. 答案:D 2.化简2+4i(1+i )2的结果是( )A.2+iB.-2+iC.2-iD.-2-i 解析:2+4i(1+i )2=2+4i 2i=(2+4i )·(-i )2i ·(-i )=4-2i 2=2-i.答案:C3.设复数z 满足z ·(1+i)=2i+1(i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵复数z 满足z ·(1+i)=2i+1(i 为虚数单位),∴z=1+2i1+i =(1+2i )(1-i )(1+i )(1-i )=3+i 2=32+12i.该复数在复平面内对应点(32,12),在第一象限. 答案:A4.已知i 是虚数单位,复数52-i -i=( ) A.i-2B.2+iC.-2D.2解析:复数52-i -i=5(2+i )(2-i )(2+i )-i=2+i-i=2.答案:D5.在复平面内,复数z=i(1+2i)的共轭复数为( ) A.2-i B.-2-i C.2+i D.-2+i 解析:∵复数z=i(1+2i)=-2+i,∴复数z=i(1+2i)的共轭复数为-2-i. 答案:B6.设复数z=1+i(i 是虚数单位),则复数z+1z 的虚部是 ( )A.12B.12iC.32D.32i解析:∵复数z=1+i(i 是虚数单位),∴复数z+1z =1+i+11+i =1+i+1-i2=32+12i. ∴复数z+1z 的虚部是12. 答案:A7.已知复数z 满足z (1-i)=2,则z 5=( ) A.16 B.-4+4i C.-16 D.-16i解析:∵z (1-i)=2,∴z =21-i =2(1+i )(1-i )(1+i )=2(1+i )2=1+i,则z=1-i.∴z 5=(1-i)5=(1-i)4(1-i)=-4(1-i)=-4+4i. 答案:B8.下面是关于复数z=2-1+i 的四个命题.p 1:|z|=2;p 2:z 2=2i;p 3:z 的共轭复数为1+i;p 4:z 的虚部为-1. 其中的真命题为( ) A.p 2,p 3 B.p 1,p 2 C.p 2,p 4 D.p 3,p 4解析:本题考查了复数的四则运算以及复数的模,共轭复数等知识.z=2-1+i =2(-1-i )(-1+i )(-1-i )=-1-i,p 1:|z|=√2,p 2:z 2=2i,p 3:z 的共轭复数为-1+i,p 4:z 的虚部为-1.故真命题为p 2,p 4. 答案:C9.设z=21+i +(1+i)2,则|z |=( ) A.√3B.1C.2D.√2解析:z=21+i +(1+i)2=2(1-i )(1+i )(1-i )+2i=1-i+2i=1+i,则|z |=√2. 答案:D10.若复数z=a+3i1-2i (a ∈R,i 是虚数单位)是纯虚数,则在复平面内z 对应点的坐标为( ) A.(0,2)B.(0,3i)C.(0,3)D.(0,2i)解析:∵z=a+3i1-2i =(a+3i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )=a -6+(2a+3)i5是纯虚数,∴{a -6=0,2a +3≠0,即a=6.∴z=3i.∴在复平面内z 对应点的坐标为(0,3). 答案:C 11.已知复数a+i1-2i ·i 2 016(i 是虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为( ) A.2 B.-2C.1D.-1解析:∵i 4=1,∴i 2 016=1.∴复数a+i1-2i ·i 2 016=(a+i )(1+2i )(1-2i )(1+2i ) =a -2+(1+2a )i 5=a -25+1+2a 5i 为纯虚数.∴a -25=0,1+2a 5≠0,解得a=2.答案:A 12.导学号88184061若A,B 是锐角△ABC 的两内角,则复数z=(cos B-sin A)+(sin B-cos A)i 在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析:∵A,B 是锐角△ABC 的两内角,∴A+B>π2.①由①得A>π2-B.∵A,B 为锐角△ABC 的内角, ∴A ∈(0,π2),(π2-B)∈(0,π2).又在(0,π2)内,正弦函数是增加的,∴sin A>sin (π2-B),即sin A>cos B. ∴cos B-sin A<0.又由①可得B>π2-A,同理可得sin B>sin (π2-A),即sin B>cos A,∴sin B-cos A>0. 故z 对应的点在第二象限. 答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知i 是虚数单位,计算1-i(1+i )2= . 解析:1-i(1+i )2=1-i 2i=(1-i )(-2i )4=-2i -24=-1-i 2=-12−12i.答案:-12−12i14.设a,b 为实数,若复数1+2ia+bi =1+i,则a= ,b= .解析:由1+2i a+bi =1+i 可得1+2i=(a-b)+(a+b)i,所以{a -b =1,a +b =2,解得a=32,b=12.答案:32 1215.若复数z 满足z=i(2+z)(i 为虚数单位),则z= . 解析:由z=i(2+z)=zi+2i 得(1-i)z=2i,则z=2i1-i =2i (1+i )(1+i )(1-i )=-2+2i 2=-1+i.答案:-1+i16.若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称,且z 1(3-i)=z 2(1+3i),|z 1|=√2,则z 1= .解析:设z 1=a+bi,则z 2=-a+bi,∵z 1(3-i)=z 2(1+3i),且|z 1|=√2,∴{(a +bi )(3-i )=(-a +bi )(1+3i ),a 2+b 2=2, 解得{a =1,b =-1或{a =-1,b =1.∴z 1=1-i 或z 1=-1+i.答案:1-i 或-1+i三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)若复数(m 2-3m-4)+(m 2-m-6)i 表示的点在第四象限内,求实数m 的取值范围.解由题意,知{m 2-3m -4>0,m 2-m -6<0,∴{m >4或m <-1,-2<m <3.∴-2<m<-1.故m 的取值范围是{m|m ∈R,且-2<m<-1}.18.(本小题满分12分)已知复数z=1+i,求实数a,b,使得az+2b z =(a+2z)2. 解因为z=1+i,所以az+2b z =(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a 2+4a)+4(a+2)i. 因为a,b 都是实数,所以由az+2b z =(a+2z)2, 得{a +2b =a 2+4a ,a -2b =4(a +2),两式相加并整理得a2+6a+8=0,解得a1=-2,a2=-4,相应得b1=-1,b2=2.所以所求实数为a=-2,b=-1或a=-4,b=2.19.(本小题满分12分)实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零?解令z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0时,z∈R,此时k=6或k=-1.(2)当k2-5k-6≠0时,z是虚数,即k≠6且k≠-1.(3)当{k2-3k-4=0,k2-5k-6≠0时,z是纯虚数,此时k=4.(4)当{k2-3k-4=0,k2-5k-6=0时,z=0,解得k=-1.综上,当k=6或k=-1时,z是实数;当k≠6且k≠-1时,z是虚数;当k=4时,z是纯虚数;当k=-1时,z是零.20.导学号88184062(本小题满分12分)已知复数z满足|z+2-2i|=2,且复数z在复平面内的对应点为M.(1)确定点M的集合构成图形的形状;(2)求|z-1+2i|的最大值和最小值.解(1)设复数-2+2i在复平面内的对应点为P(-2,2),则|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=|MP|=2,故点M的集合是以P为圆心,2为半径的圆,如图所示.(2)设复数1-2i在复平面内的对应点为Q(1,-2),则|z-1+2i|=|MQ|.如图所示,由(1)知|PQ|=√(1+2)2+(-2-2)2=5,则|MQ|的最大值即|z-1+2i|的最大值,是|PQ|+2=7;|MQ|的最小值即|z-1+2i|的最小值,是|PQ|-2=3.21.(本小题满分12分)已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=√3,求|z1-z2|.解(方法一)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).由已知,得a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.∵(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=2+2ac+2bd=3, ∴2ac+2bd=1.又|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=2-1=1,∴|z1-z2|=1.(方法二)在复平面内设z1,z2分别对应向量OZ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则对角线OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应z1+z2,Z2Z1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应z1-z2,由已知可得|OZ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OZ2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OZ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,∴∠OZ1Z=120°.∴∠Z2OZ1=60°.故在△OZ1Z2中,|Z2Z1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,即|z1-z2|=1.22.导学号88184063(本小题满分12分)已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值;(2)若复数z满足|z-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值. 解(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实数根,所以b2-(6+i)b+9+ai=0,即(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故{b2-6b+9=0,a=b,解得a=b=3.(2)设z=x+yi(x,y∈R),由|z-3-3i|=2|z|,得|(x-3)-(y+3)i|=2|x+yi|,即(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2),即(x+1)2+(y-1)2=8.所以复数z对应的点Z的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2√2为半径的圆,如图所示,当点Z在OO1的连线上时,|z|有最大值和最小值.因为|OO1|=√2,半径r=2√2,所以当z=1-i时,|z|min=√2.。