赣州中考数学考点整理
中考数学知识点归纳人教版
中考数学知识点归纳人教版
中考数学是中学阶段数学知识的重要总结，涵盖了代数、几何、统计与概率等多个领域。
以下是人教版中考数学知识点的归纳：
一、数与代数
1. 实数：包括有理数和无理数，理解实数的性质和运算规则。
2. 代数式：包括整式和分式，掌握代数式的运算法则和化简技巧。
3. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、分式方程的解法，以及不等式的解集。
4. 函数：一次函数、反比例函数、二次函数的性质和图像，理解函数的基本概念和应用。
二、几何
1. 平面图形：包括线段、角、三角形、四边形、圆等，掌握其性质和计算方法。
2. 立体图形：包括立体图形的表面积和体积计算。
3. 图形的变换：包括平移、旋转、反射等，理解图形变换的基本概念和性质。
4. 相似与全等：理解相似图形和全等图形的性质，掌握证明方法。
三、统计与概率
1. 数据的收集与处理：包括数据的收集、整理和描述，掌握统计图表的绘制。
2. 概率：理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法。
四、综合应用
1. 数学建模：将数学知识应用于解决实际问题，培养解决实际问题的能力。
2. 数学思维：包括逻辑推理、抽象思维等，提高学生的数学思维能力。
结束语
通过以上对中考数学知识点的归纳，我们可以看出，中考数学不仅要
求学生掌握基础的数学知识，更注重培养学生的数学思维和解决实际
问题的能力。
希望同学们能够系统地复习这些知识点，为中考做好充
分的准备。
近三年江西省中考试卷考点及其分值分析
一．选择题
1.实数的大小比较，正负数的意义分值：3
2.数据分析，众数和中位数的概念分值：3
3.不等式和数轴分值：3
4.整式和分式的加减乘除分值：3
5.一次函数分值：3
6.圆台的侧面展开图形分值：3
7.二次函数图形的开口方向，对称轴及其与y轴的交点分值：3
8.计算实数的0次幂分值：3
9.立体图形的三视图分值：3
二．填空题
1.二次根式的计算分值：3
2.实数的加减分值：3
3.整式的因式分解分值：3
4.科学计数法的表示方法分值：3
5.解不等式方程组分值：3
6.一元二次方程两个实数根和系数之间的关系分值：3
7.图形的平移和三角形的周长计算分值：3
8.圆与几何图形结合，计算角的度数分值:3
9.菱形的性质分值：3
10.三角形中，点在边上的运动情况分析及计算边长问题分值：3
11.多边形外角和分值：3
12.全等三角形的判断分值：3
13.几何图形和实际问题结合分值：3
三．大题第一部分
1.分式和整式的运算分值：6
2.二元一次方程组与实际问题分值：6
3.无刻度直尺画图分值：6
4.树状图法或者列表法求概率及其他概率问题分值：6
5.一次函数与图像结合求解析式分值：6
6.函数和几何图形结合求函数解析及坐标分值：8
7.数据分析，频数和频率的计算分值：8
8.运动问题和函数图形结合分值：8
10.圆和三角形结合求切点转化为求三角形全等的问题分值：9
11.正方形边上一点的距离不确定转化为函数关系式的问题分值：9
12.二次函数和几何图形结合，求坐标，函数解析式分值：12
13.几何图形综合题分值：12。
赣州市中考数学二次函数和几何综合专题
赣州市中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求直线AC 及抛物线的解析式，并求出D 点的坐标；（2）若P 为线段BD 上的一个动点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，求四边形PMAC 的面积的最大值和此时点P 的坐标；（3）若点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线1∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．小明对函数2(0)y a x bx c a =++≠的图象和性质进行了探究.已知当自变量x 的值为0或4时，函数值都为3-；当自变量x 的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．（1）这个函数的表达式为 ；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的--条性质： ； （3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y k =与函数2y a x bx c =++有三个交点，则k = ；②已知函数3y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式2a x bx c ++3x ≤-的解集： ．3．综合与探究 如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，()2,0A -，()4,0B ，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式：（2）若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是92时，求ABD △的面积； （3）在直线l 上有一点P ，连接AP ，CP ，则AP CP +的最小值为______；（4）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，边长为5的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点()0,4M 为顶点的抛物线经过点()4,0N -，点P 是抛物线上第一象限内一点，过P 点作PF BC ⊥于点F ，点E 的坐标为()0,3．连接PE ．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE PF -的值；（3）①在点P 运动过程中，当60EPF ∠=︒时，点P 的坐标为________；②连接EF ，在①的条件下，把PEF 沿y 轴平移（限定点E 在射线MO 上），并使抛物线与PEF 的边始终有两个交点，探究P 点纵坐标n 的取值范围是多少？5．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x x =--+与x 轴分别交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．点P 是线段OA 上的一个动点，沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动，过点P 作DP x ⊥轴，交抛物线于点D ，交直线AC 于点E ，连接BE ．（1）求直线AC 的表达式；（2）在点P 运动过程中，运动时间t 为何值时，EC ED =？（3）在点P 运动过程中，EBP △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象交x 轴于(3,0)A -、B 两点，顶点为点(1,23)C --，连接BC ．（1）求抛物线的解析式；的角平分线BE，交对称轴于交点D，交抛物线于点E，求DE的（2）如图1，作ABC长；（3）如图2，在（2）的条件下，点F是线段BC上的一动点（点F不与点O和点B重DFB与BDC的重叠部分合，连接DF，将BDF沿DF折叠，点B的对应点为点1B，1为DFG，请探究，在坐标平面内是否存在一点H，使以点D、F、G、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．7．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y＝x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，（1）该函数的解析式为，补全下表：x⋯﹣4﹣3﹣2﹣1123⋯y⋯2﹣1﹣2212⋯（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质：．（3）结合你所画的图象与函数y＝x的图象，直接写出x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|≤x的解集．8．某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数2||y x x =-的有关图象和性质”．探究过程如下： （1）列表：问m =______．x … 3- 2- 1- 0 1 2 122... y (6)2 0 0 0 2 m … （2）请在平面直角坐标系中画出图象．（3）若方程2||x x p -=（p 为常数）有三个实数根，则p =______．（4）试写出方程2||x x p -=（p 为常数）有两个实数根时，p 的取值范围是______． 9．定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线．（2）如图3，已知抛物线2132y x x m =-+与x 轴交于点(2,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．①求m 的值和点D 的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，C ，D ，P 为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O ．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m 为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．二、中考几何压轴题11．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE△绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB 与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．12．石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．（观察）①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度．②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度．（发现）设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）①a＝；②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象．（拓展）设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是．（直接写出结果）13．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：AEEB =DE CB．（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且EFEG=AEEB，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且AEEB=DEEC，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．14．如图(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上(均不与端点重合)，且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN.（问题发现）（1）如图(2)，当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为 .（类比探究）（2）如图(3)，当n ＝2时，矩形AMNP 绕点A 顺时针旋转，连接PD ，则CN 与PD 之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图(3)给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图(3)说明理由.（拓展延伸）（3）在(2)的条件下，已知AD ＝4，AP ＝2，当矩形AMVP 旋转至C ，N ，M 三点共线时，请直接写出线段CN 的长15．（问题探究）（1）如图1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点B ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BD ．①请探究AD 与BD 之间的位置关系？并加以证明．②若AC ＝BC ＝10，DC ＝CE ＝2，求线段AD 的长．（拓展延伸）（2）如图2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC ＝21，BC ＝7，CD ＝3，CE ＝1．将△DCE 绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD 为α（0°≤α＜360°），作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．16．（阅读理解）定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫“协和线”，该四边形叫做“协和四边形”．（深入探究）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，请说明：四边形ABCD 是“协和四边形”．（尝试应用）（2）如图2，四边形ABCD 是“协和四边形”，BD 为“协和线”，AB AD ⊥，60ADC ∠=︒，若点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点，连接BE ，BF ，EF ．求：①DEF 与BEF 的面积的比；②EBF ∠的正弦值．（拓展应用）（3）如图3，在菱形ABCD 中，8AB =，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边AD 和BC 上，点G 、K 分别在边AB 和CD 上，点N 为BE 与GF 的交点，点M 在EF 上，连接MN ，若四边形BGEF ，DHMK 都是“协和四边形”，“协和线”分别是GF 、HK ，求MN 的最小值．17．在矩形ABCD 中，AD k AB =（k 为常数），点P 是对角线BD 上一动点（不与B ，D 重合），将射线PA 绕点P 逆时针旋转90°与射线CB 交于点E ，连接AE ．（1）特例发现：如图1，当k =1时，将点P 移动到对角线交点处，可发现点E 与点B 重合，则PA PE= ，∠AEP = ；当点P 移动到其它位置时，∠AEP 的大小 （填“改变”或“不变”）；（2）类比探究：如图2，若k ≠1时，当k 的值确定时，请探究∠AEP 的大小是否会随着点P 的移动而发生变化，并说明理由；（3）拓展应用：当k ≠1时，如图2，连接PC ，若PC ⊥BD ，//AE PC ，PC =2，求AP 的长．18．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC BC =，DE AE =，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠=∠=︒时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则线段BD 、CE 之间的数量关系是_________，CEB ∠=_________︒；（2）拓展探究：如图②，当ACB AED α∠=∠=时，点B 、D 、E 不在同一直线上，连接CE ，求出线段BD 、CE 之间的数量关系及BD 、CE 所在直线相交所成的锐角的大小（都用含α的式子表示），并说明理由：（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠=∠=︒，10AC =，2AE =，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当CE 所在的直线垂直于AD 时，请你直接写出BD 的长．19．（问题发现）（1）如图1所示，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 在BC 边上，且3BD CD =，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ，连接DE 、BE ，BE BD +的值为______；（类比探究）（2）如图2所示，在（1）的条件下，点P 为AB 的中点，3BD CD =，将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°得到PE ，连接BE ，则BE BD +的值会发生改变吗？说明你的理由； （拓展延伸）（3）如图3所示，在钝角ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点P 在边BA 的延长线上，BP k =，连接PD ．将线段PD 绕着点P 顺时针旋转，旋转角EPD α∠=，连接DE ，则BD BE +=______（请用含有k ，α的式子表示）．20．（1）（问题发现）如图①，正方形AEFG 的两边分别在正方形ABCD 的边AB 和AD 上，连接CF ． 填空：①线段CF 与DG 的数量关系为______；②直线CF 与DG 所夹锐角的度数为_______．（2）（拓展探究）如图②，将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）（解决问题）如图③，在正方形ADBC 中，AD AC =，点M 为直线BC 上异于B ，C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中心，连接CN ，若4,2AC CM ==，直接写出CN 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．D解析：（1）y =3x +3，y =﹣x 2+2x +3，顶点D 的坐标为(1，4)；（2）四边形PMAC 的面积的最大值为10516，此时点P 的坐标为(94，32)；（3）点Q 的坐标为(2，3)或(173)或(17-3)．【分析】（1）先求出点C 坐标，然后利用待定系数法即可求出直线AC 及抛物线的解析式，把抛物线的一般式转化为顶点式即可求出D 点的坐标；（2）先根据待定系数法求出直线BD 的解析式，设点P 的横坐标为p ，然后根据S 四边形PMAC =S △OAC +S 梯形OMPC 即可得出S 四边形PMAC 与p 的关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）由题意得PQ ∥AC 且PQ =AC ，设点P 的坐标为(x ，0)，当点Q 在x 轴上方时，则点Q 的坐标为(x +1，3)，把点Q 的坐标代入抛物线的解析式即可求出x ，进而可得点Q 坐标；当点Q 在x 轴下方时，则点Q 的坐标为(x ﹣1，﹣3)，同样的方法求解即可．【详解】（1）∵抛物线y =﹣ax 2+bx +3与y 轴交于点C ，∴点C (0，3)，设直线AC 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0)．∵点A (﹣1，0)，点C (0，3)，∴11103k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：1133k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y =3x +3．∵抛物线y =﹣ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B (3，0)两点，∴309330a b a b --+=⎧⎨-++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y =﹣x 2+2x +3．∵y =﹣x 2+2x +3=﹣(x ﹣1)2+4，∴顶点D 的坐标为(1，4)；（2）设直线BD 的解析式为y =kx +b ．∵点B (3，0)，点D (1，4)，∴304k b k b +=⎧⎨+=⎩，得26k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BD 的解析式为y =﹣2x +6．∵P 为线段BD 上的一个动点，∴设点P 的坐标为(p ，﹣2p +6)．∵OA =1，OC =3，OM =p ，PM =﹣2p +6，∴S 四边形PMAC =S △OAC +S 梯形OMPC 111326322p p =⨯⨯+-++⨯（）=﹣p 292+p 32+=﹣(p 94-)210516+， ∵1＜p ＜3，∴当p 94=时，四边形PMAC 的面积取得最大值为10516，此时点P 的坐标为(94，32)； （3）∵直线l ∥AC ，以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴PQ ∥AC 且PQ =AC ．设点P 的坐标为(x ，0)，由A (﹣1，0)，C (0，3)，当点Q 在x 轴上方时，则点Q 的坐标为(x +1，3)，此时，﹣(x +1)2+2(x +1)+3=3，解得：x 1=﹣1(舍去)，x 2=1，∴点Q 的坐标为(2，3)；当点Q 在x 轴下方时，则点Q 的坐标为(x ﹣1，﹣3)，此时，﹣(x ﹣1)2+2(x ﹣1)+3=﹣3，整理得：x 2﹣4x ﹣3=0，解得：x 1=27x 2=27-∴点Q 的坐标为(173)或(17，﹣3)，综上所述：点Q 的坐标为(2，3)或(17+3)或(17，﹣3)．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质和一元二次方程的解法等知识，综合性强、具有一定的难度，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用相关知识是解题的关键．2．（1）243y x x --＝；（2）如图所示，见解析；性质：函数的图象关于直线=2x 对称；或：当0x =或4时，函数有最小值3-；（3）①1；②0x =或35x ≤≤．【分析】（1）将0x =，3y =-；4x =，3y =-；1x =，0y =代入2||(0)y a x bx c a =++≠，得到：3c =-，4b =-，1a =，即可求解析式为2|4|3y x x =--；（2）描点法画出函数图象，函数关于2x =对称；（3）①从图象可知：当2x =时，1y =，1k =时直线y k =与函数2|4|3y x x =--有三个交点；②3y x =-与243y x x =--的交点为0x =或5x =，结合图象，2|4|33y x x x =---≤的解集为35x ≤≤．【详解】解：（1）将0x =，3y =-；4x =，3y =-；1x =，0y =代入2||(0)y a x bx c a =++≠， 得到：3164310c a b c a b c ⎧=-⎪++=-⎨⎪++=⎩，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 2|4|3y x x ∴=--，故答案为2|4|3y x x =--．（2）如图：函数关于直线2x =对称，（3）①当2x =时，1y =，1k ∴=时直线y k =与函数2|4|3y x x =--有三个交点，故答案为1；②3y x =-与243y x x =--的交点为0x =或5x =或x=3，结合图象，2|4|33y x x x =---≤的解集为0x =或35x ≤≤，故答案为0x =或35x ≤≤．【点睛】本题类比函数探究过程探究绝对值函数与不等式组关系；能够准确的画出函数图象，从函数图象中获取信息，数形结合解题是关键．3．A解析：（1）233642y x x =--；（2）454；（3）134）存在，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入26y ax bx =+-可得关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值即可得答案；（2）过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，根据抛物线解析式可得点C 坐标，利用待定系数法可得直线BC 的解析式，设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据BC 解析式可表示出点H 坐标，即可表示出DH 的长，根据△BCD 的面积列方程可求出x 的值，即可得点D 坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）根据二次函数的对称性可得点A 与点B 关于直线l 对称，可得BC 为AP +CP 的最小值，根据两点间距离公式计算即可得答案；（4）根据平行四边形的性质得到MB //ND ，MB =ND ，分MB 为边和MB 为对角线两种情况，结合点D 坐标即可得点N 的坐标．【详解】（1）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，()2,0A -，()4,0B ，∴426016460a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：3432a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：233642y x x =--． （2）如图，过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，当0x =时，6y =-，∴()0,6C -，设BC 的解析式为y kx b =+，则640b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴BC 的解析式为：362y x =-， 设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则3,62H x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴2233336632424DH x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭， ∵BCD △的面积是92， ∴1922DH OB ⨯=， ∴213943242x x ⎛⎫⨯⨯-+= ⎪⎝⎭， 解得：1x =或3，∵点D 在直线l 右侧的抛物线上， ∴153,4D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴ABD △的面积11154562244AB DG ⨯=⨯⨯=；（3）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于直线l 对称，∴BC 为AP +CP 的最小值，∵B （4，0），C （0，-6），∴AP +CP 的最小值=BC 2246+213 故答案为：213（4）①当MB 为对角线时，MN //BD ，MN =BD ，过点N 作NE ⊥x 轴于E ，过当D 作DF ⊥x 轴于F ，∵点D （3，154-）， ∴DF =154， 在△MNE 和△BDF 中，NEM DFB NMB DBF MN BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MNE ≌△BDF ，∴DF =NE =154， ∵点D 在x 轴下方，MB 为对角线，∴点N 在x 轴上方，∴点N 纵坐标为154， 把y =154代入抛物线解析式得：215336442x x =--， 解得：1114x =2114x = ∴1N （114154），2N （114154）如图，当BM 为边时，MB //ND ，MB =ND ，∵点D （3，154-）， ∴点N 纵坐标为154-， ∴233156424x x --=-， 解得：11x =-，23x =（与点D 重合，舍去）， ∴3N （1-，154-），综上所述：存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题． 4．F解析：（1）2144y x =-+；（2）0；（3）①()23,1；②32n -<≤ 【分析】（1）由题可设抛物线解析式为24y ax =+，将N 点坐标代入，求出a 即可求出抛物线的函数表达式．（2）过点P 作PH y ⊥轴于H ，由题可设2144P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，故可求出PF 的长．在Rt PHE 中，利用勾股定理可求出PE 的长，即发现PF PE =，故0PE PF -=． （3）①由题意易求30EPH ∠=︒，即12EH EP =．结合（2）即可列出关于m 的方程，解出m 即可求出此时P 点坐标． ②根据题意可知将PEF 沿y 轴平移，使抛物线与△PEF 的边始终有两个交点的极限条件为：向上平移，一直到点E '与点M 重合前和向下平移，一直到点F '与点P 重合前．根据平移规律结合①即可得出答案．【详解】解：（1）由题可设抛物线解析式为24y ax =+，把()40-，代入，20(4)4a =⨯-+， 解得14a =-， ∴抛物线的函数表达式为2144y x =-+． （2）如图，过点P 作PH y ⊥轴于H ，由题可设2144P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，， ∴221154144PF m m ⎛⎫=--+=+ ⎪⎝⎭ ∵在Rt PHE 中，222PE PH EH =+，即222222222211()=()34144P E H P E P PE x y y x y y m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+--+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴2114PE m =+， ∴PF PE =，即0PE PF -=．（3）①由题意可知90HPF ∠=︒，∵60EPF ∠=︒，∴906030EPH ∠=︒-︒=︒，∴12EH EP =．由（2）可知221134414E P EH y y m m ⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭-=，2114PE m =+． ∴2211()211144m m +-=， 解得：122323m m ==-，（舍）．故2123(23)44P ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，即()231P ，．②根据题意可知将PEF 沿y 轴平移，使抛物线与△PEF 的边始终有两个交点的条件为：向上平移，一直到点E '与点M 重合前和向下平移，一直到点F '与点P 重合前． Ⅰ当PEF 沿y 轴向上平移，且点E '与点M 重合时，如图，.∵431M E EM y y =-=-=,∴此时P 点向上平移1个单位得到P '，即1112P p y y '=+=+=．∵点E '与点M 重合时，抛物线与△PEF 的边有两个交点，即当2P y '=时抛物线与△PEF 的边有两个交点，∴2n ≤．Ⅱ当PEF 沿y 轴向下平移，且点F '与点P 重合时，如图，.∵514F P PF y y =-=-=，∴此时P 点向下平移4个单位得到P '，即4143P P y y '=-=-=-．∵点F '与点P 重合时，抛物线与△PEF 的边只有一个交点，即当3P y '=-时抛物线与△PEF 的边只有一个交点，∴3n >-．综上可知32n -<≤．【点睛】本题考查二次函数综合，勾股定理，两点的距离公式以及含30角的直角三角形的性质．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．5．A解析：（1）4y x =+；（2）0t =或42t =3）存在，3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二次函数的解析式可以求出点A 和点C 坐标，把点A 和点C 的坐标代入联立方程组，即可确定一次函数的解析式；（2）由题意可得点P 的坐标，从而可得点D 的坐标，故可求得ED 的长，再由A 、C 的坐标可知：OA =OC ，即△AOC 是等腰直角三角形，因DP ⊥x 轴，故△AEP 也是等腰直角三角形，可分别得到AC 、AE 的长，故可得EC 的长，由题意EC =ED ，即可得关于t 的方程，解方程即可；（3）由EP =AP ，得EBP C EP BP BE AP BP BE AB BE =++=++=+△，AB 是定值，周长最小，就转化为BE 最小，根据垂线段最短就可确定点P 的特殊位置，从而求出点P 的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线234y x x =--+与x 轴分别交于点A 和点B ，交y 轴于点C ， ∴当0x =时，4y =，即()0,4C ，当0y =时，2340x x --+=，14x =-，21x =，即()4,0A -，()10B ,， 设直线AC 的解析式为：y kx b =+则044k b b =-+⎧⎨=⎩，∴14k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的表达式：4y x =+．（2）∵点P 沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动， ∴OP t =，(),0P t -， ∵DP x ⊥轴， ∴(),4E t t --+，()2,34D t t t --++，∴24DE t t =-+ ∵()4,0A -，()0,4C ， ∴4OA =，4OC =， ∴△AOC 是等腰直角三角形，∴45CAO ∠=︒，由勾股定理得：AC =∵DP x ⊥轴，在Rt APE 中，45CAP ∠=︒， ∴△AEP 也是等腰直角三角形， ∴4AP PE t ==-，)4AE t =-， ∴EC AC AE =-，∴当24t t -+=时，即0t =或4t =EC ED =． （3）在Rt AEP △中，45OAC ∠=︒， ∴AP EP =，∴EBP △的周长：EP BP BE AP BP BE AB BE ++=++=+． ∴当BE 最小时EPB △的周长最小． 当BE AC ⊥时，BE 最小，∵()10B ,， ∴5AB =，在Rt AEB 中，90AEB =︒∠，45BAC ∠=︒，5AB =，BE AC ⊥， ∴1522PB AB ==， ∴32OP PB OB =-=， ∴3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题是综合与探究题，此类问题的考查特点是综合性和探究性强，考查内容是一次函数解析式的确定、特殊点坐标的确定、三角形周长最小值等，渗透了分类讨论、数形结合、转化等数学思想，难度较大．6．D解析：（1）23333y x =2）83DE =；（3）存在，1532,H ⎛-⎝⎭；2123,3H ⎛- ⎝⎭；323,3H ⎛- ⎝⎭． 【分析】(1)利用顶点式，求出抛物线的解析式即可；(2)求出点D 的坐标，再求出直线BE 的解析式，构建方程组确定点E 的坐标，即可得出结论；(3)分三种情形：当 90DFG ∠=︒时，点G 与点C 重合，再利用平移的性质求解，当90DGF ∠=︒时，且点G 在CD 上时，求得2143,3F ⎛- ⎝⎭；2431,G ⎛- ⎝⎭， 即可得出结论，当90DGF ∠=︒，且点G 在BC 上时，利用平移的性质求解即可． 【详解】（1）∵抛物线的顶点C (1,23--， ∴设抛物线的解析式为()2123y a x =+-把A3,0代入可得3a =∴抛物线的解析式为)223333133y x x =+-= （2）如图1中，设抛物线的对称轴交x 轴于F 1,0，令0,y = 则)231230,y x =+- 解得：121,3,x x ==-()1,0,B ∴∴2BF =，3CF =∴tan 3CFCBF BF∠== ∴60CBF ∠=︒， ∵BE 平分ABC ∠， ∴1302ABE ABC ∠=∠=︒，3tan 30DF BF ∴︒== 23DF ∴=∴231,D ⎛- ⎝⎭， ∴直线BD 的解析式为33y =， 由2333323y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得，10=⎧⎨=⎩x y 或73103x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴7103,3E ⎛- ⎝⎭，∴22723103831339DE ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）①如图所示：当1190DFG ∠=︒时，∵抛物线的顶点C ()1,23--，()1,0,B 231,3D ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 2333tan ,23DBO ∴∠==11130,DBO DBF DG F ∴∠=︒=∠=∠∴ 点H 在第三象限,点1G 与点C 重合，此时1111=,CF FG BF =1(0,3)F -； 1(1,23)G --，由平移性质得1532,3H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，②如图所示：当2290DG F ∠=︒且点2G 在CD 上时，则2,DF BD ⊥2222230,DBF DF H F DG ∴∠=∠=∠=︒ 2223432,33BD ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭24tan 30,3DF BD ∴=︒= 2222123423,,23233G F DF DG ===⨯=∴ 点H 在第三象限,此时2143,33F ⎛⎫--⎪⎝⎭；2431,3G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由平移性质得2123,33H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭③如图所示：当3390DG F ∠=︒且点3G 在BC 上时，点H 在第三象限,同理可得：CG GB =，3123,3F ⎛ ⎝⎭， 3(0,3)G -，由平移性质得323,3H ⎛- ⎝⎭， 综上所述，满足条件的点H 的坐标为23,3⎛- ⎝⎭或 532,⎛- ⎝⎭或123,3⎛- ⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数的应用，等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．7．(1) y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|，补全表格见解析，(2) 函数图像见解析，当x =-1时，函数有最小值，最小值为-2；55-x 55+15--≤x 15-+ 【分析】（1）将点（﹣1，﹣2）与（2，1）代入解析式即可； （2）画出函数图象，观察图象得到一条性质即可（3）根据图象，求出两个函数图象的交点坐标，通过观察可确定解解集．【详解】解：（1）∵该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，∴12224221b c b c -+-=-⎧⎨++-=⎩， ∴13b c =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|， 故答案为：y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|； 当x =-4时，y =7；当x =0时，y =-1； 补全表格如图，x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ⋯y ⋯ 72﹣1 ﹣2 -1 2 1 2 ⋯（2）函数图像如图所示，当x =-1时，函数有最小值，最小值为-2； （3）当x ≥1时，x 2﹣x +2﹣3x +3=x ， 解得，1552x +=，2552x -=，观察图象可知不等式的解集为：552-≤x ≤552+；当x ＜1时，x 2﹣x +2+3x ﹣3=x ， 解得，3152x -+=，4152x --=，观察图象可知不等式的解集为：152--≤x ≤152-+；∴不等式x 2+bx +2﹣c |x ﹣1|≤x 的解集为552-≤x ≤552+或152--≤x ≤152-+．【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系；掌握描点法画函数图象，利用数形结合解不等式是解题的关键． 8．（1）154m =；（2）见解析；（3）0p =；（4）14p =-或0p >．【分析】（1）把x=122代入解析式，计算即可；（2）按照画图像的基本步骤画图即可；（3）一个方程有两个不同实数根，另一个方程有两个相等的实数根和两个方程都有两个不同的实数根，但是有一个公共根；（4）结合函数的图像，分直线经过顶点和在x 轴上方两种情形解答即可． 【详解】（1）当x=122时，2||y x x =-=25)2|(|52- =154， ∴154m =； （2）画图像如下；（3）当x≥0时，函数为2y x x ；当x ＜0时，函数为2y x x =+；∵方程2||x x p -=（p 为常数）有三个实数根， ∴两个方程有一个公共根，设这个根为a ， 则22a a a a -=+， 解得a=0， 当a=0时，p=0， 故答案为：p=0；（4）∵方程2||x x p -=（p 为常数）有两个实数根， ∴p ＞0； 或△=0 即1+4p=0，解得14p =-．综上所述，p 的取值范围是14p =-或0p >． 【点睛】本题考查了二次函数图像，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系，灵活运用分类思想，数形结合思想是解题的关键． 9．（1）见解析；（2）①4m =，1(3,)2D -；②存在，76y x =或2y x =或110y x =-【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线； （2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，顶点为1(3,)2D -；②根据抛物线解析式求出(2,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C ，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为37(,)24，中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标(1,2)．中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为51(,)24-，中分线解析式为110y x =-． 【详解】解：（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线， 直径所在的直线为圆的中分线，（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得 143202m ⨯-⨯+=， 解得4m =，∴抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，∴顶点为1(3,)2D -；②将0y =代入抛物线解析式21342y x x =-+，得 234201x x -+=， 解得2x =或4，(2,0)A ∴，(4,0)B ， 令0x =，则4y =，(0,4)C ∴，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分， 所以平行四边形的中分线必过对角线的交点． Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为14032(,)22-+，即37(,)24，中分线经过点O ，∴中分线解析式为76y x =； Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标为2004(,)22++，即(1,2)． 中分线经过点O ，∴中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为10232(,)22-+，即51(,)24-，中分线经过点O ，∴中分线解析式为110y x =-， 综上，中分线的解析式为式为76y x =或为2y x =或为110y x =-．【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．10．A解析：（1）211433y x x =-++；（2）)22PN m =-m ＝2时，PN 的最大值；（3）Q (1，3)或 【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解．（2）由PN ＝PQ sin ∠PQN （﹣13m 2+13 m +4+m ﹣4）即可求解．（3）分AC ＝AQ 、AC ＝CQ 、CQ ＝AQ 三种情况，当AC ＝AQ 时，构造直角三角形AMQ 利用勾股定理可求坐标，AC ＝CQ 时，先求BQ 再求MB ，即可得到坐标，CQ ＝AQ 时，联立解得不合题意． 【详解】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y ＝a （x +3）（x ﹣4）＝a （x 2﹣x ﹣12）＝ax 2﹣ax ﹣12a ，即：﹣12a ＝4，解得：a ＝﹣13，则抛物线的表达式为211433y x x =-++，（2）设点P （m ，﹣13m 2+13m +4），则点Q （m ，﹣m +4），∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ， PN ＝PQ sin ∠PQN（﹣13m 2+13m +4+m ﹣4（m ﹣2）2，∵﹣6＜0， ∴PN 有最大值， 当m ＝2时，PN． （3）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4）， 则AC ＝5，AB ＝7，BC ＝∠OBC ＝∠OCB ＝45°，将点B （4，0）、C （0，4）的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b得044k bb =+⎧⎨=⎩解得14k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +4…①， 设直线AC 的解析式为y=mx+n把点A （﹣3，0）、C （0，4）代入得034m n n =-+⎧⎨=⎩解得434m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的表达式为：y ＝43x +4， 设直线AC 的中点为K （﹣32，2），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为﹣34，设过点K 与直线AC 垂直直线的表达式为y ＝﹣34x +q把K（﹣32，2）代入得2=﹣34×（﹣32）+q解得q=7 8∴y＝﹣34x+78…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3），②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝2﹣5，则QM＝MB 852-，故点Q 52852-③当CQ＝AQ时，联立①②，43748y xy x=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得，x＝252（舍去），综上所述点Q的坐标为：Q（1，3）或Q（522，822-）．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质及等腰三角形的性质．二、中考几何压轴题11．（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）。
江西中考数学考点
江西中考数学考点数学属于情势科学，而不是自然科学。
在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替换的作用，同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
今天作者在这给大家整理了一些江西中考数学考点，我们一起来看看吧!江西中考数学考点平行四边形1.两组对边平行的四边形是平行四边形.2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线相互平分.3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线相互平分的四边形是平行四边形.4。
对称性：平行四边形是中心对称图形.5.平行四边形中常用辅助线的添法1、连对角线或平移对角线2、过顶点作对边的垂线构造直角三角形3、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线4、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形类似或等积三角形。
5、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
中考数学考点分析一、直线、相交线、平行线1.线段、射线、直线三者的区分与联系从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。
2.线段的中点及表示3.直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”)4.两点间的距离(三个距离：点-点;点-线;线-线)5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角)6.互为余角、互为补角及表示方法7.角的平分线及其表示8.垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”)9.对顶角及性质10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区分与联系)11.常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12.定义、命题、命题的组成13.公理、定理14.抗命题二、三角形分类：⑴按边分;⑵按角分1.定义(包括内、外角)2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。
江西九年级数学知识点总结
江西九年级数学知识点总结在江西九年级数学学习中，我们接触到了许多重要的知识点。
这些知识点不仅仅是数学学科的基础，还对我们培养逻辑思维和解决问题的能力有着重要的作用。
本文将对其中的一些重要知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地掌握这些知识。
一、代数与函数1.有理数运算：有理数的加减乘除是我们学习数学的基础。
在有理数运算中，我们需要掌握整数、分数的加减乘除法，以及对数进行化简和求值的技巧。
2.整式运算：整式运算是代数学中必不可少的一部分。
在整式运算中，我们需要熟练掌握整式的加减乘除法、乘方和开方，并能够根据实际问题进行整式的化简和求解。
3.一次函数与方程：一次函数是我们学习函数的第一步。
我们需要了解一次函数的定义、性质和图像，并能够根据函数的图像和方程解决实际问题。
4.二次函数与方程：二次函数是数学中常见的一种函数形式。
我们需要了解二次函数的定义、性质和图像，并能够应用二次函数解决实际问题。
二、几何与三角1.相似三角形与比值定理：相似三角形是几何学中的重要概念。
我们需要了解相似三角形的性质和判定条件，并能够应用比值定理求解实际问题。
2.三角函数：三角函数是数学中重要的一类函数。
我们需要掌握正弦、余弦、正切函数的定义、性质和图像，并能够应用三角函数解决实际问题。
3.平面向量：平面向量是几何学中常用的工具。
我们需要了解平面向量的定义、性质和运算法则，并能够应用平面向量解决实际问题。
4.相交线与平行线：相交线和平行线是几何学中常见的概念。
我们需要了解相交线和平行线的性质和判定条件，并能够应用相关定理解决实际问题。
三、概率与统计1.概率的基本概念：概率是概率与统计学中的重要内容。
我们需要了解概率的基本概念、性质和计算方法，并能够应用概率解决实际问题。
2.统计分析：统计分析是我们对数据进行整理、分析和解释的过程。
我们需要了解统计分析的基本步骤、方法和常用图表，并能够应用统计分析解决实际问题。
四、题型及解题技巧1.选择题：选择题是数学考试中常见的一种题型。
赣州市中考数学专题题型复习04：二次函数的综合
赣州市中考数学专题题型复习04：二次函数的综合姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题 (共2题；共15分)1. （10分）(2017·盂县模拟) 阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．请回答：求∠ACE的度数，AC的长．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．2. （5分）已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD 的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．（1）求△AED的周长；（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0 ，当A0D0与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1 ， E的对应点为E1 ，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．二、综合题 (共20题；共310分)3. （15分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4. （15分）(2017·虞城模拟) 如图①所示，已知在矩形ABCD中，AB=60cm，BC=90cm，点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t=________s时，△BPQ为等腰三角形；（2）当BD平分PQ时，求t的值；（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．探索：是否存在实数t，使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．5. （15分） (2017九上·黄石期中) 抛物线m：y=x2﹣2x+2与直线l：y=x+2交于A，B（A在B的左侧），且抛物线顶点为C．（1）求A，B，C坐标；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC下方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D 的坐标及此时三角形的面积．（3）将抛物线m：y=x2﹣2x+2沿直线OC方向平移得抛物线m′，与直线l：y=x+2交于A′，B′，问在平移过程中线段A′B′的长度是否发生变化，请通过计算说明．6. （15分）(2016九上·苏州期末) 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．①设△PDE的周长为，点P的横坐标为，求关于的函数关系式，并求出的最大值；②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在轴上时，求出对应点P的坐标．7. （15分）(2017·长春模拟) 如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（﹣4，0），B（1，0），交y轴于C点，且OC=2OB．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上找点D，使△ABD为以AB为腰的等腰三角形，求D点的坐标．（3）在抛物线上是否存在异于B的点P，过P点作PQ⊥AC于Q，使△APQ与△ABC相似？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．8. （20分）(2016·大庆) 若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．（1）求抛物线C2的解析式．（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．9. （15分）(2019·广州模拟) 已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，且与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴方程和顶点M坐标；（3）求四边形ABMC的面积．10. （10分）(2017·湖州模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B 两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．11. （15分）(2018·咸安模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1 ， 0），C（x2 ， 0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．12. （15分）(2017·天水) △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF 与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．13. （10分） (2018九下·新田期中) 如图，直线与x轴交于点A（3,0），与y轴交于点B，抛物线经过点A,B.（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2） M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”.请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值.14. （20分）(2017·莲池模拟) 已知抛物线l：y=（x﹣h）2﹣4（h为常数）（1）如图1，当抛物线l恰好经过点P（1，﹣4）时，l与x轴从左到右的交点为A、B，与y轴交于点C．①求l的解析式，并写出l的对称轴及顶点坐标．②在l上是否存在点D，使S△ABD=S△ABC，若存在，请求出D点坐标，若不存在，请说明理由．③点M是l上任意一点，过点M做ME垂直y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点M的坐标．（2）设l与双曲线y= 有个交点横坐标为x0，且满足3≤x0≤5，通过l位置随h变化的过程，直接写出h的取值范围．15. （15分）(2015·台州) 如图，在多边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，ED=3，过点E 作EF∥CB交AB于点F，FB=1，过AE上的点P作PQ∥AB交线段EF于点O，交折线BCD于点Q，设AP=x，PO•OQ=y．（1）①延长BC交ED于点M，则MD=________，DC=________；（2）求y关于x的函数解析式；（3）当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b，求a，b的值；（4）当1≤y≤3时，请直接写出x的取值范围．16. （15分）如图1，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C 交x轴于E（4，0）．（1）写出D的坐标和直线l的解析式；（2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；（3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．17. （20分） (2018九上·惠阳期中) 如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）18. （20分）(2017·衡阳模拟) 如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．19. （15分） (2016八上·县月考) 已知二次函数的图象过（1，０），（０，3）两点，对称轴为直线x=－1。
中考数学必背知识点及公式
中考数学必背知识点及公式
1. 一次函数的标准式：y = kx + b；斜率 k 的计算公式：k =
(y2 - y1) ÷ (x2 - x1)
2. 二元一次方程组：ax + by = c；dx + ey = f；解法有消元法和代入法。
3. 垂直、平行线的判定方法：（1）两条直线斜率乘积等于-1，则它们垂直；（2）两条直线斜率相等，则它们平行。
4. 三角形内角和公式：三角形内角和等于 180 度。
5. 相似三角形边长、角度的关系：（1）相似三角形的对应边
长成比例；（2）相似三角形的对应内角相等。
6. 直角三角形中的三角函数公式：正弦函数：sinθ = 对边 ÷斜边；余弦函数：cosθ = 邻边 ÷斜边；正切函数：tanθ = 对边 ÷
邻边。
7. 平面坐标系中两点间的距离公式：√[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
8. 平行四边形的面积公式：S = 底 ×高。
9. 三角形的面积公式：S = 底 ×高 ÷ 2。
10. 圆的周长公式：C = 2πr 或C = πd （其中 r 为圆的半径，d
为圆的直径）。
11. 圆的面积公式：S = πr²。
12. 锐角三角形中任意两边的关系：两边之和大于第三边。
13. 任意三角形中角度与对边的关系：（1）任意两边之间的夹角小于对应的角的大小；（2）任意两角之间的棱长比大于角对应的正弦值。
2021年江西省赣州市中考数学总复习：二次函数(附答案解析)
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①a+b+c＞0；②对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；③关于x的方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根；④﹣1≤a ，其中结论正确个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
14．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图形与x轴有N个交点，则（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1
15．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
B．图象向右平移3个单位则变为y＝2（x﹣3）2﹣4
C．当x＝3时，函数y有最大值﹣1
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
19．已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
赣州中考数学考点整理
重点公式、定理、推论总结
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12 两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理：三角形两边的和大于第三边
16 推论：三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
18 推论1：直角三角形的两个锐角互余
19 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等
31 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合
33 推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角
形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
35 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44 定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45 逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c
47 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形
48 定理四边形的内角和等于360°
49 四边形的外角和等于360°
50 多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51 推论：任意多边的外角和等于360°
52 平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等
53 平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等
54 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等
55 平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分
56 平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57 平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58 平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
59 平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60 矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角
61 矩形性质定理2：矩形的对角线相等
62 矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
63 矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
64 菱形性质定理1：菱形的四条边都相等
65 菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66 菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2
67 菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形
68 菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71 定理1：关于中心对称的两个图形是全等的
72 定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73 逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74 等腰梯形性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等
75 等腰梯形的两条对角线相等
101 圆是定点的距离等于定长的点的集合
102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104 同圆或等圆的半径相等
105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
109 定理：不在同一直线上的三个点确定一条直线
110 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111 推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等
113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
115 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
119 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
121 ①直线L和⊙O相交d﹤r
②直线L和⊙O相切d=r
122 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
124 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127 圆的外切四边形的两组对边的和相等
128 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135 ①两圆外离d﹥R+r②两圆外切d=R+r
③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)
④两圆内切d=R-r(R﹥r)⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)
136 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137 定理：把圆分成n(n≥3)：
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139 正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
140 定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141 正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长
142 正三角形面积√3a/4a表示边长
143 如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
144 弧长计算公式：L=n∏R/180
145 扇形面积公式：S扇形=n∏R/360=LR/2
146 内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)。