【配套K12】江苏省宿迁市高中数学 第11课时 直线与平面垂直导学案 苏教版必修2
《直线与平面垂直的性质》教案、导学案、课后作业
《8.6.2 直线与平面垂直》教案第2课时直线与平面垂直的性质【教材分析】在直线与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线垂直关系延续和提高，也是后续研究平面与平面垂直的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
【教学目标与核心素养】课程目标1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【教学重点和难点】重点：直线和平面垂直的性质定理.难点：直线和平面垂直的性质定理的应用.【教学过程】一、情景导入问题1：长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？问题2：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本153-155页，思考并完成以下问题1、垂直与同一条直线的两条直线有什么位置关系？2、与线面垂直有关的结论有哪些？3、怎样定义直线与平面的距离、平面与平面的距离？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、直线与平面平行的性质定理常用结论:(1)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.(2)已知a⊥α.若平面α外的直线b与直线a垂直，则b//α.(3)已知a⊥α.β//α，则a⊥β.2、距离(1)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离.(2)平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离.四、典例分析、举一反三题型一直线与平面垂直的性质定理的应用例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证：（1）MN∥AD1;（2）M 是AB 的中点. 【答案】证明见解析【解析】（1）因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,所以AD 1⊥A 1D.又因为CD ⊥平面ADD 1A 1,AD 1⊂平面ADD 1A 1,所以CD ⊥AD 1. 因为A 1D∩CD=D,所以AD 1⊥平面A 1DC. 又因为MN ⊥平面A 1DC,所以MN ∥AD 1. (2)设AD 1∩A 1D=O,连接ON,在△A 1DC 中, A 1O=OD,A 1N=NC.所以ONCDAB,即ON ∥AM.又因为MN ∥OA,所以四边形AMNO 为平行四边形,所以ON=AM. 因为ON=AB,所以AM=AB,即M 是AB 的中点.解题技巧（证明两条直线平行的常见方法） (1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 跟踪训练一1、如图，已知平面α∩平面β=l ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，B 为垂足，直线a ⊂β，a ⊥AB.求证：a ∥l .12121212【答案】证明见解析【解析】因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a. 又因为a⊥AB，AB∩EB=B，所以a⊥平面ABE.因为α∩β=l，所以l⊂α，l⊂β.因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l. 又因为EA∩EB=E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.题型二空间中的距离问题例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.【答案】18.【解析】由长方体ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE，因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1=90°，由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1 E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，所以E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C的距离，AB=3，所以四棱锥E-BB1C1C的体积V=13×3×6×3=18.解题技巧 (空间中距离的转化)（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离.（3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.跟踪训练二1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E 是BC的中点，M是PD的中点.(1)求证：AE⊥平面PAD.(2)若AB=AP=2，求三棱锥P-ACM的体积.【答案】(1)证明见解析，(2)√33.【解析】解析 (1)连接AC，因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC为正三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，因为AD∥BC，所以AE⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，又因为PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.(2)因为AB=AP=2，则AD=2，AE=√3，所以VP-ACM =VC-PAM= 13S△PAM·AE= 13×12×12×2×2×√3＝√33五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本155页练习，162页习题8.6的13、14、15、16题.【教学反思】通过本节课性质定理的学习，使学生进一步了解线线垂直和线面垂直时刻相互转化的，即空间问题和平面问题可以相互转化.《8.6.2 直线与平面垂直》教案第2课时直线与平面垂直的性质【学习目标】知识目标1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．核心素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【学习重点】：直线和平面垂直的性质定理.【学习难点】：直线和平面垂直的性质定理的应用.【学习过程】一、预习导入阅读课本153-155页，填写。
高中数学 1.2.3《直线与平面垂直的判定》教案 苏教版必修2
§1.2.3直线与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。
然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
高中数学 直线、平面垂直的定义与判定导学案 苏教版必修2
直线与平面垂直的定义与判定一学习要求：掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系.二学习重点：直线与平面垂直的判定定理.学习难点：判定定理的应用.三学习过程：1 知识链接：（1）. 复习直线与平面平行的判定定理及性质定理.（2）. 讨论：日常生活中有哪些现象给人以直线与平面垂直的感觉？（竖直站立的人与地面、旗杆与地面、生日蛋糕与蜡烛┅）2 .直线与平面垂直的定义：（1）引入：观察旗杆与它在地面的影子的位置关系：随着时间的变化，影子在移动，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（2）定义：如果_______________________________ ，则直线l与平面α⊥. l叫做平面α的垂线，α叫做直线l的垂面，它们互相垂直，记作lα的唯一公共点P叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）问题 1 如果一条直线与平面内无数条直线垂直，那么这条直线与平面垂直吗？举例说明。
问题2 在空间：（1）过一点有几条直线与已知平面垂直？（2）过一点有几个平面与已知直线垂直？结论：问题3：给定一条直线和一个平面，如何判定它们是否垂直？例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
已知：a∥b，a⊥α求证：b⊥α学生依图，联系直线与平面垂直的定义，尝试写出证明过程：3.直线与平面垂直的判定：（1）实验：将一张矩形纸片对折后略为展开，竖立在桌面上，观察折痕与桌面有怎样的位置关系？进而，你能得出什么结论？（2）判定定理：如果________________________________________，则这条直线与该平面垂直.符号语言：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m⊂α，n⊂α，则l⊥α说明：对于判定定理注意二点.一是判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准、用对.二是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.问题4：以下命题中，正确命题的序号为______________.①若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；②若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线；④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面.问题5：如图，在长方体''''ABCD A B C D 中，与平面''B C CB 垂直的直线有 ；与直线'AA 垂直的平面有 .例2 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：AC ┴BD'.例3在△ABC 中，∠Ｂ＝90°，SA ⊥面ABC ，AM ⊥SC ，AN ⊥SB 垂足分别为N 、M ，求证：AN ⊥BC ，MN ⊥SC四．课时小结：1.定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语、定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.2.和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.3.注意两个结论：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.4.判定直线和平面是否垂直，本节课给出了三种方法：（1）定义 强调“任何一条直线”；（2）例1的结论 符合“两条平行线中一条垂直于平面”特征；（3）判定定理 必须是“两条相交直线”.五 当堂检测：1.判断题（1）l ⊥α⇒l 与α相交（ ）（2）m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α（ ）（3）l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α⇒n ⊥α（ ）2. 如图，已知AP O ⊥ 所在平面，AB 为O 的直径，C 是圆周上的任意， 过点A 作AE PC ⊥于点E. 求证：AE ⊥平面PBC.六 课后作业1 课本P34页练习32 课本P36页习题73 课本P37页习题8。
2013年江苏省高中数学优秀课评比教案——直线与平面垂直的判定教案
课题：直线与平面垂直的判定（一）授课教师：江苏省宿迁中学张明星教材：苏教版·必修二教学目标1.通过对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，能正确理解直线与平面垂直的定义，并能简单的运用定义。
2.通过类比联想，直观感知，操作确认，归纳出直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些的简单命题。
3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，培养主动探究的习惯，并渗透事物间相互转化和理论联系实际的辨证唯物主义观点.教学重点、难点教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。
教学方法与教学手段教学方法：启发式与实验探究式相结合教学手段：计算机、多媒体课件、三角形卡纸教学过程一、直线与平面垂直定义的构建1、创设情境——感知概念复习直线与平面的三种位置关系，指出已经系统学习过直线与平面平行的定义、判定定理和性质定理后，进一步提出问题：你认为直线与平面相交中哪种情况最特殊？最值得研究？展示几幅生活中常见的图片，让学生指出其中给人以“直线与平面垂直”形象的部分，从中抽取出直线与平面垂直的几何图形，进而引出课题：直线与平面垂直.设计意图：从数学知识内部发展和生活应用两个角度让学生认识到研究“直线与平面垂直”的必要性.并通过抽象的三部曲：实物模型空间直观图，抽象出直线与平面垂直的几何图形，让学生直观感知直线与平面垂直的位置关系，使学生头脑中产生直线与平面垂直的初步印象．2、观察归纳——形成概念从陀螺中抽象出圆锥模型，学生通过旋转纸片，感受圆锥的形成过程，并思考：问题1：旋转轴与底面内哪些直线垂直？（教师播放动画）并追问为什么？进而归纳出直线与平面垂直的定义.设计意图：在具体的情境中，让学生感知直线与平面垂直的本质属性，体会到定义的合理性．3、讨论辨析——深化概念引导学生用数学符号将定义表示出来，接着提出问题：（1）如果将定义中的“任意一条直线”改成“无数条直线”，结论还成立吗？（2）若l⊥α,m α，则l⊥m成立吗？设计意图：通过对两个问题的讨论辨析，让学生加深对概念的理解,并让学生体会到通过定义可以实现“线线垂直”与“线面垂直”的相互转化.二、直线与平面垂直判定定理的构建1、类比联想——提出问题根据线面平行的判定定理进行类比，通过不断的猜想和分析，最终提出问题：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直吗？设计意图：从学生的已有知识出发，类比联想，符合学生的认知规律，使学生的思维顺畅，并激发学生进一步探究的欲望．2、动手实验——提出猜想演示实验过程：先将三角形纸片折叠一次，再将纸片略打开放置于桌面上，A使折痕与桌面相交．思考：（1）折痕与桌面一定垂直吗？（2）如何折叠才能使折痕与桌面所在的平面垂直？学生解释，并给出不同的折法.问题2：这两种不同的折法有何共同特点？你有何猜想？设计意图：一方面让学生从另一个角度来理解定义——只要直线l 与平面α内有一条直线不垂直，那么直线l 就与平面α不垂直；另一方面让学生通过讨论不同折法的共同特点，直观感知并归纳猜想出直线与平面垂直的判定定理.3、合作探究——形成定理问题3：为什么折痕能与桌面所在的平面垂直？学生讨论探究，以折痕AD 为轴转动纸片，来说明AD 与平面α内过D 点的所有直线都垂直，平面α内不过D 点的直线，可以通过平移经过D 点，说明它们与AD 都垂直，符合直线与平面垂直的定义，验证了猜想的正确性（辅以动画演示），得出直线与平面垂直的判定定理.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．让学生用图形语言表示判定定理并辨析：直线l 是否必须经过经过直线m 与直线n 的交点O ？符号语言： m l ⊥，n l ⊥，α⊂m ，α⊂n ，m n O = ⇒l α⊥． 设计意图：让学生通过动手操作，经历观察、归纳、猜想及验证的探究过程，增强学生的学习兴趣，提高学生的抽象概括能力，培养学生严谨细致的作风在理解直线与平面垂直的判定定理时，强调“两条”、“相交”缺一不可.指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线与已知直线垂直.三、初步应用——深化认识1. 图形感知——提出命题从图中可以看出边AB 与折痕平行，边AB 是否也与平面α垂直？本题可以使用直线与平面垂直的定义来证明，也可以使用直线与平面垂直的判定定理来证明，让学生展现其解决问题的思路，并通过学生的交流，完善并规范解题过程的书写.设计意图：一方面让学生学会使用定义和判定定理，让他们掌握分析此类问题的方法和步骤，另一方面让学生学会思考，增强其逻辑推理能力，并给学生更多的发展机会.问题4：判定直线与平面垂直有哪些方法？学生总结出利用定义和定理两种方法.设计意图：让学生在头脑中初步形成将线面垂直转化为线线垂直的意识，为下面的应用打下铺垫.请学生用文字语言将例题表述出来——如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．2. 命题变式——探究证明将命题的题设和结论交换，得出变式例题.例2.已知：AB α⊥，DE α⊥．求证：AB //DE ．本题证明有一定困难，需要适当的引导，师生共同探究，完成证明，进而总结出直线与平面的性质定理．性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行符号语言：a ⊥α,b ⊥αa//b 图形语言：ba α设计意图：“授人以鱼，不如授人以渔”，在共同探究的过程中，不仅体现了知识的运用，更重要的是展示了思维的过程，增强学生分析问题、解决问题的能力.四、回顾总结，反思升华问题5：这节课，我们有哪些收获？知识方面：线面垂直的定义、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理． 方法方面：掌握了立体几何中研究线面位置关系思路与方法．数学思想：转化思想（空间平面、无限 有限、线面垂直 线线垂直、平行 垂直）五、布置作业，巩固理解（1）阅读课本相关内容进行复习；（2）课本第41-42页习题1.2（2）的“感受·理解”部分的第7题和第9题；（3）课本第42页习题1.2（2）的“思考·运用”部分的第12题. 线线平行性质定理 a//b,a ⊥b b ⊥α a//b a ⊥α,b ⊥α 判定定理（两相交直线） 定义法（任一直线） 线线垂直 线线平行线 面 垂 直。
2022年教学教材《2021江苏高中数学一轮学案 直线、平面垂直的判定与性质》优秀教案
第四节直线、平面垂直的判定与性质[最新考纲]1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直1定义：如果直线与平面α内的任意一条直线都垂直，那么直线与平面α垂直．2判定定理与性质定理1平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．2当直线与平面垂直和平行或直线在平面内时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°3范围：错误!3．二面角的有关概念1二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．2二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．3范围：[0，π]．4．平面与平面垂直1定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2判定定理与性质定理直线与平面垂直的五个结论1假设一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意直线2假设两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．3垂直于同一条直线的两个平面平行．4一条直线垂直于两平行平面中的一个，那么这条直线与另一个平面也垂直．5两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．一、思考辨析正确的打“√〞，错误的打“×〞1垂直于同一个平面的两平面平行．2假设α⊥β，a⊥β⇒a∥α3假设两平面垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．4假设平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，那么α⊥β[答案]1×2× 3 ×4×二、教材改编1．设α，β是两个不同的平面，，m是两条不同的直线，且⊂α，m⊂βA．假设⊥β，那么α⊥βB．假设α⊥β，那么⊥mC．假设∥β，那么α∥βD．假设α∥β，那么∥mA[∵⊥β，⊂α，∴α⊥β面面垂直的判定定理，故A正确．]2．以下命题中不正确的选项是A．如果平面α⊥平面β，且直线∥平面α，那么直线⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝，那么⊥γA[A错误，与β可能平行或相交，其余选项均正确．]3如下图，分别为AB，VA的中点．1求证：平面MOC⊥平面VAB；2求三棱锥B-VAC的高．[解]1证明：∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB ∵OC⊂平面MOC, ∴平面MOC⊥平面VAB2在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝错误!，∴AB＝2，OC＝1，∴等边△VAB的面积为S△VAB＝错误!×22×in 60°＝错误!，又∵OC⊥平面VAB，∴OC⊥OM，△AMC中，AM＝1，AC＝错误!，MC＝错误!，∴S△AMC ＝错误!×1×错误!＝错误!，∴S△VAC＝2S△MAC＝错误!，由三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，即错误!S△VAC ·h＝错误!S△VAB·OC, ∴h＝错误!＝错误!，即三棱锥B-VAC的高为错误!考点3平行与垂直的综合问题探索性问题中的平行与垂直关系处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜想点的位置，再给出证明．探索点存在问题，点多为中点或n等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置．2021·北京高考如图，在四棱锥在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF [解]1证明：连接CE交AD于O，连接OF因为CE，AD为△ABC的中线，那么O为△ABC的重心，故错误!＝错误!＝错误!，故OF∥C1E，因为OF⊂平面ADF，C1E⊄平面ADF，所以C1E∥平面ADF2当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF证明如下：因为AB＝AC，D为BC的中点，故AD⊥-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1，故平面B1BCC1⊥平面ABC又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面B1BCC1，又CM⊂平面B1BCC1，故AD⊥CM又BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2，故Rt△CBM≌Rt△FCD易证CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD⊂平面ADF，故CM⊥平面ADF又CM⊂平面CAM，故平面CAM⊥平面ADF折叠问题中的平行与垂直关系解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕〞，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变〞．1与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；2与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变．2021·全国卷Ⅰ如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA1证明：平面ACD⊥平面ABC；2Q为线段AD上一点，＝AB＝3，DA＝3错误!又B＝90°〞折叠过程中始终不变．即折叠问题的处理可采用：不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系那么要在立体图形中解决[教师备选例题]如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，FE与A，D不重合分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD求证：1EF∥平面ABC；2AD⊥AC[证明]1在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，那么AB∥EF又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC2因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F 是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC＝错误!1 21证明：DE∥平面BCF；2证明：CF⊥平面ABF[证明]1在折叠后的图形中，因为AB＝AC，AD＝AE，所以错误!＝错误!，所以DE∥BC因为DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，所以DE∥平面BCF2在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，那么在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF 又BF＝CF＝错误!，BC＝错误!，所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF又BF∩AF＝F，BF⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以CF⊥平面ABF。
苏教版高中数学必修2《直线与平面垂直》教学课件
A
O
B
C
点线面体，勾勒大千世界。 欢迎同学们走入立体几何的世界！
普通高中课程标准实验教科书（必修2）数学第一章
直线与平面垂直
欣赏美景，感悟数学
直线与平面垂直
问题1：如何定义直线与平面垂直?
试验1： 圆锥的形成
问题2：1.圆锥的轴与底面是什么关系？
2.圆锥的轴与底面内所有过Ｏ 点的直线是什么关系？
轴与底面垂直
如何判断山顶上的旗 杆垂直于水平面？
求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
已知：a // b, a .
求证：b .
a
b
m
问题4：如果旗杆是在水平的地面上，还
有定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线
垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
am
a
an
m
a .
A m n
n
m n A
线线垂直
线面垂直
试验2
过ΔABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折
后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).
思考: 1.折痕AD与桌面垂直吗?
2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面
垂直?
3.你能证明吗？
轴垂直于底面内的 任意一条直线
如何定义直线与平面垂直？
一、直线与平面垂直的定义
如果直线 a 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 与a平面 互相垂直，记作 a .
平面 的垂线
垂足
a
直线a的垂面
P
由定义知：线线垂直
线面垂直
“任意”是“无数” 吗？
苏教版高中数学必修二《直线与平面垂直》说课稿A[2020年最新]
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苏教版高中数学必修二《直线与平面垂直》说课稿一、说教材（一）教材内容教材选自：苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2，1.2.3直线与平面的位置关系 2.直线与平面垂直第一课时。
本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用，得到性质定理。
直线与平面垂直的是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是后面学习面面垂直的基础，是连接线线垂直和面面垂直的纽带！因此线面垂直是空间垂直位置关系间转化的重心，在教材中起到了承上启下的作用。
（二）学情分析在本节课之前学生已学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质，具备了学习本节课所需的知识。
学生在学习了直线与平面的平行后具备了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的基础，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础。
但是对于学生而言，他们的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。
（三）教学重、难点教学重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究、证明性质定理。
教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
二、教学目标《课程标准》把本节课学习目标概括为：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
我将本节课的教学目标确立为：知识与技能:（1）经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；（2）通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；（3）感受直线与平面垂直的性质定理，并能证明。
过程与方法:（1）在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．（2）尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换．情感、态度与价值观:经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．三、说教法、学法采用“启发－探究”的教学方法。
苏教版高中数学必修二《直线与平面垂直》教学设计[2020年最新]
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苏教版高中数学必修二《直线与平面垂直》教学设计一、教学目标1．通过对实例、图片、模型的观察，让学生提炼并理解直线与平面垂直的定义．2．通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，引导学生探究直线与平面垂直的性质定理，尝试用文字、符号、图形语言对定义和定理进行准确表述和合理转换，并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题．3．在探索直线与平面垂直的判定定理过程中发展学生的空间想象能力和合情推理能力，使学生感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”等数学思想方法．二、教学重点、难点本节课的教学重点是运用直观感知、问题探究、操作确认等方法概括得出直线与平面垂直的定义和判定定理．教学难点是直线和平面垂直的性质定理的探究、发现和应用．三、教学方法与教学手段启发式教学与探究式教学相结合四、教学过程1．问题情境展示校园中的旗杆图片，引导学生思考旗杆与地面的位置关系，从而引出本节课的课题《直线与平面垂直》．2．学生活动由教室内门的一条边与墙面的位置关系引导学生回顾上一节课《直线与平面平行》的所学内容．再由门的一条边与地面的位置关系引出《直线与平面垂直》，让学生在温故知新的基础上明确本节课的研究内容及顺序．3．数学建构通过观察图片，并借助教具进行展示，让学生在直观感知“直线与平面垂直”的基础上尝试给出“直线与平面垂直”定义，再通过比较、辨析，进一步明确“直线与平面垂直”的定义及应用．然后将“直线与平面垂直”与平面几何中的“线线垂直”进行类比，得出“直线与平面垂直”相关概念及结论．4．数学理论通过证明“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”，指出利用“直线与平面垂直”的定义证明直线与平面垂直的局限性，从而引导学生探究判定“直线与平面垂直”的简便可行的方法，即直线与平面垂直的判定定理．同时，由生活中两根旗杆相互平行这一情境，抽象概括出直线与平面垂直的性质定理，并给出严格证明．5．数学应用请学生独立完成以下问题：例已知三棱锥S ABC，其中BAC=90，若SB面ABC，求证：SA AC．SA CB学生完成后交流分析思路，展示证明过程．6．回顾小结请学生回顾本节课所学内容并谈谈自己这节课的收获．五、教学设计说明本节课是高中数学（苏教版）必修2第一章《立体几何初步》第二节《点、线、面之间的位置关系》中《直线与平面的位置关系》的一小节内容，前一小节学生刚刚学习了直线与平面的位置关系以及直线与平面平行等相关知识，因此本节课的内容既是直线与平面位置关系的深化，又是进一步研究面面垂直、线面角、面面角的基础，在整。
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第11课 课题：直线与平面垂直的判定
【学习目标】通过直观感知、操作确认、归纳出：一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则这条直线与此平面内垂直 【问题情境】
1. 观察实际生活中的旗杆、建筑等物，请学生思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？
2. 讨论：能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1与
A 1
B 1
C 1
D 1有怎样的位置关系？
3. 直线与平面垂直的定义：如果直线a 与平面α内 都垂直，则直线a 与平面α互相垂直，记作： 。
4．直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个平面内的所有直线。
3. 直线与平面垂直的判定方法： (1)利用定义
(2)判定定理：一条直线与这个平面的 垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
符号语言： 。
实质是： 垂直⇒线面垂直。
(3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也 于这个平面。
4. 思考 平面中,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.那么,在空间:
(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？ (2)过一点有几个平面与已知直线垂直？
5. 点面距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和 的距离，叫做这个点到这个平面的距离。
练习：
(1)若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线有 条。
(2)下列说法中正确的有 。
①．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么,这条直线就与这个平面垂直。
②．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
③．若A,B 两点到平面α的距离相等，则直线AB ∥α.
④．已知直线a 在平面α内，若l ⊥α，则l ⊥a. ⑤．已知直线l 和平面α，若l ⊥α，则l 和α相交. 【合作探究】
_ C _1
__ C
_ A
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典型例题
例1. 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
A-BCD 中，AB=AD,CB=CD ，求证：AC ⊥BD
【展示点拨】
变式：如图,已知
:α∩β＝l , PA ⊥α于Α,PB ⊥β于B ,
AQ ⊥l 于Q , 求证: BQ ⊥l .
【学以致用】
1．若AB 的中点M 到平面α的距离为cm 4，点A
到平面α的距离为cm 6，则点B 到平面α 的距离为____ _____cm 。
2．三棱锥ABC P -中，侧棱PC PB PA 、、两两垂直，底面ABC 内一点S 到三个侧面的距离分别是632、、，那么=PS __ _____。
3.如图，已知PA ⊥α,PB ⊥β,垂足分别为A 、B ， 且αβ＝l , 求证：l ⊥平面APB
4. 如图,P 是矩形ABCD 所在平面外一点,且PA ⊥平面ABCD ,
,,PA AD E F =分别是,AB PC 的中点.
求证:EF ⊥平面PCD D
A
P
A
E
B
C
D
F
参考答案：
1.2cm
2.7
3. ∵αβ＝l
∴l∈α，l∈β
∵PA⊥α,PB⊥β,
∴PA⊥l,PB⊥l,
∴l⊥面PAB
4．如图：取PD中点M，连接AM，MF
∵PA⊥面ABCD,DC∈面ABCD
∴PA⊥DC,
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥AD
∴DC⊥面PAD,
∵AM∈面PAD
∴AM⊥CD,
∵PA=AD，点M是PD中点，
∴AM⊥PD,
∴AM⊥面PDC
又∵点M是PD中点，点F是PD中点，点E是AB中点
∴MF∥AE, MF=AE,
∴四边形AMFE是平行四边形
∴AM∥EF,
∴EF⊥面PDC
D
E B
C
F
P
A
M
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