2017北京156中学高三(上)期中数学(文)

2017北京156中学高三（上）期中数 学（文）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．集合{}(1)(2)0A x x x =-+≤，{}|0B x x =<，则AB =（ ）． A ．(,0)-∞B ．(],1-∞C ．[1,2]D ．[)1,+∞ 2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）． A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x =-C ．2log y x =D ．||1y x =+ 3．已知非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是（ ）．A ．0a b +>B ．11a b >C ．2ab b <D ．330a b -<4．若x ，y 满足20,3,0,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥则Z y x =-的最大值为（ ）．A ．0B ．3C ．4D ．5 5．设m α⊂，α，β是两个不同的平面，则“αβ∥”是“m β∥”的（ ）． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．如果方程222y x k+=表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）． A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(0,1) D ．(1,2)7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）．A ．43B ．8C ．47D ．838．如图，A ，B ，C 三个开关控制着1，2，3，4号四盏灯．若开关A 控制着2，3，4号灯（即按一下开关A ，2，3，4号灯亮，再按一下开关A ，2，3，4号灯熄灭），同样，开关B 控制着1，3，4号灯，开关C 控制着1，2，4号灯．开始时，四盏灯都亮着，那么下列说法正确的是（ ）．A ．只需要按开关A ，C 可以将四盏灯全部熄灭B ．只需要按开关B ，C 可以将四盏灯全部熄灭C ．按开关A ，B ，C 可以将四盏灯全部熄灭D ．按开关A ，B ，C 无法将四盏灯全部熄灭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是__________．10．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，n ∈N *，且33a =，则1a =__________，其前n 项和n S =__________．11．平面向量a 与b 的夹角为60︒，(1,0)a =，||2b =，则|2|a b -=__________．12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4c =，sin 2sin C A =，1cos 4B =，则ABC △的面积是__________；b =__________．13．已知圆22:240C x y x y ++-=，那么圆心坐标是__________；如果圆C 的弦AB 的中点坐标是(2,3)-，那么弦AB 所在的直线方程是__________． 14．已知函数(2)(),1,()1, 1.x a a x x f x x a x --⎧⎪=⎨+->⎪⎩≤ （1）若0a =，[0,4]x ∈，则()f x 的值域是__________．（2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是__________．15．（本小题共13分） 已知函数()sin (cos 3sin )f x x x x =-．（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． （2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．16．（本小题13分）已知数列{}n a 是等差数列，其首项为2，且公差为2，若2()n a n b n =∈N *．（1）求证：数列{}n b 是等比数列．（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n A ．已知函数32211()232f x x ax a x =+-． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值点．（2）求函数()f x 的单调区间．18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，PA AB ⊥，CD AD ⊥，12BC CD AD ==，E 为AD 的中点．（1）求证：PA CD ⊥．（2）求证：平面PBD ⊥平面PAB ．（3）在平面．．PAB 内是否存在M ，使得直线CM ∥平面PBE ，请说明理由．19．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A -，离心率为63． （1）求椭圆C 的标准方程．（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程．已知：函数()e 2x f x x =-．（1）求函数()f x 的极值．（2）证明：当0x >时，2e x x >．（3）当0x >时，方程2()2f x kx x =-无解，求k 的取值范围．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．【答案】B【解析】∵集合{}{}(1)(2)0|21A x x x x x =-+=-≤≤≤，集合{}|0B x x =<，∴{}(]|1,1AB x x ==-∞≤． 故选B ．2．【答案】D【解析】A 项．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是非奇非偶函数，故A 项错误； B 项．2y x =-是偶函数，在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数，故B 项错误； C 项．2log y x =是非奇非偶函数，故C 项错误；D 项．||1y x =+是偶函数，当0x >时，1y x =+，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，故D 项正确． 综上所述．故选D ．3．【答案】D【解析】若a b <，则有33a b <，即330a b -<．故选D ．4．【答案】B【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图所示，由z y x =-可得y x z =+，平移直线y x =，由图可知，当直线经过点(0,3)A 时，纵截距最大，即z 最大，将(0,3)代入z y x =-得max 3z =．故选B ．5．【答案】A【解析】若m α⊂，αβ∥，则m β∥，充分性成立；若m α⊂，m β∥，则αβ∥或α与β相交，必要性不成立，所以，“αβ∥”是“m β∥”的充分不必要条件．故选A ．6．【答案】C 【解析】方程222y x k +=化为标准形式为22122x y k+=， 若此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则20k >且22k <，解得01k <<． 故选C ．7．【答案】C【解析】由题意可知，该空间几何体如图所示，由正视图和俯视图可知，底面是边长为4的正三角形，所以底面ABC 的面积为1423432⨯⨯=； 侧面SAC 和SBC 面积相等为14482⨯⨯=； 侧面SAB 为等腰三角形， 所以高为22(42)227-=， 所以面积为1427472⨯⨯=， 所以侧面SAB 的面积最大为47．故选C ．8．【答案】D【解析】根据题意，按开关A ，2，3，4熄灭，1亮；按开关B ，1，2熄灭，3，4亮；按开关C ，则2，3，4熄灭，1亮．故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【答案】π【解析】22()sin cos cos2f x x x x =-=-，故()f x 的最小正周期2ππ2T ==．10．【答案】1- 22n n - 【解析】若数列12n n a a +-=，n ∈N *，则数列{}n a 是等差数列，且公差2d =，又3123a a d =+=，故11a =-，21(1)22n n n S na d n n -=+=-．11．【答案】2【解析】222|2|4||4||||cos60||4444a b a a b b -=-⋅︒+=-+=，∴|2|2a b -=．12． 【答案】15 4【解析】∵4c =，sin 2sin C A =，∴2c a =，解得2a =， 由余弦定理可得22212cos 41616164b ac ac B =+-=+-⨯=， 故4b =，ABC △的面积1115sin 2415224S ac B ==⨯⨯⨯=．13．【答案】(1,2)- 50x y -+=【解析】圆22240x y x y ++-=可化为22(1)(2)5x y ++-=，故圆心坐标为(1,2)-，圆心和AB 中点连线的斜率3212(1)k -==----， 所以弦AB 所在直线斜率1AB k =，又直线AB 过点(2,3)-，所以弦AB 所在直线的方程为3(2)y x -=--，即50x y -+=．14．【答案】（1）[1,1]- （2）(,0)-∞【解析】（1）0a =时，2,1()1,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤， ∴()f x 在[0,1]上单调递减，在(]1,4上单调递增，∵(0)0f =，(1)1f =-，(4)1f =，∴()f x 在[0,1]上的值域是[1,0]-，在(]1,4上的值域是(]0,1，∴()f x 在[0,4]上的值域是[1,1]-．（2）当1x ≤时，令()0f x =得2x a =或x a =，当1x >时，令()0f x =得1x a =-，∴2(1)(11)x a a =-->，∵()f x 恰好有三个解，∴22112(1)111a a a a a a ⎧⎪⎪⎪≠⎨⎪->⎪⎪->⎩≤≤， 解得0a <，故实数a 的取值范围是(,0)-∞．15．【答案】见解析．【解析】解：（1）2133()sin (cos 3sin )sin cos 3sin sin 2cos 2222f x x x x x x x x x =-=-=+-， π3sin 232x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 故π2π3sin 0632f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． （2）由π02x ≤≤可知，ππ4π2333x +≤≤， ∴3πsin 2123x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤， ∴3()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦， ∴函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为312-，最小值为3-．16．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵等差数列{}n a 首项为2，且公差为2，∴2(1)22n a n n =+-⨯=，又∵22n n b =， ∴2(1)12242n n n n b b ++==， ∴数列{}n b 是以4为首项和公比的等比数列．（2）解：∵24n n n n c a b n =+=+，等差数列{}n a 的前n 项和22(1)2n n S n n n +=⋅=+，等比数列{}n b 的前n 项和4(14)4(41)143n n n T -==--， ∴数列{}n c 的前n 项和，4(1)(41)3n n n n A S T n n =+=++-．17．【答案】见解析．【解析】解：（1）当1a =时，3211()232f x x x x =+-，2()2(1)(2)f x x x x x '=+-=-+， 令()0f x '>，则2x <-或1x >，令()0f x '<，则21x -<<，∴()f x 在(,2)-∞-上单调递增，在(2,1)-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴()f x 的极大值点为2-，极小值点为1．（2）22()2(2)()f x x ax a x a x a '=+-=+-，令()0f x '=，则12x a =-，2x a =．①当0a =时，2()0f x x '=≥，()f x 在R 上的单调递增区间是(,)-∞+∞． ②当0a >时，令()0f x '>，则2x a <-或x a >，令()0f x '<，则2a x a -<<， ∴()f x 的单调增区间是(,2)a -∞-和(,)a +∞，单调减区间是(2,)a a -．③当0a <时，令()0f x '>，则x a <或2x a >-，令()0f x '<，则2a x a <<-，∴()f x 的单调增区间是(,)a -∞和(2,)a -+∞，单调减区间是(,2)a a -，综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 的单调增区间是(,2)a -∞-和(,)a +∞，单调减区间是(2,)a a -； 当0a <时，()f x 的单调增区间是(,)a -∞和(2,)a -+∞，单调减区间是(,2)a a -．18．【答案】见解析． 【解析】（1）证明：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB平面ABCD AB =，PA AB ⊥，∴PA ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥．（2）由已知，BC ED ∥，且BC ED =，∴四边形BCDE 是平行四边形，又CD AD ⊥，BC CD =，∴四边形BCDE 是正方形，连结CE ，则BD CE ⊥，又∵BC AE ∥，BC AE =，∴四边形ABCE 是平行四边形，∴CE AB ∥，∴BD AB ⊥，由（1）知PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥，又∵PA AB A =，∴BD ⊥平面PAB ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAB ．19．【答案】见解析．【解析】解：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴上， ∵2a =，63c a =， ∴263c =，22243b a c =-=， ∴椭圆的方程为：223144x y +=． （2）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为0，设l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：(2)y k x =+， 原点D 到直线l 的距离2|2|1k d k =+．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立2234y kx x y =⎧⎨+=⎩，消去y 整理得：22(13)4k x +=， 可得2222,1313k P k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，2222,1313k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． ∵以PQ 为直径的圆与直线l 相切， ∴1||2PQ d =，即||OP d =， ∴22222222|2|13131k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得1k =±，∴直线l 的方程为20x y -+=或20x y ++=．20．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵函数()e 2()x f x x x =-∈R ， ∴()e 2x f x '=-，令()0f x '=，即e 20x -=，得ln 2x =，11 / 11 ∴函数()f x 的极值是ln 2(ln 2)e 2ln 222ln 2f =-=-． （2）证明：设函数2()e x g x x =-，则()e 2x g x x '=-， 由（1）知()e 2x f x x =-在ln 2x =取得极小值， ∴()(ln2)2ln20g x f '=->≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)10g x g >=>，∴2e x x >．（3）当0x >时，方程2()2f x kx x =-无解，即0x >时， 2e x kx =无解，即0x >时，2e x kx >恒成立，令2()e (0)x h x kx x =->，()e 2x h x kx '=-，①0k ≤时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞递增，()(0)10h x h >=>，满足题意； ②0k >时，由（2）得：1k ≤时符合题意．综上所述，1k ≤．。