山东省高密市银鹰文昌中学九年级数学上册《3.4 用因式分解法解一元二次方程》学案2
人教版数学九年级上册因式分解法解一元二次方程精品课件
思考：除配方法或公式法以外，能否找到其 它解方程的方法？
探究因式分解法
问题2 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到解方程的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
降 次
x（10 - 4.9x）= 0
x = 0 或 10 - 4.9x = 0
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小亮是这样想的 : 0 3 0,15 0 0, 0 0 0. 反过来,如果a b 0,
那么a 0或b 0 或a b 0. 即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
人教版数学九年级上册因式分解法解 一元二 次方程 精品课 件
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例题
☞
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;
分解因式法
(2)x(x-2)＋x-2 =0.
（3）5x2
2x
1 4
x2
2x
3 4
44x(2x 1) 6x 3
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
九年级数学上册 4.4 用因式分解法解一元二次方程 如何用分解因式法解一元二次方程素材 (新版)青岛版
如何用分解因式法解一元二次方程作为分解因式法解一元二次方程是解一元二次方程的首选方法那么如何才能正确地运用分解因式滚过来解一元二次方程呢？一般来说，有下列几个步骤：①将方程右边化为零；②将方程左边分解为两个一次因式乘积；③令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.正确举几例说明：例1 解方程：x2 －6x－16＝0.分析由于－16＝－8×2，且－8+2＝－6.所以可以考虑运用分解因式法求解.解原方程的左边分解因式，得(x－8)(x+2)＝0.即x－8＝0，或x+2＝0.解得x1＝8，x2＝－2.例2 解方程：x2＋)x＝0.分析()，所以，原方程可以利用分解因式法求解.解原方程的左边分解因式，得(x x)＝0.即x0，或x0.解得x1x2.例3 解关于x的方程：x2+2(p－q)x－4pq＝0.分析由于－4pq＝2p(－2q)，而2p+(－2q)＝2(p－q)，所以原方程可以考虑利用分解因式求解.解原方程的左边分解因式，得(x+2p)(x－2q)＝0.即x+2p＝0，或x－2q＝0.解得x1＝－2p，x2＝2q.例4 解关于x的方程：x2－a(3x－2a+b)＝0.分析方程中x是未知数，其它字母均为字母系数.若用公式法解含有字母系数的一元二次方程时，计算量大，容易出错.考虑原方程通过整理变形后可以利用分解因式得到两个一次因式的乘积，于是可以求解.解原方程化为x2－3ax－(b2+ab－2a2)＝0，由于b2+ab－2a2＝(b+2a)(b－a).所以方程的左边分解因式，得[x－(2a+b)][x－(a－b)]＝0，即x－(2a＋b)＝0，或x－(a－b)＝0，所以x1＝2a+b，x2＝a－b.综上所述，分解因式法解一元二次方程的理论根据是，如果两个因式的积等于零，那么，这两个因式至少要有一个等于零.它是解一元二次方程最常用的方法.一般来说，能用分解因式法的一元二次方程应尽量用分解因式法，其法快速、方便，准确率高，当分解因式法实在困难时，再考虑运用公式法等.。
山东省高密市银鹰文昌中学九年级数学上册《3.1 一元二次方程》程检测题(无答案) 青岛版
《3.1 一元二次方程》检测题一．选择题（共33分）1．把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是（）1，3，5 B．1，﹣3，0 C．﹣1，0，5 D．1，3，0A．2．关于x的方程（m2﹣m﹣2）x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（）m≠﹣1 B．m≠2C．m≠﹣1或m≠2D．m≠﹣1且m≠2 A．3、已知一元二次方程ax2+bx+c=0,若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（）A、0B、1C、-1D、24．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（）（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16A．5．方程x（x﹣2）+ x﹣2 = 0的解是（）A2 B．﹣2，1 C．﹣1 D．2，﹣1．6．已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（）A、b=-1,c=2 B、b=1,c=-2 C、b=1,c=2 D、b=-1,c=-27.k为任何实数时，关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是（）A．方程都没有实数根 B．方程都有两个不相等的实数根C．方程都有两个相等的实数根 D．上述三种都有可能8．下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）x2+2x﹣4=0 B．x2﹣4x+4=0 C．x2+4x+10=0 D．x2+4x﹣5=0A．9、餐桌桌面是长160cm,宽100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且四周垂下的边等宽，小明设四周垂下的边宽带为xcm ，则应列得的方程为（ ） A 、（160+x ）(100+x)=160×100×2 B 、(160+2x)(100+2x)=160×100×2C 、(160+x)(100+x)=160×100D 、2(160x+100x)=160×10010.代数式的值3x 4x 22+-的值一定（ ）A 、大于3B 、小于3C 、等于3D 、不小于111.由下表可知，方程ax 2+bx+c=0的一个根（精确到0.01）的范围是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.20 ax 2+bx+c=0 -0.03 -0.01 0.04 0.1A 、6＜x ＜6.17B 、6.17＜x ＜6.18C 、6.18＜x ＜6.19D 、6.19＜x ＜6.20二．填空题（共28分）12．已知关于x 的方程2x 2﹣mx ﹣6=0的一个根2，则m= _，另一个根为 _ _13.如果关于x 的一元二次方程k 2x 2+kx=0的一个根是-2，则k=14．若关于x 的方程ax 2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a 的取值范围是 _ _15.已知x 1、x 2是方程2x 2+14x ﹣16=0的两实数根，那么的值为16、 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是17.如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x 米，则根据题意可列出方程为18.某厂计划在两年内把产量提高21%，若每年与上一年的增长率相同，则增长率是三．解答题（共59分）19．解方程：（共20分）（1）4(x+5)2=5 （2）（x+1）(x-3)=10（3）25(x-7)2=16(x+4)2 （4）2x 2-7x+3=020、（9分）已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m-1)x+m 2=0,有两个实数根x 1和x x（1）求实数m 的取值范围（2）当0x x 2221=-时，求m 的值21.（10分）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD ．设边AB 的长为x （单位：米），矩形ABCD 的面积为S （单位：平方米）．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）若矩形ABCD 的面积为50平方米，且AB ＜AD ，请求出此时AB 的长C D22.（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？23．（10分）某市政府为落实“保障性住房政策”，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．。
用因式分解法解一元二次方程课件青岛版数学九年级上册(1)
所以有：2 x 1 0或3 x 2 0，
所以x1
1 2
，x2
2 3
.
(6) x 42 5 2x2 解： x 42 5 2x2 0 x 4 5 2x x 4 5 2x 0
(1 x)(3x 9) 0 3(1 x)( x 3) 0 1 x 0或x 3 0 即x1 1，x2 3.
(3)3x2 6x 3;
解:(3)移项,得：3 x2 6 x 3 0， 提公因式得：3( x2 2 x 1) 0， 所以3( x 1)2 0， 有( x 1)2 0， 所以x1 x2 1.
(4)4x2 121 0;
解 : 2x 11 2x 11 0
2x 11 0或2x 11 0
分解因式法 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一 次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这 种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法. 1.用分解因式法解一元二次方程的条件是: 方程左边易于分解,而右边等于零 2.理论依据是：“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
把下列各式分解因式 : (1) x2 7;(2)3 y2 y 14.
解 : (1) 一元二次方程x2 7 0 的两个根是x1 7 , x2 7 . x2 7 ( x 7 )( x 7 ).
(2) 一元二次方程3 y2 y 14 0
的两个根是y1
2,
y2
7. 3
3 y2 y 14 3( y 2)( y 7 ). 3
x1 2, x2 1.
(2)5 x2 2 x 1 x2 2 x 3
4
4
解 : 移项, 合并同类项, 得：
4 x2 1 0,
(2 x 1)(2 x 1) 0.
九年级数学上册第二章一元二次方程4用因式分解法求解一元二次方程用因式分解求解一元二次方程教学
因式分解(yīn shì fēn jiě)，得有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
( x－1 )( x－1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
x1
11, 2
x2
11. 2
x1=x2=1.
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第十七页，共二十一页。
5.把小圆形场地(chǎngdì)的半径增加5m得到大圆形场地，场地 面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
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(2)移项、合并同类项，得
4x2 10.
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
2x＋1=0或2x－1=0,
于是得
x1
1, 2
x2
1. 2
第九页，共二十一页。
二 灵活选用方法解方程
例2 用适当(shìdàng)的方法解方程：
(1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1；
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第三页，共二十一页。
讲授(jiǎngshòu)新课
一 因式分解法解一元二次方程
引例：根据(gēnjù)物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度 (单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多 少秒落回地面吗(精确到0.01s)?
7 ,x2
2 3
7.
第十一页，共二十一页。
拓展(tuò zhǎn) 提升
填一填：各种一元二次方程的解法及适用(shìyòng)类型.
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
适用的方程类型
九年级数学上册-3-4《用因式分解法解一元二次方程》课件-青岛版
x2 7 0
3y2 y 14 0
的两个根是x1 7, x2 x2 7 (x 7)(x 7).
7.
的两个根是y1 3y2 y 14
2, y2 3( y 2)(
7. 3 y
7 ).
3
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的 乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一
式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后
直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.
即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
把下列各式分解因式 :
1.x2 7;
2.3y2 y 14.
解 : 1.一元二次方程
解 : 2.一元二次方程
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
例2、解方程:
分解因式法
2x12 x32.
解 : 2x 12 x 32 0.
2x 1 x 32x 1 x 3 0,
3x 2 x 4 0,
3x 2 0,或x 4 0.
2 x1 3 ; x2 4.
争先赛
心动 不如行动
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
老师提示:
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2-4ac≥0.
九年级数学上册 用因式分解法解一元二次方程教案 青岛版 教案
一、教与学目标：积；③方程左边的常数项为0．由此理解小莹的解法的依据．2．对于问题(2)，要使学生认识到，配方法是利用平方根的意义实现降次的，公式法是把解方程转化为求代数式的值实现降次的，因式分解法是通过把一个“二次多项式”分解为两个“一次多项式”实现降次的．2、典例分析例1 用因式分解法解方程：(1)15x2 +6x=O；(2)4x2—9=0．例2用因式分解法解方程：(2x+1)2=(X-3)2．对于例2，你还有其他的求解方法吗?注：例1的两个方程难度不大，可以引导学生独立完成．其中，方程(2)也可以利用平方根的意义求解．在例2的教学中，可以组织学生在思考的基础上独立完成，然后开展互相交流．要鼓励学生在熟悉因式分解法的基础上，合理选用其他解法，感受解题策略的多样性，并对各种解法的简繁程度加以比较．应使学生认识到：要根据所给方程的具体特点，选择适宜的解法．（三）、学以致用：1、巩固新知：用因式分解法解下列方程：(1)X(3x+1)=O；(2)2y (y-2)=0；(3)4x2-81=O； (4)2(x+5)2=1．（2）一个直角三角形三边的长为连续偶数，求它的三边的长．2、能力提升：(1)对于本节开头的方程x2+7x=0．，小亮是这样解的：把方程两边同除以x，得x+7=0．所以x=-7．怎么少了一个解?你知道小亮的解法错在什么地方吗?(2)对于例2，大刚想到的另外的解法是：把原方程两边开平方，得2x+l=x-3．所以X=-4．怎么也少了一个解?你知道大刚的解法错在什么地方吗?(3)对于方程x(x+2)=3，小莹的解法是：原方程化为x(x+2)：1×3，即x(x+2)=1×(1+2)．从而x=1，或x+2=3．所以原方程有两个相等的根x1=x2=1．个性化修改及生成完善小莹的解法正确吗?为什么?（四）、达标测评：1．方程x(x+2)一0的根是( )．A．x=2B．x=0C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=22．方程x2=4x的解是( )．A．x=4 B．x=2 C．x1=-4或x2=0 D．x=03．解方程(5x-1)2=3(5x-1)的适当方法应该是( )．A．直接开平方法 B．配方法C．公式法 D．分解因式法个性化修改及生成完善4．下列方程中不适合用因式分解法求解的方程是( )．A．3x2一2x=0 B．4x2=9C．(3x+1)=2x(3x+1) D．2x2+5x=65．写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1和2，这个方程可以是6．解下列方程：(1)5x2=2x；(2)x2-9=x+3。
九年级数学上册4 用因式分解法求解一元二次方程 (2)
重 点 难 点
状元成才路
重点：用因式分解法解一元二次方程. 难点：正确理解AB=0A=0或B=0（ A、B 表示两个因式）.
例 1 解 下 列 方 程 ： （ 1 ） 5x24x; （ 2 ） x(x2)x2.
解 ：(1 ) 原 方 程 可 变 形 为
(2)原 方 程 可 变 形 为
5x2 4 x 0,
状元成才路
(1)(x 5)(x 2) 18 解：整理原方程，得
x2－3x－28=0 (x－7)(x+4)=0 x－7=0,或x+4=0
x1=7,x2= -4
状元成才路
(2)(2a 3)2 (a 2)(3a 4)
解：去括号，整理，得 a2 2a 1 0 (a 1)2 0
a1 a2 1.
2x2 7x 6 0,
状元成才路
(x 2)(2x 3) 0
x 2 0或2x 3 0
x1
2，x2
3. 2
课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获？
状元成才路
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
状元成才路
声明
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∴ x1=
1 3
5 , x2=
1 3
5
状元成才路
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边不为零的化为 零 . 2. 将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积. 3. 至少 有一个 一次因式为零，得到两 个一元一次方程. 4. 两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解. 状元成才路
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《3.4用因式分解法解一元二次方程》学案
、学习目标：1.知道什么是因式分解法。
2.学会用因式分解法解特殊的一元二次方程。
3.通过因式分解法解一元二次方程，体会数学中的转化思想。
学习过程：
一.拓通准备：
1.因式分解法：_____________,_______________._______________,_______________.
2.把下列各式因式分解
（1）4x2-x （2）9x2-4
(3)x2-4x+4 (4)x2-5x+6
二.探求新知：
自学课本95页内容，归纳出：
1.什么是因式分解法：_______________________________.
2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：___________________.
三.自我尝试：
直接写出下列方程的两个根：
（1）x(x-1)=0 （2）(y-2)(y+5)=0 （3）t2=2t
四.典型例题
例1：用因式分解法解下列方程：（1）15x2=6x=0 （2）4x2-9=0
对应练习：解方程（1）16x2+10x=0 （2）(y-3)2=1
例2：解方程（1）(2x-1)2=(x-3)2 （2） x2-4x+4=0
对应练习：用因式分解法解方程：
（1）x-2-x(x-2)=0 （2）(x+1)2-25=0 (3)x2-5x+6=0 (4)(2x+1)2-6(2x+1)+8=0
五.当堂检测：
1.（x+a）(x+b)=0与方程x2-x-30=0同解，则a+b等于（）
A: 1 B : -1 C: 11 D:-11
2.用因式分解法解方程：
①x(x+3)=x+3 ②x2=8x ③2x(2x+5)=(x-1)(2x+5)
1。