高考数学总复习(讲+练+测)：专题5.1 平面向量的概念及线性运算(练)

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高考数学总复习(讲+练+测)：专题5.1 平面向量的概念及线性运算(测)

第01节平面向量的概念及线性运算班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.四边形OABC 中，OA CB 21=，若a OA =，b OC =，则=（） A ．21- B ．-21 C ．+21 D ．+21- 【答案】D 【解析】21,+=+=-=,所以a b a a b AB 2121-=-+=. 2.下列说法正确的是（）.A ．方向相同或相反的向量是平行向量B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量【答案】B【解析】选项A:方向相同或相反的非零向量是平行向量；3.在ABC ∆中，设三边,,AB BC CA 的中点分别为,,E F D ，则EC FA += （）A ．BDB ．12BDC ．ACD ．12AC 【答案】A【解析】如图，EC =12(AC BC + )，FA =12(BC +BA )，所以EC FA += BD ．故选A ．4.【2017·嘉兴模拟】已知向量a 与b 不共线，且AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，则点A ，B ，C 三点共线应满足 ( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1【答案】D5.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++ 等于（）A.OMB.2OMC.3OMD.4OM【答案】D 【解析】由已知得，1111,,,,2222OA OM CA OB OM DB OC OM AC OD OM BD =+=+=+=+而,,CA AC DB BD =-=- 所以4OA OB OC OD OM +++= ，选D.6.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+ ，则λμ-的值为 E A B CDA ．3B ．2C ．1D ．3-【答案】D【解析】因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD =+ ，∴2AD AC AE =-+，∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-．7.【2017广东惠州二调】如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么＝( )。

高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组5-1平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标表示

5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示考点一平面向量的概念及线性运算1.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 ABB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43(BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A.2.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 A 设BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12b+a,BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+b,从而BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12B +B )+(-12B +B )=12(a+b)=BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A.3.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 答案 12解析由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a+2b 平行等价于B 1=12,即λ=12.4.(2015北京理,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x= ,y= .答案 12;-16解析由BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 为AC 上靠近C 的三等分点,由BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知N 为BC 的中点,作出草图如下:则有BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-23·BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -16BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又因为BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=-16.5.(2013江苏,10,5分)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .答案 12解析 BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12.6.(2013北京理,13,5分)向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则BB= .答案 4解析以向量a 和b 的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1),b=BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2),c=BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-3).由c=λa+μb 可得{-1=-B +6B ,-3=B +2B ,解得{B =-2,B =-12,所以BB =4.评析本题主要考查平面向量的基本定理和坐标运算,考查学生的运算求解能力和在向量中解析法的应用,构建关于λ和μ的方程组是求解本题的关键. 考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案 A 根据题意得BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),∴BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 2.(2014北京文,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)答案 A 由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 3.(2014广东文,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 答案 B b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 答案 B 设a=k 1e 1+k 2e 2,A 选项,∵(3,2)=(k 2,2k 2),∴{B 2=3,2B 2=2,无解.B 选项,∵(3,2)=(-k 1+5k 2,2k 1-2k 2), ∴{-B 1+5B 2=3,2B 1-2B 2=2,解之得{B 1=2,B 2=1. 故B 中的e 1,e 2可把a 表示出来. 同理,C 、D 选项同A 选项,无解.5.(2019课标Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>= . 答案 -√210解析本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运算法则与运算方法的素养要素. 由题意知cos<a,b>=B ·B|B |·|B |=√22+22×√(-8)2+62=-√210.6.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m= . 答案 8解析本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0, ∴m=8.易错警示容易把两向量平行与垂直的条件混淆.7.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=. 答案-3解析本题考查向量平行的条件.∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.8.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= . 答案-6解析因为a∥b,所以B3=4-2,解得m=-6.易错警示容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.评析本题考查了两个向量平行的充要条件.9.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ=.答案12解析∵a∥b,∴sin2θ×1-cos2θ=0,∴2sinθcosθ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cosθ>0,∴2sinθ=cosθ,∴tanθ=12.。

高考数学一轮复习学案：5.1 平面向量的概念及线性运算(含答案)

高考数学一轮复习学案：5.1 平面向量的概念及线性运算（含答案）5.1平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算最新考纲考情考向分析1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法.减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.主要考查平面向量的线性运算加法.减法.数乘向量及其几何意义.共线向量定理常与三角函数.解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题.填空题为主，属于中低档题目偶尔会在解答题中作为工具出现.1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为a|a|平行向量共线向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算3交换律abba；4结合律abcabc减法求a与b的相反向量b的和的运算abab数乘求实数与向量a的积的运算6|a||||a|；7当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a08aa；9aaa；10abab3.共线向量定理向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.知识拓展1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2A2A3A3A4An1AnA1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量2若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP12OAOB3.OAOBOC，为实数，若点A，B，C共线，则1.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量2|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关3若ab，bc，则ac.4若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上5当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立6若两个向量共线，则其方向必定相同或相反题组二教材改编2P86例4已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OAa，OBb，则DC______，BC________.用a，b表示答案baab 解析如图，DCABOBOAba，BCOCOBOAOBab.3P108B组T5在平行四边形ABCD中，若|ABAD||ABAD|，则四边形ABCD的形状为________答案矩形解析如图，因为ABADAC，ABADDB，所以|AC||DB|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形题组三易错自纠4对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若ab0，则ab，所以ab.若ab，则ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件5设向量a，b不平行，向量ab 与a2b平行，则实数____________.答案12解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使aba2b 成立，即aba2b，则，12，解得12.6设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD12AB，BE23BC.若DE1AB2AC1，2为实数，则12的值为________答案12解析DEDBBE12AB23BC12AB23BAAC16AB23AC，116，223，即1212.题型一题型一平面向量的概念平面向量的概念1给出下列四个命题若|a||b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a||b|且ab.其中正确命题的序号是ABCD答案A解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确ABDC，|AB||DC|且ABDC，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则ABDC且|AB||DC|，ABDC；正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac；不正确当ab且方向相反时，即使|a||b|，也不能得到ab，故|a||b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选A.2设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是A0B1C2D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.思维升华向量有关概念的关键点1向量定义的关键是方向和长度2非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制3相等向量的关键是方向相同且长度相等4单位向量的关键是长度都是一个单位长度5零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线题型二题型二平面向量的线性运算平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算典例1在ABC中，ABc，ACb，若点D满足BD2DC，则AD等于A.23b13cB.53c23bC.23b13cD.13b23c答案A解析BD2DC，ADABBD2DC2ACAD，3AD2ACAB，AD23AC13AB23b13c.2xx青海西宁一模如图，在ABC中，点D在BC 边上，且CD2DB，点E在AD边上，且AD3AE，则用向量AB，AC表示CE为A.29AB89ACB.29AB89ACC.29AB79ACD.29AB79AC答案B解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CEAEAC13ADAC13AB13BCAC13AB13ACABAC29AB89AC.命题点2根据向量线性运算求参数典例1在ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC.若MNxAByAC，则x________，y______.答案1216解析MNMCCN13AC12CB13AC12ABAC12AB16ACxAByAC，x12，y16.2在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC3CD，点O 在线段CD上与点C，D不重合，若AOxAB1xAC，则x的取值范围是A.0，12B.0，13C.12，0D.13，0答案D解析设COyBC，AOACCOACyBCACyACAByAB1yAC.BC3CD，点O在线段CD上与点C，D不重合，y0，13，AOxAB1xAC，xy，x13，0.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略1向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则2求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则3求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值跟踪训练1如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么EF等于A.12AB13ADB.14AB12ADC.13AB12DAD.12AB23AD答案D解析在CEF中，有EFECCF.因为点E为DC 的中点，所以EC12DC.因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点，所以CF23CB.所以EF12DC23CB12AB23DA12AB23AD，故选D.2如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于点K，其中，AE25AB，AF12AD，AKAC，则的值为______答案29解析AE25AB，AF12AD，AB52AE，AD2AF.由向量加法的平行四边形法则可知，ACABAD，AKACABAD52AE2AF52AE2AF，E，F，K三点共线，5221，29.题型三题型三共线向量定理的应用共线向量定理的应用典例设两个非零向量a与b不共线1若ABab，BC2a8b，CD3ab，求证A，B，D三点共线；2试确定实数k，使kab和akb共线1证明ABab，BC2a8b，CD3ab，BDBCCD2a8b3ab2a8b3a3b5ab5AB，AB，BD共线又它们有公共点B，A，B，D三点共线2解假设kab与akb共线，则存在实数，使kabakb，即kak1b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.引申探究若将本例1中“BC2a8b”改为“BCamb”，则m为何值时，A，B，D三点共线解BCCDamb3ab4am3b，即BD4am3b.若A，B，D三点共线，则存在实数，使BDAB.即4am3bab4，m3，解得m7.故当m7时，A，B，D三点共线思维升华1证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线2向量a，b 共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线跟踪训练1xx资阳模拟已知向量ABa3b，BC5a3b，CD3a3b，则AA，B，C三点共线BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线DB，C，D三点共线答案B解析BDBCCD2a6b2a3b2AB，BD，AB共线，又有公共点B，A，B，D三点共线故选B.2已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l 上，则使等式x2OAxOBBC0成立的实数x的取值集合为A0BC1D0，1答案C解析BCOCOB，x2OAxOBOCOB0，即OCx2OAx1OB，A，B，C三点共线，x2x11，即x2x0，解得x0或x1.当x0时，x2OAxOBBC0，此时B1，C两点重合，不合题意，舍去故x1.故选C.容易忽视的零向量典例下列叙述错误的是________填序号若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同；|a||b||ab|a与b方向相同；向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba；ABBA0；若ab，则ab.错解展示中两个向量的和仍是一个向量，所以ABBA0.错误答案现场纠错解析对于，当ab0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同对于，当a，b之一为零向量时结论不成立对于，当a0且b0时，有无数个值；当a0但b0或a0但b0时，不存在对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以ABBA0.对于，当0时，不管a与b的大小与方向如何，都有ab，此时不一定有ab.故均错答案纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.。

高考数学一轮复习：专题5.1 平面向量的概念及线性运算(测)

专题5.1 平面向量的概念及线性运算一、填空题1．设M是△ABC所在平面上的一点，且＋32＋32＝0，D是AC的中点，则||||的值为2．在△ABC中，＝3，若＝λ1＋λ2，则λ1λ2的值为【解析】由题意得，＝＋＝＋34＝＋34(－)＝14＋34，∴λ1＝14，λ2＝34，∴λ1λ2＝316.3．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与【解析】由题意得＝＋＝＋13，＝＋＝＋13，＝＋＝＋13，因此＋＋＝＋13(＋－)＝＋23＝－13，故＋＋与反向平行．4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于【解析】由＋＋＝0，得＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，可得||＝||＝||.设OC与AB交于点D，如图，由＋＝可知D为AB的中点，所以＝2，D为OC的中点．又由||＝||可知OD⊥AB，即OC⊥AB，所以四边形OACB为菱形，所以△OAC为等边三角形，即∠CAO＝60°，故A＝30°.MB MA MCMDBMBD DC AD AB ACAD AB BD AB BC AB AC AB AB ACDC BD CE EA AF FB AD BE CF BCAD AB BD AB BC BE BA AE BA AC CF CB BF CB BA AD BE CF CB BC AC AB CB BC BC AD BE CF BCOA OB COOA OB CO OA OB OCOA OB OC OA OB OCOC OD OA OB5．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且＝x ，＝y ，则xyx ＋y的值为6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM 与△ABC 的面积的比值为【解析】设AB 的中点为D ，如图，连接MD ，MC ，由5＝＋3，得5＝2＋3 ①，即＝25＋35，即25＋35＝1，故C ，M ，D 三点共线，又＝＋ ②，①②联立，得5＝3，即在△ABM 与△ABC 中，边AB 上的高的比值为35，所以△ABM 与△ABC 的面积的比值为35.7．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且＝a ，＝b ，给出下列命题：①＝12a －b ；②＝a ＋12b ；③＝－12a ＋12b ；④＋＋＝0.其中正确命题的个数为________．【解析】由＝a ，＝b 可得＝12＋＝－12a －b ，＝＋12＝a ＋12b ，＝12(＋)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，＋＋＝－12a －b ＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，所以①错，②③④正确．所以正确命题的个数为3. 8．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________.AM AB AN AC AM AB AC AM AB AC AM AD AC AM AD AC AM AD DM DM DC BC CA AD BE CF AD BE CF BC CA AD CB AC BE BC CA CF CB CA AD BE CF AB AC AB AC AB AC【解析】∵||＝||＝|－|＝2，∴△ABC 是边长为2的正三角形，∴|＋|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，∴|＋|＝2×2sin π3＝2 3.9．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC 的形状为________．【解析】因为＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|，即·＝0，故⊥，△ABC 为直角三角形．10．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．二、解答题11.如图，以向量＝a ，＝b 为邻边作▱OADB ，＝13，＝13，用a ，b 表示，，.解：∵＝－＝a －b ，＝16＝16a －16b ，∴＝＋＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －16b ＝16a ＋56b .又∵＝a ＋b ，∴＝＋13＝12＋16＝23＝23a ＋23b ， ∴＝－＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，＝16a ＋56b ，＝23a ＋23b ，＝12a －16b .AB AC AB AC AB AC AB AC OB OC OB OC OA OB OC OA OB OA OC OA AB AC OB OC CB AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AE AD AB OA OB BM BC CN CD OM ON MN BA OA OB BM BA OM OB BM OD ON OC CD OD OD OD MN ON OM OM ON MN12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，＝23，＝a ，＝b .(1)用a ，b表示向量，，，，； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．AE AD AB AC AD AE AF BE BF。

2023版高考数学一轮总复习5-1平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标表示习题

5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇固本夯基考点一平面向量的概念及线性运算1.(2017课标Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( )A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案 A2.(2022届江西重点中学联考二,5)设e1,e2是两个不共线的平面向量,若a=3e1-2e2,b=e1+ke2,且a与b共线,则实数k的值为( )A.-12B.12C.-23D.23答案 C3.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 A4.(2021宁夏吴忠4月模拟,5)如图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则λ+μ等于( )A.1B.-1C.12D.-12答案 D5.(2021陕西延安重点中学模拟,6)设M是△ABC所在平面上的一点,且EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,D是AC的中点,则|EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( )A.13B.12C.1D.2答案 A6.(2020吉林梅河口五中4月模拟,5)在△ABC中,延长BC至点M使得BC=2CM,连接AM,点N为AM上一点且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ=()A.13B.12C.-12D.-13答案 A7.(2022届山西吕梁11月月考,9)如图,△ABC中,点M是BC的中点,点N满足EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM 与CN交于点D,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=()A.23B.34C.45D.56答案 C8.(2022届安徽淮南一中月考,9)已知点M是△ABC所在平面内一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABM与△BC M的面积之比为( )A.83B.52C.2D.43答案 C9.(2022届黑龙江八校期中,13)如图,在△ABC中,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D是BE上的点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数x的值为.答案19考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2022届哈尔滨三中期中,3)已知对任意的平面向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b),把EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕其起点A沿逆时针方向旋转角φ得到向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(acosφ-bsinφ,asinφ+bcosφ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角φ得到点P.已知A(1,2),B(1-√2,2+2√2),把点B绕点A沿逆时针方向旋转π4得到点P,则点P的坐标为( )A.(-3,1)B.(-2,1)C.(2,3)D.(-2,3)答案 D2.(2021云南统一检测一,7)已知向量a=(32,1),b=(-12,4),则( )A.a∥(a-b)B.a⊥(a-b)C.(a-b)∥(a+b)D.(a-b)⊥(a+b)答案 B3.(2020陕西咸阳一模,3)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O逆时针旋转60°得到向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(0,1) B.(1,0)C.(√32,-12) D.(12,-√32)答案 A4.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA=2,OB=2,OC=1,∠AOB=60°,∠BOC=90°,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE=( )A.√3B.12C.√33D.23答案 C5.(2022届四川绵阳中学模拟二,5)设向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,-1),EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则1E +2E的最小值为( )A.4B.6C.8D.9答案 C6.(2021全国甲,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .答案-1037.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案128.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B上方,M为抛物线上一点,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=.答案 39.(2022届云南五华模拟,15)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以CD为直径的半圆上有一点P,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为.答案73综合篇知能转换考法一平面向量线性运算的解题策略1.(2021广西百色重点中学4月模拟,5)已知点P为△ABC所在平面内一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,点Q是线段BP的中点,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 D2.(20215·3原创题)△ABC中,点M为AC上的点,且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1 E -1E的值为( )A.0B.-32C.1D.-1答案 B3.(2022届福州福清西山学校10月月考,8)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a+35bB.35a+45bC.1225a+925bD.1625a+1225b 答案 D4.(2022届河南段考三)已知△ABC 的三个内角分别为A,B,C,动点P 满足EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ·(EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin E +EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin E),λ∈(0,+∞),则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心答案 A5.(2021赣中南五校联考二,15)已知△ABC 的重心为G,过G 点的直线与边AB 和AC 的交点分别为M 和N,若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且△AMN 与△ABC 的面积的比值为2554,则实数λ= .答案 5或546.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tanα=7,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n∈R),则m+n= .答案 3考法二向量共线问题的求解方法1.(2021山西孝义二模,6)已知EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cosα),EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sinα),若A,B,D 三点共线,则tanα=( )A.-2B.-12C.12D.2答案 A2.(2021太原一模,6)已知梯形ABCD 中,AB∥DC,且AB=2DC,点P 在线段BC 上,若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =56EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λEE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ=( )A.34 B.23 C.13 D.12 答案 C3.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC中,E、F分别为AC、AB上的点,BE与CF交于点Q,且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ交BC于点D,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案 C4.(2022届河南平顶山月考,10)已知点O为正△ABC所在平面上一点,且满足EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+λ)EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若△OAC的面积与△OAB的面积比为1∶4,则λ的值为( )A.12B.13C.2D.3答案 B5.(2022届拉萨中学月考,15)在△ABC中,点D满足BD=34BC,E点在线段AD上移动,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是.答案9106.(2020吉林桦甸四中等4月联考,15)在△ABC中,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P为线段AM上任意一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x2+2x+y2的最小值为.答案916应用篇知行合一应用向量在物理中的应用1.(2021山西长治二中月考,3探索创新情境)已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为( )A.40NB.10√2NC.20√2ND.40√2N答案 B2.(2021咸阳模拟,9生活实践情境)渭河某处南北两岸平行,如图所示.某艘游船从南岸码头A出发向北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为|v1|=10km/h,水流速度的大小为|v2|=6km/h.设速度v1与速度v2的夹角为120°,北岸的点A'在码头A的正北方向,那么该游船航行到达北岸的位置应( )A.在A'东侧B.在A'西侧C.恰好与A'重合D.无法确定答案 A。

高考数学一轮总复习专题5.1 平面向量的概念及线性运算练习(含解析)理

专题5.1 平面向量的概念及线性运算真题回放1.【2017年高考新课标Ⅱ卷文4题】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 ( ) A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A2.【2016年高考山东理8题】已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos ,m n =13.若n ⊥(t m +n )，则实数t 的值为（A ）4 （B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B【考点】平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从n ⊥(t m +n )出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好地考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.3.【2016年高考北京理4题】设,a b 是向量，则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】D【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义||||cos θ⋅=⋅⋅a b a b (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 考点分析融会贯通题型一平面向量的概念典例1 (2016-2017年河北武邑中学高二文周考)点C 在线段AB上，且，则ACuuu r 等于（）【答案】D【解析】因为点C 在线段AB 上，所以AC uuu r 等于 D.考点：向量的相等. 解题技巧与方法总结平面向量的概念问题需要牢牢抓住平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量的概念及特征，需要注意平行向量可以包含两个向量重合的情况，这点需要与直线平行加以区别【变式训练1】(2016-2017学年河北武邑中学高一上学期月考)下列说法正确的是（） A ．零向量没有方向 B ．单位向量都相等 C ．任何向量的模都是正实数 D ．共线向量又叫平行向量【答案】D考点：向量的概念．【变式训练2】设a r是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A ．a r 与λa r的方向相反 B ．a r 与2λa r 的方向相同 C ．|-λa r |≥| a r|D ．|-λa r |≥| λ|·a r【答案】B【解析】对于A ，当λ＞0时，a r 与λa r 的方向相同，当λ＜0时，a r 与λa r的方向相反，B 正确；对于C ，|-λa r |＝|-λ|| a r |，由于|-λ|的大小不确定，故|-λa r |与| a r|的大小关系不确定；对于D ，|λ| a r 是向量，而|-λa r|表示长度，两者不能比较大小．【变式训练3】(2015-2016学年江西上饶铅山县一中高一下学期期中)下列关系式正确的是 ( )A. 0AB BA +=uu u r uu r rB. a b ⋅r r是一个向量 C. AB AC BC -=uu u r uuu r uu u r D. 00AB ⋅=uu u r r【答案】D 【解析】试题分析：A 相反向量的和为零向量，所以A 不正确；B 两向量的数量积是一个实数，所以B 不正确；C 根据向量的减法的三角形法则，得CB AC =-AB ，故C 不正确；D 零与任何向量的数量积等等于零向量，故D 正确.考点：平面向量的线性运算；向量的数量积的定义及其性质.1.向量：既有大小又有方向的量叫作向量.向量的大小叫向量的长度(或模).2.几个特殊的向量(1)零向量：长度为零的向量，记作0，其方向是任意的. (2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.典例2 (青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)设向量,a b rr 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，则实数λ=___________【答案】12考点：向量平行的条件解题技巧与方法总结(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量,a b r r共线是指存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=r r r 成立；若120a b λλ+=r r r ，当且仅当12λλ==0时成立，则向量,a b r r不共线．【变式训练1】(青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)已知向量i r 与j r不共线，且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线，则实数,m n 满足的条件是（）A. 1m n +=B. 1m n +=-C. 1mn =D. 1mn =-【解析】法一：Q ,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线且,,A B D 三点共线所以存在非零实数λ，使AB AD λ=uu u r uuu r即()i m j ni j λ+=+r r r rQ i r 与j r不共线所以1n m λλ=⎧⎨=⎩1n m λλ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩∴1mn =法二：由题可得， AB CD uu u r uu u rP∴AB AD λ=uu u r uuu r∴11m n = ∴1mn =考点：向量共线定理【变式训练2】已知(1,0),(2,1)a b ==r r（1）当k 为何值时，ka b -r r 与2a b +r r共线？（2）若23AB a b =+uu u r r r ，BC a mb =+uu u r r r，且,,A B C 三点共线，求m 的值【答案】1-232（2）Q ,,A B C 三点共线AB BC ∴u u u r u u u rP故存在实数λ，使得AB BC λ=uu u r uu u r()23a b a mb λ+=+r r r r∴2λ=，32m =考点：向量的运算法则、共线定理知识链接：平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λa . 题型二向量的线性运算命题点1 简单的向量线性运算典例 (吉林省吉林大学附属中学2017届高三第五次摸底考试数学（理）)在梯形ABCD 中，3AB DC =uu u r uuu r ，则BC uu u r等于( )【答案】D解题技巧与方法总结(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系；④化简结果．【变式训练1】(河南省商丘市九校2016-2017学年高一下学期期中)如图12,e e u r u r为互相垂直的单位向量，向量a b c ++r r r可表示为（）A. 1223e e +u r u rB. 1232e e +u r u rC. 1232e e -u r u rD. 1233e e --u r u r【答案】B【解析】 1212122,2,2a e e b e e c e e =+=-=+u r u r u r u r u r u r r r r ，故 1232a b c e e ++=+u r u rr r r .知识链接：平面向量的基本定理如果12,e e u r u r是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数21,λλ使：1122a e e λλ=+r u r u r 其中不共线的向量12,e e u r u r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【变式训练2】(北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理)设,a b rr 是非零向量，则“,a b rr 共线”是“ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B命题点2 向量线性运算运用典例 (山东省淄博市临淄中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题)如图在空间四边形 OABC 中，点M 在OA 上，且 2OM MA = ， N 为BC 中点，则MN uuu r等于( )A.121232OA OB OC -+uu ruu u r uuu r B.211322OA OB OC -++uu r uuu r uuu r C.111222OA OB OC +-uu ruu u r uuu r D.221332OA OB OC+-uu ruu u r uuu r【答案】B【名师点睛】进行向量的运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一点出发的基本量或首尾相接的向量，运用向量的加减运算及数乘来求解，充分利用相等的向量，相反的向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来解决【变式训练1】如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b【答案】D【解析】连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .【变式训练2】如图所示,设P 、Q 为△ABC 内的两点,且=+,=+,则△ABP与△ABQ 的面积之比为 .【答案】知识链接：1.向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法，例AB BC AC +=uu u r uu u r uuu r（1）0+0a a a =+=r r r r r；（2）向量加法满足交换律与结合律；2.向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则. 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”． 3.向量的减法：向量a r 加上b r 的相反向量叫做a r 与b r的差，记作：()a b a b -=+-r r r r 求两个向量差的运算，叫做向量的减法4.作图法：a b -r r 可以表示为从b r 的终点指向a r 的终点的向量（a r 、b r有共同起点）命题点3 向量线性运算求参数值或取值范围典例 1(黑龙江省齐齐哈尔市第一中学校2016-2017学年高一3月月考数学（理）试题)已知在ABC ∆中，点在边上，且2,CD DB CD r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则的值为（） A. 0 B. D. 3- 【答案】A【解析】分析试题由已知可得：()22223333CD CB AB AC AB AC ==-=-uu u r uu r uu u r uuu r uuu r uuu r ,所以=点睛：向量的线性运算，注意理解加法的三角形法则和平行四边形法则以及减法法则的运用. 【变式训练1】(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【变式训练2】在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为 ( )A. 12B. 13C. 14D ．1【答案】A【解析】∵M 为BC 上任意一点，∴可设AM →＝x AB →＋y AC →(x ＋y ＝1)．∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12x AB →＋12y AC →＝λ AB →＋μ AC →，∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.知识链接：三点共线的性质定理：(1)若平面上三点A 、B 、C 共线，则AB →＝λBC →.(2)若平面上三点A 、B 、C 共线，O 为不同于A 、B 、C 的任意一点，则OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.典例2【2014届广东省东莞市高三第二次模拟考试】如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =uuu r xOA yOB +uu r uu u r，则（）A.01x y <+<B.1x y +>C.1x y +<-D.10x y -<+<【答案】C【变式训练】（2014北京东城高三期末）在直角梯形ABCD 中，90,30,2,A B A BB C ∠=︒∠=︒==，点E 在线段CD 上，若AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r，则实数μ的取值范围是 .【答案】102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】由题意可求得1,AD CD ==2AB DC =uu u r uuu r.因为点E 在线段CD 上，所以DE DC λ=uuu r uuu r(01λ≤≤).因为AE AD DE =+uu u r uuu r uuu r ，又AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r =2AD DC μ+u u u r u u u r =2AD DE μλ+uuur uuu r ，所以2μλ=1，即μ=2λ.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.知识交汇例1 如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．【答案】3【交汇技巧】本题将向量的共线定理与三角形重心的性质进行结合，三角形重心是三条边中线的交点，另外本题还结合了方程思想，通过消去λ得到m ，n 之间的关系例2 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】A【解析】由0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r 得OA OB OC +=uu r uu u r uuu r，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.【交汇技巧】三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，结合0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r可得四边形OACB 为平行四边形的条件，得出四边形OACB 为菱形，从而求出角A 的大小练习检测1.【山东省淄博实验中学2015届高三第一学期第一次诊断考试试题，文10】在ABC ∆中，点,M N 分别是,AB AC 上，且32,5AM MB AN AC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，线段CM 与BM 相交于点P ，且,AB a AC b ==u u u r r u u u r r，则AP uu u r 用a r 和b r 表示为( )A ．4193AP a b =+uu u r r rB ．4293AP a b =+uu u r r rC ． 2493AP a b =+uu u r r rD ．4377AP a b =+uu u r r r【答案】A2.(江西省南昌市重点学校2016-2017学年高一4月检测)已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC =uu u r uuu r ，则AD uuu r可表示为（）A. 23AD AB AC =-+uuu r uu u r uuu rB.【答案】C【解析】如图所示，3.(2015届北京市156中学高三上学期期中考试理科)如图，向量b a -等于（）（A ）2124e e -- （B ）2142e e --（C ）213e e - （D ）213e e - 【答案】C点评：12,e e u r u r 是两个单位向量，从图上将,a b r r用单位向量表示出来4.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则 ( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上【答案】B【解析】因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 5.(2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若1,,AB a BC b AA c ===uu u r r uu u r r uuu r r，则BM uuu r 可表示为（）A. 1122a b c -++r r rB. 1122a b c ++r r rC. 1122a b c --+r r rD. 1122a b c -+r r r【答案】A【解析】()111222BN BA BC a b =+=-+uuu r uu r uu u r r r Q1122BM BN NM a b c ∴=+=-++uuu r uuu r uuur r r r,故本题正确答案为A6.(江西省赣州市十四县（市）2017届高三下学期期中联考（理）)如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O ，点E ， F 分别在边AB ， AD 上，直线EF 交AC 于点K ， AK AO λ=uuu r，则λ等于（）【答案】C7.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.8.设点O 在ABC V 内部,且有40OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r,求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比.【答案】S △ABC ∶S △OBC =3∶2.【解析】取BC 的中点D,连接OD,则+=2,4++=0,∴4=-(+)=-2,∴=-.∴O 、A 、D 三点共线,且||=2||,∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点, ∴S △ABC ∶S △OBC =3∶2.9.在任意四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BC 中点，求证：()1=+2EF AB DC uu u r uu u r uuu r法二：连接EB EC uu r uu u r ，则=+EC ED DC uu u r uu u r uuu r()()11==+++=22EF EC EB ED DC EA AB +uu u r uu u r uu r uu u r uuu r uu r uu u r ()1+2AB DC uuu r uuu r。

(浙江版)高考数学一轮复习专题5.1平面向量的概念及线性运算(练)(2021学年)

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第01节平面向量的概念及线性运算A 基础巩固训练１。

在ABC ∆中,已知M 是BC 中点,设,CB a CA b ==,则AM =（ ) A. b a -21 B. b a +21 Ｃ。

12a b - Ｄ。

12a b + 【答案】A 。

【解析】12AM AC CM b a =+=-+，∴选A ．2.设Ｍ为平行四边形A ＢＣD 对角线的交点,O 为平行四边形AB ＣD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于( )..2.3.4AOM B OM C OM D OM【答案】D３.在平行四边形ABCD 中,下列结论中错误的是 ( ) A.AB DC = Ｂ． AD AB AC +=Ｃ.AB AD BD -= Ｄ.AD CD BD += 【答案】C 【解析】由向量的有关知识可知AB DC =,AD AB AC +=,AD CD BD +=正确．而AB AD BD -=错误.选C 。

4。

设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点,则=+FC EB ( ) A 。

AD B 。

AD 21 C 。

BC 21 D 。

BC【答案】Ａ【解析】根据向量的加减运算可得:在BEF ∆中，12EB EF FB EF AB =+=+,同理12FC FE EC FE AC =+=+, 则11111()()()()22222EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD+=+++=+=+=. 5。

5.1平面向量的概念及线性运算练习题

§平面向量的概念及线性运算一、选择题1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是（）∥b B.a⊥bC.{0,1,3} +b=a-b答案 B2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案 A3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则( )．＋PB→＝0 ＋PA→＝0＋PC→＝0 ＋PB→＋PC→＝0解析如图，根据向量加法的几何意义，BC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC的中点，∴PA→＋PC→＝0.答案 B4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )A．－3 B．2 C．4 D．－6 解析因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.答案 D5．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )．A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对解析由已知AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→.∴AD→∥BC→，又AB→与CD→不平行，∴四边形ABCD是梯形．答案 C6．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m，使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝( )．A．2 B．3 C．4 D．5 解析∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴点M是△ABC的重心，∴AB→＋AC→＝3AM→，∴m＝3.答案 B7.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于( )A．30° B．60°C．90° D．120°解析：由OA＋OB＋CO＝0得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°.答案：A二、填空题8.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－3OB＋2OC＝0，则|AB| |BC|＝________.解析：由OA－3OB＋2OC＝0，得OA－OB＝2(OB－OC)，即BA ＝2CB ，于是|AB ||BC |＝2. 答案：29．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．解析 ①中，∵向量AB →与BA →为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．答案 310.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =. 解析答案 3211．若M 为△ABC 内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析由题知B 、M 、C 三点共线，设BM →＝λBC →，则：AM →－AB →＝λ(AC →－AB →)，∴AM →＝(1－λ)AB →＋λAC →，∴λ＝14，∴S △ABM S △ABC ＝14. 答案 1412．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 (等价转化法)OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．答案直角三角形【点评】本题采用的是等价转化法，将△ABC 的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. 三、解答题13．如图所示，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上的中线，交DE 于N .设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 分别表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →.解析 AE →＝23b ，BC →＝b －a ，DE →＝23(b －a )，DN →＝13(b －a )，AM →＝12(a ＋b )，AN →＝13(a ＋b )．14．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上解析设a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b (λ∈R )，化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13λb ＝0，∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧ 23λ－1＝0，t －λ3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上．15．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD 、AE 、AF 、BE 、BF ； (2)求证：B 、E 、F 三点共线．解析：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ，连结BG 、CG ，得到▱ABGC ，所以AG ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b )，AE ＝23AD ＝13(a ＋b )，AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ，所以B 、E 、F 三点共线．16．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP →＝mOA→＋nOB →，(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明 (1)m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，∴OP →＝mOA →＋nOB →＝mOA →＋(1－m )OB →，即OP →－OB→＝m (OA →－OB →)．∴BP →＝mBA→，而BA →≠0，且m ∈R . 故BP →与BA →共线，又BP →，BA →有公共点B . ∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．即OP →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 由OP →＝mOA→＋nOB →.故mOA →＋nOB →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线．由平面向量基本定理得⎩⎨⎧m ＝λ，n ＝1－λ.∴m ＋n ＝1.。

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第01节平面向量的概念及线性运算
A 基础巩固训练
1.在ABC ∆中，已知M 是BC 中点，设,CB a CA b ==，则AM =（） A.
-21 B. +21 C. 12a b - D. 12
a b + 【答案】A.
【解析】1
2
AM AC CM b a =+=-+
，∴选A. 2.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则
OA OB OC OD +++等于（）
..2.3.4AOM B OM C OM D OM
【答案】D
3.在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（） A ．AB DC = B ． AD AB AC += C ．AB AD BD -= D ．AD CD BD += 【答案】C 【解析】
由向量的有关知识可知AB DC =，AD AB AC +=，AD CD BD +=正确．而
AB AD BD -=错误．选C.
4.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB （） A. B. 21 C. 2
1
D. BC 【答案】A
【解析】根据向量的加减运算可得：在BEF ∆中，1
2
EB EF FB EF AB =+=+
，同理1
2
FC FE EC FE AC =+=+
，则
11111
()()()()22222
EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD
+=+
++=+=+=． 5. 给出下列命题：
①若两个单位向量的起点相同，则终点也相同． ②若a 与b 同向，且|a |＞|b |，则a ＞b ； ③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ④0·a ＝0，其中错误命题的序号为________．【答案】①②③
B 能力提升训练
1.在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，12AD DB =　，2
3
CD CA CB λ=+，则λ=（） A ．13- B. 1
3
C.1
D.2
【答案】B 【
解
析
】
由
已
知
得
，
13
AD AB =
，故
1
3
C D C
A A D C A A B
=+=+1()3CA CB CA =+-2133CA CB =+,故13λ=． 2.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（） A.
1142+a b B.1124+a b C. 2133+a b D. 12
33
+a b 【答案】C
1111
2266
AF AD DF a b a b =+=
++-＝2133a b +,故选C.
3.给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若，都是单位向量，则=． ③向量
与向量
相等．④若非零向量
与
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．
以上命题中，正确命题序号是（） A ．① B．② C．①和③ D．①和④ 【答案】A 【解析】
根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误解：根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
与向量
互为相反向量，故③错误；
方向相同或相反的向量为共线向量，由于与
无公共点，故A ，B ，C ，D 四点不共线，故
④错误，故选A.
4.已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向
【答案】D
∴k ＝λ＝－1.∴c 与d 反向．故选D.
5.【2017河北唐山二模】平行四边形ABCD 中， M 为BC 的中点，若AB AM DB λμ=+，则λμ=__________．【答案】
29
【解析】
由图形可得： 1
2
AM AB AD =+
①，DB AB AD =-②， ①2⨯+②得： 23AM DB AB +=，即2133AB AM DB =+，∴21
,33
λμ==，
∴29λμ=，故答案为2
9
.
C 思维拓展训练
1. 【2017四川七中三诊】设D 为ABC 中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（）
A. 5166BO AB AC =-+
B. 11
62BO AB AC =- C. 5166BO AB AC =- D. 11
62
BO AB AC =-+
【答案】A
【解析】
由
平
面
向
量
基
本
定
理
可
得
：
()
1151
3666
BO AO AB AD AB AB AC AB AB AC =-=
-=+-=-+，故选A. 2.已知ABC V 和点M 满足0=++MC MB MA .若存在实数m 使得AM
m AC AB =+成立，则m =（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．3
2
【答案】B 【解析】
3. 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90°
D ．120°
【答案】A
【解析】由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC ，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.
4.在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是a ，b ，c ，若2015120aBC bCA cAB ++=，则△ABC 最小角的正弦值等于( )
A.
45 B. 34 C.35【答案】C
角为角A，所以
222
222
2
1625
4
916
cos
45
25
2
34
a a a
b c a
A
bc a
+-
+-
===
⨯⨯
，∴
3
sin
5
A=，故选C.
5.设D是△ABC 所在平面内一点，且，设，则x+y= ．【答案】1
【解析】
画出图形，如图所示：
∵=3，∴=+
=；
∴=+
=
+=+（﹣）=
﹣
+，
∴x=﹣，y=；∴x+y=1．
故答案为：1．。