第09讲 空间几何体的表面积和体积

普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座9）—空间几何体的表面积和体积一．课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

二．命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。

即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测008年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。

四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。

我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。

（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。

图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。

作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。

由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。

∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。

∴点O 在∠BAD 的平分线上。

（2）∵AM=AA 1cos3π=3×21=23∴AO=4cosπAM =223。

又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29， ∴A 1O=223，平行六面体的体积为22345⨯⨯=V 230=。

题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3．（2000全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．23B ．32C ．6D ．6解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ；答案D 。

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

例4．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。

解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh 。

∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴S △AEF =41S, V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127Sh V 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。

最后用统一的量建立比值得到结论即可。

题型3：锥体的体积和表面积PACDOE 例5．（2006上海，19）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60，求四棱锥P －ABCD 的体积？ 解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角，∠PBO=60°。

在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO ，于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23。

∴四棱锥P －ABCD 的体积V=31×23×3=2。

点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。

在能力方面主要考查空间想象能力。

例6．（2002京皖春文，19）在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55。

（如图所示） （Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积V S －AB C 。

解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°， ∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C 。

又AB ∩AC =A ， ∴SA ⊥平面AB C 。

由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，由三垂线定理，得SC ⊥BC 。

（Ⅱ）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC 。

∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角。

在Rt △SCB 中，BC =5，SB =55，得SC =22BC SB -=10。

在Rt △SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =21105==SC AC ， ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°。

（Ⅲ）解：在Rt △SAC 中，∵SA =755102222=-=-AC SC ，S △ABC =21·AC ·BC =21×5×5=225， ∴V S －ABC =31·S △ACB ·SA =631257522531=⨯⨯。

点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。

要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。

题型4：锥体体积、表面积综合问题例7．ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GB 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFC 的距离？解：如图，取EF 的中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG 。

设点B 到平面EFG 的距离为h ，BD ＝42，EF =22，CO ＝344232×=。

GO CO GC =+=+=+=222232218422()。

而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2。

由V V B EFG G EFB --=，得16EF GO h ··=13S EFB △· 点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。

构造以点B 为顶点，△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。

例8．（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定解：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFDCV A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。

题型5：棱台的体积、面积及其综合问题例9．（2002北京理，18）如图9—24，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h 。

（Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小； （Ⅱ）证明：EF ∥面ABCD ；（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明。

（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面） （Ⅰ）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B 1G ⊥PQ ，垂足为G 。

如图所示：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°， ∴AB ⊥PQ ，AB ⊥B 1P .∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作C 1H ⊥PQ ，垂足为H .由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形。

∴PG =21（b －d ），又B 1G =h ，∴tan B 1PG =db h -2（b ＞d ）， ∴∠B 1PG =arctand b h -2，即所求二面角的大小为arctan db h-2. （Ⅱ）证明：∵AB ，CD 是矩形ABCD 的一组对边，有AB ∥CD ，又CD 是面ABCD 与面CDEF 的交线， ∴AB ∥面CDEF 。

∵EF 是面ABFE 与面CDEF 的交线， ∴AB ∥EF 。