高中数学第二章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质二课件北师大版选修1_1

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思考2
x 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点 P(x0，y0)与椭圆a2＋ y2 2＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？ 答案 b
2 x2 y 0 0 当 P 在椭圆外时，a2＋b2>1； 2 x2 y 0 0 当 P 在椭圆上时，a2＋b2＝1； 2 x2 y 0 0 当 P 在椭圆内时，a2＋b2<1.
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知识点二
直线与椭圆的位置关系
思考1
直线与椭圆有几种位置关系？ 答案 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.
思考2
x2 y2 如何判断 y＝kx＋m 与椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的位置关系？ 答案
y＝kx＋m， 联立x2 y2 2＋ 2＝1， b a
消去 y 得关于 x 的一元二次方程.
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
Δ＝8k 即k
2 1 2 －42＋k ＝4k2－2＞0，解得
2 2 k＜－ 2 或 k＞ 2 .
的取值范围为－∞，－
2 2 ∪ ，＋∞. 2 2
命题角度2 距离的最值问题 2 2 x y 例2 在椭圆 ＋ ＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离 4 7 最短，并求出最短距离. 解答
第二章 §1 椭 圆
1.2 椭圆的简单性质(二)
学习目标
1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.
2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
点与椭圆的位置关系
思考1
x2 2 判断点 P(1，2)与椭圆 4 ＋y ＝1 的位置关系. 答案
3 3 3 当 x＝1 时，得 y ＝4，故 y＝± 2 ，而 2> 2 ，故点在椭圆外.
位置关系 相交 相切
解的个数 两解 一解
Δ的取值 Δ>0 Δ＝0
相离
无解
Δ<0
知识点三
直线与椭圆的相交弦
思考
若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？ 答案
有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点
坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长
公式可求得.
梳理
弦长公式：(1)|AB|＝ x1－x22＋y1－y22＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]； (2)|AB|＝ 1 1＋k2|y1－y2|＝ 1 1＋k2[y1＋y22－4y1y2].
引申探究 在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积 的最大值及△AOB面积最大时的直线方程. 解答
反思与感悟
解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，
例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等 .解决这类问
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2
B 两点. 1 (1)当直线 l 的斜率为2时，求线段 AB 的长度； 解答
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程. 解答
反思与感悟
处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成 的方程 . 利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点， 还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即 得弦的中点与斜率的关系.
(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.
跟踪训练 1
在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0， 2)且斜率为 k 的直
x2 2 线 l 与椭圆 2 ＋y ＝1 有两个不同的交点 P 和 Q.求 k 的取值范围. 解答
由已知条件知直线 l 的方程为 y＝kx＋ 2，
1 x2 2 2 2 代入椭圆方程得 2 ＋(kx＋ 2) ＝1. 整理得 ＋k x ＋2 2kx＋1＝0. 2
反思与感悟
此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设 出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离.
跟踪训练2
已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使点P到直线l：
x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离. 解答
类型二
弦长及中点弦问题
例3
x y 已知椭圆36＋ 9 ＝1 和点 P(4， 2)， 直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A、
注：直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程 联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到.
题型角度1 直线与椭圆位置关系的判断 x2 y2 例1 直线y＝kx－k＋1与椭圆 ＋ ＝1的位置关系是 答案 2 3 A.相交 B.相切
解析
C.相离
D.不确定
直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，
且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.
反思与感悟
直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程： (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点. (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点.
2m 1 2 所以 x1＋x2＝－ 5 ，x1x2＝5(m －1)，
所以|AB|＝ x1－x22＋y1－y22＝ 2x1－x22＝ 2[x1＋x22－4x1x2]
＝
4m2 4 2 2 2 25 －5m －1＝5
10－8m2.
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
跟踪训练 3
已知椭圆 ax2＋by2＝1(a>0，b>0 且 a≠b)与直线 x＋y－1＝
2 0 相交于 A，B 两点，C 是 AB 的中点，若|AB|＝2 2，OC 的斜率为 2 ， 求椭圆的方程. 解答
类型三
椭圆中的最值(或范围)问题
例4 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； 解答
2 2 4x ＋y ＝1， 由 得 5x2＋2mx＋m2－1＝0， y＝x＋m，
因为直线与椭圆有公共点， 5 5 所以 Δ＝4m －20(m －1)≥0，解得－ 2 ≤m≤ 2 .
2 2
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 解答 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0，