备战高考数学一轮复习(热点难点)专题68 事件的关系与概率计算秘诀

专题68 事件的关系与概率计算秘诀考纲要求: 1.事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的 区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式. 基础知识回顾: 一、频率和概率 1．事件的分类2．频率和概率(1)在相同的条件S 下重复n 次实验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A)＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 二、事件的关系与运算三、概率的几个基本性质1．概率的取值范围：0≤P(A)≤1. 2．必然事件的概率为1.3．不可能事件的概率为0.4．概率的加法公式若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)．5．对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．应用举例:类型一事件的概念及判断例1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A. 至少有一个红球与都是红球B. 至少有一个红球与都是白球C. 恰有一个红球与恰有二个红球D. 至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C例2．在一袋内分别有红、白、黑球3,2,1个，从中任取2个，则互斥不对立的两个事件是（）A. 至少有一个白球；都是白球B. 至少有一个白球；红、黑球各一个C. 至少有一个白球；至少有一个红球D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球【答案】B【解析】选项A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是白球”说明两个全为白球，这两个事件可以同时发生，故A是不是互斥的；选项B，“至少一个白球”发生时，“红，黑球各一个”不会发生，故B互斥，当然不对立；选项C，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；选项D，“恰有一个白球”，表明黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；本题选择B选项.例3. 口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是以下事件“①2张卡片都不是红色；②2张卡片恰有一张红色；③2张卡片至少有一张红色；④2张卡片恰有两张绿色”中的哪几个？（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A点评：事件间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系． 类型二 随机事件的概率与频率例4. 若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率f(n),则随着n 的逐渐增大,有 ( )A. f(n)与某个常数相等B. f(n)与某个常数的差逐渐减小C. f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小D. f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定 【答案】D【解析】由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率()f n ，随着n 的逐渐增加，频率()f n 逐渐趋近于概率。

故答案选D例5. 甲、乙两人做游戏,下列游戏不公平的是( )A. 抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则甲获胜,向上的点数为偶数则乙获胜B. 同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则甲获胜,两枚都正面向上则乙获胜C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则甲获胜,扑克牌是黑色的则乙获胜D. 甲、乙两人各写一个数字1或2,如果两人写的数字相同甲获胜,否则乙获胜 【答案】B【解析】对于A ：抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数的概率为12，向上的点数为偶数的概率为12故A 公平； 对于B 中同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上的概率为12，两枚都正面向上的概率为14所以对乙不公平对于C ：从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的概率为12，扑克牌是黑色的概率为12，所以公平；对于D ：甲、乙两人各写一个数字1或2,如果两人写的数字相同的概率为12，数字不同的概率为12，所以公平； 故选B.点评：概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．类型三 互斥、对立事件的概率例6.若A ，B 为互斥事件，P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7，则P(B)=____. 【答案】0.3【解析】因为,A B 为互斥事件，所以()()()P A B P A P B ⋃=+，所以()()()0.70.40.3P B P A B P A =⋃-=-=，故答案为0.3.例7. 在大小相同的5个球中，只有红色和白色两种球，若从中任取2个，全是白球的概率为0.3，求所取出的2个球中至少有1个红球的概率. 【答案】0.7则事件A 与事件B 互为对立事件，而事件B 发生的概率为P(B)=0.3，所以事件A 发生的概率为P(A)=1-P(B)=1-0.3=0.7.例8.【2017江苏扬州模拟】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率) 【答案】(1)1.9(分钟)．(2)710.点评：求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维，用正难则反思想求互斥、对立事件的概率，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便． 方法、规律归纳:1．对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n (A)来估计概率P(A)．2．若某一事件包含的基本事件较多，而它的对立事件包含的基本事件较少，则可用“正难则反”思想求解．3．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集． 4．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P(A 1∪A 2∪…∪A n )＝P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．5．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件．6．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．7．正确判定事件间的关系，善于将A 转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式. 实战演练:1.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ） A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生” B. “至少1名男生”与“全是女生” C. “至少1名男生”与“全是男生” D. “恰好有1名男生”与“恰好2名女生” 【答案】B2．设为两个事件，且，则当（ ）时一定有A. 与互斥B. 与对立C.D. 不包含【答案】B【解析】根据概率的知识可以知道，对立事件的概率和为1，所以选B ．3．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为,a b ，记m a b =+，则( ) A. 事件“2m =”的概率为118 B. 事件“11m >”的概率为118C. 事件“2m =”与“3m ≠”互为对立事件D. 事件“m 是奇数”与“a b =”互为互斥事件【答案】D4．若A ，B 为互斥事件，P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7，则P(B)=____. 【答案】0.3【解析】因为,A B 为互斥事件，所以()()()P A B P A P B ⋃=+，所以()()()0.70.40.3P B P A B P A =⋃-=-=，故答案为0.3.5．一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为____. 【答案】1【解析】因为袋子中有红球5个，黑球4 个，所以“从中任取5个球，至少有1个红球”是必然事件，必然事件发生的概率为1,故答案为1.6．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________． 【答案】13 14【解析】由题意知，第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为221433⨯=.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为221444⨯=. 7．一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20000辆汽车,时间从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎,则一辆汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为____. 【答案】0.03【解析】记“一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎”为事件A ， 由概率的统计定义知，事件A 发生的概率大约为60030.0320000100==8．下列说法:①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小;②做n 次随机试验,事件A 发生m 次,则事件A 发生的频率mn就是事件A 的概率; ③百分率是频率,但不是概率;④频率是不能脱离n 次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值; ⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值. 其中正确的是____(填序号). 【答案】①④⑤9.连续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）求“恰有一枚正面向上”这一事件的概率； （2）求“出现正面比反面多的”这一事件的概率． 【答案】（1）“恰有一枚正面向上”这一事件的概率为83 ，（2）“出现正面比反面多的”这一事件的概率为21【解析】基本事件总数为8 （正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反）， （反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）， （1）“恰有一枚正面向上”这一事件的概率为83（2）“出现正面比反面多的”这一事件的概率为21. 10.一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品。