江苏省镇江市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

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江苏省镇江市2018-2019学年高一下期中质量检测数学试题

镇江市2018-2019学年度第二学期高一年级期中质量检测数学试题一、选择题1.在平行四边形ABCD 中,AD AB +等于 A. B. C.BD D.DB2.复数i z 23-=(i 是虚数单位)的虚部是A.i 2-B.i 2C.2-D.33.在△ABC 中,AC=3,AB=1,∠A=120°,则BC 的长度为 A.7 B.10 C.13 D.44.下列四个命题中,错误的是A.若，＜，＞d c b a 则d b c a --＜B.若，＜＜，＞＞00d c b a 则bd ac ＜C.若，＞b a 则33b a ＜D.若，＞b a 则b a ＞5.已知，＞1-x 则14++x x 的最小值是 A.1 B.3 C.4 D.56.已知向量()()，，，，3102-==则向量与的夹角为 A.6π B.3π C.32π D.65π 7.不等式62＜x x -的解集为A.RB.()32，- C.()23，- D.()61，-8.如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30方向，且与B 相距，km 1360一架飞机从城市D 出发以360km/h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有_______kmA.120B.660C.560D.360二、填空题9.已知A(6,2)，B(-2,-4)，且=则点C 的坐标是________.10.命题“022=+∈∃x R x ，”的否定是_______.11.已知复数()()i m m 123-+-(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m 的取值范围是__________.12.在△ABC 中，，，π123==a A 则=++++CB A c b a sin sin sin _________. 13.与向量()86，=方向相同的单位向量的坐标是________.14.已知()，92+-=tx x x f 若对任意[]，，51∈x 不等式()0≥x f 恒成立,则实数t 的最大值为________.15.已知向量b a 、满足()，，13-=+=-==________. 16.已知向量a 表示“向正东方向走10米”，向量b 表示“向东偏南45°方向走5米”，向量c 表示“向正北方向走20米”，用向量表示向量=________.三、解答题17.已知复数z 满足()i i z 3421+=+(i 是虚数单位).求:(1)；z (2).2z z -18. 如图,在直角坐标系xOy 中，A(-1,4)，B(-4,1)，点C 在直线1=x 上。

江苏省镇江市2018-2019学年高一下学期期中数学试题及答案word

高一数学注意事项：1. 本试卷由选择题、填空题和解答题三部分组成，满分150分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔已填写在答题卡上规定的地方.3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上用2B 铅笔把正确答案的字母按要求涂黑.1.在平行四边形ABCD 中，AB AD +u u u r u u u r等于（）A. AC u u u rB. CA u u u rC. BD u u u rD. DB uuu r2.复数32z i =-（i 是虚数单位）的虚部是（） A. 2i -B. 2iC. -2D. 33.在ABC ∆中，3AC =，1AB =，120A ∠=︒，则BC 的长度为（）A.B. C. D. 44.下列四个命题中，错误的是（） A. 若a b >，c d <，则a c b d ->-； B. 若0a b >>，0c d <<，则ac bd <；C. 若a b >；D. 若a b >，则a b >.5.已知1x >-，则41x x ++的最小值是（） A. 1B. 3C. 4D. 56.已知向量()2,0AB =uu u r ，(AC =-u u u r ，则向量BC u u u r 与AC u u u r 夹角为（）A.6πB.3π C.23π D.56π 7.不等式26x x -<的解集为（） A. RB. ()2,3-C. ()3,2-D. ()1,6-8.如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（）A. 120kmB. 606kmC. 605kmD. 603km二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置横线上.9.已知()6,2A ，()2,4B --，若AC CB =u u u ru u u r，则点C 的坐标为______. 10.命题“x R ∃∈，320x +=”的否定是______.11.已知复数()()321m m i -+-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是______. 12.在ABC ∆中，3A π=，12a =，则sin sin sin a b cA B C++=++______.13.与向量()6,8a =r方向相同的单位向量的坐标是______.14.已知()29f x x tx =-+，若对任意[]1,5x ∈，不等式()0f x ≥恒成立，则实数t 的最大值为______.15.已知向量a r ，b r满足1a =r ，6a b -=r r ，)3,1a b +=-r r ，则b =r______.16.已知向量a r表示“向正东方向走10米”，向量b r表示“向东偏南45︒方向走5米”，向量c r表示“向正北方向走20米”，用向量a r ，b r 表示向量c =r______.三、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数z 满足()1243i z i +=+（i 是虚数单位）. 求：（1）z ；（2）2z z -.18.如图，在直角坐标系xOy 中，()1,4A -，()4,1B -，点C 在直线1x =上.（1）求向量AB u u u r的坐标；（2）若A ，B ，C 三点共线，求C 点的坐标；（3）若四边形ABCD 是矩形，求C 点和D 点的坐标.19.（1）已知,x y R ∈，证明：()()244222x y x y+≥+；（2）已知正实数x ，y 满足1x y +=，求2228x y x y+++的最小值. 20.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，5CD =，53AC =.（1）若30ACD ∠=︒，求AD 的长；（2）若120BCA ∠=︒，且ABC ∆的面积是34，求ACD ∠的大小；（3）若CD BC ⊥，2BD AD =，求AB 的长.21.如图，在平面四边形ABCD 中，AB 与DC 不平行，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点.（1）已知EF DC AB λμ=+u u u r u u u r u u u r，求实数λ，μ的值；（2）已知4AB =，6CD =，24EF DC ⋅=u u u r u u u r，求线段EF的长度.22.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米.为迎接“五一”观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM ，PN ，其中M ，N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都为60︒.区域PMB 和区域PNC 内种植郁金香，区域AMPN 内种植月季花.（1）探究：观赏小径PM 与PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN ，当P 点在何处时，三条小径(),,PM PN MN 的长度和最小？（3）求郁金香区域面积和的最小值.高一数学注意事项：1. 本试卷由选择题、填空题和解答题三部分组成，满分150分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔已填写在答题卡上规定的地方.3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上用2B 铅笔把正确答案的字母按要求涂黑.1.在平行四边形ABCD 中，AB AD +u u u r u u u r 等于（）A. AC u u u rB. CA u u u rC. BD u u u rD. DB uuu r【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的平行四边形法则求解即可.【详解】因为ABCD 为平行四边形,故AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r.故选：A【点睛】本题主要考查了向量的平行四边形法则.属于基础题. 2.复数32z i =-（i 是虚数单位）的虚部是（） A. 2i - B. 2iC. -2D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据虚部的定义直接判定即可.【详解】根据虚部的概念可知复数32z i =-的虚部是2-. 故选：C【点睛】本题主要考查了虚部的概念,属于基础题.3.在ABC ∆中，3AC =，1AB =，120A ∠=︒，则BC 的长度为（）A.B. C. D. 4【答案】C 【解析】根据余弦定理求解即可.【详解】根据余弦定理有22212cos 9123132BC AC AB AC AB A ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭.故BC 故选：C【点睛】本题主要考查了余弦定理的运用,属于基础题. 4.下列四个命题中，错误的是（） A. 若a b >，c d <，则a c b d ->-； B. 若0a b >>，0c d <<，则ac bd <；C. 若a b >；D. 若a b >，则a b >.【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质逐个判定或举反例即可.【详解】对A,因为a b >,c d <,故c d ->-,故a c b d ->-成立.故A 正确.对B,因为0a b >>,0c d <<,故0c d ->->,故ac bd ->-,故ac bd <成立.故B 正确.对C,因为y =,故若a b >,成立.故C 正确.对D,举出反例,当1,2a b ==-时满足a b >,但a b >不成立.故D 错误. 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质,属于基础题. 5.已知1x >-，则41x x ++的最小值是（） A. 1 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】配凑出基本不等式求解即可.【详解】因为1x >-,故10x +>,故44111311+=++-≥=++x x x x . 当且仅当411x x +=+,即1x =时取最小值3. 故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用,属于基础题.6.已知向量()2,0AB =uu u r ，(AC =-u u u r ，则向量BC u u u r 与AC u u ur 的夹角为（）A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】【分析】根据向量的夹角公式求解即可.【详解】因为(BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r .故向量BC u u u r 与AC u u u r 的夹角θ满足cos BC A C C C A B θ==⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .又[]0,θπ∈,故6πθ=.故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量坐标求解向量夹角的问题,属于基础题. 7.不等式26x x -<的解集为（） A. R B. ()2,3- C. ()3,2- D. ()1,6-【答案】B 【解析】【分析】根据绝对值的几何意义求解即可.【详解】26x x -<即266x x -<-<,故()()223206060x x x x x Rx x ⎧⎧-+<--<⇒⎨⎨∈-+>⎩⎩,解得()2,3x ∈-故选：B【点睛】本题主要考查了绝对值不等式与二次不等式的求解.属于基础题.8.如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（）A. 120kmB. 606kmC. 605kmD. 603km【答案】D 【解析】【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF .【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =,又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o , 在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o ,所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=,所以BD =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o ,所以240CD ===km ,所以cos 2404BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,222222cos 902904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯g 10800=,所以BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B有. 故选D .【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置横线上.9.已知()6,2A ，()2,4B --，若AC CB =u u u r u u u r，则点C 的坐标为______. 【答案】()2,1- 【解析】【分析】设(),C x y 再根据AC CB =u u u r u u u r计算即可.【详解】设(),C x y ,因为AC CB =u u u r u u u r,故()()6,22,4x y x y --=----, 故622241x x x y y y -=--=⎧⎧⇒⎨⎨-=--=-⎩⎩ ,即()2,1C -.故答案为：()2,1-【点睛】本题主要考查了利用向量求解点的坐标,属于基础题. 10.命题“x R ∃∈，320x +=”的否定是______. 【答案】3,20x x R ∀+∈≠ 【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题写出即可.【详解】命题“x R ∃∈,320x +=”的否定是“3,20x x R ∀+∈≠”.故答案为：3,20x x R ∀+∈≠【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题.11.已知复数()()321m m i -+-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是______.【答案】2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据复数的几何意义以及对应的点的坐标列式求解即可.【详解】因为复数()()321m m i -+-在复平面内对应的点位于第四象限,故32010m m ->⎧⎨-<⎩.解得213m <<. 故答案为：2,13⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了复数的几何意义,属于基础题. 12.在ABC ∆中，3A π=，12a =，则sin sin sin a b cA B C++=++______.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】设ABC ∆外接圆半径为R ,则根据正弦定理有()2sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin R A B C a b cR A B C A B C++++==++++1212πsin sin 3a A ===?.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,属于基础题.13.与向量()6,8a =r方向相同的单位向量的坐标是______.【答案】34,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】先求解向量()6,8a =r的模长,再根据同向单位向量的公式求解即可.【详解】因为10a ==r ,故与向量()6,8a =r 方向相同的单位向量坐标是34,55a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭rr .故答案为：34,55⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了同向单位向量的求解,属于基础题.14.已知()29f x x tx =-+，若对任意[]1,5x ∈，不等式()0f x ≥恒成立，则实数t 的最大值为______.【答案】6 【解析】【分析】参变分离可得9t x x ≤+,再根据基本不等式求9x x+在区间[]1,5x ∈上的最小值即可. 【详解】因为()0f x ≥恒成立,即2990x tx t x x -+≥⇒≤+,又[]1,5x ∈,故96x x +≥=当且仅当9x x=,即3x =时等号成立.故6t ≤,所以实数t 的最大值为6. 故答案为：6【点睛】本题主要考查了函数恒成立中求解参数最值的问题,需要参变分离用基本不等式求解.属于基础题.15.已知向量a r ，b r满足1a =r，a b -=r r，)1a b +=-r r ，则b =r______.【答案】2 【解析】【分析】将a b -=r r 两边平方,再求)1a b +=-r r平方,消去a b ⋅r r的项再代入1a =r 即可.【详解】因a b -=r r 所以2226a a b b -⋅+=r r r r …①,又)1a b +=-r r ,所以()222+2+14a a b b ⋅+=-=r r rr …②.①+②有2222210514a b b +=⇒=-=r r r ,故2b =r .故答案为：2【点睛】本题主要考查了平面向量数量积与模长的计算等.在遇到有和差等的模长时,经常平方模长进行运算,属于基础题.16.已知向量a r 表示“向正东方向走10米”，向量b r表示“向东偏南45︒方向走5米”，向量c r 表示“向正北方向走20米”，用向量a r ，b r 表示向量c=r______. 【答案】2a -r 【解析】【分析】画图根据向量的运算法则求解即可.【详解】如图,过c r 的终点A 作a r的平行线AB 交b r的反向延长线OB 于B ,易得OAB ∆为直角三角形.且20,OA AB ==OB =故c OB BA =+r u u u r u u u r. 又5b =r ,故OB =-u u u r ,10a =r ,故2BA a =u u u r r .故2c OB BA a =+=-r u u u r u u u r r .故答案为：242a b -r【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算方法,需要画图利用几何知识构造三角形进行求解.属于基础题.三、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数z 满足()1243i z i +=+（i 是虚数单位）. 求：（1）z ；（2）2z z -.【答案】(1) 2i -；(2) 26【解析】【分析】 (1)易得4312iz i+=+,再利用复数的除法运算即可. (2)由(1)分别求得2,z z 再计算2z z -求模长即可.【详解】(1)由题()()()()43124310521212125i i i iz i i i i +-+-====-++-.即2z i =- (2)由(1)2z i =-,故()()222215z z i i i -=--+=-,故()2221526z z -=+-=即226z z -=【点睛】本题主要考查了复数的四则运算与模长的计算等.属于基础题. 18.如图，在直角坐标系xOy 中，()1,4A -，()4,1B -，点C 在直线1x =上.（1）求向量AB u u u r的坐标；（2）若A ，B ，C 三点共线，求C 点的坐标；（3）若四边形ABCD 是矩形，求C 点和D 点的坐标. 【答案】(1)()3,3--;(2) ()1,6C ;(3) ()1,4C -,()4,1D - 【解析】【分析】(1)根据向量坐标的计算求解即可.(2)设()1,C c 再根据三点共线列式求解即可.(3)根据四边形ABCD 是矩形可知AB BC ⊥,即可求得C .再设(),D x y 根据BA CD =u u u r u u u r求解即可.【详解】(1) 因为()1,4A -,()4,1B -,故()()()41,143,3AB =----=--u u u r.(2) 设()1,C c ,因为A ,B ,C 三点共线,故,AB AC R λλ=∈u u u r u u u r,即()()3,32,4c λ--=-,故()3232436c c λλλ⎧=-⎧=-⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=⎩,故()1,6C(3) 设()1,C c ,因为四边形ABCD 是矩形,故AB BC ⊥u u u r u u u r,即()()3,35,10c --⋅-=,解得4c =-,故()1,4C -.设(),D x y ,则因为BA CD =u u u r u u u r,所以()()3,31,4x y =-+,解得4,1x y ==-.故()4,1D -. 所以()1,4C -,()4,1D -【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,属于基础题.19.（1）已知,x y R ∈，证明：()()244222x y x y+≥+；（2）已知正实数x ，y 满足1x y +=，求2228x y x y+++的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)19 【解析】【分析】(1)利用作差法证明即可.(2)化简2228x y x y+++利用1x y +=构造基本不等式证明即可. 【详解】(1)证明：因为()()()224422442222220x y x y x y x y x y ==+---+≥+.故()()244222x y x y +≥+(2) 因为1x y +=,所以()222828281x y x y x y x y x y x y ⎛⎫+++=+++=+++ ⎪⎝⎭28281111219y x y xx y x y=++≥+⋅=,当且仅当28y x x y = 即2y x =,12,33x y ==时等号成立. 故2228x y x y+++的最小值为19. 【点睛】本题主要考查了利用作差法证明不等式以及基本不等式中“1的变换”方法.属于中档题. 20.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，5CD =，53AC =.（1）若30ACD ∠=︒，求AD 的长；（2）若120BCA ∠=︒，且ABC ∆的面积是34，求ACD ∠的大小；（3）若CD BC ⊥，2BD AD =，求AB 的长.【答案】(1) 5AD =；(2) 90ACD ∠=︒或30°；(3) 15AB =【解析】【分析】(1)在ADC ∆中利用余弦定理求解即可.(2)根据ABC ∆的面积是4即可求得BC =可得ABC ∆为等腰三角形,故30A ∠=︒,再在ADC ∆中利用正弦定理求解ADC ∠,再求ACD ∠即可.(3) 设22BD AD x ==,再根据CD BC ⊥可知5cos 2CDB x ∠=,5cos 2CDA x∠=-, 再在ADC ∆中利用余弦定理求解x 即可.【详解】(1) 在ADC ∆中, 2222cos AD CA CD CA CD ACD =+-⋅∠,即27525252AD =+-=,解得5AD =.(2)因为ABC ∆,故11sin 22AC BC BCA BC ⋅⋅∠=⇒⋅=解得BC =又AC BC ==120BCA ∠=︒.故180120302A ︒-︒∠==︒.在ADC ∆中有sin sin sin sin AC CD AC CAD ADC ADC CAD CD ⋅∠=⇒∠==∠∠. 又()0,180ADC ∠∈︒︒,故60ADC ∠=︒或120ADC =∠︒. 当60ADC ∠=︒时, 180306090ACD ∠=︒-︒-︒=︒, 当120ADC =∠︒时, 1803012030ACD ∠=︒-︒-︒=︒. 故90ACD ∠=︒或30ACD ∠=︒.(3)设22BD AD x ==,因为CD BC ⊥,故5cos 2CDB x ∠=,所以5cos 2CDA x∠=-, 在ADC ∆中有2222cos AC AD CD DA CD ADC =+-⋅∠,即225752510252x x x x ⎛⎫=+-⋅-⇒= ⎪⎝⎭,即5x =.故315AB x ==【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意分析边角关系,进而利用公式进行求解.属于中档题.21.如图，在平面四边形ABCD 中，AB 与DC 不平行，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点.（1）已知EF DC AB λμ=+u u u r u u u r u u u r，求实数λ，μ的值；（2）已知4AB =，6CD =，24EF DC ⋅=u u u r u u u r，求线段EF 的长度. 【答案】(1) 11,22λμ==；(2) 19【解析】【分析】(1)根据E ,F 分别是边AD ,BC 的中点有ED EA =-u u u r u u u r ,FC FB =-u u u r u u u r,再用上下两个四边形的向量关系表达EF u u u r相加即可.(2)由(1)有1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r ,再将24EF DC ⋅=u u u r u u u r 利用,DC AB u u u r u u u r 表达,进而得出12AB DC ⋅=u u u r u u u r ,再平方1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r 代入12AB DC ⋅=u u u r u u u r与4AB =,6CD =求解即可.【详解】(1)因为E ,F 分别是边AD ,BC 的中点,故ED EA =-u u u r u u u r ,FC FB =-u u ur u u u r .又EF ED DC CF =++u u u r u u u r u u u r u u u r …①, EF EA AB BF =++u u u r u u u r u u u r u u u r…②,①+②可得2EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r ,故1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r .故11,22λμ==.(2) 由(1)有1122EF DC AB =+u u u r u u u r u u u r ,故24EF DC ⋅=u u u r u u u r 有112422DC AB DC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r ,故2112448 22DC ABDC DC AB DC⎛⎫+⋅=⇒+⋅=⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,又6CD=,故12AB DC⋅=u u u r u u u r.又1122EF DC AB=+u u u r u u u r u u u r,故()()222211244EF DC AB DC DC AB AB=+=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r即()213621216=194EF=+⋅+u u u r,故EF长为19.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,包括基底向量的用法以及向量数量积与模长的综合运用,属于中档题.22.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米.为迎接“五一”观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN 与边界BC的夹角都为60︒.区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花.（1）探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(),,PM PN MN的长度和最小？（3）求郁金香区域面积和的最小值.【答案】(1)PM与PN的长度之和为定值)40031；(2)当P点MN的中点位置时,三条小径(),,PM PN MN的长度和最小为)60031；(3) (2000033【解析】【分析】(1)在BPM∆和CPN∆中分别利用正弦定理即可求得PM与PN的长度之和.(2)在PMN∆中利用MN边的余弦定理,再根据两边的积与和的基本不等式求解即可.(3)根据(1)可得)1PM PB =,)1PN PC =,进而表达出BPM S ∆与CPN S ∆,并利用PB PC BC+=为定值,利用基本不等式求解即可.【详解】(1) 在BPM ∆中,易得180456075BMP ∠=︒-︒-︒=︒,故由正弦定理可得sin sin PM PBB BMP=∠∠,即)sin 451sin 75PB PM PB PB ︒⋅===︒.同理)1PN PC =.故)()1PM PN PC PB +=+))14001BC ==为定值.(2) 在PMN ∆中,由余弦定理可得2222cos60MN PM PN PM PN =+-⋅︒ 即()()()2222334PM PN MN PM PN PM PN PM PN +=+-⋅≥+-⨯,所以()224PM PN MN +≥,2PM PNMN +≥.又由(1)有)4001PM PN +=,故)2001MN ≥,当且仅当)2001PM PN ==时等号成立.故当P 点MN 的中点位置时,三条小径(),,PM PN MN的长度和最小为)6001.(3)由(1)有)1PM PB =,故)21sin 6012BPM S PB PM PB ∆=⋅⋅⋅︒=.同理)214CPN S PC ∆=.故)()()22231++244BPM CPN S S PB PC PB PC PB PC ∆∆⎡⎤+=⋅=-⋅⎣⎦()())2222++2+4PB PC PB PC PB PC BC ⎤≥-⋅==⎥⎢⎥⎣⎦(200003=-.当且仅当200PB PC ==时取得最小值(200003【点睛】本题主要考查了解三角形中的面积公式运用,同时也考查了基本不等式在解三角形中的应用,需要根据题意利用边长表达所求的量,再分析和与积的关系选用合适的基本不等式进行求解.属于难题.。

2018-2019学年江苏省镇江市高一第一学期期末数学试卷〖详解版〗

故只要将函数 y＝sin2x 的图象相左平移个单位，即可得到函数 y＝sin（2x+ ）的图
象，故选：D． 4．【解答】解：在三角形中，0＜A，B＜π，则由 cosA＞cosB 得 A＜B，即“A＜B”是“cosA＞cosB”的充要条件，故选：D． 5．【解答】解：函数 f（x）为增函数， ∵f（2）＝22+2﹣10＝6﹣10＝﹣4＜0， f（3）＝32+3﹣10＝12﹣10＝2＞0， ∴f（2）f（3）＜0，即函数在（2，3）内存在一个零点 x0， ∵零点 x0∈（k，k+1）， ∴k＝2，故选：C． 6．【解答】解：∵T＝＝π，即完成一次完整的摆动需时 π，
。.
2018-2019 学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（5 分）与角﹣390°终边相同的最小正角是（）
A．﹣30°
B．30°
C．60°
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．不需要写出解答过程，请将答案
填写在答题卡相应的位置上．）
9．（5 分）已知圆心角为 60°的扇形，其半径为 3，则该扇形的面积为
．
10．（5 分）若点 P（2，4），Q（3，y0）均在幂函数 y＝f（x）的图象上，则实数 y0＝
21．（12 分）开发商现有四栋楼 A，B，C，D．楼 D 位于楼 BC 间，到楼 A，B，C 的距离分别为 1200m，600m，400m，且从楼 D 看楼 A，B 的视角为 90°．如图所示，不计楼大小和高度．（1）试求从楼 A 看楼 B，C 视角大小；（2）开发商为谋求更大开发区域，拟再建三栋楼 M，P，N，形成以楼 AMPN 为顶点的矩形开发区域．规划要求楼 B，C 分别位于楼 MP 和楼 PN 间，如图所示，记∠MAB＝θ，当 θ 等于多少时，矩形开发区域面积最大？

江苏省镇江市高一上学期数学期中联考试卷

江苏省镇江市高一上学期数学期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）(2019·天津模拟) 设全集，集合，，则（）A .B .C .D .2. （1分） (2018高一上·西宁月考) 以下五个写法中：①｛0｝∈｛0，1，2｝；② ｛1，2｝；③｛0，1，2｝＝｛2，0，1｝；④ ；⑤ ，正确的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. （1分） (2016高一上·台州期中) 给出下列函数：①f（x）= ，g（x）=x+1；②f（x）=|x|，g（x）= ；③f（x）=x2﹣2x﹣1，g（t）=t2﹣2t﹣1．其中，是同一函数的是（）A . ①②③B . ①③C . ②③D . ②4. （1分） (2019高二下·温州期中) 已知函数，若，则实数的值为（）A .B . 或C .D . 或5. （1分）已知函数， y=f(x)的部分图象如图所示，则（）A .B .C .D .6. （1分） (2019高一上·浙江期中) 函数（且）的图象不可能是（）A .B .C .D .7. （1分）设，，，则的大小顺序为（）A .B .C .D .8. （1分） (2018高二上·北京期中) 某种农产品前n年的总产量与n之间的关系满足：，若前m年的年平均产量最小，则m值为（）A . 5B . 4C . 3D . 29. （1分） (2016高一上·淄博期中) 函数f（x）= +lg（x+2）的定义域为（）A . （﹣2，1）B . （﹣2，1]C . [﹣2，1）D . [﹣2，﹣1]10. （1分） (2015高二下·广安期中) 已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A .B .C . （0，3]D . [3，+∞）11. （1分）函数f(x)是偶函数，它在上是减函数.若，则x的取值范围是（）A .B .C .D .12. （1分） (2020高二上·吉林期末) 已知命题p：∀x∈R，sinx≥0，则下列说法正确的是（）A . 非p是特称命题，且是真命题B . 非p是全称命题，且是假命题C . 非p是全称命题，且是真命题D . 非p是特称命题，且是假命题二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·颍上月考) 函数的定义域为________.14. （1分） (2019高一上·杭州期中) 已知函数则 ________，________．15. （1分） (2016高一下·天津期末) 已知f（x）=ax+2a+1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）的值有正有负，则实数a的取值范围为________．16. （1分） (2019高一上·浙江期中) 若是定义在实数集上的偶函数，且，当时，，则的值等于________．三、解答题 (共6题；共11分)17. （2分） (2017高一上·江苏月考)（1）（2）已知，求和的值．18. （2分） (2017高一下·磁县期末) 设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2a﹣1＜x＜2a+3}．（1）若A⊆B，求a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．19. （2分） (2017高二下·寿光期末) 设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知T（t）=t3+at2+bt+c，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时，规定中午12：00相应的t=0，中午12：00以后相应的t取正数，中午12：00以前相应的t取负数（例如早上8：00对应的t=﹣4，下午16：00相应的t=4），若测得该物体在中午12：00的温度为60℃，在下午13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率．（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；（2）该物体在上午10：00至下午14：00这段时间中（包括端点）何时温度最高？最高温度是多少？20. （2分）已知函数y=f（x）的定义域为[﹣1，1]，且f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=1，当a，b∈[﹣1，1]且a+b≠0，时＞0恒成立．（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性并证明结论；（2）解不等式f（x+ ）＜f（）21. （2分） (2019高一上·哈尔滨月考) 已知二次函数，满足且（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式（其中）.22. （1分） (2019高一上·南阳月考) 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？参考答案一、单选题 (共12题；共12分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共11分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

江苏镇江市2019届高三数学上学期期中试题(附答案)

江苏镇江市2019届高三数学上学期期中试题（附答案）2018秋高三期中考试试卷(一) 数学 (满分160分，考试时间120分钟) 2018．11 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 设集合A＝{x|x是小于4的偶数}，B＝{－3，1，2，4}，则A∩B＝________． 2. 命题“∀x＞0，x2≥0”的否定为______________． 3. 若复数z＝1＋ai2－i(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则a＝________． 4. 函数y＝log7(x2－4x＋3)的定义域为________． 5. (文)点M(－3，4)到直线l：x－y＋3＝0的距离为________． (理)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且A＝45°，C＝75°，a＝1，则b＝________． 6. (文)经过点P(1，2)，且与直线3x＋4y－100＝0垂直的直线的方程是________． (理)已知函数f(x)＝a＋14x＋1是奇函数，则f(－1)＋f(0)＝________． 7. (文)已知函数f(x)＝x2－2ax＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f(2)的取值范围是________． (理)已知e为自然对数的底数，函数y＝ex－ln x在[1，e]上的最小值为________． 8. (文)已知向量a与b，满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－b)，则向量a与b的夹角为________． (理)已知函数f(x)＝x2－2ax＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f(2)的取值范围是________． 9. (文)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn.若a1＋a4＋a7＝0，则S6a6的值为________． (理)将函数y＝5sin(2x＋π4)的图象向左平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度后，所得函数图象关于直线x＝π4对称，则φ＝________． 10. 在△ABC中，已知(tan A＋1)(tan B ＋1)＝2，则cos C＝________． 11. 已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，则1x＋4y＋1的最小值为________． 12. 已知函数f(x)＝x(2x－2－x)，则不等式f(－2)＜f(lg x)的解集为________． 13. 在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4(tan A＋tan B)＝tan Acos B＋tan Bcos A，则cos C的最小值为________． 14. 已知函数f(x)＝|lg x|，x＞0，－x2－2x，x≤0，若函数y＝2f2(x)＋3mf(x)＋1－2m有6个不同的零点，则实数m的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin 2Cc＝sin Bb. (1) 求角C的值；(2) 若sin(B－π3)＝35，求cos A的值．16. (本小题满分14分) 已知k∈R，函数f(x)＝x2＋(1－k)x＋2－k. (1) 解关于x的不等式f(x)＜2； (2) 对任意x∈(－1，2)，f(x)≥1恒成立，求实数k的取值范围． 17. (本小题满分14分) (文)如图，已知点A(1，1)，B(－1，1)，过点A作直线l，使得直线l与y轴正半轴交于点C，与射线BO交于点D. (1) 若直线l的斜率为－3，① 求OA→•BC→的值；② 若OD→＝λOA→＋μOC→，求实数λ－μ的值； (2) 求△OCD面积的最小值及此时直线l的方程．(理)已知函数f(x)＝logax＋log4x(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数． (1) 求实数a的取值范围； (2) 当a＝4时，是否存在正实数m，n(m＜n)，使得函数f(x)的定义域为[m，n]，值域为m2，n2？如果存在，求出所有的m，n；如果不存在，请说明理由． 18. (本小题满分16分) 如图，郊外有一边长为200 m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60°.拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝θ，荷花种植区域的面积为S m2. (1) 求S关于θ的函数关系式； (2) 求S的最小值． 19. (本小题满分16分) (文)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n，n∈N*，记bn＝an＋3. (1) 求证：数列{bn}为等比数列； (2) 设数列{b2n}的前n项和为Tn，求证：S2n＋6nTn为定值；(3) 判断数列{2n－an}中是否存在三项成等差数列，并说明你的结论．(1) 若函数f(x)为奇函数，求实数a的值； (2) 若对任意的a∈[－1，1]，不等式f(x)＜m在x∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围； (3) 若f(x)在x＝x0处取得极小值，且x0∈(0，3)，求实数a 的取值范围． 20. (本小题满分16分) 已知函数f(x)＝ex，g(x)＝mx2，m∈R，e为自然对数的底数． (1) 如果函数h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增，求m的取值范围； (2) 若直线y＝kx＋1是函数y＝f(x)图象的一条切线，求实数k的值； (3) 设x1，x2∈R，且x1＜x2，求证：f（x1）＋f（x2）2＞f（x2）－f（x1）x2－x1.2018秋高三期中考试试卷(一) 数学附加题 (满分40分，考试时间30分钟) 21. (本小题满分10分) 求曲线y＝ln(x2－2x)在x＝3处的切线方程．22.(本小题满分10分) 已知n为自然数，当n≥4时，用数学归纳法证明：2n＞n2＋3n＋22. 23. (本小题满分10分) 已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n. (1) 当m＝2 018，n＝2 019时，试求f(x)展开式中x的偶次幂项的系数之和； (2) 若f(x)的展开式中x的系数为11，试求x2的系数取最小值时n的值．24.(本小题满分10分) 高三年级成立语文、数学、英语兴趣小组，学生是否参加哪个兴趣小组互不影响．已知某同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，至少参加一个兴趣小组的概率为0.88.若该学生参加的兴趣小组数为a，没有参加的兴趣小组数为b，记ξ＝2a－b. (1) 求该同学参加数学兴趣小组的概率； (2) 求ξ的分布列和数学期望．2018秋高三期中考试试卷(一)(镇江) 数学参考答案及评分标准1. {2}2. ∃x＞0，x2＜03. 24. (－∞，1)∪(3，＋∞)5. (文)22 (理)626. (文)4x－3y＋2＝0 (理)3107. (文)[12，＋∞)(理)e8. (文)π4 (理)[12，＋∞)9. (文)－32 (理)3π8 10. －22 11. 92 12. (0，1100)∪(100，＋∞)13. 78 14. m ＜－3 15. 解：(1) 在△ABC中，因为sin 2Cc＝sin Bb，由bsin B ＝csin C得(1分) 2sin Ccos Csin C＝sin Bsin B，(2分) 所以cos C＝12.(4分) 又C∈(0，π)，(5分) 所以C＝π3.(6分) (2) 因为C＝π3，B∈(0，2π3)，B－π3∈(－π3，π3)，则cos(B－π3)＞0.(8分) 又sin(B－π3)＝35，则cos(B－π3)＝1－sin2（B－π3）＝1－（35）2＝45.(10分) 又A＋B＝2π3，即A＝2π3－B，所以cos A＝cos(2π3－B)＝cosπ3－（B－π3）(12分) ＝cosπ3•cos(B －π3)＋sinπ3•sin(B－π3)＝12×45＋32×35＝4＋3310.(14分)16. 解：(1) 由f(x)＜2得不等式可变形为(x－k)(x＋1)＜0，(1分)① 若k＝－1，则(x＋1)2＜0，解集为∅；(3分) ② 若k＞－1，解集为(－1，k)；(5分) ③ 若k＜－1，解集为(k，－1)．(7分) (2) 由对任意x∈(－1，2)，f(x)≥1恒成立，即x2＋(1－k)x＋1－k≥0恒成立，即x2＋x＋1≥k(x＋1)，对任意x∈(－1，2)恒成立，(8分) k≤（x＋1）2－（x＋1）＋1x＋1＝(x＋1)＋1x＋1－1.(10分) 因为(x＋1)＋1x＋1－1≥2（x＋1）•1x＋1－1＝2－1＝1.(12分) 当x ＋1＝1x＋1，即x＝0∈(－1，2)时，(13分) （x＋1）＋1x＋1－1min ＝1，故实数k的取值范围是(－∞，1]．(14分) 17. (文)解：(1) 因为直线l过A(1，1)，且斜率为－3，所以直线l：y－1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋4.(1分) 令x＝0得C(0，4)；令y＝－x得D(2，－2)．(2分) ① 因为OA→＝(1，1)，BC→＝(1，3)，所以OA→•BC→＝1×1＋1×3＝4.(4分) ② 因为OD→＝λOA→＋μOC→，则(2，2)＝λ(1，1)＋μ(0，4)，(5分) 即2＝λ，－2＝λ＋4μ，则λ＝2，μ＝－1，(6分) 所以λ－μ＝3.(7分) (2) 由图中两直线相交位置可得，直线l的斜率k存在，且k＜－1，(8分) 设直线l：y－1＝k(x－1)．令x＝0得C(0，1－k)；令y＝－x得D(k－1k＋1，1－kk＋1)．(9分) 则S△OCD＝12OC•|xD|＝12•（1－k）2－1－k(10分) ＝12（－k－1）＋4－k－1＋4≥122（－k－1）•4（－k－1）＋4＝4，(13分) 当且仅当－k－1＝4－k－1，即k＝－3∈(－∞，－1)时，(S△OCD)min＝4. 此时直线l：y＝－3x＋4.(14分) (理)解：(1) (解法1)因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则f′(x)＝1xln a＋1xln 4＝1x(1ln a ＋1ln 4)≥0在(0，＋∞)上恒成立．(2分) 则1ln a＋1ln 4≥0，ln 4aln a•ln 4≤0，解得a＞1或0＜a≤14.(4分) 又当a＝14时，f(x)＝0为常数函数，不合题意．(5分) 所以a＞1或0＜a＜14.(6分) (解法2)因为f(x)＝logax＋log4x＝log4xlog4a＋log4x＝log4x(1log4a＋1)，(2分) 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则1log4a ＋1＞0，即1＋log4alog4a＞0，所以log4a＜－1或log4a＞0，(4分) 即a＞1或0＜a＜14.(6分) (2) 当a＝4时，f(x)＝2log4x在(0，＋∞)上为增函数．(7分) 因为函数f(x)在定义域为[m，n]，值域为m2，n2，则有f(m)＝2log4m＝m2，f(n)＝2log4n＝n2，所以m，n为方程log2x＝x2在(0，＋∞)上的两个不等的实数解．(9分) 显然m＝2，n＝4符合方程．(11分) 令h(x)＝log2x－x2，由h′(x)＝1xln 2－12＝2－xln 22xln 2＝0，得x＝2ln 2.(12分) 当x∈(0，2ln 2)时，h′(x)＞0，h(x)为增函数，在(0，2ln 2)上至多有一个零点；当x∈(2ln 2，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)为减函数，在(2ln 2，＋∞)上至多有一个零点．所以h(x)＝log2x－x2至多只有两个实数解．(13分) 故存在唯一正实数m＝2，n＝4符合题意．(14分) 18. 解：(1) 在△ABE中，∠ABE＝θ，∠A＝π3，则∠AEB＝2π3－θ. 由ABsin∠AEB＝BEsin A，得BE＝1003sin（2π3－θ）.(2分) 在△BCF 中∠C＝π3，∠CBF＝π6－θ，则∠BCF＝π2＋θ. 同理可得，BF＝1003cos θ.(4分) 则S＝12BE•BF＝15 000cos θsin（2π3－θ）.(7分) (2) 设f(θ)＝cos θ•sin(2π3－θ)＝cosθ•(sin2π3cos θ－cos2π3sin θ) ＝32cos2θ＋12sin θcos θ＝32•1＋cos 2θ2＋14sin 2θ＝34＋12sin(2θ＋π3)．(11分) 因为π2＋θ＜2π3，所以θ∈(0，π6)．(12分) 则当θ＝π12时，f(θ)max＝2＋34，则Smin＝15 0002＋34＝60 000(2－3)．(14分) 答：(1) 函数关系式为S＝30 00032＋sin（2θ＋π3）； (2) 当θ＝π12时，面积S的最小值为60 000(2－3)m2.(16分) 19. (文)(1) 证明：因为Sn＝2an－3n ①，当n＝1时，a1＝2a1－3，则a1＝3. 当n≥2时，有Sn－1＝2an－1－3(n－1) ②，①－②得an＝2an－2an－1－3n＋3(n－1)，即an＝2an－1＋3，(2分) 则an＋3＝2(an－1＋3)，即bn＝2bn－1，又b1＝a1＋3＝6≠0，(3分) 所以数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列．(4分) (2) 证明：由(1)知bn＝6×2n －1＝3×2n，an＋3＝bn＝3×2n，则有an＝3×2n－3. 同时b2n＝9×4n，即数列{b2n}是以3为首项，4为公比的等比数列，(5分) 得Tn＝36（1－4n）1－4＝12(4n－1)．(6分) 因为Sn＝2an－3n，所以S2n＝2a2n－6n＝6(4n－1)－6n，(8分) 则S2n＋6nTn＝6×（4n－1）12（4n－1）＝12为定值．(10分) (3) 解：令cn＝2n－an＝3－2n，若存在m＜p＜n，使得cm，cp，cn成等差数列，则cp－cm＝cn－cp，2cp＝cm＋cn，即2•2n＝2m＋2p (*)．(12分) 等式两边同时除以2m得2n＋1－m＝1＋2p－m. 因为m＜p＜n，所以n＋1－m，p－m均为正整数，(14分) 故(*)式左边为偶数，而右边为奇数，所以(*)式不能成立．故数列{2n－an}中不存在三项成等差数列．(16分) (理)解：(1) (解法1)因为函数f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)对一切实数恒成立，即x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a＝－[(－x)3＋3a(－x)2＋(3－6a)(－x)＋12a]，即6a(x2＋4)＝0对一切实数x恒成立，(2分) 所以a＝0.(3分) (解法2)因为函数f(x)为奇函数，且函数的定义域为R，所以f(0)＝0，得a＝0.(1分) 此时f(x)＝x3＋3x，f(－x)＝(－x)3＋3(－x)＝－x3－3x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故a＝0.(3分) (2) f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a＝a(3x2－6x＋12)＋x3＋3x. 设函数g(a)＝(3x2－6x＋12)a＋x3＋3x，因为3x2－6x＋12＝3(x－1)2＋9＞0，所以函数g(a)在[－1，1]上单调递增．令h(x)＝g(a)max＝g(1)＝x3＋3x2－3x＋12，(5分) 由h′(x)＝3x2＋6x－3＝3[x＋(1＋2)][x－(2－1)]，令h′(x)＝0得x＝2－1. 当x∈(－1，2－1)时，h′(x)＜0，函数h(x)为减函数；当x∈(2－1，1)时，h′(x)＞0，函数g(x)为增函数．(7分) 而h(1)＝13，h(－1)＝17，所以h(x)max＝17，则m＞17.(8分) (3) 因为f(x)在x＝x0∈(0，3)处取得极小值(*)，则令f′(x)＝3[x2＋2ax＋(1－2a)]＝0，令s(x)＝x2＋2ax＋(1－2a) ①. 则方程①有两个不相等的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，所以Δ＝4a2－4(1－2a)＞0，解得a＞－1＋2或a＜－1－2 ②.(9分) 设s(x)＝(x－x1)(x－x2)，则f′(x)＝3(x－x1)(x－x2)．当x∈(－∞，x1)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，所以f(x)的极小值在较大根x2处取得，令x2＝x0∈(0，3)．(10分) (解法1)1° 当x1＜0，x0∈(0，3)时，因为x1＜0＜x0＜3，则s(0)＝x1x0＝1－2a ＜0，s(3)＝(3－x1)(3－x0)＝10＋4a＞0，解得a＞12.(11分) 反之，当a＞12时，Δ＝4a2－4(1－2a)＞0，方程①有两个实根x1，x0；且满足s(0)＝1－2a＜0，s(3)＝10＋4a＞0，则方程在区间(0，3)上必有一根x0；又s(0)＝x1x0＝1－2a＜0，而x0＞0，所以x1＜0. 所以满足条件(*)．此时a＞12 ③.(12分) 2° 当x1，x0∈(0，3)时，s(x)的对称轴为x＝－a＝x0＋x12∈(0，3) ④， s(x)在(0，－a)上为减函数，在(－a，3)上为增函数．因为0＜x1＜－a＜x0＜3，所以s(0)＝1－2a＞s(x1)＝0，s(3)＝10＋4a＞s(x0)＝0. 结合②④，解得－52＜a＜－1－2.(13分) 反之，当－52＜a＜－1－2时，Δ＞0，方程①必有两不相等的根x1，x0. 又1＋2＜－a＜52，所以对称轴x＝－a∈(0，3)，而函数s(x)min＝s(－a)＜0，因为s(x)在(0，－a)上为减函数，且s(0)＝1－2a＞0，则s(x)在(0，－a)上必有一根x1； s(x)在(－a，3)上为增函数，且s(3)＝10＋4a＞0，则s(x)在(－a，3)上必有一根x0，显然x1＜x0.所以满足条件(*)．此时－52＜a＜－1－2 ⑤.(14分) 3° 当方程有一根分别为0时，此时s(x)的两根分别为－1，0，不合题意．(15分) 综上，由③⑤得－52＜a＜－1－2或a＞12.(16分) (解法2)此时方程s(x)＝0有两个实根x1，x0，x1＜x0，则x1＝－a－a2＋2a－1＜x0＝－a＋a2＋2a－1，(12分) 则0＜－a＋a2＋2a－1＜3，即a＜a2＋2a－1＜3＋a ⑥. 1° 当a＞－1＋2时，⑥平方得a2＜a2＋2a－1＜(3＋a)2，解得a＞12.(13分) 2° 当a＜－1－2时，a＜a2＋2a－1恒成立．由a2＋2a－1＜3＋a，平方解得－52＜a＜－1－2.(15分) 综上，由1°，2°可得a＞12或－52＜a＜－1－2.(16分) 20. (1) 解：因为h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－mx2在(0，＋∞)上为增函数，则h′(x)＝ex－2mx≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m≤exx恒成立．(2分) 设函数k(x)＝exx，x∈(0，＋∞)，则k′(x)＝ex（x－1）x2＝0，得x＝1. x (0，1) 1 (1，＋∞) k′(x) ― 0 ＋ k(x) ��所以k(x)min ＝k(1)＝e，所以m≤e2.(4分) (2) 解：设切点为(x0，ex0)．因为f′(x)＝ex，所以ex0＝k，ex0＝kx0＋1，(6分) 所以ex0(x0－1)＋1＝0.令l(x)＝ex(x－1)＋1，l′(x)＝ex•x＝0，得x＝0.x (－∞，0) 0 (0，＋∞) l′(x) ― 0 ＋ l(x) ��所以l(x)min ＝l(0)＝0，所以x0＝0，所以k＝1.(8分) (3) 证明：因为f(x)＝ex在(－∞，＋∞)上单调递增，且x2－x1＞0，ex2－ex1＞0，(9分) 所以f（x1）＋f（x2）2＞f（x2）－f（x1）x2－x1⇔ex1＋ex22＞ex2－ex1x2－x1⇔x2－x12＞ex2－ex1ex2＋ex1 ⇔12(x2－x1)＞ex2－x1－1ex2－x1＋1⇔12(x2－x1)＞1－2ex2－x1＋1 (*)．(12分) 令x2－x1＝t＞0，F(t)＝t2＋2et＋1－1，F′(t)＝12－2et（et＋1）2＝（et－1）22（et＋1）2.(14分) 因为t＞0，所以F′(t)＞0，所以F(t)在(0，＋∞)上单调递增，所以F(t)＞F(0)＝0，(*)式成立，则f（x1）＋f（x2）2＞f（x2）－f（x1）x2－x1.(16分)2018秋高三期中考试试卷(一)(镇江) 数学附加题参考答案及评分标准21. 解：y′＝1x2－2x(x2－2x)′＝2x－2x2－2x，(4分) 则切线在x＝3处的斜率k＝2×3－232－2×3＝43.(6分) 当x＝3时，y＝ln 3，(8分) 则切线方程为y－ln 3＝43(x－3)，即4x－3y－12＋3ln 3＝0.(10分) 22. 证明：① 当n＝4时，24＝16＞42＋3×4＋22＝15，则结论成立．(2分) ② 假设当n＝k(k≥4)时，满足2k＞k2＋3k＋22，(4分) 则当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＞2×k2＋3k＋22＝2k2＋6k＋42.(6分) 因为k≥4，则2k2＋6k＋42－（k＋1）2＋3（k＋1）＋22＝k2＋k－22＞0，所以2k2＋6k＋42＞（k＋1）2＋3（k＋1）＋22.(8分) 即当n＝k＋1时，有2n＞n2＋3n＋22成立．(9分) 综合①②，当n≥4，n∈N时，有2n＞n2＋3n＋22.(10分) 23. 解：(1) 记f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 019x2 019. 令x＝－1，得f(－1)＝a0＋a1(－1)＋a2(－1)2＋…＋a2 019(－1)2 019＝－1，即a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 018－a2 019＝－1 ①.(2分) 令x＝1，得f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 019＝22 018＋32 019，即a0＋a1＋a2＋…＋a2 019＝22 018＋32 019 ②.(4分) 由①＋②得2(a0＋a2＋…＋a2 018)＝－1＋22 018＋32 019，则a0＋a2＋…＋a2 018＝12(22 018＋32 019－1)．(6分) (2) 根据题意得C1m＋2C1n＝11，则m＋2n＝11，(7分) 则x2的系数为C2m＋22C2n＝m（m－1）2＋2n(n －1)(8分) ＝m2－m2＋(11－m)(11－m2－1)＝(m－214)2＋35116.(9分) 因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.(10分) 24. 解：(1) 设该同学参加了语文、数学、英语兴趣小组的事件分别为A，B，C，对应的概率分别为P(A)＝x，P(B)＝y，P(C)＝z.(1分) 因为该同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，则P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＝x(1－y)(1－z)＝0.08 ①；(2分) 因为该同学只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝xy(1－z)＝0.12 ②；(3分) 因为该同学至少参加一个兴趣小组的概率是0.88，则P(A＋B＋C)＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C) ＝1－(1－x)(1－y)(1－z)＝0.88 ③.(4分) 由①②③，解得x＝0.4，y＝0.6，z＝0.5. 答：该同学参加数学兴趣小组的概率为0.6.(5分) (2) 依题意知ξ的所有可能取值为－3，0，3，6，(6分) P(ξ＝－3)＝(1－x)(1－y)(1－z)＝0.12， P(ξ＝0)＝x(1－y)(1－z)＋(1－x)y(1－z)＋(1－x)(1－y)z＝0.38， P(ξ＝3)＝xy(1－z)＋x(1－y)z＋(1－x)yz＝0.38， P(ξ＝6)＝xyz＝0.12.(8分) ξ的分布列为ξ－3 0 3 6 P 0.12 0.38 0.38 0.12 (9分) 数学期望E(ξ)＝－3×0.12＋0×0.38＋3×0.38＋6×0.12＝1.5.(10分)。

江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试数学 Word版含答案

镇江市2018秋高三期中考试试卷(一)数学(满分160分，考试时间120分钟)2018．11一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x |x 是小于4的偶数}，B ＝{－3，1，2，4}，则A ∩B ＝________．2. 命题“∀x ＞0，x 2≥0”的否定为______________．3. 若复数z ＝1＋a i2－i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则a ＝________．4. 函数y ＝log 7(x 2－4x ＋3)的定义域为________．5. (文)点M (－3，4)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为________． (理)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且A ＝45°，C ＝75°，a ＝1，则b ＝________．6. (文)经过点P (1，2)，且与直线3x ＋4y －100＝0垂直的直线的方程是________．(理)已知函数f (x )＝a ＋14x ＋1是奇函数，则f (－1)＋f (0)＝________．7. (文)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f (2)的取值范围是________． (理)已知e 为自然对数的底数，函数y ＝e x －ln x 在[1，e]上的最小值为________． 8. (文)已知向量a 与b ，满足|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －b )，则向量a 与b 的夹角为________． (理)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f (2)的取值范围是________． 9. (文)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n .若a 1＋a 4＋a 7＝0，则S 6a 6的值为________．(理)将函数y ＝5sin(2x ＋π4)的图象向左平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度后，所得函数图象关于直线x ＝π4对称，则φ＝________．10. 在△ABC 中，已知(tan A ＋1)(tan B ＋1)＝2，则cos C ＝________． 11. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则1x ＋4y ＋1的最小值为________．12. 已知函数f (x )＝x (2x －2－x )，则不等式f (－2)＜f (lg x )的解集为________．13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A ，则cos C 的最小值为________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2f 2(x )＋3mf (x )＋1－2m 有6个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2C c ＝sin Bb .(1) 求角C 的值；(2) 若sin(B －π3)＝35，求cos A 的值．16. (本小题满分14分)已知k ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(1－k )x ＋2－k . (1) 解关于x 的不等式f (x )＜2；(2) 对任意x ∈(－1，2)，f (x )≥1恒成立，求实数k 的取值范围．(文)如图，已知点A (1，1)，B (－1，1)，过点A 作直线l ，使得直线l 与y 轴正半轴交于点C ，与射线BO 交于点D .(1) 若直线l 的斜率为－3，① 求OA →·BC →的值；② 若OD →＝λOA →＋μOC →，求实数λ－μ的值； (2) 求△OCD 面积的最小值及此时直线l 的方程．(理)已知函数f (x )＝log a x ＋log 4x (a ＞0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数． (1) 求实数a 的取值范围；(2) 当a ＝4时，是否存在正实数m ，n (m ＜n )，使得函数f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为⎣⎡⎦⎤m 2，n 2？如果存在，求出所有的m ，n ；如果不存在，请说明理由．如图，郊外有一边长为200 m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60°.拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝θ，荷花种植区域的面积为S m2.(1) 求S关于θ的函数关系式；(2) 求S的最小值．(文)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n ，n ∈N *，记b n ＝a n ＋3. (1) 求证：数列{b n }为等比数列；(2) 设数列{b 2n }的前n 项和为T n ，求证：S 2n ＋6nT n为定值； (3) 判断数列{2n －a n }中是否存在三项成等差数列，并说明你的结论．(1) 若函数f (x )为奇函数，求实数a 的值；(2) 若对任意的a ∈[－1，1]，不等式f (x )＜m 在x ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 若f (x )在x ＝x 0处取得极小值，且x 0∈(0，3)，求实数a 的取值范围．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝mx 2，m ∈R ，e 为自然对数的底数．(1) 如果函数h (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增，求m 的取值范围； (2) 若直线y ＝kx ＋1是函数y ＝f (x )图象的一条切线，求实数k 的值；(3) 设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，求证：f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.2018秋高三期中考试试卷(一)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)求曲线y ＝ln(x 2－2x )在x ＝3处的切线方程．22.(本小题满分10分)已知n 为自然数，当n ≥4时，用数学归纳法证明：2n＞n 2＋3n ＋22.23. (本小题满分10分)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.(1) 当m＝2 018，n＝2 019时，试求f(x)展开式中x的偶次幂项的系数之和；(2) 若f(x)的展开式中x的系数为11，试求x2的系数取最小值时n的值．24.(本小题满分10分)高三年级成立语文、数学、英语兴趣小组，学生是否参加哪个兴趣小组互不影响．已知某同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，至少参加一个兴趣小组的概率为0.88.若该学生参加的兴趣小组数为a，没有参加的兴趣小组数为b，记ξ＝2a－b.(1) 求该同学参加数学兴趣小组的概率；(2) 求ξ的分布列和数学期望．2018秋高三期中考试试卷(一)(镇江)数学参考答案及评分标准1. {2}2. ∃x ＞0，x 2＜03. 24. (－∞，1)∪(3，＋∞)5. (文)22 (理)626. (文)4x －3y ＋2＝0 (理)3107. (文)[12，＋∞) (理)e8. (文)π4 (理)[12，＋∞)9. (文)－32 (理)3π8 10. －22 11. 92 12. (0，1100)∪(100，＋∞) 13. 78 14. m ＜－315. 解：(1) 在△ABC 中，因为sin 2C c ＝sin B b ，由b sin B ＝csin C 得(1分)2sin C cos C sin C ＝sin Bsin B ，(2分)所以cos C ＝12.(4分)又C ∈(0，π)，(5分) 所以C ＝π3.(6分)(2) 因为C ＝π3，B ∈(0，2π3)，B －π3∈(－π3，π3)，则cos(B －π3)＞0.(8分)又sin(B －π3)＝35，则cos(B －π3)＝1－sin 2（B －π3）＝1－（35）2＝45.(10分)又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以cos A ＝cos(2π3－B )＝cos ⎣⎡⎦⎤π3－（B －π3）(12分) ＝cos π3·cos(B －π3)＋sin π3·sin(B －π3)＝12×45＋32×35＝4＋3310.(14分)16. 解：(1) 由f (x )＜2得不等式可变形为(x －k )(x ＋1)＜0，(1分) ① 若k ＝－1，则(x ＋1)2＜0，解集为∅；(3分) ② 若k ＞－1，解集为(－1，k )；(5分) ③ 若k ＜－1，解集为(k ，－1)．(7分)(2) 由对任意x ∈(－1，2)，f (x )≥1恒成立，即x 2＋(1－k )x ＋1－k ≥0恒成立，即x 2＋x ＋1≥k (x ＋1)，对任意x ∈(－1，2)恒成立，(8分) k ≤（x ＋1）2－（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1.(10分)因为(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2（x ＋1）·1x ＋1－1＝2－1＝1.(12分)当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0∈(－1，2)时，(13分)⎣⎡⎦⎤（x ＋1）＋1x ＋1－1min ＝1，故实数k 的取值范围是(－∞，1]．(14分)17. (文)解：(1) 因为直线l 过A (1，1)，且斜率为－3，所以直线l ：y －1＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋4.(1分) 令x ＝0得C (0，4)；令y ＝－x 得D (2，－2)．(2分)① 因为OA →＝(1，1)，BC →＝(1，3)，所以OA →·BC →＝1×1＋1×3＝4.(4分) ② 因为OD →＝λOA →＋μOC →，则(2，2)＝λ(1，1)＋μ(0，4)，(5分)即2＝λ，－2＝λ＋4μ，则λ＝2，μ＝－1，(6分) 所以λ－μ＝3.(7分)(2) 由图中两直线相交位置可得，直线l 的斜率k 存在，且k ＜－1，(8分) 设直线l ：y －1＝k (x －1)．令x ＝0得C (0，1－k )；令y ＝－x 得D (k －1k ＋1，1－kk ＋1)．(9分)则S △OCD ＝12OC ·|x D |＝12·（1－k ）2－1－k(10分)＝12⎣⎡⎦⎤（－k －1）＋4－k －1＋4≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（－k －1）·4（－k －1）＋4＝4，(13分)当且仅当－k －1＝4－k －1，即k ＝－3∈(－∞，－1)时，(S △OCD )min ＝4.此时直线l ：y ＝－3x ＋4.(14分)(理)解：(1) (解法1)因为f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝1x ln a ＋1x ln 4＝1x (1ln a ＋1ln 4)≥0在(0，＋∞)上恒成立．(2分)则1ln a ＋1ln 4≥0，ln 4a ln a ·ln 4≤0，解得a ＞1或0＜a ≤14.(4分) 又当a ＝14时，f (x )＝0为常数函数，不合题意．(5分)所以a ＞1或0＜a ＜14.(6分)(解法2)因为f (x )＝log a x ＋log 4x ＝log 4x log 4a ＋log 4x ＝log 4x (1log 4a ＋1)，(2分)又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1log 4a ＋1＞0，即1＋log 4a log 4a ＞0，所以log 4a ＜－1或log 4a ＞0，(4分) 即a ＞1或0＜a ＜14.(6分)(2) 当a ＝4时，f (x )＝2log 4x 在(0，＋∞)上为增函数．(7分) 因为函数f (x )在定义域为[m ，n ]，值域为⎣⎡⎦⎤m 2，n 2，则有f (m )＝2log 4m ＝m 2，f (n )＝2log 4n ＝n 2，所以m ，n 为方程log 2x ＝x2在(0，＋∞)上的两个不等的实数解．(9分)显然m ＝2，n ＝4符合方程．(11分)令h (x )＝log 2x －x 2，由h ′(x )＝1x ln 2－12＝2－x ln 22x ln 2＝0，得x ＝2ln 2.(12分) 当x ∈(0，2ln 2)时，h ′(x )＞0，h (x )为增函数，在(0，2ln 2)上至多有一个零点；当x ∈(2ln 2，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )为减函数，在(2ln 2，＋∞)上至多有一个零点．所以h (x )＝log 2x －x 2至多只有两个实数解．(13分) 故存在唯一正实数m ＝2，n ＝4符合题意．(14分)18. 解：(1) 在△ABE 中，∠ABE ＝θ，∠A ＝π3，则∠AEB ＝2π3－θ. 由AB sin ∠AEB ＝BE sin A ，得BE ＝1003sin （2π3－θ）.(2分) 在△BCF 中∠C ＝π3，∠CBF ＝π6－θ，则∠BCF ＝π2＋θ. 同理可得，BF ＝1003cos θ.(4分) 则S ＝12BE ·BF ＝15 000cos θsin （2π3－θ）.(7分) (2) 设f (θ)＝cos θ·sin(2π3－θ)＝cos θ·(sin 2π3cos θ－cos 2π3sin θ) ＝32cos 2θ＋12sin θcos θ＝32·1＋cos 2θ2＋14sin 2θ＝34＋12sin(2θ＋π3)．(11分) 因为π2＋θ＜2π3，所以θ∈(0，π6)．(12分) 则当θ＝π12时，f (θ)max ＝2＋34，则S min ＝15 0002＋34＝60 000(2－3)．(14分) 答：(1) 函数关系式为S ＝30 00032＋sin （2θ＋π3）；(2) 当θ＝π12时，面积S 的最小值为60 000(2－3)m 2.(16分) 19. (文)(1) 证明：因为S n ＝2a n －3n ①，当n ＝1时，a 1＝2a 1－3，则a 1＝3. 当n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－3(n －1) ②，①－②得a n ＝2a n －2a n －1－3n ＋3(n －1)，即a n ＝2a n －1＋3，(2分)则a n ＋3＝2(a n －1＋3)，即b n ＝2b n －1，又b 1＝a 1＋3＝6≠0，(3分)所以数列{b n }是以6为首项，2为公比的等比数列．(4分)(2) 证明：由(1)知b n ＝6×2n －1＝3×2n ，a n ＋3＝b n ＝3×2n ，则有a n ＝3×2n －3.同时b 2n ＝9×4n ，即数列{b 2n }是以3为首项，4为公比的等比数列，(5分)得T n ＝36（1－4n ）1－4＝12(4n －1)．(6分)因为S n ＝2a n －3n ，所以S 2n ＝2a 2n －6n ＝6(4n －1)－6n ，(8分)则S 2n ＋6n T n ＝6×（4n －1）12（4n －1）＝12为定值．(10分) (3) 解：令c n ＝2n －a n ＝3－2n ，若存在m ＜p ＜n ，使得c m ，c p ，c n 成等差数列，则c p －c m ＝c n －c p ，2c p ＝c m ＋c n ，即2·2n ＝2m ＋2p (*)．(12分)等式两边同时除以2m 得2n ＋1－m ＝1＋2p －m .因为m ＜p ＜n ，所以n ＋1－m ，p －m 均为正整数，(14分)故(*)式左边为偶数，而右边为奇数，所以(*)式不能成立．故数列{2n －a n }中不存在三项成等差数列．(16分)(理)解：(1) (解法1)因为函数f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )对一切实数恒成立，即x 3＋3ax 2＋(3－6a )x ＋12a ＝－[(－x )3＋3a (－x )2＋(3－6a )(－x )＋12a ]，即6a (x 2＋4)＝0对一切实数x 恒成立，(2分)所以a ＝0.(3分)(解法2)因为函数f (x )为奇函数，且函数的定义域为R ，所以f (0)＝0，得a ＝0.(1分)此时f (x )＝x 3＋3x ，f (－x )＝(－x )3＋3(－x )＝－x 3－3x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，故a ＝0.(3分)(2) f (x )＝x 3＋3ax 2＋(3－6a )x ＋12a ＝a (3x 2－6x ＋12)＋x 3＋3x .设函数g (a )＝(3x 2－6x ＋12)a ＋x 3＋3x ，因为3x 2－6x ＋12＝3(x －1)2＋9＞0，所以函数g (a )在[－1，1]上单调递增．令h (x )＝g (a )max ＝g (1)＝x 3＋3x 2－3x ＋12，(5分)由h ′(x )＝3x 2＋6x －3＝3[x ＋(1＋2)][x －(2－1)]，令h ′(x )＝0得x ＝2－1. 当x ∈(－1，2－1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )为减函数；当x ∈(2－1，1)时，h ′(x )＞0，函数g (x )为增函数．(7分)而h (1)＝13，h (－1)＝17，所以h (x )max ＝17，则m ＞17.(8分)(3) 因为f (x )在x ＝x 0∈(0，3)处取得极小值 (*)，则令f ′(x )＝3[x 2＋2ax ＋(1－2a )]＝0，令s (x )＝x 2＋2ax ＋(1－2a ) ①.则方程①有两个不相等的实根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，所以Δ＝4a 2－4(1－2a )＞0，解得a ＞－1＋2或a ＜－1－2 ②.(9分)设s (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，则f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)．当x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，所以f (x )的极小值在较大根x 2处取得，令x 2＝x 0∈(0，3)．(10分)(解法1)1° 当x 1＜0，x 0∈(0，3)时，因为x 1＜0＜x 0＜3，则s (0)＝x 1x 0＝1－2a ＜0，s (3)＝(3－x 1)(3－x 0)＝10＋4a ＞0，解得a ＞12.(11分) 反之，当a ＞12时，Δ＝4a 2－4(1－2a )＞0，方程①有两个实根x 1，x 0；且满足s (0)＝1－2a ＜0，s (3)＝10＋4a ＞0，则方程在区间(0，3)上必有一根x 0；又s (0)＝x 1x 0＝1－2a ＜0，而x 0＞0，所以x 1＜0.所以满足条件(*)．此时a ＞12③.(12分)2° 当x 1，x 0∈(0，3)时，s (x )的对称轴为x ＝－a ＝x 0＋x 12∈(0，3) ④， s (x )在(0，－a )上为减函数，在(－a ，3)上为增函数．因为0＜x 1＜－a ＜x 0＜3，所以s (0)＝1－2a ＞s (x 1)＝0，s (3)＝10＋4a ＞s (x 0)＝0.结合②④，解得－52＜a ＜－1－ 2.(13分) 反之，当－52＜a ＜－1－2时，Δ＞0，方程①必有两不相等的根x 1，x 0. 又1＋2＜－a ＜52，所以对称轴x ＝－a ∈(0，3)，而函数s (x )min ＝s (－a )＜0，因为s (x )在(0，－a )上为减函数，且s (0)＝1－2a ＞0，则s (x )在(0，－a )上必有一根x 1； s (x )在(－a ，3)上为增函数，且s (3)＝10＋4a ＞0，则s (x )在(－a ，3)上必有一根x 0，显然x 1＜x 0.所以满足条件(*)．此时－52＜a ＜－1－2 ⑤.(14分) 3° 当方程有一根分别为0时，此时s (x )的两根分别为－1，0，不合题意．(15分)综上，由③⑤得－52＜a ＜－1－2或a ＞12.(16分) (解法2)此时方程s (x )＝0有两个实根x 1，x 0，x 1＜x 0，则x 1＝－a －a 2＋2a －1＜x 0＝－a ＋a 2＋2a －1，(12分)则0＜－a ＋a 2＋2a －1＜3，即a ＜a 2＋2a －1＜3＋a ⑥.1° 当a ＞－1＋2时，⑥平方得a 2＜a 2＋2a －1＜(3＋a )2，解得a ＞12.(13分) 2° 当a ＜－1－2时，a ＜a 2＋2a －1恒成立．由a 2＋2a －1＜3＋a ，平方解得－52＜a ＜－1－ 2.(15分) 综上，由1°，2°可得a ＞12或－52＜a ＜－1－ 2.(16分) 20. (1) 解：因为h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －mx 2在(0，＋∞)上为增函数，则h ′(x )＝e x－2mx ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m ≤e xx 恒成立．(2分) 设函数k (x )＝e xx ，x ∈(0，＋∞)，则k ′(x )＝e x （x －1）x 2＝0，得x ＝1.所以k (x )min ＝k (1)＝e ，所以m ≤e 2.(4分) (2) 解：设切点为(x 0，e x 0)．因为f ′(x )＝e x ，所以e x 0＝k ，e x 0＝kx 0＋1，(6分) 所以e x 0(x 0－1)＋1＝0.令l (x )＝e x (x －1)＋1，l ′(x )＝e x ·x ＝0，得x ＝0.所以l (x )min ＝l (0)＝0，所以x 0＝0，所以k ＝1.(8分)(3) 证明：因为f (x )＝e x 在(－∞，＋∞)上单调递增，且x 2－x 1＞0，e x 2－e x 1＞0，(9分)所以f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1⇔e x 1＋e x 22＞e x 2－e x 1x 2－x 1⇔x 2－x 12＞e x 2－e x 1e x 2＋e x 1⇔12(x 2－x 1)＞e x 2－x 1－1e x 2－x 1＋1⇔12(x 2－x 1)＞1－2e x 2－x 1＋1(*)．(12分) 令x 2－x 1＝t ＞0，F (t )＝t 2＋2e t ＋1－1，F ′(t )＝12－2e t（e t ＋1）2＝（e t －1）22（e t ＋1）2.(14分) 因为t ＞0，所以F ′(t )＞0，所以F (t )在(0，＋∞)上单调递增，所以F (t )＞F (0)＝0，(*)式成立，则f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(16分)2018秋高三期中考试试卷(一)(镇江)数学附加题参考答案及评分标准21. 解：y ′＝1x 2－2x (x 2－2x )′＝2x －2x 2－2x，(4分) 则切线在x ＝3处的斜率k ＝2×3－232－2×3＝43.(6分) 当x ＝3时，y ＝ln 3，(8分)则切线方程为y －ln 3＝43(x －3)，即4x －3y －12＋3ln 3＝0.(10分) 22. 证明：① 当n ＝4时，24＝16＞42＋3×4＋22＝15，则结论成立．(2分) ② 假设当n ＝k (k ≥4)时，满足2k＞k 2＋3k ＋22，(4分) 则当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k＞2×k 2＋3k ＋22＝2k 2＋6k ＋42.(6分) 因为k ≥4，则2k 2＋6k ＋42－（k ＋1）2＋3（k ＋1）＋22＝k 2＋k －22＞0，所以2k 2＋6k ＋42＞（k ＋1）2＋3（k ＋1）＋22.(8分) 即当n ＝k ＋1时，有2n＞n 2＋3n ＋22成立．(9分) 综合①②，当n ≥4，n ∈N 时，有2n＞n 2＋3n ＋22.(10分) 23. 解：(1) 记f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 019x 2 019.令x ＝－1，得f (－1)＝a 0＋a 1(－1)＋a 2(－1)2＋…＋a 2 019(－1)2 019＝－1，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 018－a 2 019＝－1 ①.(2分)令x ＝1，得f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 019＝22 018＋32 019，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 019＝22 018＋32 019 ②.(4分)由①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 018)＝－1＋22 018＋32 019，则a 0＋a 2＋…＋a 2 018＝12(22 018＋32 019－1)．(6分) (2) 根据题意得C 1m ＋2C 1n ＝11，则m ＋2n ＝11，(7分)则x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m （m －1）2＋2n (n －1)(8分) ＝m 2－m 2＋(11－m )(11－m 2－1)＝(m －214)2＋35116.(9分) 因为m ∈N *，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3.(10分)24. 解：(1) 设该同学参加了语文、数学、英语兴趣小组的事件分别为A ，B ，C ，对应的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，P (C )＝z .(1分)因为该同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，则P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＝x (1－y )(1－z )＝0.08 ①；(2分)因为该同学只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝xy(1－z)＝0.12②；(3分)因为该同学至少参加一个兴趣小组的概率是0.88，则P(A＋B＋C)＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－(1－x)(1－y)(1－z)＝0.88③.(4分)由①②③，解得x＝0.4，y＝0.6，z＝0.5.答：该同学参加数学兴趣小组的概率为0.6.(5分)(2) 依题意知ξ的所有可能取值为－3，0，3，6，(6分)P(ξ＝－3)＝(1－x)(1－y)(1－z)＝0.12，P(ξ＝0)＝x(1－y)(1－z)＋(1－x)y(1－z)＋(1－x)(1－y)z＝0.38，P(ξ＝3)＝xy(1－z)＋x(1－y)z＋(1－x)yz＝0.38，P(ξ＝6)＝xyz＝0.12.(8分)ξ的分布列为(9分)数学期望E(ξ)＝－3×0.12＋0×0.38＋3×0.38＋6×0.12＝1.5.(10分)。

江苏省镇江市2018-2019学年高一上学期期末数学试卷(解析版)

江苏省镇江市2018-2019学年高一上学期期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.与角终边相同的最小正角是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，即与角终边相同的最小正角是，故选：D．根据终边相同角的定义转化为形式即可．本题主要考查终边相同角的化简，根据条件转化为形式是解决本题的关键．2.函数的零点是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：解方程，解得：，故函数的零点是，故选：A．由函数零点与方程的根的关系，解方程，即可得解．本题考查了函数零点与方程的根的关系，属简单题．3.要得到函数的图象，只要将函数的图象A. 向左平移单位B. 向右平移单位C. 向右平移单位D. 向左平移单位【答案】D【解析】解：由于函数，故只要将函数的图象相左平移个单位，即可得到函数的图象，故选：D．由于函数，故只要将函数的图象相左平移个单位即可实现目标．本题主要考查函数的图象变换，属于中档题．4.已知角A，B是中的两个内角，则“”是“”的条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 既不充分又不必要D. 充要【答案】D【解析】解：在三角形中，，，则由得，即“”是“”的充要条件，故选：D．根据余弦函数在上的单调性，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合余弦函数的单调性是解决本题的关键．5.已知函数的零点，则整数k的值为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】解：函数为增函数，，，，即函数在内存在一个零点，零点，，故选：C．根据函数零点存在定理，求出零点存在的区间即可．本题主要考查函数零点判定定理，结合零点存在定理得到是解决本题的关键．6.一个单摆如图所示，以OA为始边，OB为终边的角与时间的函数满足：，则单摆完成5次完整摆动所花的时间为A. 5B. 10C.D.【答案】D【解析】解：，即完成一次完整的摆动需时，单摆完成5次完整摆动需要时间．故选：D．求出周期，可得完成一次完整的摆动需时，即可求出单摆完成5次完整摆动时间．本题考查三角函数的周期性，考查学生的计算能力，是基础题．7.已知，若角的终边经过点，则的值为A. B. C. 4 D.【答案】A【解析】解：已知，若角的终边经过点，，的值．，则，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得的值，可得的值，再利用分段函数求得本题主要考查任意角的三角函数的定义，分段函数的应用，属于基础题．8.已知函数，，则方程解的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由已知有：，其图象关于点对称，其图象关于点对称，方程解的个数等价于与的图象的交点个数，由图可知，与的图象的交点个数为3，故选：C．结合函数图象的变换及函数图象的作法，作出与的图象，再结合方程的根与函数图象交点的相互转化，观察函数图象交点个数即可本题考查了函数图象的变换及函数图象的作法，方程的根与函数图象交点的相互转化，属中档题二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）9.已知圆心角为的扇形，其半径为3，则该扇形的面积为______．【答案】【解析】解：圆心角为，则弧长则扇形的面积，故答案为：先求出扇形的弧长，结合扇形的面积公式进行计算即可．本题主要考查扇形的面积的计算，结合扇形的弧长公式和面积公式是解决本题的关键．10.若点，均在幂函数的图象上，则实数______．【答案】9【解析】解：点，均在幂函数的图象上，，解得，，．实数．故答案为：9．由点，均在幂函数的图象上，求出，由此能求出实数．本题考查函数值的求法，考查幂函数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.已知，则______．【答案】3【解析】解：故答案为：3只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求出即可．本题考查了齐次式的化简，利用条件和结论间的关系直接求解比较简单，属于基础题．12.计算：______．【答案】【解析】解：，故答案为：．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．13.已知函数，若对任意都有恒成立，则实数k的取值范围为______．【答案】【解析】解：，，，当时，，对任意都有恒成立，，即当时，，对任意都有恒成立，，即，当时，恒成立，综上所述实数k的取值范围为，故答案为：根正弦函数的性质当，可得，再根据k的值，分类讨论，求出函数的值域，根据最小值大于0即可求出k的范围．本题主要考查了函数的值域和函数恒成立的问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题．14.求值：______．【答案】4【解析】解：，故答案为：4先通分，然后利用辅助角公式结合两角和差的余弦公式进行化简即可．本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用辅助角公式结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键．15.已知，，则______．【答案】【解析】解：已知，，，，，故，，故答案为：．利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值，再利用二倍角公式求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．16.某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶考虑到高速公路行车安全，要求时，每小时的油耗所需要的汽油量为，其中k为常数若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为______．【答案】【解析】解：设每小时的油耗所需要的汽油量为y，由题意可得，当时，，，解得，每小时的油耗不超过9L，，即，解得，又，可得，每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为，故答案为：将代入每小时的油耗，解方程可得，由题意可得，解不等式可得x的范围；本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集，集合，．当时，求集合；若，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，由于，即，所以由于，即，所以所以；因为，所以，由于，则，所以，所以实数a的取值范围为．【解析】解不等式简化集合A、B，然后直接利用交集的定义可得；由，得，得不等式，得实数a的取值范围．本题考查的知识点是交集运算、集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题．18.已知A，B均为锐角，，．求的值；求的值．【答案】解：，B均为锐角，，，．由题意，，，．【解析】由题意直接利用二倍角公式求得的值．利用三角函数的基本关系求得的值，可得的值，再根据利用两角差的正弦公式求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角差的正弦公式的应用，属于基础题．19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：求函数的解析式，并补全表中其它的数据；在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；写出函数的单调减区间．【答案】解：根据用“五点法”画函数的步骤方法，由所给的表格可得，，且，，，，可得表格应为：根据五点法作图，作出函数的一个周期内的图象，如图：根据函数的图象以及周期性可得它的减区间为，．【解析】根据五点法作图，正弦函数的图象，先求得函数的解析式，可得表格．利用五点法作图，结合题意，作出函数的一个周期内的图象．由图象根据周期性写出它的减区间．本题主要考查五点法作图，正弦函数的图象，正弦函数的性质，属于中档题．20.已知函数．若的定义域为是自然对数的底数，求函数的最大值和最小值；求函数的零点个数．【答案】解：的定义域是，则设，则在递减，在递增，故，，则；函数，，，故是偶函数，当时，在连续不断，且单调递增，又，，则函数在上存在唯一的零点，由于函数是偶函数，则函数在上也存在唯一的零点，综上，函数在定义域内零点的个数是2个．【解析】设，结合二次函数的性质求出函数的最值即可；求出函数的奇偶性，结合函数的单调性求出函数在上存在唯一的零点，从而求出函数的零点个数即可．本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查对数函数以及二次函数的性质，是一道综合题．21.开发商现有四栋楼A，B，C，楼D位于楼BC间，到楼A，B，C的距离分别为1200m，600m，400m，且从楼D看楼A，B的视角为如图所示，不计楼大小和高度．试求从楼A看楼B，C视角大小；开发商为谋求更大开发区域，拟再建三栋楼M，P，N，形成以楼AMPN为顶点的矩形开发区域规划要求楼B，C分别位于楼MP和楼PN间，如图所示，记，当等于多少时，矩形开发区域面积最大？【答案】解：因为楼D到楼B、C的距离分别为600m和400m，到楼A的距离为1200m，所以百米，百米，百米，因为从楼D看楼A、B的视角为，则，则，，所以，又，即，所以，则从楼A看楼B，C视角的大小为；在和中，，，则在中，，在中，，记矩形开发区AMPN的面积为，则；又；当时，即时，矩形开发区域AMPN的面积最大．【解析】利用直角三角形的边角关系和两角和的正切公式求得从楼A看楼B，C视角的大小值；利用直角三角形的边角关系和矩形的面积公式，写出矩形开发区AMPN的面积，再利用三角恒等变换和矩形三角函数的性质求出的最大值以及取最大值时的值．本题考查了解三角形的模型应用问题，也考查了三角函数的性质与应用问题，是中档题．22.已知函数．解不等式：；求函数的奇偶性，并求函数在上的单调性；若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：函数，即，即解得，解得，故不等式的解集为．函数的定义域为R，，为偶函数，函数在上单调递增．证明如下：在上任取，，令，，，，，函数在上单调递增．对任意，不等式恒成立，即，从而有恒成立，，则等价于恒成立，令，则，由于为偶函数，由可知在上单调递增，则函数在上单调递减，，，，则原不等式等价于，，即在上恒成立，设，则在上为增函数，，【解析】根据指数函数的性质，原不等式可转化为，解得即可，根据偶函数的定义和函数单调性的定义即可证，对任意，不等式恒成立，令，等价于在上恒成立，根据函数的单调性求出即可．本题考查了指数函数不等式的解法，函数的奇偶性单调性和函数恒成立问题，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于难题。

江苏省徐州市2018-2019高一上学期期中考试数学试卷(扫描版)

2018～2019学年度第一学期期中考试高一数学试题参考答案与评分标准二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,计20分）13.(0,1﹞ 14. 3()f x x = 15. 60 16 . ①②③ 三、解答题：本大题共6小题共计70分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）解：（1）原式1132322564119274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132322325411332--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦531834=--+ 9512=（或写成11712）． ………………………………………………5分（2）原式2log 311lg522lg2(lg2lg5)2-=++⋅++11(lg5lg2)322=+++⨯ 13122=++ 3=． ……………………………………………10分18．（本小题满分12分）解：（1）{}|16A x x =-≤≤，当3m =时，{}|48B x x =≤≤， …………………………………………2分{}|46A B x x =≤≤． ……………………………………………5分（2）当B =∅时，131m m +>-，所以1m <满足题意；………………………………7分当B =∅时，由题意13111316m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤≥≤，解得713m ≤≤．………………………………… 10分综上知：实数m 的取集合7|3C m m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤． ………………………………… 12分19．（本小题满分12分）解（1）当0x <时，0x ->，则22()()4()242f x x x x x -=--+--=---， ∵()f x 为奇函数，∴2()()42f x f x x x -=-=---， ∴2()42f x x x =++，∴当0x <时，函数()f x 的解析式为2()42f x x x =++．…………………………………4分（2）7…………………………………………8分由图得()g x 单调增区间为(2,6)-，单调减区间(4,2)--，……………………………… 10分值域为[2,2]-． ……………………………… 12分 20．（本小题满分12分）解：（1）()f x 是奇函数， …………………………………… 1分证明如下：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，21()21x x f x -=+，∴211221()()211221x x x xx x f x f x ------===-=-+++，所以()f x 为奇函数． …………………………………… 4分（2）()f x 在(,)-∞+∞上为增函数． …………………………………… 5分证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则12211212222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++， ∵1x ，2(,)x ∈-∞+∞，且12x x <， ∴12220x x -<，1210x +>，2210x +>， ∴12()()0f x f x -<即12()()f x f x <，∴()f x 在(,)-∞+∞上为增函数， …………………………………… 8分 ∵()f x 在(,)-∞+∞上为增函数且2(3)(22)f x x f x +<+，∴2322x x x +<+， …………………………………… 10分 ∴21x -<<，即2(3)(22)f x x f x +<+的解集为{}|21x x -<<．…………………………………… 12分21．（本小题满分12分）解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为f （x ）万元，B 产品的利润为g （x ）万元，由题意知f （x ）=k 1x ，， …………………………………… 2分由图可知f （2）=1，，g （4）=4，k 2=2从而……………………………………3分…………………………………… 4分（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入（10﹣x ）万元，设企业利润为y 万元．… 5分则， ………………………… 7分（无定义域扣1分）令，则，……………………………… 9分当t=2时，y max =7，此时x=10﹣4=6（万元） ………………………………11分所以当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，企业获得最大利润为7万元……… 12分22．（本小题满分12分）解：（1）1m =时，函数2()24f x x x =--在(2,1)-上是减函数，在(1,2)上是增函数，…………………………………………… 2分所以当2x =-时，()f x 有最大值，且max ()(2)4f x f =-=， …………………………… 3分当1x =时，()f x 有最小值，且min ()(1)5f x f ==-． …………………………… 4分（2）不等式()1f x >-，即2(13)30mx m x +-->，当0m =时，解得3x >， …………………………………… 5分当0m ≠时，(3)(1)0x mx -+=的两根为3和1m-，当0m >时，13m-<，不等式的解集为：1{|x x m <-或3}x >，………………………… 6分当0m <时，13133m m +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以当13m <-时，13m -<，不等式的解集为：1|3x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， ……………………7分当13m =-时，不等式的解集为：∅， …………………………… 8分当103m -<<时，13m <-，不等式的解集为：1|3x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，综上所述：当0m >时，13m-<，不等式的解集为：1{|x x m <-或3}x >；当0m =时，不等式的解集为：{}|3x x >；当103m -<<时，13m <-，不等式的解集为：1|3x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭；当13m =-时，不等式的解集为：∅；当13m <-时，不等式的解集为：1|3x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．…………………………………… 9分(五种情况各一分，最后不进行总结不扣分)（3）0m <时2()(13)4f x mx m x =+--，m ∈R 为开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为13311222m x m m-=-=->， ………………………… 10分若存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0f x >，则2(13)160m m -+>，………………………… 11分即291010m m ++>，解得1m <-或109m -<<，综上所述：m 的取值范围是1(,1),09⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭． …………………………12分。

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2018-2019学年江苏省镇江市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分）1. 已知，3，，则A. B. 4， C. 2，3，4， D. 3，4，【答案】D【解析】解：，3，，3，4，，故选：D．由已知直接利用并集运算得答案．本题考查并集及其运算，是基础题．2. 下列各组选项中，表示相同函数的是A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】C【解析】解：，，解析式不同，两函数不相同；B.的定义域为R，的定义域为，定义域不同，两函数不相同；C.，的定义域都是R，且解析式相同，两函数相同；D.的定义域为，的定义域为，或，定义域不同，两函数不相同．故选：C．通过化简得出选项A的两函数解析式不同，从而两函数不相同，而通过求定义域得出选项B，D的两函数不相同，从而选C．考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看这两函数的定义域和解析式是否都相同．3. 若函数的定义域为R，则“”是“函数为偶函数”的条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】解：的定义域为R，推不出函数为偶函数，而函数为偶函数，是函数为偶函数的必要不充分条件．故选：B．由偶函数的定义可作出判断．本题考查了充要条件的判定方法、三角函数的奇偶性，考查了推理能力，属于基础题．4. 若a，b，，，则下列不等式成立的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：对于B：或，关系式没有意义故错误．对于C：当时，不等式不成立．对于D：当时，不等式不成立．对于选项A：由于，且，则：，故正确．故选：A．直接利用不等式的性质求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5. 不等式的解集为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：不等式化为，解得或，不等式的解集为．故选：D．不等式化为，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．6. 函数，且恒过定点，其定点坐标是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：令，解得：，此时故函数恒过定点，故选：D．根据，求出对应的x，y的值即可．本题考查了指数幂的性质，考查函数恒过定点问题，是一道基础题．7. 函数的定义域为，则值域为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，，值域为．故选：A．利用配方法求函数的值域．本题考查了二次函数值域，利用配方法求函数的值域，本题难度不大，属于基础题．8. 已知函数，对于定义域中任意，，给出如下结论：；；当时，；当时，其中结论正确的序号是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数，对于定义域中任意，，对于，；；所以不成立．，；所以；所以正确．函数，是增函数，所以当时，；正确；当时，，，所以其中结论正确的序号是．故选：C．利用指数函数的性质判断的正误；指数函数的单调性判断的正误；利用指数的运算法则以及不等式判断的正误．本题考查命题的真假的判断指数函数的单调性以及指数的运算法则的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 用区间表示函数的定义域______．【答案】．【解析】解：要使函数有意义需须，解得且．故答案为：．令被开方数大于等于0且分母不为0，求出x的范围，即为定义域．本题主要考查函数的定义域及其求法求函数的定义域遇到开偶次方根时，要保证被开方数大于等于定义域的形式一定是集合或区间．10. 已知函数，那么______．【答案】【解析】解：函数，，．故答案为：．推导出，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11. 求值：______．【答案】【解析】解：原式，故答案为：．根据对数的运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12. 函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】解：对于任意，不等式恒成立，可得，解得．的取值范围是；故答案为：由已知可得，求解不等式组得答案．本题考查函数恒成立问题，考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是基本知识的考查．13. 列举法表示方程的解集为______．【答案】【解析】解：根据题意，方程变形可得，有2个解：，，则其解集为；故答案为：．根据题意，求出方程的解，用集合表示即可得答案．本题考查集合的表示方法，关键是求出方程的解，属于基础题．14. 函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据题意，函数，其导数，若其在区间上是增函数，则在上恒成立，且不恒成立，必有，解可得：，即a的取值范围为；故答案为：．根据题意，求出函数的导数，由导数与函数单调性的关系分析可得在上恒成立，且不恒成立，分析可得a的取值范围，即可得答案．本题考查利用导数分析函数的单调性，注意正确计算函数的导数．15. 如图所示，有一批材料可以建成长为30m的围墙，如果用该材料在墙角的地方围成一个矩形场地，中间用同样的材料隔成3个面积相等的矩形，则围成的矩形场地面积的最大值是______．【答案】75【解析】解：设每个小矩形长为x，宽为y，则，即，时，，故答案为：75设每个小矩形长为x，宽为y，则依题意可知，代入矩形的面积公式，根据二次函数的单调性求得围城矩形面积的最大值．本题考查函数的最值在实际生产生活中的应用，将实际问题转化为函数模型是解答本题的关键，属基础题．16. 已知常数k，，，函数为偶函数，且则______．【答案】1【解析】解：为偶函数，，又，，．故答案为：1．根据偶函数的定义，求出k的值，进而求出，得．本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义求出k值，是解决该类问题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知全集，集合，；已知集合，且，求实数a的取值范围．【答案】解：全集，集合，，，；集合，又，，解得，实数a的取值范围是．【解析】根据补集与交集的定义，计算即可；根据集合间的包含关系，列不等式组求出a的取值范围．本题考查了集合间的基本运算问题，是基础题．18. ；【答案】解：．．【解析】利用指数性质、运算法则直接求解．利用对数性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19. 已知，当时，在所绘出的坐标系内作函数的图象，并写出函数的增区间；解关于x的不等式．【答案】解：时，，其图象如图所示，结合图象可知，函数的增区间，，由可得，当时，，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为．【解析】把代入，结合二次函数的图象即可作出图象，然后结合图象可求函数的单调递增区间；由可得，，结合二次不等式的求解进行分类讨论即可．本题主要考查了函数图象的变换及根据函数的图象求解函数的单调区间，二次不等式的求解，要注意分类讨论及数形结合思想的应用．20. 某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间th之间的关系为其中表示初始废气中污染物数量，e是自然对数底数经过5个小时后，经测试，消除了的污染物．问：15小时后还剩百分之几的污染物？污染物减少需要花多长时间．【答案】解：由题意得，，则，故当时，．故15个小时后还剩的污染物；由题意，，即，即，，即，故污染物减少需要花10小时．【解析】由题意得，从而可得，代入即可；由题意得，利用从而解得t．本题考查了函数在实际问题中应用，同时考查了运算能力，属于中档题．21. 已知函数．若，，请比较与的大小，并证明；若的定义域为，求函数的最大值．【答案】解：，由的导数为，，可得在为凸函数，即有；令，可得t在递增，可得，，可令，当时，在递减，可得最大值为；当时，在递增，可得最大值为；当时，在递减，递增，可得最大值为和中较大的，由时，可得的最大值为；时，可得的最大值为．【解析】运用导数判断的单调性和凹凸性，即可得到结论；运用换元法和二次函数的最值求法，可得所求最大值．本题考查函数的最值求法，注意分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．22. 已知a，，且，函数是奇函数．求a，b的值；如果函数的定义域为，求函数的值域；对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：因为是奇函数，所以，即恒成立，，解得；由知在上递减，所以，即，所以函数的值域为；不等式对任意恒成立，令，则对恒成立，在时，递减，所以，．【解析】利用恒成立可得；分离常数后，判断单调性，利用单调性求值域；换元令，构造函数用基本不等式求最值．本题考查了函数奇偶性、单调性、不等式恒成立属中档题．。