恒成立问题
恒成立问题
恒成立问题恒成立问题是历年高考卷中必考的一个重要考点，常见有两种类型：○1存在性恒成立；○2任意性恒成立。
恒成立问题处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解。
存在性恒成立：存在实数x ，使不等式成立，求a 的取值范围？有时候也称为有解问题： ○1 a>f(x)成立，则a> [f(x)]min 。
；○2方程a=f(x)成立，则a ∈f(x)的值域； ○3 a<f(x) 成立，则a<［f(x)］max,。
注意[f(x)]的最值能否取到，决定a 有无等号。
任意性恒成立：任意实数x ，不等式恒成立。
○1方程a=f(x)成立，则a ∈f(x)的值域；○2a>f(x)成立，则a>［f(x)］max,；○3 a<f(x) 成立，则a<[f(x)]min ；注意[f(x)]的最值能否取到，决定a 有无等号。
基础训练：1．若方程1cos sin 322cos +=-k x x x 有解，则k 的取值范围2．函数862++-=k x kx y 的定义域为R ，则k 的取值范围是____________3.已知函数b ax x x f ++=2)(.若对任意的实数x ，都有a x x f +≥2)(，则b 的取值范围______4.已知25()2x f x x -=，2(32sin )32f m m θ+<+-对一切R θ∈恒成立， 则实数m 的取值范围为典型例题： 若不等式2222tt a t t +≤≤+，在上恒成立，则a 的取值范围____________]2,0(∈t设0a >，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为 .12. 设()f x 是定义在(]2-∞，上的减函数，且22(sin 1)(cos )f a x f a x --+≤对一切x ∈R 都 成立，则a 的取值范围是 .检测与反馈：1．设πβππα2,0<<<<，关于x 的等式++)cos(αx 0cos 2)sin(=++x x β，若对任意的R x ∈恒成立，则_____________,==βα2.设函数（x ∈R ），若对于任意[]1,1x ∈-，都有()f x ≥0 成立，则 实数a =___ ___3.若不等式0lg ])1[(<--a a n a 对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是4．已知R x x f x ∈=,2)(，可以表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，若不等式ag(x)+h(2x)≥0对x ∈[1,2]恒成立，则实数a 的取值范围是____________5．已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（1）若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，()331f x ax x =-+求实数a 的取值范围；（2）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。
第10讲 恒成立能成立3种常见题型(解析版)
第10讲恒成立能成立3种常见题型【考点分析】考点一：恒成立问题若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，则不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>；不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥；不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<；不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤；考点二：存在性问题若函数()f x 在区间Ｄ上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，即()[],f x m n ∈，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<；不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤；不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>；不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥；考点三：双变量问题①对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤；②对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥；③若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤；④若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥；⑤对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤；⑥对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥；⑦若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤⑧若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥．【题型目录】题型一：利用导数研究恒成立问题题型二：利用导数研究存在性问题题型三：利用导数处理恒成立与有解问题【典型例题】题型一：利用导数研究恒成立问题【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）对任意正实数x ，不等式ln 1x x a -+>恒成立，则a 的取值范围是（）A ．1a <B ．2a <C ．1a >D ．2a >【答案】B【详解】令()ln 1f x x x =-+，其中0x >，则()min a f x <，()111x f x x x-'=-=，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，所以，()()min 12f x f ==，2a ∴<.故选：B.【例2】【2022年全国甲卷】已知函数()a x x xe xf x-+-=ln ．(1)若≥0，求a 的取值范围；【答案】(1)(−∞,+1]【解析】(1)op 的定义域为(0,+∞)，'(p =(1−12)e −1+1=1(1−1)e +(1−1)=K1(e+1)令op =0,得=1当∈(0,1),'(p <0,op 单调递减，当∈(1,+∞),'(p >0,op 单调递增o )≥o1)=e +1−，若op ≥0,则e +1−≥0,即≤e +1，所以的取值范围为(−∞,+1]【例3】已知函数211()(1)ln (,0)22f x x a x a a =-+-∈≠R ．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）0a ≤.【解析】【分析】（1）求()'f x ，分别讨论a 不同范围下()'f x 的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合()10f =，分别求出a 的范围再求并集即可.【详解】解：（1）由已知定义域为()0,∞+，()211'()x a a f x x x x-++=-=当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增；当10a +>，即1a >-时，x =或x =，所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.所以1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；1a >-时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.（2）由（1）可知，当1a ≤-时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，只需(1)0f ≥，而(1)0f =恒成立，所以1a ≤-成立；当1a >-1≤，即10a -<≤，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又(1)0f =，所以10a -<≤成立；若0a >，则()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以(0x ∃∈，()0()10f x f <=，不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.所以综上所述：0a ≤.【例4】已知函数()ln f x x ax =-（a 是正常数）.（1）当2a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）若0x ∀>，()0f x <，求a 的取值范围；【答案】（1）()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x 的极大值是ln 21--，无极小值；（2）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；（2）依题意可得maxln x a x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，设()ln x g x x =，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；【详解】解：（1）当2a =时，()ln 2f x x x =-，定义域为()0,∞+，()1122x f x x x-'=-=，令()0f x '>，解得102x <<，令()0f x '<，解得12x >，所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的极大值是1ln 212f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，无极小值.（2）因为0x ∀>，()0f x <，即ln 0x ax -<恒成立，即maxln x a x ⎛⎫< ⎪⎝⎭.设()ln x g x x =，可得()21ln xg x x -'=，当0x e <<时()0g x '>，当x e >时()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，所以()()max 1e e g x g ==，所以1a e >，即1,a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.【例5】已知函数()xf x xe=（1）求()f x 的极值点；（2）若()2f x ax ≥对任意0x >恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1x =-是()f x 的极小值点，无极大值点；（2）a e ≤.【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的极值点.（2）由题设知：xe a x≤在0x >上恒成立，构造()x e g x x =并应用导数研究单调性求最小值，即可求a 的范围．【详解】（1）由题设，()(1)xf x e x '=+，∴1x <-时，()0<'x f ，()f x 单调递减；1x >-时，()0>'x f ，()f x 单调递增减；∴1x =-是()f x 的极小值点，无极大值点.（2）由题设，()2xx f x xe a =≥对0x ∀>恒成立，即x ea x≤在0x >上恒成立，令()xe g x x =，则2(1)()xe x g x x'-=，∴01x <<时，()0g x '<，()g x 递减；1x >时，()0g x '>，()g x 递增；∴()(1)e g x g ≥=，故a e ≤.【题型专练】1.（2022·四川广安·模拟预测（文））不等式ln 0x kx -≤恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．[)0,eB ．(],e -∞C ．10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】由题可得ln xk x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，然后求函数()()ln 0x f x x x=>的最大值即得.【详解】由题可得ln xk x≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()()ln 0x f x x x =>，则()()21ln 0xf x x x-'=>，当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞；所以()()max 1e ef x f ==，所以1ek ≥.故选：D.2.（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数()ln 2f x x x ax =++．(1)当0a =时，求()f x 的极值；(2)若对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)极小值是11+2e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值.(2)222,e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由题设可得()ln 1f x x '=+，根据()f x '的符号研究()f x 的单调性，进而确定极值.（2）()ln 20f x x x ax =++≤对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，转化为：2ln 2ln x x a x x x+-≥=+对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令()2ln g x x x=+，通过求导求()g x 的单调性进而求得()g x 的最大值，即可求出实数a 的取值范围.(1)当0a =时，()ln 2f x x x =+，()f x 的定义域为()0+∞，，()ln 1=0f x x '=+，则1ex =.令()0f x '>，则1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，令()0f x '<，则10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1e x =时，()f x 取得极小值且为1111ln 2+2e e ee f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，无极大值.(2)()ln 20f x x x ax =++≤对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，则2ln 2ln x x a x x x+-≥=+对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令()2ln g x x x=+，()222120x g x x x x -+'=-+==，所以2x =，则()g x 在[)1,2上单调递减，在(22,e ⎤⎦上单调递增，所以()12g =，()222e 2e g =+，所以()()22max 2e 2e g x g ==+，则222e a -≥+，则222ea ≤--.实数a 的取值范围为：222,e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭.3.（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数()ln f x x x =，()()23g x x ax a R =-+-∈.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若对任意()0,x ∞∈+，不等式()()12f xg x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，(2)(],4-∞【解析】【分析】（1）求函数()f x 的单调递增区间，即解不等式()0f x '>；（2）参变分离得32ln a x x x≤++，即求()()()32ln 0,h x x x x x =++∈+∞的最小值.(1)()ln f x x x =定义域为(0,)+∞，()ln +1f x x '=()0f x '>即ln +10x >解得1e x >，所以()f x 在1,)e∞+（单调递增(2)对任意()0,x ∞∈+，不等式()()12f xg x ≥恒成立，即()21ln 32x x x ax ≥-+-恒成立，分离参数得32ln a x x x≤++.令()()()32ln 0,h x x x x x =++∈+∞，则()()()231x x h x x +-'=．。
函数中的恒成立问题(六个类型)
3.使f(x)在[-1,1]上的最大值在[-1,1]上的最大值小于g(x)在[-1,1]上的最大值;
5.使f(x)在[-1,1]上的值域是g(x)在[-1,1]上值域的子集.
6.使f(x)在[-1,1]上的值域与g(x)在[-1,1]上值域有交集.
4.不等式 有解，则实数 的取值范围是．
5.不等式 恒成立，则实数 的取值范围是．
6.不等式 恒成立，则实数 的取值范围是．
答案1. 2. 3. 4. 5. 6.
4.若对任意x1∈[-1,1],存在x2∈[-1,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围;
5.若对任意x1∈[-1,1],存在x2∈[-1,1],使得f(x1)=g(x2),求a的取值范围.
6.若存在x1.x2∈[-1,1] ,使得f(x1)=g(x2),求a的取值范围.
思路点拨:
1.使h(x)=f(x)-g(x)的最大值小于0;
结论已知 为参数, 的值域是 .
(1)若 恒成立,则 .
(2)若 恒成立,则 .
(3)若 的解集是 ,则 .
(4)若 的解集是 ,则 .
(5)若 有解,则 .
（6）若 有解,则
根据这一结论，请回答下列问题：
1.不等式 的解集是 ，则实数 的取值范围是．
2.不等式 的解集是 ，则实数 的取值范围是．
3.不等式 有解，则实数 的取值范围是．
为便于对比，特将一些常见问题以题组形式给出，仅供参考：
已知f(x)= ,g(x)=2x-a,
1.若对任意x∈[-1,1],恒有f(x)<g(x),求a的取值范围;
2.若存在x∈[-1,1],使得f(x)<g(x),求a的取值范围;
微专题：恒成立问题
4 ln x
min
4 ，所以
1 ln a
4
，最终解得
a
0,1
e
1 4
,
.
一、单变量、单参数的恒成立问题
（二）分离动直线
【例 2】：已知 x R ，不等式 2xex mx ex m 恒成立，
则实数 m 的取值范围为
.
【解析】：由题可知， x R ，不等式 2xex ex mx m 恒成立，
根据换底公式，即不等式 ln x ln2 x 4 对任意 x (1,100) 恒成立，因为 ln x 0 ， ln a
则不等式
1 ln a
ln
x
4 ln x
对任意
x
(1,100)
恒成立，即
1 ln a
ln
x
4 ln x
min
，
利用基本不等式求得
ln
x
f
(
x)
0
，
当
x
时，
f
(x)
，且
f
1 2
1
2e 2
，
所以函数 f (x) 图像如图所示，
设过定点 1, 0 的动直线与函数 y f (x) 相切于点 x0 , 2x0 1 ex0 ，
则切线方程可表示为 y 2x0 1 ex0 2x0 1 ex0 x x0 ，
上递减，
g(x)min g(1) 2a 2 ，因为 2a 2 0 ，不合题意；
恒成立问题
恒成立问题1.不等式的恒成立问题（1）一般不等式：a x f >)(恒成立⇔a x f >min )]([ a x f <)(恒成立⇔ a x f >)(解集非空⇔a x f >max )]([ a x f <)(解集非空⇔ a x f >)(无解⇔a x f ≤max )]([ a x f <)(无解⇔ a x f ≥)(恒成立⇔a x f ≥min )]([ a x f ≤)(恒成立⇔ a x f ≥)(解集非空⇔a x f ≥max )]([ a x f ≤)(解集非空⇔ a x f ≥)(无解⇔a x f <max )]([ a x f ≤)(无解⇔(2)二次不等式（设R c b a c bx ax x f ∈++=,,,)(2）(a)0)(>x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 ； (b)0)(≥x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 ; (c)0)(<x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 . （注：若二次项系数含有参数，须分“0=a ”、“0≠a ”讨论）补充说明：a x f >)(恒成立⇔a x f >)(的解集为R ⇔ a x f ≤)(无解a x f <)(恒成立⇔a x f <)(的解集为R ⇔a x f ≥)(无解恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型； ②二次函数型； ③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图象。
现在我们一起来探讨其中一些典型的问题。
一、一次函数型给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f例1、对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>a+2x 恒成立的x 的取值范围。
恒成立问题
2
y loga x
三、数形结合法
2 1 【例5】若不等式 3x loga x 0 在 x 0, 内恒成立，求实数a的取值范围。
3
1 分析与解： 由题意知 ： 3x 2 loga x 0 在 x 0, 内恒成立。 3
在同一坐标系内分别作出
1 2
例3.不等式 ＜1对一切实数x恒成立，求实数m的 取值范围。 解：由4x2+6x+3=(2x+ )2+
＞0,对一切实数x恒成立，从而，原 不等式等价于 2x2+2mx+m＜4x2+6x+3, (x∈R) 即：2x2+(6-2m)x+(3-m)＞0对一切实 数x恒成立。 则 △=（6-2m）2-8(3-m)＜0 解得：1＜m＜3 故实数m的取值范围是（1，3）。
2.不等式x2-3>ax-a对一切3≤x≤4恒成立,则实数a的取值范围
是
.
【解析】因为x2-3>ax-a对一切3≤x≤4恒成立,
x2 3 所以a< 在x∈[3,4]恒成立, x 1
令g(x)=
x2 3 而g(x)= 在x∈[3,4] x 1 2 2 2 单调递增x , 3 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1
故k的取值范围是（-∞，-2）∪（3，+∞）。
1 已知函数f x 3 sin x , 若f x 2 sin x a 2 a sin x 对任意x 0, 都成立，则实数 a的取值范围是 2
1 解 : 因为f x sin x sin x , 令g x sin x 1 sin x , 又因为x 0, , 所以g x sin x sin x 2 1 2 2, 所以只需2 a a成立，解该 sin x 不等式 - 1 a 2
恒成立问题知识点总结
恒成立问题知识点总结一、恒成立问题的概念和特点1.恒成立问题的定义恒成立问题是指在特定条件下，经过一定的时间和空间范围内，某一现象或规律不受外部条件的干扰而保持不变的问题。
即在一定范围和条件下，特定的现象或规律永久不变，这种现象或规律即为恒成立。
2.恒成立问题的特点恒成立问题具有以下几个特点：（1）客观性：恒成立问题是客观存在的，不受主观意识的影响，其规律性是客观存在的真实性；（2）普适性：恒成立问题的特性在适用的条件下一般是普遍适用的；（3）稳定性：恒成立问题在一定条件下保持不变，不受外部干扰而稳定存在。
二、恒成立问题的分类和研究领域1.恒成立问题的分类根据研究对象和范畴的不同，恒成立问题可以分为自然界的恒成立问题和社会领域的恒成立问题。
（1）自然界的恒成立问题：自然界的恒成立问题是指自然界某一现象或规律在一定条件下恒定存在不变的问题。
例如，牛顿力学的三大定律就是自然界的典型恒成立问题。
（2）社会领域的恒成立问题：社会领域的恒成立问题是指社会现象或规律在一定条件下保持不变的问题。
例如，人的基本需要和欲望是社会领域的恒成立问题。
2.恒成立问题的研究领域恒成立问题的研究领域主要包括物理学、化学、生物学、地理学、社会学、经济学、政治学等各个学科领域。
不同学科对恒成立问题的研究主要集中在各自领域的特定现象和规律上。
三、恒成立问题的典型案例和研究方法1.典型案例（1）牛顿力学的三大定律：牛顿力学的三大定律是物理学领域的典型恒成立问题，它们描述了物体在外力作用下的运动规律，对物理学和工程学具有重要的指导意义。
（2）化学反应速率恒定：在一定条件下，化学反应速率恒定的现象是化学领域的恒成立问题，对于合成反应、分解反应等化学过程具有重要的意义。
（3）社会需求恒定：在一定条件下，人类的基本需要和欲望是社会领域的恒成立问题，对社会学、经济学等领域的研究具有重要的意义。
2.研究方法恒成立问题的研究方法主要包括实验方法、观察记录法、比较研究法、统计分析法、建模模拟法等。
高考数学恒成立问题
恒成立问题1．参变分离法例1：已知函数()ln a f x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________．【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln a x x x x a x a x x x x -<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞， ∴只需要()3max ln a x x x >-．令()3ln g x x x x =-，()'21ln 3g x x x =+-，()'12g =-，()2''11660x g x x x x -=-=<， ()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减， ()()11g x g ∴<=-，1a ∴≥-．2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的图像，a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一步可得只需π4x =时，log sin 2a x x >， 即πππlog sin 21444aa >⋅=⇒>，所以π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________．【答案】e 1a ≥-【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+， ∴只需()min 0g x >即可，()10g =，()'1a a x g x x x -=-=，令()'00a x g x x a x->⇒>⇒<（分析()g x 的单调性） 当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <=(思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）当1a >时，分x a =是否在()1,e 中讨论（最小值点的选取）若1e a <<，单调性如表所示()()10e 1e 0g a g ⎧≥⎪∴⇒≥-⎨≥⎪⎩，e 1e a ∴-≤<．（1）可以比较()1g ，()e g 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在1x =，e x =处取得，所以让它们均大于0即可．（2）由于1x =，e x =并不在()1,e 中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若e a ≥，则()g x 在()1,e 上单调递增，()()10g x g ∴>=，符合题意， 综上所述：e 1a ≥-．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列的综合问题（数列与不等式）
例1.已知数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=2，且当n∈N*时，a n b n+1﹣4b n+1=4nb n．（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）设数列{c n}满足c n=（n∈N*），记数列{c n}的前n项和为T n，求使T n＞成立的正整数n的最小值．
例2.设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=2，b1=3，a3+b5=56，a5+b3=26．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）若﹣x2+3x≤对任意n∈N*恒成立，求实数x的取值范围
例3. 已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=log2，数列{}的前n项和为T n，求满足T n＜（n∈N*）的n的最大值．
例4.已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设T n为数列{}的前n项和，若T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．
练习题
1. 已知数列{a n}中，．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）求数列{n2a n}的前n项和T n；（3）若存在n∈N*，使关于n的不等式a n≤（n+1）λ成立，求常数λ的最小值．
2.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S n=﹣n﹣1．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．
3. 已知数列{a n}满足a1=1，a1+a2+a3+…+a n=a n+1﹣1（n∈N），数列{a n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．
4. 数列{a n}满足：a n+1=2a n+1，a1=1．
（Ⅰ）证明：数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*，求证：b1•b2+b2•b3+…+b n•b n+1＜1．
5. 已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1且a n+1=2S n+1（n∈N*）；
数列{b n}中，b1=3且对n∈N*，点（b n，b n+1）都在函数y=x+2的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得a1b1+a2b2+…+a n b n＞100n？若存在，求n 的最小值；若不存在，请说明理由．
6. 已知正项数列{a n}的首项a1=1，且（n+1）a+a n a n+1﹣na=0对∀n ∈N*都成立．（1）求{a n}的通项公式；
（2）记b n=a2n﹣1a2n+1，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．
7. 已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，是否存在最大的整数t，
使得对任意的n均有S n＞总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
8. 已知数列{a n}中，a1=4，a n=a n﹣1+2n﹣1+3（n≥2，n∈N*）．
（1）证明数列{a n﹣2n}是等差数列，并求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求b n的前n和S n．。