【优秀寒假作业】优秀学生寒假必做作业--2、3、2平面向量的正交分解及坐标表示练习二
2、3、2平面向量的正交分解及坐标表示
练习二
一、 选择题
1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c
等于( )
A 、21-a +23b
B 、21a 23-b
C 、23a 2
1-b D 、23-a + 21b
2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ）
A 、)10
10
,10103(-
= B 、)10
10
,10103()1010,10103(--
=或 C 、)2,6(-=e D 、)2,6()2,6(或-=e
3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ）
A 、17
B 、18
C 、19
D 、20
4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐
标原点)，那么⋅的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4
5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1
6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ）
A 、a 与b 的夹角等于α－β
B 、(a ＋b )⊥(a －b )
C 、a ∥b
D 、a ⊥b
7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i
θθsin 3cos 3+=，
i OQ
-=∈),2
,0(π
θ。
若用 来表示与的夹角，则 等于
（ ）
A 、θ
B 、
θπ
+2
C 、
θπ
-2
D 、θπ-
8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量2
1P P 长度的最大值是（ ） A 、2
B 、3
C 、23
D 、
二、填空题
9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ⋅取得最小值
的点P 的坐标是 、
10、把函数sin y x x =-的图象，按向量(),a m n =-
（m>0）平移后所得的图象关于
y 轴对称，则m 的最小正值为__________________、
11、已知向量=⊥=-=m m 则若,),,3(),2,1( 、 三、解答题
12、求点A （－3，5）关于点P （－1，2）的对称点/A 、
13、平面直角坐标系有点].4
,4[),1,(cos ),cos ,1(π
π-
∈=x x Q x P
（1）求向量和的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ； （2）求θ的最值、
14、设，)2cos ,sin 2(x x =，x ，)1cos (-=其中x ∈[0，2
π
]、 (1)求f(x)=OB OA ·的最大值和最小值；
(2)当 OA ⊥OB ，求|AB
|、
15、已知定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ，动点P 满足：
2||−→
−−→
−−→−=⋅PC k BP AP 、
（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形； （2）当2=k 时，求||−→
−−→
−+BP AP 的最大值和最小值、
答案： 一、 选择题
1、B ；
2、B ；
3、C ；
4、B ；
5、D ；
6、B ；
7、D ；
8、C 二、 填空题
9、(0，0) 10、56
m π
= 11、4 三、解答题
12、解：设/
A （ｘ，ｙ），则有31252
2
x
y -+⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩、所以/A （1，－1）。
13、解：（1）)(cos 1cos 2|
|||cos ,cos 1||||,cos 222x f x
x OQ OP x x =+=⋅=+==⋅θ （2）
x
x x
x
x f cos 1cos 2cos 1cos 2)(cos 2
+
=+=
=θ且]4,4[π
π-
∈x ，]1,2
2
[cos ∈∴x 22
3cos 1cos 2≤
+
≤x x 1cos 3
22,1)(322≤≤≤≤θ即x f ;322arccos max =θ 0min =θ
14、解：⑴f(x)=OB OA ·= -2sinxcosx+cos2x=)4
2cos(2π
+
x 、
∵0≤x ≤
2π ， ∴4π≤2x+4
π≤45π
、
∴当2x+4π=4π
，即x=0时，f(x)max =1；
当2x+4
π=π，即x=83
π时，f(x)min = -2、
⑵OB OA ⊥即f(x)=0，2x+4π=2π，∴x=8
π
、
此时||22)12(cos )cos sin 2(-++=x x x
=222)12(cos cos sin 4cos sin 4-+++x x x x x =
x x x 2cos 2sin 22cos 2
7
272++- =
4
cos 4sin 24cos 27272πππ++- =
23162
1
-、 15、解：( 1 ) 设动点P 的坐标为),(y x ，
则)1,(-=−→−y x AP ，)1,(+=−→−y x BP ，),1(y x PC -=−→
−、 ∵2||−→
−−→
−−→−=⋅PC k BP AP ，∴[]
2222)1(1y x k y x +-=-+， 即 012)1()1(22=--+-+-k kx y k x k 。
若1=k ，则方程为1=x ，表示过点)0,1(且平行于y 轴的直线、 若1≠k ，则方程为222)11()1(k y k k x -=+-+
，表示以)0,1(k
k -为圆心，以为半径 |
1|1
k -的圆、 ( 2 ) 当2=k 时，方程化为1)2(22=+-y x 、
)2,2()1,()1,(y x y x y x BP AP =++-=+−→
−−→
−
∴222||y x BP AP +=+−→
−−→
−、
又∵1)2(22=+-y x ，∴ 令θθsin ,cos 2=+=y x ，则
θcos 4522||22+=+=+−→
−−→−y x BP AP
∴当1cos =θ时，||−→
−−→
−+BP AP 的最大值为6，当1cos -=θ时，最小值为2。
2.3.2--平面向量的正交分解及坐标表示--2.3.3--平面向量的坐标运算
a 、b 、，c 并、d求出它们的坐标.
a 2i 3 j a (2,3)
b 2i 2 j b (2, 2)
c 3i 2 j c (3, 2)
第20页，共26页。
d 4i 2 j d (4, 2)
3.已知A(3,1), a (x 2, 2x y ，5)若向量
O为坐标原点，则x=________5,y=_________.-4
木块受到重力 G的作用，产生两 个效果，一是木块受平行于斜面
力 的作用，沿斜面下滑；一是
木块F1产生垂直于斜面的压力
叫做把重力 分解.
F2，G＝
F1＋F2
G
由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 ,均可 a 以分解为不共线的两个向量 1e和1 2 e，2 使 a 1e1 2 e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分 解.
a xi +y j
y
7
D
4
B
C
j
x
o iA 3 5
y
D
a
C
A
j
x
o iB
第8页，共26页。
这样，平面内的任一向量 都a可
y
D
a
C
由x、y唯一确定，我们把有序数对
（x,y）叫做向量 的a坐标，记作
a (x, y)
①
A
j
x
o iB
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示.
a , OA
4.(2012 青岛高一检测)已知 A (-1，-5)和向量 a=（2，3）， 若 AB=3a ,则点B的坐标为__（__5_，__4_）_.
高中数学第2章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算
解 (1)O→P＝tO→A＋O→B＝(3＋t,3＋2t)， ∴P 点坐标为(3＋t,3＋2t)， 若 P 在 x 轴上，则 3＋2t＝0 得 t＝－32， 若 P 在 y 轴上，则 3＋t＝0 得 t＝－3， 若 P 在第二象限，则33＋＋t2<t>0，0， 得 t 无解，
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第二十六页，共四十八页。
解 (1)O→P＝O→A＋tO→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t，2＋3t)， 所以 P 点坐标为(1＋3t,2＋3t)．
若 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，得 t＝－23； 若 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，得 t＝－13； 若 P 在第二象限，则12＋＋33tt<>00，， 得－23<t<－13.
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(2)已知A→B＝(1,3)，且点 A(－2,5)，则点 B 的坐标为( )
A．(1,8)
B．(－1,8)
C．(3，－2) D．(－3,2)
解析 因为向量坐标等于终点坐标减去起点坐标，所以 B 点坐标为(－1,8)．
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(3)(教材改编 P100T2)若 a＝(2,1)，b＝(1,0)，则 3a＋2b
第三十三页，共四十八页。
∵A→P＝A→B＋λA→C， ∴xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ， ， ∴xy＝ ＝54＋ ＋57λλ，. (1)若 P 在一、三象限角平分线上，则 5＋5λ＝4＋7λ. ∴λ＝12.
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(2)若 P 在第三象限内，则54＋ ＋57λλ<<00， ， ∴λ<－1. ∴λ＝12时，点 P 在第一、三象限角平分线上；λ<－1 时， 点 P 在第三象限内．
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
减法
两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐 标公式
一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始 点的坐标
符号表示
a+b=(x1+x2,y1+y2)
a-b=(x1-x2,y1-y2)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:确定出终点的坐标,即可确定向量������������的坐标. 解:设点 A(x,y), 则 x=|OA|cos 60°=2√3,y=|OA|sin 60°=6, 即 A(2√3,6),故������������=(2√3,6).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
变式训练1
探究三
思维辨析
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
思维脉络
1.理解平面向量的正交 分解及坐标表示的意义. 2.理解向量加法、减法、 数乘的坐标运算法则,能
熟练进行向量的坐标运
算. 3.能借助向量的坐标,用 已知向量表示其他向量.
1.平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i,j作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得 a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中 x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标. (3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示. (4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
高一下学期数学2.3.22.3.3平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3含答案
【巩固提升】 一、选择题
1 ．设 i ，j 是平面直角坐标系内分别与 x 轴， y 轴正方向相同的两个单位向量，
→→ ＝ 3i ＋ 4j ，则 2OA＋ OB的坐标是 ( )
A． (1 ，－ 2) B
． (7,6)
C
．(5,0)
D
． (11,8)
→
→
O为坐标原点， 若 OA＝4i ＋ 2j ，OB
2．已知向量 a＝ ( － 1,2) ， b＝(1,0) ，那么向量 3b－ a 的坐标是 ( )
其中正确结论的个数是 ( )
A． 1
B
．2
C
．3
D
．4
→→ 5．已知四边形 ABCD的三个顶点 A(0,2) ， B( － 1，－ 2) ， C(3,1) ，且 BC＝ 2AD，则顶点 D的坐标为 ( )
7
A. 2， 2
B.
1 2，－ 2
C ． (3,2) D
．(1,3)
→→ → 6．已知点 A(2,3) ，B(5,4) ，C(7,10) ，若第三象限的点 P满足 AP＝AB＋ λAC，则实数 λ 的取值范围是 ( )
→→ (2) 若点 P(2 ， y) 满足 PB＝ λBD( λ∈ R) ，求 λ 与 y 的值．
2.3.2-3 答案
→
→
3 33
例 1. a＝ OA＝ ( 2， 2) ， b＝ OB＝ － 2， 2 .
跟踪训练 1. (1 ，－ 1) (1,1) ( － 1,1)
例 2. （ 1） A
(2) a ＋ b＝ ( － 1,2) ＋(3 ，－ 5) ＝ (2 ，－ 3) ， a－ b＝ ( － 1,2) － (3 ，－ 5) ＝ ( － 4,7) ， 3a＝ 3( － 1,2) ＝ ( － 3,6) ， 2a＋ 3b＝ 2( －1,2) ＋ 3(3 ，－ 5) ＝ ( － 2,4) ＋ (9 ，－ 15) ＝ (7 ，－ 11) ．
平面向量的正交分解及坐标表
F1
F2
G
正交分解
在平面上，如果选取 互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研 究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系，每 一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内 的每一个向量，如何表示？
思考：
y yj a
分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底.
y yj a
j O i xi x
y
yj yj
a
j O i xi
向量a、b有什么关系? a＝b
b 能说出向量b的坐标吗?
b=( x,y )
xi x
相等的向量坐标相同
y
a
y
A (x,y)
j
Oix
x
如图，在直角坐标平面内，以原
点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； 反过来，点A的坐标（x,y)也就 是向量OA的坐标。
新课引入
F1
F2
G
G与F1G,=FF21有+F什2 么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的
任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
若两个不共线向量互相垂直时 λ2 a2 a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
j
任作一个向量a,由平面向量基本
O i xi x 定理知,有且只有一对实数x、 y,
使得
a= x i+y j
把(x,y)叫做向量a的坐标，记作
a = ( x, y )
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
-3
y
如图， i, j是分别与X轴、 Y轴方向相同的单位向量 ， 若以向量i,j为基底，则：
A
C
a
B
j o i
x
对于该平面内的任意向 量a , 有且只有一对实数 x, y, 使得：
a xi y j
a xi y j
① a （x，y）
i (1,0) j (0,1) 0 (0,0)
向量 a的分解 不是唯一的！
e2
a
e1
e4
平行四边形法则
e3
a e1 e2
a e3 e4
如图所示，
重力的分解
F1 F2
G
G F1 F2
向量的分解不是唯一的！ 把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解。
如图，向量i, j是两个互相垂直的单位 向量， 而向量a与i的夹角为30，且 a 4， 以向量i, j为基底，向量a应如何用 i, j来表示？
2.3.2
平面向量的正交分解以及坐标表示
（1）平向量基本定理
（2）基底
如果e1 , e2是同一平面内两个不共 线向量， 那么对于这一平面内的 任意向量a,
有且只有 一对实数1，2，使得：
a 1 e1 2 e2
把不共线的向量 e1 , e2 叫作这一平面内所有向 量a的一组基底！
向量的夹角与垂直:
j
O
a ( x, y)
i
x
x
j 表示向量 a 、 例1:如图，分别用基底 i ， c 、， b、 d 并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
a = AA1 + AA2 = 2i + 3j a = (2, 3)
平面向量的正交分解及坐标表示
b
a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直
的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
B
P
a 2 3坐标系中，分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
CD 2i 3 j
探究:平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系，它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点，则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
作业： P102习题2.3B组：3，4.
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定
理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝
xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
平面向量的坐标表示
y 如图，i，j是分别与x轴，y轴方向相
D a
同的单位向量，若以i，j为基底，则
C
A
对于该平面内的任一向量a,
2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
自主预习 阅读教材P94－98回答下列问题． 1．平面向量的正交分解
垂直 把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做
平面向量的正交分解．
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第二章
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算
第二章
平面向量
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
课前自主预习
如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是 正交分解的是( )
→ → → A.AB＝OB－OA → → → C.AD＝AB＋BD
→ → → B.BD＝AD－AB → → → D.AB＝AC＋CB
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
3．向量与坐标的关系 → → (x，y) 设 OA ＝xi＋yi，则向量 OA 的坐标_______就是终点A的坐 → 坐标 标；反过来，终点A的_______就是向量 OA 的坐标(x，y)．因 此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序 实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算
B
)
解析：设 c＝λ1a＋λ2b(λ1、λ2∈R)，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，
λ1＋λ2＝－1 则 ，∴ λ1－λ2＝2
3 λ ＝－ 2
λ1＝
2
1 2
，
1 3 ∴c＝ a－ b，故选 B. 2 2
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瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
5．已知边长为单位长的正方形 ABCD.若 A 点与坐标原点重合，边 AB、AD 分别落在 x 轴、y 轴的正方向上，则向量 2AB― →＋3BC― →＋AC― →的坐标为________．
解析：根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为 A(0,0)、B(1，0)、 C(1,1)、D(0,1)．
D
)
1 3 1 3 解析： a－ b＝ (1,1)－ (1，－1)＝(－1,2)，故选 D. 2 2 2 2
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典例精析
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4．若 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则 c 等于( 1 3 1 3 (A)－ a＋ b (B) a－ b 2 2 2 2 3 1 3 1 (C) a－ b (D)－ a＋ b 2 2 2 2
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解：OC― →＝－OA― →＝(－1)×(－1，－1)＝(1,1)． 由正方形的对称性得 B(1，－1)， ∴OB― →＝(1，－1)，同理 OD― →＝(－1,1)．
向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，本题从以下两个方面考虑：一是相 等向量的坐标相同，二是当向量的始点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面向量的正交分解及坐标表示 阅读教材P 94～P 95内容，完成下列问题. 1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示.显然，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若OA →＝(2，－1)，则点A 的坐标为(2，－1).( )(2)若点A 的坐标为(2，－1)，则以A 为终点的向量的坐标为(2，－1).( ) (3)平面内的一个向量a ，其坐标是唯一的.( )【解析】 (1)正确.对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同. (2)错误.以A 为终点的向量有无数个，它们不一定全相等. (3)正确.由平面向量坐标的概念可知. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理2 平面向量的坐标运算阅读教材P 96“思考”以下至P 97例4以上内容，完成下列问题.1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.2.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.3.若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4.向量坐标的几何意义：图2313在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1).如图2313所示.1.已知a ＝(2,1)，b ＝(3，－2)，则3a －2b 的坐标是( ) A.(0，－7) B.(0,7) C.(－1,3)D.(12，－1)【解析】 3a －2b ＝3(2,1)－2(3，－2) ＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7). 【答案】 B2.已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A.(－2，－1) B.(2,1) C.(1,2)D.(－1，－2) 【解析】 BA →＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2). 【答案】 C[小组合作型]平面向量的坐标表示(1)已知AB →＝(1,3)，且点A (－2,5)，则点B 的坐标为( )A.(1,8)B.(－1,8)C.(3,2)D.(－3,2)(2)如图2314，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝________；OD →＝________.图2314图2315(3)如图2315，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标.【精彩点拨】 表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标 【自主解答】 (1)设B 的坐标为(x ，y )，AB →＝(x ，y )－(－2,5)＝(x ＋2，y －5)＝(1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝1，y －5＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝8，所以点B 的坐标为(－1,8).(2)如题干图，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B (1，－1)，所以OB →＝(1，－1)， 同理OD →＝(－1,1).【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1)(3)由题意知B, D 分别是30°，120°角的终边与以点O 为圆心的单位圆的交点.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).由三角函数的定义，得x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12， 所以B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32， 所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.[再练一题]1.已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标. 【导学号：00680048】【解】 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)， ∴C (1，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.平面向量的坐标运算(1)设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →等于( ) A.(1＋m,7＋n ) B.(－1－m ，－7－n )C.(1－m,7－n )D.(－1＋m ，－7＋n )(2)已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32 D.(8,1)(3)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标.【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将DA →分解为DC →＋CB →＋BA →来求解. (2)可借助AB →＝OB →－OA →来求12AB →坐标.(3)可利用AB →＝(x B －x A ，y B －y A )来求解. 【自主解答】 (1)DA →＝DC →＋CB →＋BA →＝－CD →－BC →－AB →＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3) ＝(－1－m ，－7－n ). (2)12A B →＝12(OB →－OA →) ＝12[]－5，－－，－＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，∴12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12. 【答案】 (1)B (2)A(3)∵AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， ∴AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)， BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3).平面向量坐标的线性运算的方法：若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.[再练一题]2.已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【解】 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23. [探究共研型]向量坐标运算的综合应用探究1 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？【提示】 ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t ). 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.探究2 对于探究1条件不变，四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.【提示】 ∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t ). 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解.故四边形不能成为平行四边形.已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10).若A P →＝A B →＋λA C →(λ∈R )，试求λ为何值时，(1)点P 在一、三象限角平分线上；(2)点P 在第三象限内. 【导学号：70512032】【精彩点拨】 解答本题可先用λ表示点P 的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解.【自主解答】 设点P 的坐标为(x ，y )， 则A P →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，A B →＋λ·A C →＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵A P →＝A B →＋λA C →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若P 在一、三象限角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，∴λ＝12时，点P 在一、三象限角平分线上.(2)若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.当λ<－1时，点P 在第三象限内.1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.[再练一题]3.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2316所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图2316【解析】 以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3).由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.【答案】 41.已知OA →＝(4,8)，OB →＝(－7，－2)，则3AB →＝( ) A.(－9,18) B.(9，－18) C.(－33，－30)D.(33,30)【解析】 3AB →＝3(OB →－OA →)＝3[(－7，－2)－(4,8)]＝(－33，－30). 【答案】 C2.若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3)D.(0，－1)【解析】 3a ＋2b ＝3(2,1)＋2(1,0)＝(8,3). 【答案】 C3.若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →等于( ) A.(4,6) B.(－4，－6) C.(－2，－2)D.(2,2)【解析】 由AC →＝AB →＋BC →＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6).故选A. 【答案】 A4.已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________.【导学号：00680049】【解析】 AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求MN →的坐标. 【解】 因为A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，所以CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6).设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，所以M (0,20)，同理可得N (9,2)， 所以MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18).。