直线与圆的位置关系(用)

圆心坐标是（ 圆心坐标是（１，０），半径长r=1． ），半径长r=1 半径长 圆心到直线３ 圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离
| 3+ 0+ 2| d= =1 5
因为d=r，所以直线3 因为d=r，所以直线3x＋4y＋2＝０与圆相切． d=r 与圆相切．
练习2 与圆心在原点的圆C相切， 练习2：直线 4 x + 3 y − 35 = 0与圆心在原点的圆C相切，求圆 C的方程。 的方程。 解：设圆C的方程为 x 2 + y 2 = r 2 设圆C 由题意圆心 O(0, 0) 到直线 4 x + 3 y − 35 = 0 的距离
的半径为3 圆心O 的距离为d,若直线l 1．⊙O的半径为3 ,圆心O到直线 的距离为d,若直线 的半径为 ,圆心 到直线l的距离为d,若直线 没有公共点， 与⊙O没有公共点，则d为（ A ）： 没有公共点 A．d ＞3 B． B．d<3 C． C．d ≤3 D． D．d =3
到直线的距离等于⊙ 的半径 的半径， 2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线 圆心 到直线的距离等于 的位置关系是（ 和⊙O的位置关系是（ C ）： 的位置关系是 A．相离 B.相交 B.相交 C.相切 C.相切 D.相切或相交 D.相切或相交
2、直线与圆的位置关系
设圆Ｃ： − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 , 直线l : Ax + By + C = 0， (x 圆心C到直线的距离为d .则有几何特征：
（1）d > r ⇔ 直线与圆相离，没有公共点；
（2）d = r ⇔ 直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）d < r ⇔ 直线与圆相交，有两个公共点．
光荣榜
韩龙、王欣伟、刘增辉、李晓庆、 韩龙、王欣伟、刘增辉、李晓庆、 马凤飞、翁华栋、高瞻、崔悦、 马凤飞、翁华栋、高瞻、崔悦、 张岩、张琛、 张岩、张琛、王蕙心
光荣榜 优秀小组 1组 、 7组 、 9组 优秀个人
曹文霄、成鑫、高梦楠、高文娟、高雨晴、 曹文霄、成鑫、高梦楠、高文娟、高雨晴、 高哲、韩冬、郝安荻、李呈红、刘芮婷、 高哲、韩冬、郝安荻、李呈红、刘芮婷、 马一鸣、毛颖超、宋宁馨、孙宁波、王昊宇、 马一鸣、毛颖超、宋宁馨、孙宁波、王昊宇、 王华宇、王艳红、魏白洁、张晶、张靖雯、 王华宇、王艳红、魏白洁、张晶、张靖雯、 赵冰欣、郑淑文、钟元、周梦静、 赵冰欣、郑淑文、钟元、周梦静、王佳斌
d= 2 + 3k − 3 k +1
2
.
2 + 3k − 3因此， 因此，k +1
2
= 5.
即 3k − 1 = 5 + 5k 2 , 两边平方， 3k两边平方，并整理得到 2k2-3k-2=0, 解得k= 解得k= −
1 ，或k=2. 2
所以，所求直线 有两条 有两条， 所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为 (x+3),或 y+3= − (x+3),或 y+3=2(x+3). 即x+2y+9=0,或2x-y+3=0. x+2y+9=0,或2x1 2
d = 0 −1+ 6 1 + ( − 1)
2 2
=
5
2 你能求出圆上的点 > 5 到直线的最大距离 2 和最小距离吗？ 和最小距离吗？
所以直线l与圆Ｃ无公共点． 所以直线 与圆Ｃ无公共点． 与圆
结论： 结论： 判断直线与圆的位置关系有两种方法 (1)判断直线与圆的方程组是否有解 (1)判断直线与圆的方程组是否有解 若方程组有两解，则直线与圆相交； 若方程组有两解，则直线与圆相交； 若方程组有一解，则直线与圆相切； 若方程组有一解，则直线与圆相切； 若方程组无解，则直线与圆相离； 若方程组无解，则直线与圆相离； (2)圆心到直线的距离d与半径r (2)圆心到直线的距离d与半径r的关系 圆心到直线的距离
4 5 2 5 −( ) = 5 2
2
即圆心到所求直线l的距离为 即圆心到所求直线 的距离为 5 .
因为直线l过点M（-3，-3），所以可设所求直线 的 因为直线 过点M ），所以可设所求直线l的 过点 所以可设所求直线 方程为y+3=k(x+3) 方程为y+3=k(x+3) 即kx-y+3k-3=0. kx-y+3k根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线 的距离
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2， 消去y，得到关于x一元二次方程, Ax + By + C = 0 其判别式为∆．则有代数特征：
（1）∆ < 0 ⇔ 直线与圆相离，没有公共点；
（2）∆ = 0 ⇔ 直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）∆ > 0 ⇔ 直线与圆相交，有两个公共点．
d=
0 + 0 − 35 32 + 42
= 7.
所以圆的半径长 r = 7 ，
2 2 圆方程为 x + y = 49.
练习3 练习3：已知直线 l : y = x + 6 ,圆Ｃ: x2 + y2－ y − 4 = 0 2 试判断直线与圆Ｃ有无公共点，有几个公共点． 试判断直线与圆Ｃ有无公共点，有几个公共点． 解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长 r = 5 的圆心坐标是（ ），半径长 圆心到直线y＝x+6的距离 圆心到直线y x+6的距离
:3x+y和圆心为C 例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2如图，已知直线 :3x+y 6=0和圆心为 的圆x 2y-4=0，判断直线 与圆的位置关系 如果相交， 与圆的位置关系； 2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们 的交点坐标。 的交点坐标。
分析： 分析： 方法一， 方法一， 判断直线与圆的位置关系， 判断直线与圆的位置关系， 就是看由它们的方程组成的 方程组有无实数解、 方程组有无实数解、有几组实 数解； 数解； 方法二， 方法二， 可以依据圆心到直线 的距离与半径长的关系， 的距离与半径长的关系， 判断直线与圆的位置关系． 判断直线与圆的位置关系． C O y l B
.
A x
解法一： 由直线与圆的方程， 解法一： 由直线与圆的方程，得
3 x + y − 6 = 0, 2 x + y 2 − 2 y − 4 = 0. (1) (2)
消去 y，得 x 2 − 3 x + 2 = 0 因为 ∆ = (−3) 2 − 4 × 2 ×1 = 1 > 0, 所以直线与圆相交，有两个公共点． 所以直线与圆相交，有两个公共点． 由 x 2 − 3x + 2 = 0 解得
3 为半径的圆与直线BC相切. 为半径的圆与直线BC相切. BC相切
1、本节课我们主要探讨了直线与圆的位置关系及其判定， 本节课我们主要探讨了直线与圆的位置关系及其判定， 以及直线与圆的位置关系的一些简单应用 2、对于直线与圆的位置关系利用圆心到直线的距离与半 径的大小来判断比较简单， 径的大小来判断比较简单，主要是由于圆具有特殊的几 何性质。 何性质。 3、判断直线与圆的位置关系要充分利用圆的几何性质。 判断直线与圆的位置关系要充分利用圆的几何性质。
d= 3× 0 +1− 6 32 + 12 = 5 < 5 10
所以直线与圆相交，有两个公共点． 所以直线与圆相交，有两个公共点．
x 2 − 3 x + 2 = 0 解得 x1 = 2, x2 = 1. 将 x1 = 2, x2 = 1. 分别代入（１）得 y1 = 0, y2 = 3. 分别代入（
x + y =9 轮船航线所在直线L 轮船航线所在直线L的方程为 4x+7y4x+7y-28=0 问题归结为圆Ｏ与直线L 问题归结为圆Ｏ与直线L有无 公共点的问题。 公共点的问题。
2 2
y
.港口
O 轮船 x
.
已知过点M 的直线l被圆 被圆x +4y例2 已知过点M（-3，-3）的直线 被圆x2+y2+4y-21=0 求直线l的方程 的方程. 所截得的弦长为 4 5 ，求直线 的方程. 解：将圆的方程写成标准形式，得x2+(y+2)2=25, 将圆的方程写成标准形式， 所以，圆心的坐标是（ 所以，圆心的坐标是（0，-2）半径长r=5. 半径长r=5. 如图，因为直线l被圆所截得 如图，因为直线 被圆所截得 的弦长是 4 5 ，所以弦心距为
x1 = 2, x2 = 1. y1 = 0, y2 = 3.
将 x1 = 2, x2 = 1. 分别代入（１）得 分别代入（
直线与圆有两个交点，坐标分别为A 2,0）,B（1,3） 直线与圆有两个交点，坐标分别为A（2,0）,B（1,3）
解法二： 解法二：由圆x 2 + y 2 − 2 y − 4 = 0知 其圆心坐标为（0,1），半径长为 其圆心坐标为（0,1），半径长为 5 ）， 点C（0,1）到直线的距离为 0,1）
d=
如果
Aa + Bb + C A2 + B 2
直线与圆相交; d < r 直线与圆相交; 直线与圆相切; 如果 d = r 直线与圆相切; 如果
d > r 直线与圆相离. 直线与圆相离.
练习：试解决本节引言中的问题． 练习：试解决本节引言中的问题． 解：以台风中心为原点，东 以台风中心为原点， 西方向为x 西方向为x 轴，建立如图所 示的直角坐标系，（其中， ，（其中 示的直角坐标系，（其中， １０km为单位长度）这样， km为单位长度 取１０km为单位长度）这样， 受台风影响的圆形区域所对 应的圆Ｏ 应的圆Ｏ方程为