必修4 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)(导学案)

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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角的正弦,右边是单角，的

必修4教案3.1.2两角和与差的正弦正切公式

两角和与差的正弦正切公式学案
1．学习目标：两角差与和的正弦公式和正切公式的应用
2．自学内容：通读教材128页倒数第三行_行至131页14行，约用10分钟。

3．思考并回答以下问题：
(1)诱导公式（五）的内容是什么 (2) 诱导公式（六）的内容是什么
(3)sin （α+β）=cos （）= cos （）cos （） sin （）sin （）
化简得 sin （α+β）= sin （α-β）= 由α
α
αcos sin tan =
你能推倒出tan （α+β）=
4．知识点小结：sin （α+β）= sin （α-β） tan （α+β）= tan （α-β）= 5．例题思考：
例1：①利用差角余弦公式求0
15tan ,15sin
的值
②利用和角余弦公式求0
75tan ,75sin
的值例
2：已知ββππαα,13
5
cos ),,2(,54sin -=∈=
是第三象限角，求)t a n (),tan(),sin(),sin(βαβαβαβα+-+-的值。

例3．计算下列各式的值
①
20cos 70si n 70cos 20si n + ②
12sin 72cos 12cos 18cos -
③0
0033tan 12tan 133tan 12tan -+ ④0
015
tan 115tan 1-+ 例4．化简：①x x cos sin 3+， ②2
cos 2sin x x - 例5．已知：sin )(βα-,53sin )cos(cos =--ααβαβ是第三象限角，求)4
5sin(π
β+，tan （4
5π
β+）的值。

人教版高中数学必修四教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第二课时，是在学习了差角的余弦公式的基础上，进一步对差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦和正切公式的探究.本节的六个公式是本章的重要内容，也是三角恒等变换的基础，对三角函数式的化简，求值、三角恒等式的证明等问题起着重要的支撑作用，同时，它又为后面学习倍角公式作铺垫.本节课的重点是公式的推导及公式的简单应用，难点是公式的记忆和灵活应用.通过公式的推导过程，揭示了公式间的联系，加深对公式的理解和记忆.教学中既要有意识地训练学生思维的有序性和对思维过程表述的准确性、简洁性，又要渗透转化、换元、分类讨论的数学思想，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时分配本节内容用1课时的时间完成，首先在两角差的余弦公式的基础上，引导学生自主探究得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并掌握公式的结构和变形形式.然后，通过例题运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究过程，公式结构及应用.难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的记忆和灵活应用.知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.能力点：能以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式与同角三角函数关系式，推导出差角、和角的正弦、余弦和正切公式.教育点：经历公式的探究过程，注重知识间的联系，培养学生的探索精神，提高学生的推理能力和运算能力.自主探究点：以两角差的余弦公式为基础，探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的推导方法. 考试点：灵活使用差角、和角的公式进行三角函数式的化简、求值和恒等变形.易错易混点：使用公式时，学生容易在分析角的范围上出错.拓展点：如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式. 教具准备多媒体课件课堂模式学案导学一、引入新课师：同学们，上节课我们学习了差角的余弦公式，请大家首先回顾一下这个公式的形式是怎样的. 生：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. ——同名积，符号反师：由于公式()cos αβ-只可以用来解决与差角的余弦相关的三角变换问题，因而在应用中有很大的局限性，遇到差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦、正切时，公式()cos αβ-就不能直接应用了，因此，我们有必要将公式()cos αβ-作进一步拓广，希望得到两角和与差的三角系列公式.这节课我们就来探究差角的正弦、正切公式及和角的正弦、余弦、正切公式.【设计意图】从熟悉的差角余弦公式出发，让学生意识到进一步探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的意义，是对旧知的扩展，进而引出本节课题，自然流畅.二、探究新知探究一：探究公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.问题：由公式()C αβ-出发，如何推导公式：()cos ?αβ+=【师生活动】师：引导学生从两个方面展开联想：①函数名称的联系；②角的联系，αβ+与αβ-之间的联系.重点指出，要想利用差角的公式得到和角的公式，如果从形式上能将和角变成差角的形式，那就近了一步.生：自主思考，一般得出：①将αβ+转化为()αβ--；②在公式()cos αβ-中，以β-代β. 师生：利用换元的思想推导出()C αβ+，并进一步理解公式间的联系，共同分析对比()C αβ-与()C αβ+两公式的结构形式.()()cos cos cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ——同名积，符号反【设计意图】让学生参与公式的探究过程，加深理解公式间的联系，有利于公式的记忆，培养学生换元的数学思想.探究二：探究公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.问题：在公式()C αβ-与()C αβ+的基础上，怎样推导()sin ?αβ+=与()sin ?αβ-=【师生活动】师：我们的目标是求两角和与差的正弦公式，而我们已经知道了相应的余弦公式，那么，一个自然的想法是什么？就是利用余弦公式求正弦公式.如何把()sin αβ+改写成余弦？生：自主探究，从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系，将公式推导出来.()()sin cos cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+即()S αβ+：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+. ——异名积，符号同以β-代β得()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. ——异名积，符号同师生：共同整理推导过程，让学生认识到解决问题的关键是应用诱导公式把正弦化为余弦，体会转化与化归思想方法在解决问题中的重要性，并进一步分析所得公式的结构形式与()C αβ-、()C αβ+的区别.【设计意图】结合旧知，探究新知，既巩固已学知识，又加深理解公式间的联系，同时有利于公式的记忆，培养学生转化与化归的数学思想.探究三：探究公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 问题：怎样用,αβ的正切表示()tan αβ+、()tan αβ-呢？【师生活动】师：由两角和与差的正弦、余弦公式如何探究两角和与差的正切公式？以和角为例，请自主探究.生：自主探究.一般能从同角三角函数的关系式出发进行探究，教师可作个别指导.但是，多数学生可能只是将和角的正弦、余弦公式代入展开而不去化简.()()()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin αβααβαβααβααβαβαβ++=→+==+- 师：上述公式是用单角的正、余弦表示和角的正切，那么，通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？引导学生观察思考，当cos cos 0αβ≠时，分式的分子、分母同时除以cos cos αβ，得出和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 师：进一步提出引申思考的问题：在上述公式的推导过程中，角,αβ有什么条件要求吗？除此之外，公式本身还有什么限制吗？生：自主思考，可以得出α、β、αβ+都不等于()2k k Z ππ+∈.师生：指明公式成立的条件，使公式完整.进一步让学生类比思考差角的正切公式的推导，自主得出差角公式，并与和角公式比较，分析结构，帮助记忆.差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+. 【设计意图】让学生经历探究公式的过程，变老师教为学生学，突出学习的主体地位，有利于理解和掌握新知，训练学生动手动脑相结合的学习习惯.师：依据以上公式的推导过程，请思考差角、和角的6个公式之间有怎样的内在联系？【师生活动】生：自主分析，找出公式间的逻辑关系.师生：在学生自主探究的基础上，师生共同总结公式之间的紧密逻辑关系，并用框图形式表示出来.【设计意图】及时梳理知识，完善知识体系.整体把握公式间的逻辑关系，巩固对公式的理解与掌握，为下一步公式的灵活使用打好基础.三、理解新知公式的结构特点：()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m . ——同名积，符号反()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±. ——异名积，符号同()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 注意：,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 【设计意图】准确把握三组公式，为公式的灵活使用打好基础.四、运用新知例1．已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 分析：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=，求cos α，进而求tan α，再代入公式求值即可. 解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得4cos 5α===，所以 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- . 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 在本题中sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与 cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭两结果一样，那么，对于任意角α，此等式成立吗？我们能否用第一章的知识证明？变式：如果本例中的条件“α是第四象限角”去掉，结果怎样表述呢？【设计意图】训练学生的解题能力，发现不同题目解题过程的区别与联系.变式中对求解过程的表述上会有更高的要求，培养学生分类讨论的思想方法.巩固练习：（1）已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求sin()αβ+和sin()αβ-的值.（2）已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=，求cos β的值. 答案：（1）3365，6365-；（2. 例2．利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-o o o o；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o ；（3）1tan151tan15+-oo．分析：本题的关键在于观察分析待化简求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，经过适当变形，再顺用或逆用公式解决.解：（1）由公式()S αβ-，得：()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==o o o o o o o ；（2）由公式()C αβ+，得：()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）由公式()T αβ+及tan 451=o，得：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o o o o o o o o ．巩固练习：（1）cos 44sin14sin 44cos14-o o o o；（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36)x x x x -++-+o o o o ；（3答案：（1）12-. （2）1. （3）1-. 例3．已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求sin()4πα+的值. 分析：注意到已知角与待求角之间的关系：()()44ππααββ+=+--，从而把待求角转化为已知角的差的形式，再利用差角的正弦公式求解. 解：3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 3(,2)2παβπ∴+∈，3(,)424πππβ-∈. 3sin()5αβ+=-Q ， 4cos()5αβ∴+=. 12sin()413πβ-=Q ， 5cos()413πβ∴-=-. sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()4444ππππααββαββαββ∴+=+--=+-++-3541263()()51351365=-⨯-+⨯=.巩固练习：（1）已知sin α=，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，求sin β的值.答案：2. 【设计意图】使学生掌握把待求角转化为已知角的和与差的形式的变化技巧.让学生在精析精练中，突破重点、难点，体会公式的灵活应用，从而巩固新知，提高能力.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？主要涉及到哪些数学思想方法？1.知识：①()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m .()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 其中,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 2．思想：转化与化归思想，特殊与一般思想，分类讨论思想.【设计意图】师生共同回忆所学内容，发挥学生学习的主体性，帮助学生记忆公式，梳理知识，培养良好的学习方法.六、布置作业1.阅读教材 P128-131；2.书面作业：必做题：P137 习题3.1 A 组7,8，9，10.选做题：（1）已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求()sin αβ+的值.（2）已知sin α=，sin()αβ-=,αβ均为锐角，求αβ+的值.3．课外思考：化简：（1）1cos 2x x ；（2）sin cos x x -；（3x x ；（4）sin cos a x b x +.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，准确掌握6个公式后，再做作业.书面作业的布置，是为了训练学生使用差角、和角公式，解决简单的数学问题，在公式的应用中，加深对公式的理解和掌握.课外思考题的设计是为了引导学生探究如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +的式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式.七、教后反思1.本教案的亮点：从学生熟悉的两角差的余弦公式出发，以旧引新，符合学生的认知规律，加强知识间的联系，结构自然顺畅.例题与习题设计恰当，突出本节课的三个知识点(三组公式)，主要选择基础题目，并安排了适当量的随堂练习，帮助学生总结解题方法和技巧，及时巩固新知.2.本节课公式较多，公式的推导、记忆与应用，都用时较多，各校学生基础不同，建议教师对巩固练习题目灵活掌握，但一定要在公式的推导上留给学生足够的时间.3.本节课的弱项：本节课容量较大，课堂上有限的时间不易照顾到对公式的全面应用，有关公式的灵活、变形使用还有待于在后续课堂上加强.八、板书设计。

两角和与差的正弦正切公式教案

3.1.2两角和与差的正弦、正切公式教案授课教师：肇庆高新区大旺中学 XXX教材：人教A版必修4第三章教学目标：1、能以两角和与差的余弦公式C(α-β) 、C(α+β)推导出两角和与差的正弦、正切公式S(α-β) 、S(α+β) 、T(α-β) 、T(α+β),并能找到公式之间的逻辑联系。

2、熟悉各公式的结构特征，找出熟记公式的方法，能应用公式进行三角恒等变换。

3、通过公式的灵活应用，培养学生的方程思想、变换能力，逆向思维能力，换元思想与代换思想。

4、培养学生思维的有序性、发散性，答题中表述的规范性、条理性和完整性。

教学重点：1、以两角和与差的余弦公式为基础，推导出两角和与差的正弦、正切公式。

2、将公式熟练的应用到三角恒等变换中。

教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式在应用中的注意细节：角度范围的确定，三角函数值的确定，公式的逆用。

教学方法：教师采用启发引导式教学，指导学生主动参与公式的发现、推导和应用，对学生探究的结果、及公式应用的成果展示做合理的评价。

学生采用自主探究、小组讨论、合作交流的学习方式，并展示自己的学习成果。

教学手段：教师利用多媒体平台，展示教学内容与教学过程，学生用小黑板展示小组的探究成果。

教学过程：教学环节教学内容与教师活动学生活动温故知新复习引入1、===完成填空，并说出答案。

===2、C(α-β) = C(α+β) =由C(α-β)推导出C(α+β)的详细过程：3、求值：==教学环节教学内容与教师活动学生活动构建新知公式的探究及理解问题1、sin75o的值如何求？问题2、若将75o分解成45o+30o，即sin(45o+30o)该如何求值？由此引出对公式的探究。

探究一：=？问题3、正余弦之间如何转化，可否利用和角的余弦公式来推导此公式？（）回顾上节课的内容：sin75o=cos15o，再用差角的余弦公式展开求值。

诱导公式五（或六）可实现正余弦互化，转化后再利用和角的余弦公式来推导。

3.1.2两角和与差的正弦、正切公式-导学案

导学案年级：高一科目：数学主备：审核：课题：两角和与差的正弦、正切公式课型：新授课课时 :2 课时【三维目标】●知识与技能：能利用两角和与差的余弦公式，利用化归思想等推导出两角和与差的正弦、正切公式，体会它们的内在联系并进行简单的应用。

●过程与方法:进一步提高学生运用对比、联系、转化的观点去处理和分析问题的自觉性。

●情感态度与价值观：培养学生积极动手，勇于探索，善于发现，团结协作，独立意识以及不断超越自我的创新品质。

【学习重点】：引导学生通过独立探索和讨论交流，利用已学知识，推导出两角和与差的正弦和正切公式，并体会它们的内在联系。

【学习难点】：掌握两角和与差正弦、余弦、正切公式的逆用和变用。

【教学资源】教师导学过程(导案)学生学习活动(学案) 【导学过程1:】复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；（2）()cos sin =α；（3）()()=αtan . 【学生学习活动1:】（1）回忆上节课所学知识，诱导公式和同角的基本关系为本节课学习作铺垫【导学过程2:】讲授新课怎样由上述知识得到两角和与差的正弦和正切公式呢？活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+【学生学习活动2:】活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+ 活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-小结1：()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±活动3、学生动手完成两角和的正切公式推导()()()()系同角三角函数的基本关βαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin tan -+=-+=++=+ 活动4、怎样继而得到两角差的正切公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想－－－－βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan +-=-+=+=小结2：()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±其中，,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈将()βα+S 、()βα+C 、()βα+T 称为和角公式；()βα-S 、()βα-C 、()βα-T 称为差角公式。

高一数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

∴cos α＝ 55，sin β＝31010.
明目标、知重点
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝
55×
1100－2 5 5×3 1010＝－
2 2.
∵0<α＋β<π，∴α＋β＝34π.
答案
3π 4
明目标、知重点
1234
呈重点、现规律
1.公式Cα±β与Sα±β的联系、结构特征和符号规律四个公式Cα±β、Sα±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β) ―― 以―－――β―换―→ β cos(α＋β)
当堂测·查疑缺
1.sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( A )
A.－12
1 B.2
3 C. 2
D.－
3 2
解析原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37° ＝sin(－30°)＝－12.
明目标、知重点
1234
2.在△ABC 中，A＝π4，cos B＝ 1100，则 sin C 等于(
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
＝×－153＋－45×－1123＝3635.
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝35×－153－－45×－1123＝－6653.
明目标、知重点
例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α. 证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α ＋β)＋α ]＝3sin[(α ＋β)－α ] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α.

高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4

2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式（2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关

人教版高中数学必修四3.1.2 两角和差的正弦、余弦、正切公式【导学案】

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并灵活运用． 2．能熟练地把asin x ＋bcos x 化为Asin(ωx ＋φ)的形式．(1)与差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β，cos(α±β)≠cos α±cos β，tan(α±β)≠tan α±tan β. (2)和差角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差角公式的特例．如sin(2π－α)＝sin 2πcos α－cos2πsin α＝0×cos α－1×sin α＝－sin α.当α或β中有一个角是π2的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便．(3)使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β时，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α.这也体现了数学中的整体原则．(4)注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．【做一做1－1】若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝( )A ．－3B ．－13C ．3 D.13【做一做1－2】 sin 75°的值为( )A.2－12B.2＋12C.6－24D.6＋24【做一做1－3】 cos 75°＝__________.答案：sin αcos β－cos αsin β cos αcos β＋sin αsin βtan α－tan β1＋tan αtan β sin αcos β＋cos αsin β cos αcosβ－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan β【做一做1－1】 D tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 【做一做1－2】 D sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24. 【做一做1－3】6－24cos 75°＝cos(45°＋30°) ＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24.化简a sin α±b cos α(ab ≠0)剖析：逆用两角和与差的正弦公式，凑出sin αcos β±cos αsin β的形式来化简．a sin α±b cos α＝a2＋b2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a2＋b2sin α±b a2＋b2cos α，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a a2＋b22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＋b22＝1， ∴可设cos θ＝a a2＋b2，sin θ＝ba2＋b2.则tan θ＝ba (θ又称为辅助角)．∴a sin α±b cos α＝a2＋b2(sin αcos θ±cos αsin θ)＝a2＋b2sin(α±θ)．特别是当b a ＝±1、±3、±33时，θ是特殊角，此时θ取±π4、±π3、±π6.例如，3sin α－33cos α＝9＋27⎝⎛⎭⎪⎫39＋27sin α－339＋27cos α＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α－32cos α＝6⎝⎛⎭⎪⎫sin αco s π3－c os αsi n π3 ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.在公式a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)中，(1)sin φ＝b a2＋b2，cos φ＝aa2＋b2，在使用时不必死记上述结论，而重在理解这种逆用公式的思想．(2)a sin α＋b cos α中的角必须为同角α，否则不成立．题型一给角求值问题【例1】求下列各式的值： (1)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°；(2)3sin π12＋cos π12.分析：本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解，本题(2)可构造两角和的正弦公式求解．反思：解答此类题目的方法就是活用、逆用C (α±β)，S (α±β)公式，在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一．题型二给值(式)求值问题【例2】已知cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝－35，β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．分析：求出sin α，cos β的值，代入公式S (α±β)即可．反思：分别已知α，β的某一三角函数值，求sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)时，其步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求出α，β其余的三角函数值；(2)代入公式S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)计算即可．题型三利用角的变换求值【例3】已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，3π2＜α＋β＜2π，π2＜α－β＜π，求cos 2α的值．分析：解答本题关键是探寻α＋β，α－β与2α之间的关系，再利用两角和的余弦公式求解．反思：解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如本题．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．题型四易错辨析【例4】已知π＜α＜α＋β＜2π，且满足cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，求β.错解：∵cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π＜α＜α＋β＜2π，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝22. ∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.∴β＝π4或3π4.错因分析：以上错解是由于求β的三角函数值时，函数选择不当所致．由于满足sin β＝22且β∈(0，π)的β有两值，两值的取舍就是个问题，事实上cos β＝－22，故β＝3π4，只有一值，故应计算角β的余弦值．反思：此类题目是给值求角问题，一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tan α，sin α，cos α中的一个值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角值；(4)写出α的大小．答案：【例1】解：(1)原式＝sin(360°－13°)cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin(13°＋32°)＝sin 45°＝22. (2)原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin π12＋12cos π12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π6＋sin π6cos π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝2sin π4＝2. 【例2】解：∵cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos2α＝232.∵sin β＝－35，β是第三象限角，∴cos β＝－1－sin2β＝－45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－3＋8215. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝3－8215. 【例3】解：∵cos(α＋β)＝45，3π2＜α＋β＜2π，∴sin(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. ∵cos(α－β)＝－45，π2＜α－β＜π，∴sin(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－725. 【例4】正解：∵cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π＜α＜α＋β＜2π，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－22. ∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.∴β＝3π4.1．(2011·山东青岛高三质检)已知cos α＝45-，且α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．17-B ．－7 C.17D ．72x x 的结果是( )A ．π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．25π11π11π5πsin cos cos sin126126-＝__________. 4．在△ABC 中，cos A ＝35且cos B ＝513，则cos C 的值是__________．5．已知tan(α－β)＝12，tan β＝17-，且α，β∈(0，π)．(1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．答案：1．D 由于α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α＝35，所以tan α＝sin cos αα＝34-，所以πtan 4α⎛⎫-⎪⎝⎭＝1tan 1tan αα-+＝7.2．D 原式＝1cos 22x x ⎫-⎪⎪⎭＝ππsincos cos sin 66x x ⎫-⎪⎭＝π6x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝ππ26x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.25π11π11π5πsin cos cos sin 126126- ＝ππππsin 2πcos 2πcos πsin π126126⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ππππsincos cos sin 126126+＝ππsin 126⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝πsin4＝2.4.3365由于在△ABC 中，cos A ＝35，可知A 为锐角，∴sin A＝45.由于cos B ＝513，可知B 也为锐角，∴sin B＝1213.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 5．解：(1)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--＝11271114-+＝13. (2)tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan()tan 1tan()tan αβααβα-+--＝1.∵tan β＝17-＜0，∴π2＜β＜π. 又tan α＝13＞0，∴0＜α＜π2.∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝12＞0，∴－π＜α－β＜π2-.∴2α－β∈(－π，0)．∴2α－β＝3π4-.。

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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
班级姓名小组
【学习目标】
1．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．
3．熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．
【导学流程】
一、了解感知
知识要点：
1．两角和与差的余弦公式
C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
2．两角和与差的正弦公式
S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 3．两角互余或互补
(1)若α＋β＝π2，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：π4－α与π4＋α互余，π6＋α与π
3－
α互余．
(2)若α＋β＝π，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：π4＋α与34π－α互补，α＋π3与2
3π
－α互补.
二、深入学习
探究点一由公式C (α－β)推导公式C (α＋β)
由于公式C (α－β)对于任意α，β都成立，那么把其中的＋β换成－β后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示cos(α＋β)的公式．试一试写出推导过程．
答:∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝ ; 即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 探究点二由公式C (α－β)推导公式S (α＋β)及S (α－β)
比较cos(α－β)与sin(α＋β)之间有何区别和联系？利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的
互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式．
答:sin(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－α＋β＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π
2－α－β＝即sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
从而，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝＝sin αcos β－cos αsin β. 探究点三两角和与差的正、余弦公式的应用
运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角，要善于发现和利用．
例如，化简：sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋3x ·sin ⎝⎛⎭⎫π4＋3x . 解:原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x cos ⎝⎛⎭
⎫π
4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4－3x －⎝⎛⎭⎫π3－3x ＝sin ⎝⎛⎭
⎫π4－π3 ＝sin π4cos π3－cos π4sin π3＝22×12－22×3
2＝2－64
.
【典型例题】
例1 化简求值：
(1)sin(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(63°－x )sin(x －18°)； (2)(tan 10°－3)·cos 10°
sin 50°
.
解 (1)原式＝
＝sin[(x ＋27°)＋(18°－x )]＝sin 45°＝
2
2
.
小结解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
跟踪训练1:
(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )； (3)sin π12－3cos π12
.
例2 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210
，求α.
小结此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
跟踪训练2
已知sin α＝35，cos β＝－5
13，α为第二象限角，β为第三象限角．求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．
例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
三、迁移运用
1．sin 69°cos 99°－cos 69°sin 99°的值为
( )
A ．1
2
B ．－12
C ．32
D ．－
32
2．在△ ABC 中，A ＝π4，cos B ＝10
10，则sin C 等于
( ) A ．25
5
B ．－255
C ．
55
D ．－
55
3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R)的值域是________
4．已知锐角α、β满足sin α＝255，cos β＝1010，则α＋β＝_____
答案： 1.B
2.A 解析 sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B
＝
22(cos B ＋1－cos 2B )＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010＝255
. 3. [－2,2]．
4. 解析 ∵α，β为锐角，sin α＝255，cos β＝1010，∴cos α＝55，sin β＝310
10.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝55×1010－255×31010＝－22
. ∵0<α＋β<π，∴α＋β＝3π
4.。