2021年高考数学一轮复习 6.4基本不等式课时作业 理 湘教版

2021年高考数学一轮复习 6.4基本不等式课时作业 理 湘教版一、选择题1. (xx·兰州模拟)已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x ＞－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( )A ．－3B ．2C ．3D ．8【解析】 y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5， 由x ＞－1，得x ＋1＞0，9x ＋1＞0， 所以由基本不等式得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，所以x ＋1＝3，即x ＝2时取等号， 所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.【答案】C2.已知等比数列{}的各项均为正数，公比q ≠1，设,2log ),log (log 21935.075.055.0aa Q a a P +=+=则P 与Q 的大小关系是( )A.P ≥QB.P ＜QC.P ≤QD.P ＞Q 【解析】,log log 2log ,log 21log 21)log (log 2165.0935.0935.065.0755.075.055.0a a a aa Q a a a a a P =<+===+= 所以P ＞Q . 【答案】D3. 已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为( )A ．4B ．5 C.115D ．72【解析】 依题意，得 3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2)，因此有3x 2＋4xy x 2＋y 2≤4，当且仅当x ＝2y 时取等号，即3x 2＋4xyx 2＋y2的最大值是4，结合题意得λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2，故λ≥4，即λ的最小值是4.【答案】A4.(xx·皖北四市联考)已知二次函数的值域为［0，＋∞)，则的最小值为( ) A.4 B.4 C.8 D.8 【解析】的值域为［0，＋∞)， ∴＞0且Δ＝4－4＝0.∴＝，∴4)1()1(11111122≥+++=+++=+++a a a a a a aa a c c a (当且仅当＝1时取等号)，∴的最小值为4.故选A. 【答案】A5. 已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( )A ．4B ．16C ．9D ．3 【解析】 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b恒成立．因为3b a＋3ab ≥23ba·3ab＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3ab≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.【答案】B6.如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若则的最大值为( )6.A. B.1 C.2 D.3【解析】以AC、AB为轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，∵∴∴M（0，）、N（0，），∴直线MN的方程为∵直线MN过点P(1,1)，∴，∴，∵，∴，当且仅当时取等号，∴mn的最大值为1.【答案】B二、填空题7.设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x＝b y＝2,2a＋b＝8，则＋的最大值为.【解析】由a x＝b y＝2得x=log a2,y=log b2,∴＋=+ =log2a+log2b=log2(ab),又a＞1，b＞1，∴8=2a+b≥2,即ab≤8，当且仅当2a=b，即a=2,b=4时取等号，所以＋=log2(ab)≤log28=3.故max=3.【答案】 38.设0<x<1，a,b都为大于0的常数，则的最小值是．【解析】∵=[x+(1-x)]=a2+b2+≥a2+b2+=(a+b)2，当且仅当，即时取等号，∴的最小值是(a+b)2．【答案】(a+b)29.(xx·北京西城模拟)在直角坐标系xOy中，动点A，B分别在射线上运动，且△OAB的面积为1，则点A，B的横坐标之积为；△OAB周长的最小值是_____.【解析】设.又∵k OA·k OB＝－1，∴OA⊥OB.∴S△AOB＝12|OA|·|OB|＝,化简得.设|OA|＝，|OB|＝，由题意可知＝2，.当且仅当时，∴.|AB |＝＝2，∴△OAB 周长的最小值为. 【答案】10. (xx·郑州模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab的最小值为________．【解析】因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab，当a ＝2b ＝12时取等号．令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18上单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.【答案】172三、解答题11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．【解析】 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.12.已知a ,b ,c 都是正实数，且满足log 4(16a +b )=log 2． （1）求ab 的取值范围；（2）若对a ,b ∈（0,+∞）都有4a +b ≥c 恒成立，求c 的取值范围． 【解析】 由log 4(16a +b )=log 2得：log 4(16a +b )=log 4ab 16a +b =ab ．（1）由ab =16a +b ≥2=8得ab ≥8，解得：ab ≥64，当且仅当时取等号，故ab 的取值范围是［64,+∞）.（2）由16a +b =ab 得：=1，4a +b =(4a +b )=20+≥ 20+2=36，当且仅当，即,时取等号，故4a +b 的最小值是36，即c 的取值范围为（0,36］．13.某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润f (x )= （单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x 个月的当月利润率g (x )= ，例如：g （3）=. （1）求g (10)；（2）求第x 个月的当月利润率g (x )；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率． 【解析】 （1）由题意得f (1)=f (2)=f (3)=……=f (9)=f (10)=1， ∴g （10）= =.（2）当1≤x ≤20时，f (1)=f (2)=……=f (x -1)=f(x )=1， ∴g (x )= =．当21≤x ≤60时，g (x )=()()()()8112021(1)f x f f f f x ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-==212102120 1 60010120xx x x x x =-+-++（）（）， ∴第x 个月的当月利润率为g (x )= .（3）①当1≤x ≤20时，g (x )= 是减函数，此时g (x )的最大值为g (1)= .②当21≤x≤60时，g(x)= =≤=，当且仅当x=时，即x=40时，g（x）max=，又∵＞，∴当x=40时，g(x)max=.故该企业经销此产品期间，第40个月的利润率最大，最大值为. x30460 76FC 盼31799 7C37 簷 *y30013 753D 甽,\34563 8703 蜃,O{26164 6634 昴20891 519B 军。