(II) 第一章 分析力学基础
[物理]分析力学基础
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4. 建立拉氏方程并加以整理，得出N个二阶常微分方程。
5. 求出上述一组微分方程的积分。
质量为m1、半径 为 r 的均质圆轮在水平面 上纯滚，轮心与刚性系数 为k 的弹簧相连。均质杆 AB长度为l ，质量为m2 。 求：系统的运动微分方程。 解：1、系统的约束为完整约束， 主动力为有势力。
V Qk 0 qk
d T T V ( ) 0 k dt q qk qk
称为拉格朗日函数（动势）
引入
L T V
因为势能只是广义坐标的函数，故
d L k dt q
L 0 q k
此即为主动力为有势 力的拉格朗日方程。
于是，虚位移原理的表达式成为
V 0
上式说明，在势力场中，具有理想约束的质点系的平 衡条件为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。 如果用广义坐标 q1，q2， ，qN 表示质点系的位置, 则质点系的势能可以写成广义坐标的函数，即
V V q1，q2， ，qN
根据广义力表达式，在势力场中可将广义力 QN 写成 用势能表达的形式，即
V Qk 0 (k 1， 2， ，N ) qk
在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件 是势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。
杆OA和AB以铰链相 连，O端悬挂于圆柱铰链
上，杆长OA=a ， AB=b
。杆重和铰链的摩擦都忽
略不计。今在点A和B分
别作用向下的铅锤力 FA 和 FB ，又在点B作用一 水平力 F 。试求平衡时 j1，j 2 与 F ，FA，FB
3、用广义坐标表示虚位移——广义虚位移
ri ri q1 , q2 ,, qN , t i 1,2, ,n
分析力学基础(1)
曲线坐标系
曲线坐标系的定义
y ρ = x + y , ϕ = arctan , z = z x
2 2
三族坐标曲面： 三族坐标曲面： 1. ρ = 常数，以 z轴为中心线的圆柱面 常数， 2. ϕ = 常数，包含 z轴的垂直于oxy平面的半平面 常数， 3. z = 常数，与oxy平面平行的平面 常数，
比较两式得到
P P =H
T
2
曲线坐标系
正交曲线坐标系 正交曲线坐标系
P P =H 两点注意： 两点注意：
T
2
1. PT P一般不等于单位矩阵 I。 一般不等于单位矩阵 2. 只有 H 2=I ，此时 e 是单位正交基向量时， 单位正交基向量时， 正交基向量时 P才是正交矩阵。
第1章 分析力学的基本概念
约 束
约
束
约 束－物体运动所受到的限制 定常约束与非定常约束
定常约束－约束方程中不显含时间的约束： 定常约束－约束方程中不显含时间的约束：
fα ( ri ) =0,i =1,2,⋅⋅⋅, n( 质点数)；α =1,2,⋅⋅⋅, s( 约束数)
非定常约束－约束方程中显含时间的约束： 非定常约束－约束方程中显含时间的约束：
i2
曲线坐标系
曲线坐标系的定义
基向量
∂r ei = ∂q ∂qi
(i =1,2,3)
ei 过M点沿坐标曲线[qi]的切线方向 沿坐标曲线[ ei 是单位向量吗？ 是单位向量吗？ ei (i = 1, 2, 3)在空间任意点M处构成局部坐标架 3)在空间任意 在空间任意点
曲线坐标系
曲线坐标系的定义
分析力学基础
牛顿的《原理》只提供了分析质点受力与运动的原型，对于复杂的力学系 统，甚至对一个简单的刚体的运动方程也还没有弄清楚。刚体的运动方程是 1765年由欧拉（Euler）最后弄清楚的。 按照当时已有的力学知识,要分析一个稍许复杂的机构,例如一个有五级 齿轮的传动系统的运动,也还是无能为力的.如果拿这个问题去请教牛顿,牛顿 只会处理自由质点运动,不会处理刚体运动,何况还是带约束的呢.而转去请教 欧拉呢?他不得不将整个系统化归为五个”隔离体”即五个刚体,分别列出五个 刚体的运动方程,而不同刚体之间又有作用力和反作用力的耦合,所以得面对 数十个方程联立的微分方程组.这样处理问题是太复杂了. 拉格朗日自有他的高招,他将这个系统简化为一个广义坐标的系统,因 为这个虽然有五个轮子的系统只要有一个参数便可以描述它的例如随便以 其中某一个轮子的转角为参数,这个参数知道了,整个齿轮系统的状态也便 知道了.然后再计算当系统动起来后系统的动能.这时便可以列出一个广义 坐标满足的二阶方程,这是何等的简便啊! 拉格朗日是怎么作到这一点的呢?
O
x
1
自由度： 2
a A
2
广义坐标： 1 2
二、受力分析：
y
b
B
F
计算广义坐标 1 、 2 对应 的 广义力
FA
FB
以下分两种方法进行计算
O
x
1
第一种方法： 解析法
xi yi zi Qk X i q Yi q Z i q i 1 k k k
即用质点系的平衡条件是： 所有的广义力都等于零
利用广义坐标表示的平衡条件求解实际问题时，关健在 于如何表达其广义力。
通常求广义力的方法有两种：
方法一：是采用公式计算
分析力学基础第一章(3,4节)
1 3
m2 2l 2q
m2lxcosq
m2 gl
sinq
0
FI a
F
MIC FI
MIC Ra FI
受力分析 FI ma
M IC
1 2
m R2
虚位移分析 x R
x
解：运动分析，系统自由度N=1
a R
动力学普遍方程
n
Fi FIi
ri 0
i 1
Fx 3FIx 2M IC 0
Fx 3max max 0
F 4ma x 0 x 0 F 4ma 0
3、系统的动能：T 1 m x2 y2 z2 2
4、系统的广义力：
z
mg y
W Qxx Qyy Qzz x
x 0 y z 0 y 0 x z 0 z 0 x y 0
W 0 Qx 0 W 0 Q y 0
W mgz
d dt
T qj
T q j
Qj
j 1, , k
B
O mg
C
A
mg
§ 1-3 动力学普遍方程
解：加速度分析，添加惯性力 建立动力学普遍方程
M IO
1 2
m R2O
O O aO
mg
B
AO
C
A
aCt mgaO
M IC
1 12
m
l
2
AO
B
M IO
FIO FIC mRO
FItC
m
l 2
AO
FIO O
FItC
FIC C
M IC
A
mg
mg
§ 1-3 动力学普遍方程
A
M
C1
Oq
q 90 30
高等工程力学笔记整理
第一章分析力学基础质点：只有质量，没有大小的物体。
质点系：由若干质点组成的、具有内在联系的集合。
位形：由质点系各质点在空间位置的有序集合决定了的该质点系的位置和形状，称为该质点系的位形。
自由质点：如果某质点在空间的位置和运动不受任何限制，这种质点称为自由质点。
非自由质点：如果某质点在空间的位置和运动受到某些限制，则该质点被称为非自由质点。
自由质点系：由自由质点组成的、具有内在联系的集合称为自由质点系（或自由系统）。
非自由质点系：由非自由质点组成的、具有内在联系的集合称为非自由质点系（或非自由系统）。
约束：非自由质点系在空间的位置以及在运动中受到的限制称为约束。
约束方程：将约束的限制条件以数学方程来表示。
几何约束：在质点系中，所加的约束只能限制质点系的位形，这种约束称为几何约束。
几何约束方程的一般形式f(r⃗i,t)=0或f(x i,y i,,z i,t)=0运动约束：在质点系中，所加的约束不仅限制各质点的位置，还限制它们的运动速度，这种约束称为运动约束。
运动约束方程的一般形式f(r⃗i,r⃗i,t)=0或f(x i,y i,,z i,ẋi,ẏi,żi,t)=0定常约束：不随时间变化的约束，即在约束方程中，不显含时间参数t的约束称为定常约束。
比如：f(r⃗i,r⃗i)=0非定常约束：随时间变化的约束，即在约束方程中，显含时间参数t的约束称为定常约束。
比如：f(r⃗i,r⃗i,t)=0双面约束：约束方程为等式的约束。
比如：f(r⃗i,r⃗i,t)=0单面约束：约束方程为不等式的约束。
比如：f(r⃗i,r⃗i,t)≤0完整约束：约束方程中不含确定系统位置的坐标的微商，或含有坐标的微商但不利用动力学方程就可直接积分成为不含坐标微商的约束。
比如：f(r⃗i,t)=0非完整约束：约束方程中含有确定系统位置的坐标的微商且不利用动力学方程不能直接积分为不含坐标微商的约束。
完整系统：如果某质点系所受的约束都是完整约束，这个质点系就称为完整系统。
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第一章分析力学基础质点：只有质量，没有大小的物体。
质点系：由若干质点组成的、具有内在联系的集合。
位形：由质点系各质点在空间位置的有序集合决定了的该质点系的位置和形状，称为该质点系的位形。
自由质点：如果某质点在空间的位置和运动不受任何限制，这种质点称为自由质点。
非自由质点：如果某质点在空间的位置和运动受到某些限制，则该质点被称为非自由质点。
自由质点系：由自由质点组成的、具有内在联系的集合称为自由质点系（或自由系统）。
非自由质点系：由非自由质点组成的、具有内在联系的集合称为非自由质点系（或非自由系统）。
约束：非自由质点系在空间的位置以及在运动中受到的限制称为约束。
约束方程：将约束的限制条件以数学方程来表示。
几何约束：在质点系中，所加的约束只能限制质点系的位形，这种约束称为几何约束。
几何约束方程的一般形式f(r⃗i,t)=0或f(x i,y i,,z i,t)=0运动约束：在质点系中，所加的约束不仅限制各质点的位置，还限制它们的运动速度，这种约束称为运动约束。
运动约束方程的一般形式f(r⃗i,r⃗i,t)=0或f(x i,y i,,z i,ẋi,ẏi,żi,t)=0定常约束：不随时间变化的约束，即在约束方程中，不显含时间参数t的约束称为定常约束。
比如：f(r⃗i,r⃗i)=0非定常约束：随时间变化的约束，即在约束方程中，显含时间参数t的约束称为定常约束。
比如：f(r⃗i,r⃗i,t)=0双面约束：约束方程为等式的约束。
比如：f(r⃗i,r⃗i,t)=0单面约束：约束方程为不等式的约束。
比如：f(r⃗i,r⃗i,t)≤0完整约束：约束方程中不含确定系统位置的坐标的微商，或含有坐标的微商但不利用动力学方程就可直接积分成为不含坐标微商的约束。
比如：f(r⃗i,t)=0非完整约束：约束方程中含有确定系统位置的坐标的微商且不利用动力学方程不能直接积分为不含坐标微商的约束。
完整系统：如果某质点系所受的约束都是完整约束，这个质点系就称为完整系统。
01-1 分析力学基础
1.1 分析力学基础 1.1.1 直角坐标与广义坐标
燕山大学
Yanshan University
平面直角坐标：用平面上的长度值表示平面上一点位置的坐标。 平面直角坐标系oxy。 三维直角坐标：在二维直角坐标系（oxy）的基础上,再添加一个 垂直于x轴、y轴的坐标轴，称为z轴。x轴、y轴、z轴满足右手定 则，则坐标系oxyz为三维直角坐标。 广义坐标：能决定系统几何位置的彼此独立的量。
Q2 P L sin t cos 0
(3)系统运动微分方程
d L dt q j L Qj q j j 1, 2, , n
燕山大学
Yanshan University
Q1 P sin t 0 Q2 P L sin t cos 0
两个相互啮合的光滑表面所构成的约束
燕山大学
Yanshan University
两曲面相互啮合的约束条件：两曲面不能脱
开，也不能相互嵌入；则有： δrN1=δrN2
N1与N2两者互为作用力与反作用力：
N1= -N2 由于δrT1及δrT2与约束力N1及N2相垂直，因 而约束力在该方向不做功。在虚位移下，约 束力所做的虚功为：
x1 l1 x2 l2
特点：从运动的观点来研究系统的静力平衡问题。 优点：只考虑外力，不必考虑支反力，应用方便。
虚位移
燕山大学
Yanshan University
虚位移：约束允许的微小位移。 (1)虚位移是微小的、即时发生的，即不考虑它们发生的过程。
(2)独立的虚位移数等于系统的自由度数。
对于图示杠杆系统，杠杆两端的虚位移δx1和δx2。由于杠杆是单自 由度系统，因此δx1和δx2只有一个是独立的。
18-分析力学基础
x1 x2 2 x3 l 0
l为与绳长及结构有关的一个常数。系统受理想约束，画出系统主动力
的受力图如图。 给系统一组虚位移δx1 ， δx2 及 δx3 ，它们之间的关系由约束方 程的变分给出
或
δx1 δx2 2δx3 0 1 δx3 (δx1 δx2 ) 2
δx1
一个自由质点在空间的位置可以用三个参数来确定，我 们说该自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制， 则其自由度数会减少，在完整约束条件下，确定质点系位置 的独立参数的数目等于系统的自由度数。 例如：一质点M 限制在球面的上半部 运动，则
( x a ) 2 ( y b) 2 ( z c ) 2 R 2 z c R 2 ( x a ) 2 ( y b) 2
O x
δyB b sin j2δj2 ,
δxB b cos j2δj2
代入对应于j 2的广义力表达式，得
j1
A
j2
j2
bj2 B
Q2
j2
δW δj 2
2
FAδy A FB δy B FδxB δj 2
FBb sin j2 Fb cos j2
两种方法所得的广义力是相同的，显然应 得到与式(d) 相同的结果。
O x
第十八章
分析力学基础
杆 OA 和 AB 以铰链连接，
O端悬挂于圆柱铰链上，如图
所示。杆长 OA=a ， AB=b, 杆 重和铰链的摩擦都忽略不计。
j1 A
j2
FA y
B F FB
今在点 A 和 B 分别作用向下的 铅垂力FA和 FB，又在点B作用
一水平力F。试求平衡时j 1，
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2009年12月29日
第一章分析力学基础
第一章分析力学基础
经典力学
本章内容：
§1–5 拉格朗日方程的初积分§1–6 第一类拉格朗日方程
以广义坐标表示的质点系平衡条件一、以广义坐标表示的虚功方程
虚功方程
广义坐标
i
i
++i zi i yi i
F F
的广义力
广义虚位移δq k ++i
zi i yi i F F
即：
二、广义力的计算
δq
≠0
k
z z z δq
k
≠0
[例1-1] 求广义力
A B
C M x ϕ
o
δx δr C m 1g
m 2g
解：0δ,0δ=≠ϕx （1）求Q x
δθ
A B
C M x ϕ
o
m 1g
m 2g
δϕ
δr C
（2）求Q ϕ
ϕ
δ,0δ=≠ϕx （1）求Q x
0δ,0δ≠=ϕx
三、有势力的广义力
元功
元功元功
推广：
y x d
d−−
广义坐标当质点系所受的主动力都是有势力时，有
广义力++i zi i yi i
F F
当质点系所受的主动力都是有势力时，有
广义力++i zi i yi i
F F
四、势能驻值定理
变分
虚位移原理
主动力
i i i
即：有势力
驻值
五、最小势能原理
稳定性
稳定五、最小势能原理
稳定性
随遇平衡
结论：
稳定最小势能原理¾
¾
z达朗贝尔原理z虚位移原理
达朗贝尔原理
虚位移原理
即：
动力与惯性力在该系统的任意虚位移上的虚功之和为零。
动力学普遍方程
解析形式即：动力学普遍方程
[例1-2]
已知：解：求：C 2
C 1
θ
A
C B
z
a 1a e
a r
α
F I1
F I2e
F I2r M I2
α
R a =r
C 2
C 1θ
A C
B
F I1
F I2e F I2r M I2m 1g m 2g z
δ,0δ≠=ϕx x ϕδx ¾
δr C2δϕ
C 2
C 1
θ
A C
B
F I1
F I2e
F I2r M I2δx δϕ
m 1g
m 2g
cos (1−a θ0
δ,0δ=≠ϕx ¾
=δx
1
21
1
21cos (1−a θ
本章内容：
§1–5 拉格朗日方程的初积分§1–6 第一类拉格朗日方程
上次内容回顾：
广义力：
广义坐标广义坐标
注意
动力学普遍方程
广义坐标
下面对第二项用广义坐标
i
i
i
i
广义惯性力
动力学普遍方程
广义惯性力广义惯性力：i i
&=i i =)(
在完整约束下，第t i
∂∂+r k k
i q q &∂∂r 广义速度i &r i
i i =)(i i
(i i (i
i
(i i
i i
i
(i i
广义惯性力⋅(i i r &⋅i i i i ⋅(i (i
i ⋅r &(i
=
)(i i &&⋅r i &i ⋅i i (k
i
i ⋅r &(k i i i &∂=
⋅i i i ⋅i i (i &i (i i
m &∑i i m
((i i m &∑i i m (第二类拉格朗日方程
z
有势力第二类拉格朗日方程
−)(
(−
)拉格朗日函数
(−
)
保守系统
z
自由度广义坐标
思考：
(
广义力。