分析力学.
分析力学内容包括
分析力学内容包括引言分析力学是经典力学的一个重要分支，研究物体运动的力学规律和原理。
它以牛顿力学为基础，通过数学方法分析物体的力、质量和运动状态之间的关系，从而揭示物体运动的规律和动力学性质。
1. 位移、速度与加速度分析力学首先考虑的是物体的位置随时间的变化规律。
位移（displacement）是描述物体位置变化的矢量量，速度（velocity）是位移随时间的导数，而加速度（acceleration）则是速度随时间的导数。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，反比于物体的质量，这意味着加速度可以描述物体受力情况。
2. 牛顿第二定律与力学方程牛顿第二定律是分析力学的核心概念之一。
它指出，力是物体质点的加速度的原因，即F=ma，其中F是力，m是物体的质量，a是加速度。
利用牛顿第二定律可以求解物体的动力学问题，如求解物体在给定外力作用下的运动轨迹、速度和加速度的变化。
3. 广义坐标与拉格朗日方程广义坐标（generalized coordinates）是用来描述一个系统的自由度的变量。
与笛卡尔坐标不同，广义坐标可以用更少的参数来描述系统的状态，从而简化了运动方程的表达和求解。
拉格朗日方程（Lagrangian equation）则是描述物体或系统在给定势能和动能下的运动方程。
通过引入拉格朗日函数，可以将动力学问题转化为变分问题，从而更便于求解复杂的运动问题。
4. 哈密顿力学与泊松括号哈密顿力学（Hamiltonian mechanics）是分析力学的另一个重要分支。
它通过引入广义动量，将力学系统的动力学描述为哈密顿方程的形式，从而将问题转化为一组通过泊松括号相互关联的微分方程。
哈密顿力学在研究体系的守恒量、周期性运动和混沌现象等方面有着重要的应用。
5. 刚体运动与欧拉角刚体是具有固定形状和尺寸，内部各点距离保持不变的物体。
刚体运动的描述主要涉及刚体的旋转和转动。
欧拉角（Euler angles）是描述刚体旋转的一种常用方法，通过角度的组合来描述刚体固定坐标系与身体坐标系之间的转动。
分析力学参考答案
分析力学参考答案分析力学参考答案引言：分析力学是物理学的一个重要分支，研究物体在力的作用下的运动规律。
在学习分析力学的过程中，参考答案是一个非常重要的工具，可以帮助学生巩固知识，理解问题的解决方法。
本文将分析力学的一些典型问题，并给出参考答案，帮助读者更好地掌握分析力学的基本原理和解题技巧。
一、牛顿第二定律问题牛顿第二定律是分析力学的基础，描述了物体在力的作用下的加速度。
以下是一个典型的牛顿第二定律问题：问题：一个质量为m的物体在水平面上受到一个恒定的力F作用，求物体的加速度和受力大小的关系。
解答：根据牛顿第二定律的公式F=ma，我们可以得到物体的加速度a等于受力F除以物体的质量m，即a=F/m。
因此，物体的加速度与受力大小成反比。
二、动量守恒问题动量守恒是分析力学中的一个重要原理，描述了系统在没有外力作用下动量的守恒。
以下是一个典型的动量守恒问题：问题：两个质量分别为m1和m2的物体在水平面上碰撞，碰撞前物体1的速度为v1，物体2的速度为v2，碰撞后物体1的速度为v'1，物体2的速度为v'2，求碰撞前后两个物体的动量是否守恒。
解答：根据动量守恒定律，系统在没有外力作用下，动量守恒。
即m1v1 +m2v2 = m1v'1 + m2v'2。
因此，两个物体的动量在碰撞前后保持不变，动量守恒。
三、角动量问题角动量是分析力学中的一个重要概念，描述了物体绕某一点旋转的特性。
以下是一个典型的角动量问题：问题：一个质量为m的物体绕固定点O以角速度ω旋转，求物体的角动量L 与角速度ω的关系。
解答：根据角动量的定义L=Iω，其中I为物体对固定点O的转动惯量。
对于一个质量为m的物体，其转动惯量I等于mr^2，其中r为物体到固定点O的距离。
因此，物体的角动量L与角速度ω成正比，L=mr^2ω。
结论：通过以上的分析力学问题及其参考答案，我们可以看出分析力学的基本原理和解题技巧。
牛顿第二定律描述了物体在力的作用下的加速度，动量守恒原理描述了系统在没有外力作用下动量的守恒，角动量则描述了物体绕某一点旋转的特性。
分析力学
分析力学分析力学的定义：分析力学是一般力学的一个分支。
以广义坐标为描述质点系的变量，以虚位移原理和达朗贝尔原理为基础，运用数学分析方法研究宏观现象中的力学问题。
分析力学的发展：1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力学》为这门学科奠定了基础。
1834年和1843年W.R.哈密顿建立了哈密顿原理和正则方程，把分析力学推进一步。
1894年H.R.赫兹提出将约束和系统分成完整的和非完整的两大类，从此开始非完整系统分析力学的研究。
分析力学的基本内容：阐述力学的普遍原理，由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方程，并研究这些方程本身以及它们的积分方法。
分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。
它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。
相关概念：一、约束的概念和分类1、力学体系n 个相互作用的质点构成的集合体若力学体系中每一个质点的位置都确定，则这个体系的位置以及质点组的形状，即系统的位形就确定了。
一任一质点的位置可用三个坐标参量表示, n 个质点组成的系统, 则由3n 个坐标参量描述。
2、约束限制质点自由运动的条件。
几乎所有的力学系统都存在着约束。
例如, 刚体内任意两质点间距离不变,两个刚体用铰链连接, 轮子无滑动地滚动, 两个质点用不可伸长的绳连接等等. 对状态的限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制,如果n 个质点所形成的力学体系中受有k 个限制其位置的约束，那就有k个表示这种约束的方程，因此3n 个坐标中就只有3n 一k 个是独立的．3、约束的分类（1）几何约束与微分约束几何约束：某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制, 而对各质点的速度没有限制。
又叫完整约束。
例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束.微分约束：涉及力学系统运动情况的约束, 即对速度也有限制。
又叫运动约束。
分析力学PPT课件
x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2
f (x, y, z,t) x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2 0
（3）可解约束和不可解约束 a 可解约束：只从一侧限制系统运动的约束，
即单方向约束 如甲虫在气球内（或外）但可飞离球面 x2 y2 z2 R2 或 x2 y2 z2 R2
1、广义坐标定义 任何 f 个可以完全确定（刻化）系统（f 个
自由度）位置的变量 q1, q2 , q f 称为该系统的广
义坐标，其对时间的导数则称广义速度。 （1）对完整约束，广义坐标数目与自由度数
目相等; （2）广义坐标的选择不是唯一的，并且是任
意的，长度、角度、面积、能量、电量、电流， 电极化强度 P ，磁化强度 M 等都可以作广义坐标;
2、问题的提出：导出理论的思路 实际问题是每个质点受到的作用力中还包括由
于维持约束而出现的约束力（或约束反力），这些 力都是未知的，而且与体系的运动有关，这使问题 更为复杂。分析力学把这类力的存在当做处理难点 来建立力学理论。
还是从质点组出发，但用一个受有约束的质点 组可以概括广泛的力学研究对象——非自由体系。
反映约束条件的方程称其约束方程
2、约束力：为维持约束而加于系统的力称为约 束力（也称约束反力）
（1）约束力可以是物体间相互接触而产生的力 （如桌面对其上物体的支持力），也可以是物体内 各部分的相互作用力（刚体内各质点间的作用力） （2）约束力在动力学问题未解出之前一般是未知 的 （特 殊 情 况 为 已 知 如 桌 面 对 物 体 的 支 撑 力 为 mg ），约束的存在并没有因事先知道了部分运动 情况而使求解变得简单，常常反而使问题变得更复 杂了
（3）约束力的大小和方向与约束有关，还与 外力及运动状态有关，可按约束运动的需要自动 调节，是一种因运动，外力而变化的被动力
分析力学的原理与应用
分析力学的原理与应用一、分析力学的概述•分析力学是力学中的一个重要分支，它研究物体的运动和受力情况，基于物体的力学性质和动力学原理来进行分析和计算。
二、分析力学的基本原理1.牛顿第二定律•牛顿第二定律是分析力学的基础，它表明一个物体的加速度与作用在它上面的力成正比。
公式表达为F=ma，其中F是作用在物体上的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
2.动能定理•动能定理是分析力学中重要的定理，它表明当物体受到外力时，由该外力所做的功等于物体动能的变化，即 $W=\\Delta KE$。
其中，W代表功，KE代表动能的变化。
3.力的合成与分解•在分析力学中，力的合成与分解是一个基本的技巧，用于将一个力分解为多个分力或将多个分力合成为一个力。
这在分析力学中的应用十分广泛。
4.质点系的动力学原理•质点系的动力学原理是研究质点系整体运动的理论基础，它基于质点系的质量、速度和力的关系，描述质点系的运动状态。
三、分析力学的应用领域1.静力学•静力学是分析力学的一个重要应用领域，它研究物体在静力平衡状态下受到的力和力的平衡条件。
静力学广泛应用于建筑、桥梁和机械等领域，用于分析和设计各种结构。
2.动力学•动力学是分析力学的另一个重要应用领域，它研究物体在运动状态下受到的力和运动方程。
动力学可以应用于机械、车辆、航空航天等领域，用于分析和设计各种运动系统。
3.振动与波动•分析力学还可以应用于研究物体的振动和波动问题。
振动和波动是许多实际问题中常见的现象，如桥梁的振动、地震波的传播等。
分析力学可以提供对这些问题的详细分析和计算。
4.流体力学•分析力学还可以应用于研究流体力学问题。
流体力学研究流体的运动和受力情况，分析力学提供了用于分析和计算流体力学问题的方法和原理。
四、分析力学的未来发展•随着科学技术的不断进步，分析力学在各个领域的应用越来越广泛。
未来，分析力学将继续发展，提供更多的理论和方法，以解决复杂的力学问题。
同时，随着计算机技术的发展，计算机模拟在分析力学中的应用也将日益重要，可以更加准确地计算和预测物体的运动和受力情况。
分析力学
分析力学 分析力学是理论力学的一个分支，它通过用广义坐标为描述质点系的变数，以牛顿运动定律为基础，运用数学分析的方法，研究宏观现象中的力学问题。
分析力学是适合于研究宏观现象的力学体系，它的研究对象是质点系。
质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系，质点数可由一到无穷。
又如太阳系可看作自由质点系，星体间的相互作用是万有引力，研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学，同分析力学密切相关，在方法上互相促进；工程上的力学问题大多数是约束的质点系，由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。
例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。
不同的系统所遵循的运动微分方程不同；研究大量粒子的系统需用统计力学；量子效应不能忽略的过程需用量子力学研究。
但分析力学知识在统计力学和量子力学中仍起着重要作用。
分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越，因为有了约束方程，系统的自由度就可减少，运动微分方程组的阶数陆之降低，更易于求解。
分析力学的发源1788年拉格朗日出版的«分析力学»是世界上最早的一本分析力学的著作。
分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上。
两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程。
1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。
1834年，汉密尔顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程，称为正那么方程。
汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。
从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在«理性力学»中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论。
20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。
分析力学论文
分析力学论文引言分析力学是研究物体运动和相互作用的科学，它是理论力学的一个分支。
通过应用数学和物理学原理，分析力学试图理解和预测物体在受力下的运动规律。
本文将对分析力学的基本概念、原则和应用进行探讨和分析。
分析力学的基本概念分析力学基于牛顿力学和拉格朗日力学的基本原理，通过建立精确的数学模型来研究物体的运动。
其基本概念包括质点、力、质点的运动方程和虚功原理等。
质点质点被认为是没有大小和形状的物体，在分析力学中往往将其用作研究物体运动的基本单位。
质点的位置可以通过坐标系中的坐标来描述。
力力是导致物体产生运动或变形的作用或影响。
在分析力学中，力可以分为两类：外力和约束力。
外力是作用在物体上的来自外部的力，约束力则是由物体与其它物体相互作用而产生的内部力。
质点的运动方程质点的运动方程是描述质点在受力作用下的运动规律的方程。
基于牛顿第二定律，可以得到质点的运动方程：∑F=m⋅a其中，∑F表示作用在物体上的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
虚功原理虚功原理是分析力学中的重要原理之一。
它指出在保持约束的情况下，一个物体所受的任意微小位移所作的虚功的总和为零。
虚功原理可以用来分析物体的静力平衡、运动学条件和动力学条件等问题。
分析力学的应用分析力学的研究对象包括刚体、弹性体和流体等物体。
在实际应用中，分析力学有着广泛的应用领域。
动力学分析分析力学可以用来分析物体在外力作用下的运动规律。
例如，通过分析物体的运动方程，可以预测物体的运动轨迹、速度和加速度等信息。
这对于设计机械系统、优化工艺流程等具有重要意义。
结构力学结构力学是分析力学的一个重要分支，主要研究物体内部受力和变形的规律。
通过应用分析力学的原理和方法，可以对建筑物、桥梁、飞机等结构的稳定性和安全性进行评估和设计。
流体力学流体力学研究物体在流体介质中的运动规律和相互作用。
通过分析流体的运动方程和力学特性，可以研究液体和气体的流动行为，为实现流体力学的应用提供理论基础。
分析力学的原理
分析力学的原理分析力学是一个领域，它基于牛顿力学的原理，旨在使用数学方法来研究力学问题。
它的基本原理是运动方程，也称作牛顿第二定律，即质点的加速度与作用于质点上的合力成正比例，与质点的质量成反比例。
下面我们将更具体的讨论分析力学的原理。
分析力学基于变分原理。
变分原理与最小作用量原理等价，即一个系统所遵循的路径是作用量最小的路径。
这个原理限制了系统的可能路径，从而简化了运动方程的求解。
变分原理公式化为：\delta S = 0其中S是作用量：\int{L(x,\dot{x},t)dt}，L是拉格朗日量，它是位形变量x、时间t以及其变化率\dot{x}的函数，L描述了系统的运动。
为了了解分析力学的原理，我们将讨论拉格朗日力学和哈密顿力学。
拉格朗日力学拉格朗日力学基于拉格朗日量L和变分原理来描述系统的运动。
首先，我们需要确立系统的广义坐标q，这些广义坐标描述系统中的每个自由度。
系统的拉格朗日量可以写成：L=T-U其中，T是动能，U是势能。
这个公式的物理意义是系统在任一时刻的总能量等于动能减去势能。
接下来，我们根据变分原理，将拉格朗日量S的变分表示为：\int_{t_1}^{t_2}(Ldq-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}})dq)考虑系统的任意路径，我们可以对这个式子做部分分解：\int_{t_1}^{t_2}Ldq - \int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{q}})dq + (\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\big_{t_2}\Delta{q}\big _{t_2} - \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\big_{t_1}\Delta{q}\big _{t_1})考虑路径是固定的，使变分为0，我们得到：\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0这个方程称为欧拉-拉格朗日方程，它是描述系统的运动的基本方程。
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i i i T
mq p q
∂==∂
由于势能函数只与广义坐标有关,与广义速度无关,因此
(i i i i T U T L
p q q q
∂−∂∂===∂∂∂称为广义动量i L
q
∂∂二、勒让德变换设有函数(
,f f x y =((d d d ,d ,d f f
f x y P x y x Q x y y
问题：力学规律是否只有牛顿形式？力学规律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈密顿形式。分析力学的主要内容经典力学：牛顿力学＋分析力学第一章拉格朗日方程与哈密顿方程§1-1自由度和广义坐标一个自由质点在空间的位置可以用三个独立坐标来确定，我们说该自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制，则其自由度数会减少。若有一个约束方程，确定其位置用两个独立坐标即可，则质点的自由度减少为2个。
r xi yj zk
=++
U U U U F U i j k
r x y z
∂∂∂∂=−∇=−=−−−∂∂∂∂
2、若单个质点在保守力场中运动:
——势能函数(U r
分量形式:x y z U
mx F x U my
F y U mz
F z ⎧∂==−⎪∂⎪
∂⎪
==−⎨∂⎪
⎪∂==−⎪∂⎩
若记x ,y ,z为q 1,q 2,q 3,
p q
∂=∂ (
d 01,2,,d i i L L
i s t q
q ⎛⎞∂∂−
==⋅⋅⋅⎜⎟∂∂⎝⎠ d d i i
L p t q ∂⇒=∂根据拉格朗日方程
1、哈密顿函数i i
L p
q ∂⇒=∂ 11d d d s
s i i i i i i L L
L q q q q
==∂∂∴=+∂∂∑∑ (,i i L L q q
1
d d d d d d d d d d s s i i i i i i s s s s
i i i i i i i i i i i i s s
i i i i i i H p q L p q L p q
q p p q p q q
p p q ========⎛⎞⎛⎞
=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
=+−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
例如：一质点M限制在球面的上半部运动，球心坐标为（a，b，c），则约束方程( x − a2 + ( y − b2 + ( z − c2 = R 2 z =c+ R 2 − ( x − a2 − ( y − b2故该质点在空间的位置由x、y就可确定，其自由度数为2。一般讲，一个由N个质点组成的质点系，每个质点不受约束，系统的确定需要3N个孤立坐标，则系统的自由度为3N。若受到k个约束作用，则其在空间的位置可由3N－k个坐标完全确定下来。系统的自由度为3N－k。
,,x y z ,,x y z ,,r θϕ,,r θϕ
§1-2拉格朗日方程
力是力学系统的核心,求解运动方程需要知道物体的受力情况(大小和方向。
牛顿力学的运动微分方程:2
2d d r
m F
t
=拉格朗日方程的特点是避开矢量力,而利用标量动能和势能来描述运动。
从牛顿方程出发推导拉格朗日方程
1、单个质点不受约束需三个独立坐标描述其位置,即有三个自由度。直角坐标系中位置矢量:
212T mr =动能:
sin r r re
r e r e θϕθθϕ=++ ((
(2222221sin sin 2
1sin 2r r m re r e r e re r e r e m r r r θϕθϕθθϕθθϕθθϕ=++⋅++=++有心力势能仅是质点到力心距离的函数(U U r =所以拉格朗日函数为:
ϕ
ϕ⎧∂∂⎛⎞−=⎪⎜⎟∂∂⎝⎠⎪⎪∂∂⎪⎛⎞−=⎨⎜⎟∂∂⎝⎠⎪⎪⎛⎞∂∂−=⎪⎜⎟∂∂⎪⎝⎠⎩将以上结果代入拉格朗日方程(d 01,2,,d i i L L i s t q q ⎛⎞∂∂−==⋅⋅⋅⎜⎟∂∂⎝⎠得到:
((222d sin d mr mr mr U r t
θθϕ′=+− (
222d sin cos d mr mr t θθθϕ= (22d sin 0d mr t θϕ=
⎛⎞
∂==⎜⎟∂⎝⎠
上式再对时间求微分得:
动能对求偏导i q
d d i i T F t q
⎛⎞
∂=⎜⎟∂⎝⎠
i i U F q ∂=−∂由
和二式相减得:
d 0d i i
T
U
t q
q ⎛⎞∂∂+=⎜⎟∂∂⎝⎠ 4、引入拉格朗日函数L L T U
=−动能T仅是速度的函数,势能U仅是坐标的函数,因此
i q
三、力学状态的确定同时给定物体的坐标和速度（量子力学与此不同）四、力学规律的表达形式力学系统的运动微分方程（牛顿第二定律）：d2r m 2 =F dt力是力学系统的核心。五、伽利略相对性原理（爱因斯坦相对性原理）力学规律在所有惯性系中都是等价的，不存在特殊的惯性系。六、牛顿力学的适用范围低速（v运动。3 × 108 m/s）、宏观物体（l 10−10 m）的
2、在分析力学中特征函数为拉格朗日函数(标量函
数,在牛顿力学中特征函数是力(矢量。
2
2d d r m F t
= d 0d i i L L
t q
q ⎛⎞∂∂−
=⎜⎟∂∂⎝⎠
3、由可以看出,拉格朗日函数是广义坐标和广义速度的函数。
(((,i i i i L T q
U q L q q =−= 4、不再限于直角坐标,在此为广义坐标。
2、若要将变量x变为P
(d d d Px x P P x
=+∵两式相减得:(d d d f Px Q y x P −=−(
,g f Px g y P =−=变换后的函数:g f Px
=−称为函数f的勒让德变换
((d ,d ,d f P x y x Q x y y =+与式
相减得:
3、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ—三个变量(可推广到N个变量
212T mx =动能:212
U kx =势能:拉格朗日函数:221122
L T U mx kx =−=−
221122mx kx L mx x x
⎛⎞∂−⎜⎟∂⎝⎠==∂∂ 221122mx kx L kx x x ⎛⎞∂−⎜⎟∂⎝⎠==−∂∂ d 0d L L t x x
∂∂⎛⎞−=⎜⎟∂∂⎝⎠将以上结果代入拉格朗日方程
§1-4哈密顿函数
哈密顿方程
一、广义动量
将动能T对速度分量求偏导数,即可得动量的分量。
一个质量为m的质点的动能为(2221231
2
T m q q q =++ 111T
mq p q
∂==∂ 222T
mq
p q
∂==∂ 333T
mq
p q
∂==∂ 2
1
12s i i T m q ==∑推广到具有s个自由度的系统,则其动能为
i q (
d 01,2,,d i i L L i s t q q ⎛⎞∂∂−==⋅⋅⋅⎜⎟∂∂⎝⎠ 5、描述具有s个自由度的系统,有s个广义坐标,需列出s个拉格朗日方程。在很多情况下,由拉格朗日方程得到的关于广义坐标的运动微分方程是二阶非线
性的,求解它们还需知道和的初始值。i q i q
(
d 01,2,,d i i L L i s t q q ⎛⎞∂∂−==⋅⋅⋅⎜⎟∂∂⎝⎠
d d d d f P x Q y R z =++(d d d d f Qy Rz P x y Q z R
⇒−−=−−((
,,g f Qy Rz g x Q R =−+=变换后的函数:
(g f Qy Rz =−+称为函数f的勒让德变换勒让德变换后的函数=原函数-
原变量乘以变换量
∑归纳
三、哈密顿函数与哈密顿方程广义动量i i L
得到:0mx
kx +=例题:写出有心力场中质点的拉格朗日方程。(d d d d sin d r r r re re r e r e θϕθθϕ==++上式两边除以d t ,得到速度:
sin r r re
r e r e θϕθθϕ=++解:体系有三个自由度,选球坐标系为广义坐标。,,r θϕr r re =位置矢量在球坐标系的表达式为:位置矢量在球坐标系的微分表达式为:
123,,q q q 12,s q q q ⋅⋅⋅(
d 01,2,,d i i L L
i s t q
q ⎛⎞∂∂−
==⋅⋅⋅⎜⎟∂∂⎝⎠ (i i i
U T U L
q q q ∂−∂∂==−∂∂∂说明:
1、拉格朗日方程是力学系统的基本运动方程,运动方
程在牛顿力学中是牛顿第二定律,在分析力学中是拉格朗日方程。
对完整系统,系统的自由度数等于系统在空间中位置的独立坐标数目。
我们把这些描述质点系在空间中位置的独立坐标,称为广义坐标,用来表示。广
义坐标对时间的微商称为广义速度,用来表示。123i N k q q q q −……、、d d i q
t
123i N k q
q q q − ……、、描述质点系在空间中位置时,广义坐标的选取并不是唯一的。例如自由质点的位置可以用确定,则就是其一组广义坐标,如果利用球坐标,自由质点的位置也可以用确定,则也是其一组广义坐标。
上式又写为:
111U
mq
F q ∂==−∂ 222
U
mq
F q ∂==−∂ 333
U
mq
F q ∂==−∂ ,结合牛顿第二定律22d d r F m mr t == U F r