分析力学基础

牛顿的《原理》只提供了分析质点受力与运动的原型，对于复杂的力学系 统，甚至对一个简单的刚体的运动方程也还没有弄清楚。刚体的运动方程是 1765年由欧拉（Euler）最后弄清楚的。 按照当时已有的力学知识,要分析一个稍许复杂的机构,例如一个有五级 齿轮的传动系统的运动,也还是无能为力的.如果拿这个问题去请教牛顿,牛顿 只会处理自由质点运动,不会处理刚体运动,何况还是带约束的呢.而转去请教 欧拉呢?他不得不将整个系统化归为五个”隔离体”即五个刚体,分别列出五个 刚体的运动方程,而不同刚体之间又有作用力和反作用力的耦合,所以得面对 数十个方程联立的微分方程组.这样处理问题是太复杂了. 拉格朗日自有他的高招,他将这个系统简化为一个广义坐标的系统,因 为这个虽然有五个轮子的系统只要有一个参数便可以描述它的例如随便以 其中某一个轮子的转角为参数,这个参数知道了,整个齿轮系统的状态也便 知道了.然后再计算当系统动起来后系统的动能.这时便可以列出一个广义 坐标满足的二阶方程,这是何等的简便啊! 拉格朗日是怎么作到这一点的呢?
O
x
1
自由度： 2
a A
2
广义坐标： 1 2
二、受力分析：
y
b
B
F
计算广义坐标 1 、 2 对应 的 广义力
FA
FB
以下分两种方法进行计算
O
x
1
第一种方法： 解析法
xi yi zi Qk X i q Yi q Z i q i 1 k k k
即用质点系的平衡条件是： 所有的广义力都等于零
利用广义坐标表示的平衡条件求解实际问题时，关健在 于如何表达其广义力。
通常求广义力的方法有两种：
方法一：是采用公式计算
x y z X i i Yi i Z i i Qk qk qk qk i 1
一、以广义坐标表示的质点系的平衡条件 由虚位移原理： 具有理想约束的质点系的平衡条件为
F r
i
i
0
在上式中，虚位移不一定是独立的虚位移，所以在解题时，还要建立虚位移 之间的关系，然后才能将问题解决。如果我们直接用广义坐标的变分来表示虚位 移，则这种广义虚位移之间是相互独立的，这时虚位移原理可以表示为更简洁的 形式。
1
Q1 ( FA FB )a sin 1 Fa cos 1
O
x
1
2
a 2
保持 1 不变，只有 2 时：
y
2
yA 0
yB b sin 22
F1
B
F2
Q2
F
xB b cos 22
W
2
2

FA y A FB yB F xB
这本书的第二版共分两卷,有785页之多.第一卷的一半是静力学,主要讨论质点组和流体的平 衡问题,第一卷的后一半和第二卷是讨论动力学的,动力学共分13章.
推动天体运行的人：拉格朗日
人类能够在二十世纪进入太空与两个人有 很大关系，一个是牛顿，一个是拉格朗日。 牛顿的万有引力定律奠定了天体力学的基 础，而拉格朗日的行量研究则开拓了近代 天文学。 ——加加林
以q1，q2，…，qN表示质点系的广义坐标，则各质点的坐标都 可以写成这些广义坐标的函数。
F r
i
i
0
直角坐标形式： X ixi Yiyi Z izi 0
W
F

X x Y y
i 1 i i i
n
n
i
Z izi
N xi yi zi X i Yi Zi qk qk qk qk i 1 k 1 N n x y z X i i Yi i Z i i qk qk qk qk k 1 i 1
§1-1
1 自由度
自由度与广义坐标
自由度: 确定系统位置的独立坐标数目。 自由度为3
自由质点 曲面上运动的质点 曲线上运动的质点
自由度为2
自由度为1
2 广义坐标 广义坐标：确定系统位置的独立变量。 完整约束条件下：自由度数=广义坐标数
x θ y l θ1
x
l1 M1（x1，y1） l2 θ2 M2（x2，y2）
W
QA
A
FA xA PC yC
1 ( FA PC ) xA 2
A
W
x A
1 PC FA 2
WB PyB PC
M（x，y）
y
对于具有大量互相约束的力学系统,广义坐标的引进,实际上是消除约 束的和简化计算最方便的途径.拉格朗日在他的分析力学中还引进了另一 种消除约束的办法,即以约束力代替约束,称为不定乘子法.所得到的方程 也称为拉格朗日第一类方程.从这个意义上讲,我们也可以说,分析力学是 针对有大量约束的复杂系统的力学,也可以说是近代工业的力学. 分析力学中引进的广义坐标实际上是最早高维空间的概念.后来到了 1854年,德国的数学家黎曼(Riemann)引进了黎曼几何,黎曼流形,才对力学 上的广义坐标给了一个比较深刻的解释,所以我们也可以说,分析力学是 流形上的力学.拉格朗日使力学脱离了古典欧氏几何的束缚,但并没有使 它永远脱离几何,而是使力学与更高层次的几何____流形几何或现代微分 几何相联系在一起.
第一章 分析力学基础
我们知道的东西是有限的,我们不知道的东西是无限的.
_______ 拉普拉斯
Classical Mechanics (没有相对论的力学）
1687年, 《自然哲学的数学原理》 此后两个方向发展 1 扩大研究范围。法国达朗伯，瑞士欧拉。 2 寻求新的表达形式。瑞士伯努利，法国拉格朗日，英国哈密顿 拉格朗日的目标： 1788 《分析力学》， 分析力学的理论体系
哈密顿在评论拉格朗日的分析 力学工作时说他把力学处理为” 一种科学的诗”
经典力学的基础
1）不含理想约束力的动力学方程组。 2）方程个数最少的动力学方程组。
一本没有图的力学书 《分析力学》
从古代开始的力学和天文学著作都涉及大量的几何知识并且有许多几何 图形的插图。 “没有学过几何的人,不准入内!” 巨著《天体运行论》 （1543年,哥白尼）的第一版扉页上。 “几何学是建立在力学实践之上的，它无非是普通力学的一部分， 能精确地提出并论证测量的方法。” 《自然哲学的数学原理》（1687，牛顿）第一版序言 101年之后，法国大革命前一年。
F tan1 FA FB
F tan 2 FB
O
1
x
a 1 1
第二种方法： 几何法 保持 2 不变，只有 1 时：
1
y A yB a sin 1 1
a 1
y
2
F1
Q1
B
F2
F
xB a cos1 1
W
1
1

FA y A FB yB F xB
r r (q1 , q2 ,..., qN , t )
z
v u
r ( x, y, z )
f ( x, y, z, t ) 0
r r ( x, y, z )
f ( x, y, z, t ) 0
y
x
z z( x, y, t )
r r ( x, y, t )
§1-2
以广义坐标表示的质点系平衡条件
n
k 1,2,..., N
方法二： 只给质点系—个广义虚位移δqk不等于零,而
其它（N-1）个广义虚位移均为零。
此时：
WF Qkqk Qkqk
k 1
N
Qk
W
q k
F
例 杆OA和AB以铰链相连，O端悬挂于圆柱铰链上、如图所示 。杆长OA＝a．AB＝b，杆重和铰链的摩擦都忽略不计,今在点 A和B分别作用向下的铅垂力FA相FB，又在点B作用一水平力F. 试求平衡时 1 、 2 与FA、FB、F之间的关系。 解： 一、研究对象：系统
设: q1 , q2 , ... , qN 为系统的一组广义坐标
可以将各质点的坐标表示为:
ri ri (q1 ,...qN , t )
对上式进行等时变分运算
(i 1,..., n)
ri ri q j j 1 q j
N
(i 1,..., n)
q1 , ... , qN 为广义坐标的变分,称为广义虚位移。
我过完了我的一生，我在数学中得到了一些名声。我从不 恨任何人，我没有作过什么坏事，死会是很好的；但是我 的妻子不希望我死。
如果让你在19世纪以前，在世界范围内选六位最著名的数学家。 多数人会选这样六位：
阿基米德、牛顿、莱布尼兹、欧拉、拉格朗日、柯西。
Archimedes, 287 BC---212BC Isaac Newton,1642，12，25－1727，3，20 Gottfried Wilhelm Leibniz,1646－1716 Leonhard Euler,1707－1783 Joseph Louis Lagrange, 1736，1，25－1813，4，11 Cauchy,Augustin-Louis,1789,821—1857,523
n
a A
2
k 1,2,..., N
y
b
B F FB
Q1 FA
Q2 FA
y A y x FB B F B 1 1 1
y A y x FB B F B 2 2 2
y B a sin 1 1
y B b sin 2 2
人物记事
●他是欧洲最伟大的数学家之一，曾担 任柏林科学院的数学部主任。 ●他意志坚强．涉猎广泛，尤其是在 “解析函数论”中成就突出。