理论力学：第13章 虚位移原理及分析力学基础
18第十三章 虚位移原理
曲柄连杆机构
xA2 yA2 r2 (xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
Theoretical Mechanics
第十三章 虚位移原理
刘习军
一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质 点系，其自由度为
k 3n s
通常，n 与 s 很大而k很小。为了确定质点系的位置， 用适当选择的k个参数（相互独立），要比用3n个直角 坐标和s个约束方程方便得多。
sin 1 cos1
l2
cos 2
y B l1 sin 1 l2 sin 2
第十三章 虚位移原理
13.1 虚位移的基本概念 约束和约束方程 约束的分类 自由度 广义坐标
刘习军
Theoretical Mechanics
第十三章 虚位移原理
刘习军
约束和约束方程 自由质点系：质点的运动状态（轨迹、速度等等）只
取决于作用力和运动的起始条件。 其运动称为自由运动。 非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预先给定
因此自由度数为 k 2 2 3 1 为广义坐标
xA r cos yA r sin
xB r cos l cos
sin r sin
l
Ψ
Theoretical Mechanics
第十三章 虚位移原理
刘习军
若用刚体作为基本单元
设某质点系由N个刚体、s个完整约束组成。 刚体有3N个线位移坐标（直角坐标系的三个直 角坐标）和3N个角位移坐标（例如三个欧拉角）， 共计6N个坐标来确定这N个刚体在空间的位置； 确定该质点系位置的独立坐标的数目亦即自由度
其自由度为 k=3n-s 确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立 坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称 为自由度。
理论力学教学材料-10虚位移原理
弹性力学中的虚位移分析
05
CHAPTER
虚位移原理的扩展与深化
广义虚位移原理
在经典力学中，虚位移是指在平衡状态下，系统内部各质点间的相对位移。广义虚位移原理则将这一概念扩展到整个力学系统，包括外部作用力、约束条件和能量变化等因素。
广义虚位移的求解方法
通过构建广义坐标和广义速度，将问题转化为求解广义动能的变分问题，进而得到系统的平衡条件和运动方程。
理论力学教学材料-10虚位移原理
目录
虚位移原理概述 虚位移原理的基本理论 虚位移原理的推论与结论 虚位移原理的实例分析 虚位移原理的扩展与深化
01
CHAPTER
虚位移原理概述
定义与概念
虚位移原理
在不受外力的情况下，系统的总虚位移为零。
虚位移
系统内各质点在虚设的外力作用下所发生的位移。
虚功
虚位移与实位移的区别与联系
静力学问题
虚位移原理可以用于解决静力学问题，例如求约束反力、分析刚体的平衡等。通过引入虚位移和虚力，可以将静力学问题转化为求解代数方程的问题。
动力学问题
在动力学问题中，虚位移原理可以用于分析系统的运动状态和受力情况。通过引入虚位移和虚力，可以将动力学问题转化为求解微分方程或积分方程的问题。此外，虚位移原理还可以用于求解约束系统的振动问题、稳定性问题等。
虚位移原理在动力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的实例分析
单个刚体的虚位移分析
总结词
在单个刚体的虚位移分析中，我们关注刚体的位置变化和力的作用。
详细描述
首先，我们需要确定刚体的初始位置和最终位置，然后分析在力的作用下刚体的位移变化。这个过程需要考虑到刚体的转动和移动，以及力和位移之间的关系。
理论力学：第13章 虚位移原理及分析力学基础
第13章 虚位移原理及分析力学基础也称虚功原理。
在固体力学、结构力学中应用较多。
主要思路∶在讲本章时，先不写本章题目，而是在黑板上给出下面静力学问题（图13-1），让学生思考如何解，再一起求解。
进一步看更复杂的结构（图13-2），结论是∶用传统静力学的方法很繁。
再提示如能直接建立P 、Q 关系最好，从而避开众多反力。
用什么理论呢?静力学的方法已被否定，运动学不能解决受力问题，动力学中动量、动量矩定理必须包含反力，不行；动能定理呢?d F T W δ=∑，而d 0T =，则0F W δ∑=，即虚位移原理。
具体如下：1. 考虑如下问题的求解。
如图19-1，系统平衡。
已知Q 、l 、α，求P 。
问题：用几何静力学方法如何求解？ （1）整体：()0O m F ∑=→C N （2）E 点（或BE 、AE 及重物）→BE S（3）BC 和滑块C()0D m F ∑=→P图13-2可见，对此类题目，用几何静力学求解较繁。
如图13-3示结构，用此种解法更繁。
因为：①要取多个分离体，画多个受力图；②引入多个中间未知量，要列多个方程。
2. 分析此种结构特点，引入新的求解思想。
结构特点：几何可变体系。
可否直接建立P 和Q 的关系？显然要从动力学方程入手。
为避免出现不必求的各约束力，可考虑动能定理。
假设系统有一小的位移，由动能定理：d F T W δ=∑图13-1图13-3虚位移由于系统平衡，动能无变化，d 0T =，则0F W δ∑= → 虚功方程此方程中只包含P 和Q ，故建立了简单的方程，可求P 。
此便是虚位移原理的思想。
严格建立虚位移原理，需有诸多基本概念。
13.1 约束 约束的运动学分类静力学中讲的约束——约束的力的性质（约束的力的方面），用约束力表示，常指物体； 此处讲的约束——约束的运动的性质（约束的运动的方面），用约束方程表示，指限制条件。
一、 约束和约束方程自由质点系：运动不受任何限制。
非自由质点系：运动受到限制——约束。
理论力学课件 虚位移原理
x
A
f k ( xi，t ) 0,
i 1,2 , ,3n；k 1,2, , r (约束数)
y B 0 (单侧约束)
y O
B
x
y
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
δW Fi δri 0
r A
δW Fi δri 0
M δ F δrB 0
M δ F rδ 0
M F r
例题：例15-3
图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。 解：研究整个机构。系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。 1） 采用分析法。选取角度为广义坐标，有
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示 虚位移。同样也可以定义虚速度。 虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和运动初始条件 无关的，不需经历时间的假想的微小位移。定常约束下，实位移一定 是虚位移中的一个。 F (多种形式)
δ2
k =3n-m-l k =6n-s, k =3n-s s =m+l
n——刚体数 s——约束数
空间刚体系 平面机构
自由度数为1
*自由度计算
k=?
A
解：
k=2n-s=2×3-5=1
B
k=3n-s=3×4-(2×5+1)=1
O1
O2
C
k=3×5-(2×6+2)=1
三种算法，结果相同。
虚位移原理
rA rB rA rB L W 0 FrB M 0
m3 g
A
900
C2
平衡方程的求解方法
C1 M m1 g m2 g O
研究OA杆
B F
M
F
O
0
FAx L M 0 (1)
m3 g
FAy FAx A A
C1 M m1 g O FOy FOx
F
n
Ni
ri 0 ?
' ' ( FNB FSB ) r1 ( FNB FSB ) r2 ( FNA FSA ) r2 FN 1 r2
( FNB FSB ) r1 FSB r1 0
（2）：无摩擦 是理想约束
F
5. 列出虚功方程并求解。
二、虚位移分析
质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关 系, 确定这些关系通常有两种方法：
(一) 几何法 由运动学知，质点的位移与速度成正比，即
dr v dt
因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系 δr B δφ ——虚速度法 A B δrA rA v A a a b
得
FA FB tan
(3)
虚速度法
rA vA , dt rB vB dt
定义:
为虚速度
代入到
Fi ri 0 中, 得
FB vB FAvA 0
由速度投影定理,有
vB cos v A sin ,
代入上式 得 FA FB tan
只限制某方向运动的约束称为单面约束。在两个相
对的方向上同时对物体运动进行限制的约束称为双
力学十三章虚位移原理
第十三章 虚位移原理一、目的要求1． 束方程、理想 束和虚位移有清楚的 ，并会利用几何法、分析法和虚速度法找系 内各点虚位移之 的关系。
2．能正确地运用虚位移原理求解物系统的均衡 。
3． 自由度和广 坐 有初步的理解。
4．会用分析法和几何法 算广 力。
二、基本内容1．基本观点束、虚位移、虚功、虚位移原理、自由度和广 坐 。
2．主要公式：（ 1）虚功W F r x x y y z z（ 2）虚功方程（虚位移原理）nF ir i 01）几何法i 1 n ( x i x iy i y i z i z i ) 0 2）分析法i 1 （ 3）广 力的 算1）分析法n x i y i z iQ k i 1 X i q k Y i q k Z i q k k 1,2, , N2）几何法n W k i 1 Q k（ 4）广 力表示的均衡条件Q 1=Q 2=⋯ =Q N =0 N 系 的自由度数三、要点和 点1．要点 （ 1）虚位移、理想 束的观点（ 2） 用虚位移原理求解物系统的均衡（ 3） 点系自由度数的判断及广 力的 算2． 点找虚位移之 的关系四、教课提示 q k （ 1） 清虚位移原理解决什么 ，以及 什么要学 本章内容。
（ 2） 束、 束主程只作 介 ，熟 找虚位移之 关系的几何法、虚速度法与分析法，划分虚位移与 位移、虚功与 功。
（ 3） 清虚功方程的几何与分析表达式，频频 例 明其解 特色， 特别注意方程中各符号确实定。
（ 4） 用虚位移原理解 是以 点系整体 研究 象。
（5）讲清广义坐标、广义力与直角坐标、一般力的关系。
2．例题P298～305，P308～311，如例 13-1 ，13-2 ，13-3 ，13-4 ，13-5 ，13-6 ，13-7 包含了求均衡地点、主动力之间的关系、拘束反力（偶）的计算和内力的计算等各样静力问题。
3．作业：P313～316，习题 13-1 ，13-3 ，13-6 ，13-7 ，13-11 ，13-12 ，13-13 ，13-14 ，13-16 ，13-19 。
如何理解理论力学中的虚位移原理？
如何理解理论力学中的虚位移原理？在理论力学的广阔领域中，虚位移原理是一个极其重要的概念，它为解决力学问题提供了一种独特而有效的方法。
然而，对于许多初学者来说，理解虚位移原理可能会感到有些困惑。
那么，让我们一起来揭开它神秘的面纱，深入探讨如何理解这一重要原理。
首先，我们来明确一下什么是虚位移。
虚位移并不是实际发生的位移，而是在某一瞬时，质点或质点系在约束许可的条件下，设想的无限小位移。
它是一种假想的、符合约束条件的位移。
为了更好地理解，我们可以想象一个被绳子悬挂着的小球。
在某一时刻，如果我们假设小球可以在不破坏绳子约束的情况下有一个微小的位移，这个微小的位移就是虚位移。
那么，虚位移原理到底说了什么呢？简单来说，虚位移原理指出：对于一个受理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是，作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。
这听起来可能有点抽象，让我们通过一个具体的例子来解释。
假设我们有一个由两个质点通过一根轻质刚性杆连接的系统，放在光滑的水平面上。
质点 A 受到一个水平向右的力 F₁，质点 B 受到一个水平向左的力 F₂。
如果这个系统处于平衡状态，根据虚位移原理，我们可以假设质点 A 有一个向右的虚位移δr₁，质点 B 有一个向左的虚位移δr₂。
由于杆是刚性的，所以两个质点的虚位移之间存在一定的关系。
那么，主动力 F₁和 F₂在相应的虚位移上所做的虚功之和F₁·δr₁ F₂·δr₂就等于零。
虚位移原理的重要性在于它为解决静力学问题提供了一种统一的方法，避免了分别对每个物体进行受力分析和列平衡方程的繁琐过程。
通过虚位移原理，我们可以直接从系统的整体出发，找到力与虚位移之间的关系，从而快速确定系统是否平衡以及未知力的大小。
理解虚位移原理还需要注意一些关键的要点。
首先是理想约束的概念。
理想约束是指约束力在虚位移上所做的虚功之和为零的约束。
常见的理想约束包括光滑接触面、光滑铰链、不可伸长的绳索等。
理论力学虚位移原理课件PPT
§6-2 约束和约束方程
约束实例
球面摆
点M被限制在以固定点O为球 y 心、l为半径的球面上运动。 如取固定参考系Oxyz，则点M的
坐标x，y，z满足方程
x2 y2 z2 l2
这就是加于球面摆的约束方程。
x φ
o
θl
z
M
§6-2 约束和约束方程
约束实例
曲柄连杆机构
y
这个质点系的约束方程可表示成
● 由不等式表示的约束称为单面约束（或可离约束）。
x2 y2 z2 l2
● 由等式表示出的约束称为双面约束（或不可离约束）。
§6-2 约束和约束方程
约束类型
3．双面约束和单面约束
x2 y2 z2 l2
双面约束
§6-2 约束和约束方程
约束类型
3．双面约束和单面约束
x2 y2 z·自由度
虚位移 自由度
§6-3 虚位移·自由度
一、虚位移
虚位移
质点或质点系在给定瞬时不破坏约束而为约束所许可 的任何微小位移，称为质点或质点系的虚位移。
真实位移 —实际发生的位移，用dr表示，它同时满足动力学 方程、初始条件和约束条件。
可能位移 — 约束允许的位移，用Δr表示，它只需满足约束 条件。
当质点系平衡时，主动力与约束反力之间，以及主动 力与约束所许可位移之间，都存在着一定的关系。这两种 关系都可以作为质点系平衡的判据。
§6-1 概 述
刚体静力学利用了前一种情况，通过主动力和约束力 之间的关系表出刚体的平衡条件。
而虚位移原理则将利用后一种情况，他通过主动力在 约束所许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点 系的平衡条件。
动力学
虚位移原理
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第13章 虚位移原理及分析力学基础也称虚功原理。
在固体力学、结构力学中应用较多。
主要思路∶在讲本章时，先不写本章题目，而是在黑板上给出下面静力学问题（图13-1），让学生思考如何解，再一起求解。
进一步看更复杂的结构（图13-2），结论是∶用传统静力学的方法很繁。
再提示如能直接建立P 、Q 关系最好，从而避开众多反力。
用什么理论呢?静力学的方法已被否定，运动学不能解决受力问题，动力学中动量、动量矩定理必须包含反力，不行；动能定理呢?d F T W δ=∑，而d 0T =，则0F W δ∑=，即虚位移原理。
具体如下：1. 考虑如下问题的求解。
如图19-1，系统平衡。
已知Q 、l 、α，求P 。
问题：用几何静力学方法如何求解？ （1）整体：()0O m F ∑=→C N （2）E 点（或BE 、AE 及重物）→BE S（3）BC 和滑块C()0D m F ∑=→P图13-2可见，对此类题目，用几何静力学求解较繁。
如图13-3示结构，用此种解法更繁。
因为：①要取多个分离体，画多个受力图；②引入多个中间未知量，要列多个方程。
2. 分析此种结构特点，引入新的求解思想。
结构特点：几何可变体系。
可否直接建立P 和Q 的关系？显然要从动力学方程入手。
为避免出现不必求的各约束力，可考虑动能定理。
假设系统有一小的位移，由动能定理：d F T W δ=∑图13-1图13-3虚位移由于系统平衡，动能无变化，d 0T =，则0F W δ∑= → 虚功方程此方程中只包含P 和Q ，故建立了简单的方程，可求P 。
此便是虚位移原理的思想。
严格建立虚位移原理，需有诸多基本概念。
13.1 约束 约束的运动学分类静力学中讲的约束——约束的力的性质（约束的力的方面），用约束力表示，常指物体； 此处讲的约束——约束的运动的性质（约束的运动的方面），用约束方程表示，指限制条件。
一、 约束和约束方程自由质点系：运动不受任何限制。
非自由质点系：运动受到限制——约束。
这种限制条件用数学方程表示即约束方程。
二、 约束的运动学分类从三方面理解：概念、实例和约束方程。
常有以下分类方法： 1. 几何约束和运动约束几何约束——只限制质点或质点系在空间的位置，约束方程为位置坐标的代数方程（不含位置坐标的导数）； 单摆：222x y l += 曲柄连杆机构：222222,()()A A B A B A B x y r y x x y y l +==-+-=运动约束——除位移方面的限制外，还有速度或角速度方面的限制，约束方程为位置坐标的微分方程（或速度、角速度及位置坐标的代数方程，显含位置坐标的导数）。
滚子纯滚动：,O O y r v r ω== 2. 定常约束和非定常约束定常约束——约束方程中显含时间t ；（如前） 非定常约束——约束方程中不显含时间t 。
变摆长单摆：22200()x y l v t +=- 3. 完整约束和非完整约束完整约束——约束方程中不包含坐标对时间的导数，或虽包含，但可积（转换为有限形式）；（如前）非完整约束——约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可积。
二质点追踪问题：A B A A B A yy y xx x -=- 4. 双面约束（固执约束）和单面约束（非固执约束）双面约束（固执约束）——不仅能限制质点沿某一方向的运动，还能限制相反方向的运动，约束方程为等式方程； 如前单摆、曲柄连杆机构中的滑块。
单面约束（非固执约束）——只能限制质点沿某一方向的运动，约束方程为不等式方程。
绳连单摆：222x y l +≤此处只讨论完整、定常、几何、双面约束（或具有双面约束性质的单面约束），其约束方程可用含各质点直角坐标的代数方程表示。
13.2 自由度 广义坐标一、 自由度具有完整约束的质点系，确定其位置的独立坐标数，称为自由度或自由度数。
自由度的计算： 1. 以质点作为基本单元质点系有n 个质点，s 个约束，则自由度k=3n-s （空间）或k=2n-s （平面） 2. 以刚体作为基本单元刚体系有N 个刚体，s 个约束，则自由度k=6N-s （空间）或k=3N-s （平面） 注：包含质点和刚体的质点系的自由度，可结合两种算法计算。
实用方法：对自由度较少的质点系，可按下述方法确定：固定质点系中任意质点或刚体的任一方向的运动，若其他质点和刚体都不会运动，则自由度为1；固定质点系中任意质点或刚体的任二方向的运动，若其他质点和刚体都不会运动，则自由度为2；依次类推。
二、 广义坐标确定质系位置的独立参变量，称为广义坐标。
可为任意坐标，如直角坐标和非直角坐标。
完整约束下，广义坐标数＝自由度数目。
引入广义坐标的意义：用直角坐标和约束方程确定质点系的运动： 3n 个坐标：i i i x y z ，，，1,2,,i n = s 个约束方程：(,,)0i i i i f x y z =，1,2,,j s = 若用广义坐标表示：只有k=3n-s 个广义坐标：1,2,,3h q h k n s ==- ， 所有直角坐标可用广义坐标表示： 121212(,,,)(,,,) 1,2,,(,,,)i i k i i k ii k x x q q q y y q q q i n z z q q q =⎧⎪==⎨⎪=⎩ 或12(,,,) 1,2,,i i k r r q q q i n ==13.3 虚位移 虚功一、 虚位移在给定位置上，质点或质点系在约束所容许的条件下可能发生的任何无限小位移，称为质点或质点系的虚位移。
虚位移与实位移的比较：虚位移实位移1. 为约束所容许 1. 为约束所容许2. 总为无限小2. 可以是有限值3. 只与约束条件有关，与力、时间、初条无关，是一个纯粹的几何概念 3. 除与约束条件有关外，尚与力、时间、初条有关4. 一个位置下可以有几组虚位移4. 一个位置下，所能实现的实位移只有一组5. 定常约束中，实位移是虚位移中的一组；非定常约束中，实位移可不同于虚位移（应加实例及图） 二、 虚位移的求法 1. 解析法（变分法）12(,,,) 1,2,,i i k r r q q q i n ==则1 1,2,,k i i h i hr r q i n q δδ=∂==∂∑（13-6）一般写直角坐标系下坐标的变分，求质点沿直角坐标轴方向的虚位移，注意求出的是代数量。
注：虚位移对应数学上的变分（等时变分）——与时间无关，实位移对应数学上的微分——与时间有关。
例：曲柄连杆机构 cos ,sin A A x r y r φφ==，sin ,cos A A x r y r δφδφδφδφ=-=sin sin r l φθ=，cos cos r l φδφθδθ=，cos cos r l φδθδφθ=cos cos B x r l φθ=+，sin sin (sin cos tan )B x rl r δφδφθδθφφθδφ=--=-+例1 （13-3）双摆解：写出A A B B x y x y 、、、（用12φφ、表示），求变分。
2. 几何法（运动分析法） 例 2 曲柄连杆机构 选ϕ为广义坐标。
OA 杆：A r OA δδφ=⋅ AB 瞬心在I ：ABr r AIBIδδδθ==所以，B A BI BIr r OA AI AIδδδφ==⋅ 三、 虚功力在虚位移上所做的功称为虚功。
力：cos W F r F r X x Y y Z z δδδθδδδ=⋅==++或 ()P W m F δδφ= ()P m F 指力F对轴或瞬心P 之矩，特别对刚体此式常用 力偶：W m δδφ=例3 （补）曲柄连杆机构，求各主动力之虚功。
解1：几何法 设系统虚位移如图。
力偶M ：M W M δδφ= 力F ：F B W F r δδ=-力G ：()cos 2F I lW m G G δδθθδθ=-=-解2：变分法建立图示坐标系。
选ϕ为广义坐标。
力偶M ： M W M δδϕ= 力F ：cos cos B x r l φθ=+ 而sin sin r l φθ=cos cos r l ϕδϕθδθ=cos cos r l ϕδθδϕθ=sin sin (sin cos tan )B x r l r δϕδϕθδθϕϕθδϕ=--=-+(sin cos tan )F B W F x Fr δδϕϕθδϕ==-+ 力G ：sin sin 2C ly r φθ=-cos cos cos 22C l ry r δϕδϕθδθϕδϕ=-=cos 2G C rW G y G δδϕδϕ=-=-例: 求摩擦力的虚功。
F W F r δδ=-⋅ F W F r δδ=-⋅提问：是否正确——摩擦力与虚位移无关！ 正确解法：解1：设物块虚位移沿斜面向下，则摩擦力向上。
摩擦力虚功： 解2：设物块虚位移沿斜面向上，则摩擦力向下。
摩擦力虚功：解：设物块虚位移沿斜面向上 ，则摩擦力虚功F W F r δδ=⋅13.4 理想约束动能定理中曾提过，此处给出更严格的定义。
约束力在任何虚位移中所做的虚功为零，称此约束为理想约束。
即满足：0N W δ∑=事实上，大多数约束为理想约束。
13.5 虚位移原理具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是，所有作用于质点系上的主动力在任何虚位移上所做的虚功之和为零。
即0F W δ∑=用虚位移原理可求两类问题：一、 求主动力或平衡条件（位置）——对几何可变体系例1 本章开头例子（典型例题） 如图，系统平衡。
已知Q 、l 、α ，求P 。
分析：由几何法找“运动”关系比较难，而结构规则，故用解析法较方便。
解：选α 为广义坐标，建立坐标系如图。
虚功方程：Σ0F W δ=C E P x Q y δδ⋅+⋅= (1) 而2cos ,3sin C E x l y l αα==2sin ,3cos C E x l y l δαδαδαδα=-⋅=⋅代入方程(1)，得 (2sin )3cos 0P l Q l αδααδα⋅-⋅+⋅⋅=3cot 2P Q α=例2：（书例13-4）已知Q 、l 、k ，弹簧原长为l 。
求平衡时θ。
(以方程给出)分析：本题与上一题结构类似，只是增加一弹簧。
对有弹簧的题目，需要先将弹簧去掉，代之以弹性力，弹簧力视为常主动力。
lll l ll解：去掉弹簧，代之以弹簧力。
选θ 为广义坐标，建立坐标系如图。
弹簧力为(2cos )(2cos 1)F k l l kl θθ=-=-虚功方程：Σ0F W δ=0H E Q y F x δδ-⋅-⋅= (1) 而3sin ,2cos H E y l x l θθ==3cos ,2sin H E y l x l δθδθδθδθ=⋅=-⋅ 代入虚功方程(1)，3cos 2sin 0Q l F l θδθθδθ-⋅⋅+⋅⋅=2(2cos 1)tan 3Q kl θα=- 例3：（补充老书例17-2）图示机构。