分析力学PPT课件
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大学物理课件-分析力学
xB xA
f y
dy
d dx
f y
dy
d dx
f y
dydx
f dy xB
y xA
xB xA
d dx
f y
f y
dydx
f dy xB 0 y xA
由於端點固定
δy(xA), δy(xB ) 0
xB xA
d dx
f y
f y
dydx
0
由於 δy 任意變化 所以 δy 前的係數 = 0
mx
cos
ms
L Lx s
0 mg
s in
d dt
L q
L q
0
Mx mx mscos 0 mxcos ms mg sin 0
q x, s 廣義座標
x mg sin cos M m m cos2
例：耦合雙振子
k
k
k
m
m
O1 x1
O2 x2
T
1 2
mx12
1 2
mx22
V
1736－1813 法國數學家
1維質點
F ma d p dt
T
1 2
mx
2
,
dT dx
mx
p
F
d dt
dT dx
dV dx
令：L(x, x) T (x) V (x) 是座標和速度的函數
L x
dT dx
,
L x
dV dx
d dt
dT dx
dV dx
d dt
L x
L x
0
拉格朗日方程
d dx
f y
f y
0
初積分
分析力学四一.ppt
在平衡位置附近对L作泰勒展开，得到
推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标， 则系统的拉格朗日函数为
设：q0 ——系统的平衡位置，则
对U 在q0附近作泰勒展开，只保留到二阶小量，有
——二阶小量 (势能：平滑不陡峭； 若 大，则单位时间运动的距离大 振动不是微振动)
则 a(q)只需展开到零阶小量，即
略去对运动方程无关的常数项“-U(q0)”(物理上相当于 选新的零势能点，数学上：拉格朗日函数的非唯一性)， 且令
则
由拉格朗日方程
得到运动方程
注：参见《理论物理基础教程》P383－388“量子谐振子”
二、自由振动方程的解
自由振动：无强迫力、无阻尼的振动
方程
的解为
积分常数：A—振幅； 角频率； —初相位。其中振 幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。
时，振幅c取极大值，发生共振(并不
随t的增长而 无限增长)。
四、通过共振时的相位变化和能量吸收率
接近共振时，令
( 很小
小量)
共振时：
远离共振时
：
由低到高( 由负到正)通过共振频率时，振动的相 位改变
共振点相位：
振动达到稳定(振幅不再随时间变化)时，有 振子的能量不再变化——克服阻尼所消耗的能量
通过吸收外力源能量来补充。
频率 。设S在 0时达到共振，则
S ( )
S0
(
2 /
0 )2
4
2
/
4
——布雷特－维格纳分布(共振曲线的普遍分布)
一维阻尼振动方程另外的推导方法 定义耗散函数：
——瑞利耗散函数 由此得到
而
这样，广义力可以写为
对于主动力中既有保守力，又有非保守力的系统，
推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标， 则系统的拉格朗日函数为
设：q0 ——系统的平衡位置，则
对U 在q0附近作泰勒展开，只保留到二阶小量，有
——二阶小量 (势能：平滑不陡峭； 若 大，则单位时间运动的距离大 振动不是微振动)
则 a(q)只需展开到零阶小量，即
略去对运动方程无关的常数项“-U(q0)”(物理上相当于 选新的零势能点，数学上：拉格朗日函数的非唯一性)， 且令
则
由拉格朗日方程
得到运动方程
注：参见《理论物理基础教程》P383－388“量子谐振子”
二、自由振动方程的解
自由振动：无强迫力、无阻尼的振动
方程
的解为
积分常数：A—振幅； 角频率； —初相位。其中振 幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。
时，振幅c取极大值，发生共振(并不
随t的增长而 无限增长)。
四、通过共振时的相位变化和能量吸收率
接近共振时，令
( 很小
小量)
共振时：
远离共振时
：
由低到高( 由负到正)通过共振频率时，振动的相 位改变
共振点相位：
振动达到稳定(振幅不再随时间变化)时，有 振子的能量不再变化——克服阻尼所消耗的能量
通过吸收外力源能量来补充。
频率 。设S在 0时达到共振，则
S ( )
S0
(
2 /
0 )2
4
2
/
4
——布雷特－维格纳分布(共振曲线的普遍分布)
一维阻尼振动方程另外的推导方法 定义耗散函数：
——瑞利耗散函数 由此得到
而
这样，广义力可以写为
对于主动力中既有保守力，又有非保守力的系统，
力学受力分析之力的分解分析课件
个分力。
力的分解可以通过力的平行四边 形法则或三角形法则来实现，这 些法则在解决实际工程问题中具
有广泛的应用。
力的分解有助于深入理解力的作 用效果和物体运动状态的变化， 是解决力学问题的重要手段之一。
力的正交分解
力的正交分解是将一个力按照正交坐 标系的方向进行分解，得到若干个分 力。
在正交分解时，应注意各个分力的正 负号，以便正确地表示力的方向和大 小。
感您的 看
THANKS
在建筑设计时，需要对建筑物的结构进行 受力分析，将外力分解为各个方向的力， 以确定建筑物的安全性和稳定性。
04
受力分析的方法
隔离法
总结词
将研究对象从其周围物体中隔离出来，分析它受到的力。
详细描述
隔离法是受力分析中最常用的方法之一。通过将研究对象从 其周围物体中隔离出来，可以单独分析研究对象的受力情况， 从而确定每个力的作用点和方向。这种方法有助于我们清晰 地理解物体的运动状态和受力关系。
合力和分力是替代关系，即它们 在分析中可以互相替代。
合力和分力不一定是实际存在的 力，它们可以是虚拟的力。
06
及解析
基础习题
基础习题1
一个物体受到两个力F₁和F₂的 作用，这两个力的大小分别为 3N和5N，求它们的合力大小。
答案
合力大小为8N。
基础习题2
一个物体受到三个力F₁、F₂和 F₃的作用，这三个力的大小分 别为2N、3N和4N，求这三个 力的合力大小。
详细描述
假设法是一种基于逻辑推理的受力分析方法。根据已知的运动状态，我们可以假设某些 力存在或不存在，然后通过牛顿第二定律等力学原理进行逻辑推理，验证假设的正确性。
这种方法在解决一些复杂的动力学问题时非常有效，可以帮助我们快速找到解题思路。
力的分解可以通过力的平行四边 形法则或三角形法则来实现，这 些法则在解决实际工程问题中具
有广泛的应用。
力的分解有助于深入理解力的作 用效果和物体运动状态的变化， 是解决力学问题的重要手段之一。
力的正交分解
力的正交分解是将一个力按照正交坐 标系的方向进行分解，得到若干个分 力。
在正交分解时，应注意各个分力的正 负号，以便正确地表示力的方向和大 小。
感您的 看
THANKS
在建筑设计时，需要对建筑物的结构进行 受力分析，将外力分解为各个方向的力， 以确定建筑物的安全性和稳定性。
04
受力分析的方法
隔离法
总结词
将研究对象从其周围物体中隔离出来，分析它受到的力。
详细描述
隔离法是受力分析中最常用的方法之一。通过将研究对象从 其周围物体中隔离出来，可以单独分析研究对象的受力情况， 从而确定每个力的作用点和方向。这种方法有助于我们清晰 地理解物体的运动状态和受力关系。
合力和分力是替代关系，即它们 在分析中可以互相替代。
合力和分力不一定是实际存在的 力，它们可以是虚拟的力。
06
及解析
基础习题
基础习题1
一个物体受到两个力F₁和F₂的 作用，这两个力的大小分别为 3N和5N，求它们的合力大小。
答案
合力大小为8N。
基础习题2
一个物体受到三个力F₁、F₂和 F₃的作用，这三个力的大小分 别为2N、3N和4N，求这三个 力的合力大小。
详细描述
假设法是一种基于逻辑推理的受力分析方法。根据已知的运动状态，我们可以假设某些 力存在或不存在，然后通过牛顿第二定律等力学原理进行逻辑推理，验证假设的正确性。
这种方法在解决一些复杂的动力学问题时非常有效，可以帮助我们快速找到解题思路。
大学物理优质课件精选——分析力学拉格朗日方程课件
在其名著分析力学中把数学分析应用于质点和刚体力学提出了运用于静力学和动力学的普遍方程引进广义坐标的概念建立了拉格朗日方程把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式改变为以能量为基本概念的分析力学形式奠定了分析力学的基础为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路哈密顿hamiltonwilliamrowan18051865爱尔兰人他的研究工作涉及不少领域成果最大的是光学力学和四元数
系统自由度数目：3N-(3N-S)=S →力学体系只有S个独立变量。
约束的分类
1. 约束方程 2. 约束方程
中不含时间t ——稳定约束 中含时间t ——不稳定约束
约束另外的分类1：可解约束与不可解约束
1. 由不等式表示的约束——可解约束: 质点在某一方 向上能脱离的那种约束
2. 由等式表示的约束——不可解约束: 质点始终不能 脱离的那种约束
分析力学
教材：理论物理基础教程
——分析力学部分
绪论
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
Ⅱ 怎样学好分析力学？
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
力学：主要指牛顿力学
普通物理
光学 热学
感性认识 建立在实验的基础上
大
电磁学
学
物
原子物理学
理
理论力学：核心是分析力学
理论物理 (四大力学)
热力学与统计物理
电动力学 量子力学
4. 正则共轭坐标（第6章）
坐标概念的第三次飞跃
§1.1.1 无约束质点的拉格朗日方程
推导拉格朗日方程的方法之一：从牛顿方程出发推导 两种情况：1．不受约束的质点；
2．受约束的质点。（两种情况均在保守力场中） 注意：约束的概念、约束性质（限制物体相互位置的
性质）、保守力场的概念 约束:在一个力学体系中，存在着一些限制各质点自由运动 的条件，我们把这些条件叫做约束。
系统自由度数目：3N-(3N-S)=S →力学体系只有S个独立变量。
约束的分类
1. 约束方程 2. 约束方程
中不含时间t ——稳定约束 中含时间t ——不稳定约束
约束另外的分类1：可解约束与不可解约束
1. 由不等式表示的约束——可解约束: 质点在某一方 向上能脱离的那种约束
2. 由等式表示的约束——不可解约束: 质点始终不能 脱离的那种约束
分析力学
教材：理论物理基础教程
——分析力学部分
绪论
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
Ⅱ 怎样学好分析力学？
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
力学：主要指牛顿力学
普通物理
光学 热学
感性认识 建立在实验的基础上
大
电磁学
学
物
原子物理学
理
理论力学：核心是分析力学
理论物理 (四大力学)
热力学与统计物理
电动力学 量子力学
4. 正则共轭坐标（第6章）
坐标概念的第三次飞跃
§1.1.1 无约束质点的拉格朗日方程
推导拉格朗日方程的方法之一：从牛顿方程出发推导 两种情况：1．不受约束的质点；
2．受约束的质点。（两种情况均在保守力场中） 注意：约束的概念、约束性质（限制物体相互位置的
性质）、保守力场的概念 约束:在一个力学体系中，存在着一些限制各质点自由运动 的条件，我们把这些条件叫做约束。
分析力学基础第一章(4-6节)
T q
m1
m2 x m2 Lcos
px
循环积分——系统的水平动量守恒
T V C
能量积分——机械能守恒
x
F t
vA
m1 g
CvCA
m2 g
§1-6 第一类拉格朗日方程
§1-6 第一类拉格朗日方程
设描述系统的位形坐标：q1 , q2 , , qn
系统的约束方程为： fk r1, r2 , , rn , t 0 k 1,2, , s
i 1
k 1
代入动力学普遍方程：
n
Fi FIi
ri
n
Fi
miri ri
0
i 1
i 1
有：
n i 1
Fi
miri ri
N Qk
k1
n i 1
miri
ri qk
qk
§ 1-4 第二类拉格朗日方程
n
i 1
Fi
miri ri
N Qk
k1
n i 1
miri
解：1、系统的自由度为k=1
2、系统的广义坐标：
3、系统的动能： T 1 1 m l22 1 m l22
23
6
4、系统的势能：
V
mg
l
1
cos
5、拉格朗日函数： 2
L T V 1 ml22 mg l 1 cos
OB
6
2
d dt
L qk
L qk
0
1 m l2 l m gsin
3
2
mg A
i 1
Fi
miri
s
k
k 1
fk ri
ri
分析力学基础PPT课件
f
k(r1 ,
r2
,
rn
)
0
k 1,2,,s
用q1、q2、…qN表示质点系广义坐标： N 3n s
对完整约束质点系，各质点坐标可表示为广义坐标的函数。
ri
ri
(q1
,
q2
,,
q
N
)
进行变分计算：
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
描述质点系在空间位置的独立参数，称广义坐标； 完整系统，广义坐标数目等于自由度数目。
×
若质点限定在半球面上运动，球半 径为R，是具有1个质点的空间质点 系，自由度数为3，有1个约束方程：
z l2 (x2 y2)
n 1, s 1
z
M
y 自由度数为： N 3n s 3 1 2
F1
y A
2
(F2
y B
2
F xA )
2
F1l2 sin 2 F2l2 sin 2 Fl2 cos2
0
×
F1l1 sin1 F2l1 sin1 Fl1 cos1 0 F1l2 sin2 F2l2 sin2 Fl2 cos2 0 ri q N来自q NN
ri
k 1 qk
qk
×
xi xi (q1, q2 ,, qN ) yi yi (q1, q2 ,, qN ) zi zi (q1, q2 ,, qN )
ri xii yi j zik
ri
xii yi
1
l1
第五章 分析力学ppt课件
或
不可解约束以等式表示，可解约束则同时以等式和 不等式表示。
5.1
约束与广义坐标
第5章 分析力
③几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）
某些约束仅对力学系统的空间位置加以限制，而对各质点的速
度没有限制, 这种约束称为几何约束 (geometrical constraint )。可 表示为
f r , r , r , , t 0 1 2 3
§5.0
引言
第5章 分析力
5 提出新的力学原理代替牛顿定律
牛顿力学 矢量力学 力学第一原理 拉格朗日方程 拉格朗日力学 （相当于“几何公理” ） 哈密顿力学 哈密顿原理
三者本质上相同，可以相互证明 利用无穷小计算原理对抽象数学及应用数学的应用，使用拉格 郞日和哈密顿方法给以力学问题抽象的数学处理，即把物理世 界事物属性翻译成数学关系式，中间不考虑物理意义，只在讨 论计算结果时再翻译转化到真实物理世界上去。
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r 0 1 2 3 n 1 2 3 n
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n
5.1
约束与广义坐标
分析力学教学ppt课件
精选ppt课件
37
5. 虚位移的几何意义
f (x, y, z) 0 ——约束方程
f (x x, y y, z z) 0
f (x x, y y, z z) f (x, y, z) f x f y f z 0
M
dre
在dt内，斜面位移为dre，物块的实 位移为dr 。根据合成运动理论，有
v0
drr
dr M'
dr = dre + drr = MM‘ dre = v0dt ---牵连位移 drr ---物块相对斜面的位移
dre
δr2
M
δr1
物块M的虚位移可以是沿斜面向下的 δr1，也可以是沿斜面向上的δr2，因为 δr1，δr2都是约束所容许的。
y
o
x
φl
A
ωr
l
o
B x
y
M
x2 y2 l2
x
2 A
y
2 A
r2
(xA xB )2 ( yA yB )2 l2
y 0 精选ppt课B 件
23
运动约束：当质点系运动时受到的某些运动 条件 的限制称为运动约束(非完整约束)。
• 即：这种约束对质点或质点系不仅有位移方面的限制， 而且有速度或角速度方面的限制。
• 如：车轮在直线轨道上作纯滚动（轨道限制轮心作直线
运动，且滚过的弧长等于轮心走过的距离。）
y
r
C Mφ
M
o xC
ω
C
轮C在水平轨道上纯滚动的条件表达为
vC
yC = r
或 yC = r
P
x
vC－rω=0
xC r 0
瞬心 精选ppt课件
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则约束方程为：
x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2
f (x, y, z,t) x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2 0
（3）可解约束和不可解约束 a 可解约束：只从一侧限制系统运动的约束，
即单方向约束 如甲虫在气球内（或外）但可飞离球面 x2 y2 z2 R2 或 x2 y2 z2 R2
1、广义坐标定义 任何 f 个可以完全确定（刻化）系统（f 个
自由度）位置的变量 q1, q2 , q f 称为该系统的广
义坐标，其对时间的导数则称广义速度。 （1）对完整约束，广义坐标数目与自由度数
目相等; （2）广义坐标的选择不是唯一的，并且是任
意的，长度、角度、面积、能量、电量、电流， 电极化强度 P ，磁化强度 M 等都可以作广义坐标;
2、问题的提出：导出理论的思路 实际问题是每个质点受到的作用力中还包括由
于维持约束而出现的约束力（或约束反力），这些 力都是未知的，而且与体系的运动有关，这使问题 更为复杂。分析力学把这类力的存在当做处理难点 来建立力学理论。
还是从质点组出发，但用一个受有约束的质点 组可以概括广泛的力学研究对象——非自由体系。
反映约束条件的方程称其约束方程
2、约束力：为维持约束而加于系统的力称为约 束力（也称约束反力）
（1）约束力可以是物体间相互接触而产生的力 （如桌面对其上物体的支持力），也可以是物体内 各部分的相互作用力（刚体内各质点间的作用力） （2）约束力在动力学问题未解出之前一般是未知 的 （特 殊 情 况 为 已 知 如 桌 面 对 物 体 的 支 撑 力 为 mg ），约束的存在并没有因事先知道了部分运动 情况而使求解变得简单，常常反而使问题变得更复 杂了
（3）约束力的大小和方向与约束有关，还与 外力及运动状态有关，可按约束运动的需要自动 调节，是一种因运动，外力而变化的被动力
3、约束的分类 约束按其不同方面的性质可作如下分类： （1）完整约束与非完整约束
a 完整约束（几何约束）：只限制质点空间位 置的约束，即不含有对速度限制的约束。
约束表现为质点坐标的函数
x 2 y 2 z 2 (ct)2 或 x 2 y 2 z 2 (ct)2
b 不可解约束：从两侧限制系统运动的约束， 即双向约束
如甲虫始终在球面上运动 x2 y2 z2 R2
x 2 y 2 z 2 (ct)2
二、自由度
对只受完整约束的系统，唯一的确定系统位 置所需独立变量的数目称为系统的自由度。
第三章 分析力学
约瑟夫·路易斯·拉格朗日
哈密顿，W．R．
（Joseph-Louis Lagrange） (Hamilton，William Rowan)
1735~1813
1805~1865
目录
§3.1 引 言 §3.2 约束、自由度、广义坐标 §3.3 可能位移、实位移、虚位移 §3.4 理想约束、虚功原理 §3.5 拉格朗日力学 §3.6 哈密顿正则方程和运动积分
对于一个有 n 个质点的力学体系，有 3n 个坐
标，如有 m 个完整约束（几何约束）
f (r1, r2 , , rn , t) 0
1,2,, m
f=3n-m
这时只需 f 个独立变数就可将体系位形唯一
确定即可选 f 个变量来描述体系的运动
q1 , q2 , q f
这 f 个独立变量称广义坐标。
可概括为下述力学问题
考虑 n 个质点的质点组
第 i 个质点受到已知主动力—— Fi ，约束未知力—
— Ri
则
mi ri
Fi
Ri
i=1，2，…n
n 个矢量方程 3n 个标量方程，Fi 已知，但是 Ri 未知，
这又增加了新的未知数，但实 际问题常不需求出 Ri ，而
是要求出运动，为此从分析 Ri 产生的原因入手。以下按
§3.7 相空间·刘维定理 §3.8 哈密顿原理 §3.9 泊松括号和泊松定理
§3.1 引 言
1、分析力学是力学发展的新阶段 这一章的内容历史上称做分析力学
（Analytical Mechanics），特点强调从纯分析的 方法发展了力学理论。
工业革命后提出的大量复杂的机械运动问题 推动了力学的发展，遇到了大量受有约束的多物 体体系的问题。约束是对物体运动施加的限制。 分析力学就是从分析约束 constraints 入手提出 解决力学问题的新途径和方法。 分析力学是力学理论的深入和发展，更深入的揭 示了机械运动的规律。
（3）广义坐标必须是能完全确定系统的位形 的独立变量。例如质点被约束在抛物面上运动， 只需两个广义坐标，取三个不独立，当选柱坐标 下的坐标变量为广义坐标时，由于约束方程 z kr2 ，可选 (r, )，或 (z, ) 为广义坐标，但不能选 (r, z) 为广义坐标。所选的广义坐标描述系统运动 时，应尽可能简洁明了，使问题简化
y R
这种积分成完整约束的约束仍称为完整约束。
（2）稳定约束和不稳定约束
a 稳定约束：不依赖于时间的约束
f (r1, r2 , , rn ) 0
b 不稳定约束：依赖于时间的约束
f (r1, r2 , , rn , t) 0
又例质点被限制在半径变化的球面上运动， 半径为
R R0 bt
例，一个有 n 个质点构成的力学系统，需 3n 个独立坐标确立其位置，因此自由度 f=3n。若受 有 m 个完整约束，每个约束方程都和坐标相联系。 从而独立数目减小，则 f=3n-m。
对多质点与物体系统一般用“位形”（位置和 形状）表示其位置，自由度是力学体系本身特征 决定与坐标选择无关。
三、广义坐标
f (x, y, z) 0
f
(x,
y,
z,
t)0Biblioteka 如刚体| ri rj | 常 使刚体形状保持不变。
某些约束，虽然约束方程显含速度但能化
成几何约束方程属完整约束。
例如：圆盘在竖直平面内沿水平直线作纯滚 动，圆盘质心速度（ x, y ）与转动角速度 满足
约束方程
x R
y
0
分别积分得
x R 常
分析 Ri →分析约束→寻求解决问题的途径
§3.2 约束、自由度、广义坐标
一、约束及其分类
1、约束：对物体空间位置和运动速度所施加的 限制条件。 例：质点被限制在球面上运动，则其空间坐标 x， y，z 每时每刻必须满足
x2 y2 z2 R2
f (x, y, z) x2 y 2 z 2 R2 0
x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2
f (x, y, z,t) x 2 y 2 z 2 (R0 bt)2 0
（3）可解约束和不可解约束 a 可解约束：只从一侧限制系统运动的约束，
即单方向约束 如甲虫在气球内（或外）但可飞离球面 x2 y2 z2 R2 或 x2 y2 z2 R2
1、广义坐标定义 任何 f 个可以完全确定（刻化）系统（f 个
自由度）位置的变量 q1, q2 , q f 称为该系统的广
义坐标，其对时间的导数则称广义速度。 （1）对完整约束，广义坐标数目与自由度数
目相等; （2）广义坐标的选择不是唯一的，并且是任
意的，长度、角度、面积、能量、电量、电流， 电极化强度 P ，磁化强度 M 等都可以作广义坐标;
2、问题的提出：导出理论的思路 实际问题是每个质点受到的作用力中还包括由
于维持约束而出现的约束力（或约束反力），这些 力都是未知的，而且与体系的运动有关，这使问题 更为复杂。分析力学把这类力的存在当做处理难点 来建立力学理论。
还是从质点组出发，但用一个受有约束的质点 组可以概括广泛的力学研究对象——非自由体系。
反映约束条件的方程称其约束方程
2、约束力：为维持约束而加于系统的力称为约 束力（也称约束反力）
（1）约束力可以是物体间相互接触而产生的力 （如桌面对其上物体的支持力），也可以是物体内 各部分的相互作用力（刚体内各质点间的作用力） （2）约束力在动力学问题未解出之前一般是未知 的 （特 殊 情 况 为 已 知 如 桌 面 对 物 体 的 支 撑 力 为 mg ），约束的存在并没有因事先知道了部分运动 情况而使求解变得简单，常常反而使问题变得更复 杂了
（3）约束力的大小和方向与约束有关，还与 外力及运动状态有关，可按约束运动的需要自动 调节，是一种因运动，外力而变化的被动力
3、约束的分类 约束按其不同方面的性质可作如下分类： （1）完整约束与非完整约束
a 完整约束（几何约束）：只限制质点空间位 置的约束，即不含有对速度限制的约束。
约束表现为质点坐标的函数
x 2 y 2 z 2 (ct)2 或 x 2 y 2 z 2 (ct)2
b 不可解约束：从两侧限制系统运动的约束， 即双向约束
如甲虫始终在球面上运动 x2 y2 z2 R2
x 2 y 2 z 2 (ct)2
二、自由度
对只受完整约束的系统，唯一的确定系统位 置所需独立变量的数目称为系统的自由度。
第三章 分析力学
约瑟夫·路易斯·拉格朗日
哈密顿，W．R．
（Joseph-Louis Lagrange） (Hamilton，William Rowan)
1735~1813
1805~1865
目录
§3.1 引 言 §3.2 约束、自由度、广义坐标 §3.3 可能位移、实位移、虚位移 §3.4 理想约束、虚功原理 §3.5 拉格朗日力学 §3.6 哈密顿正则方程和运动积分
对于一个有 n 个质点的力学体系，有 3n 个坐
标，如有 m 个完整约束（几何约束）
f (r1, r2 , , rn , t) 0
1,2,, m
f=3n-m
这时只需 f 个独立变数就可将体系位形唯一
确定即可选 f 个变量来描述体系的运动
q1 , q2 , q f
这 f 个独立变量称广义坐标。
可概括为下述力学问题
考虑 n 个质点的质点组
第 i 个质点受到已知主动力—— Fi ，约束未知力—
— Ri
则
mi ri
Fi
Ri
i=1，2，…n
n 个矢量方程 3n 个标量方程，Fi 已知，但是 Ri 未知，
这又增加了新的未知数，但实 际问题常不需求出 Ri ，而
是要求出运动，为此从分析 Ri 产生的原因入手。以下按
§3.7 相空间·刘维定理 §3.8 哈密顿原理 §3.9 泊松括号和泊松定理
§3.1 引 言
1、分析力学是力学发展的新阶段 这一章的内容历史上称做分析力学
（Analytical Mechanics），特点强调从纯分析的 方法发展了力学理论。
工业革命后提出的大量复杂的机械运动问题 推动了力学的发展，遇到了大量受有约束的多物 体体系的问题。约束是对物体运动施加的限制。 分析力学就是从分析约束 constraints 入手提出 解决力学问题的新途径和方法。 分析力学是力学理论的深入和发展，更深入的揭 示了机械运动的规律。
（3）广义坐标必须是能完全确定系统的位形 的独立变量。例如质点被约束在抛物面上运动， 只需两个广义坐标，取三个不独立，当选柱坐标 下的坐标变量为广义坐标时，由于约束方程 z kr2 ，可选 (r, )，或 (z, ) 为广义坐标，但不能选 (r, z) 为广义坐标。所选的广义坐标描述系统运动 时，应尽可能简洁明了，使问题简化
y R
这种积分成完整约束的约束仍称为完整约束。
（2）稳定约束和不稳定约束
a 稳定约束：不依赖于时间的约束
f (r1, r2 , , rn ) 0
b 不稳定约束：依赖于时间的约束
f (r1, r2 , , rn , t) 0
又例质点被限制在半径变化的球面上运动， 半径为
R R0 bt
例，一个有 n 个质点构成的力学系统，需 3n 个独立坐标确立其位置，因此自由度 f=3n。若受 有 m 个完整约束，每个约束方程都和坐标相联系。 从而独立数目减小，则 f=3n-m。
对多质点与物体系统一般用“位形”（位置和 形状）表示其位置，自由度是力学体系本身特征 决定与坐标选择无关。
三、广义坐标
f (x, y, z) 0
f
(x,
y,
z,
t)0Biblioteka 如刚体| ri rj | 常 使刚体形状保持不变。
某些约束，虽然约束方程显含速度但能化
成几何约束方程属完整约束。
例如：圆盘在竖直平面内沿水平直线作纯滚 动，圆盘质心速度（ x, y ）与转动角速度 满足
约束方程
x R
y
0
分别积分得
x R 常
分析 Ri →分析约束→寻求解决问题的途径
§3.2 约束、自由度、广义坐标
一、约束及其分类
1、约束：对物体空间位置和运动速度所施加的 限制条件。 例：质点被限制在球面上运动，则其空间坐标 x， y，z 每时每刻必须满足
x2 y2 z2 R2
f (x, y, z) x2 y 2 z 2 R2 0